О cтояче-поступательных волнах Россби в море и океане Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 551.466

Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2012. Вып. 2

Т. В. Белоненко, В. В. Колдунов, В. Р. Фукс

О СТОЯЧЕ-ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ВОЛНАХ РОССБИ В МОРЕ И ОКЕАНЕ

Регистрируемые с помощью спутниковой альтиметрии, а также при радиометрических измерениях температуры воды и ее цвета, низкочастотные волновые возмущения типа волн Россби или более общего типа градиентно-вихревых волн (см. например, [1]) обычно трактуются как поступательные волны, распространяющиеся преимущественно в западном направлении. В то же время накопилось достаточно много фактов, свидетельствующих о том, что эти волны и в морях, и в океанах могут иметь характер стояче-поступательных волн.

На основе альтиметрических измерений аномалий уровня океана рассмотрим изменение уровня в Тихом океане вдоль смежных меридиональных разрезов в районе 180-го меридиана от 30° с. ш. до 30° ю. ш. [2]. На графиках (рис. 1) демонстрируется структура этих колебаний для годового и полугодового периодов. Сложное меридиональное распределение амплитуд таких колебаний (см. рис. 1, а) не может быть интерпретировано как влияние сезонного хода локального взаимодействия атмосферных и океанических процессов. Очевидно, что причина кроется в волновой динамике годовых возмущений. Поэтому целесообразно рассматривать распределение амплитуд совместно с оценками когерентности годовых и полугодовых колебаний (см. рис. 1, б) и с фазовой картиной (см. рис. 1, в) таких уровенных колебаний.

Расчет когерентности годовых, а также полугодовых колебаний с гармоническим тестом как меры их близости к гармоническим колебаниям и как меры устойчивости начальных фаз, а также дополнительных оценок когерентности колебаний в смежных пунктах показали следующее:

• отмечены повышенные когерентности 0,6 н 0,8 годовых колебаний уровня океана с гармоническим тестом и в смежных пунктах в зоне от 16° с. ш. до 8° ю. ш. (основная область экваториальных течений);

• фиксируется перемежаемость зон высокой и низкой когерентности в более высоких северных и южных широтах;

• фазовая картина (см. рис. 1, в) была получена в результате взаимоспектрального анализа с тестовыми гармониками при нулевой начальной фазе; она имеет очень сложную структуру: наблюдается чередование участков со сравнительно плавными изменениями начальной фазы, свидетельствующими о поступательном движении волны, и участков со скачкообразными изменениями фазы.

Совместный анализ пространственного распределения фаз и амплитуд свидетельствует о наличии многомодовой меридиональной стоячей волны, пучности которой находятся в зоне максимальных амплитуд, а узлы — в зоне минимальных амплитуд и минимальных когерентностей. При этом между узлами распространяются поступательные волны. Узлы стоячей волны находятся в местах сочетания минимальных значений амплитуды со скачкообразным изменением фазы колебаний. Этот результат соответствует общей теории экваториальных захваченных волн и численным

© Т. В. Белоненко, В. В. Колдунов, В. Р. Фукс, 2012

экспериментам на гидродинамических моделях. Для волны с годовым периодом расстояние между узлами стоячей волны уменьшается с удалением от экватора (где оно составляет 8 - 10° широты) до 5° в районе 20 - 30° с. и ю. ш. Вероятно, здесь преобладают колебания двух-трех первых мод.

Анализ структуры колебаний с полугодовым периодом показывает, что максимальные амплитуды наблюдаются на 28 - 30°, 22 - 24° и 4 - 10° с. и ю. ш., также отмечаются небольшие промежуточные максимумы на 18° с. и ю. ш. Укажем на высокую когерентность (0,7 - 0,95) полугодовых колебаний с тестом во всей тропической зоне: от 10° с. ш. до 10° ю. ш. с некоторым понижением ее в приэкваториальной полосе (4° с. ш. - 4° ю. ш.) (см. рис. 1, а). В более высоких широтах когерентность повышается до 0,6 - 0,7 только в областях волн с максимальными амплитудами. Области резкой смены фазы полугодовых колебаний совпадают с областями волн с минимальной амплитудой и когерентностью (см. рис. 1, б, в).

30 22 14 6 -2 -8 -16 -24 <р°

Рис. 1. Зависимости от широты годовых амплитуд А (1) и полугодовых (2) колебаний уровня океана (я), их когерентности Б с гармоническим тестом (б) и разности фаз (в) вдоль 180°-го меридиана (отрицательные значения ф на графике соответствуют южной широте).

Так как когерентность полугодовых колебаний вне областей волн с максимальными амплитудами мала и, следовательно, оценки разности фаз неустойчивы, ограничимся расчетом фазовых скоростей только для областей волн с максимальными амплитудами. Результаты таких расчетов представлены в табл. 1.

Меридиональная структура годовых и полугодовых колебаний уровня в тропическом регионе Тихого океана свидетельствует о значительном динамическом вкладе

Таблица 1. Зональная сх и меридиональная су составляющие фазовой скорости волны

с полугодовым периодом

Широта 30° 22° 18° 6° 2° 8° 18° 24° 28°

с. ш. с. ш. с. ш. с. ш. ю. ш. ю. ш. ю. ш. ю. ш. ю. ш.

cx, км/сут - - - 45 64 12 10 - -

Су, км/сут 2 - 32 - 7 1 - 1 2

в энергию этих колебаний экваториальных захваченных градиентно-вихревых волн с невысокими меридиональными модами, а также захваченных волн Кельвина. Особенности меридиональной структуры этих волн довольно тесно связаны с системой экваториальных течений и фронтальными зонами, их разделяющими. Отмеченные некоторые несоответствия теории захваченных экваториальных волн с данными альти-метрических измерений уровня океана обусловлены тем, что наряду с захваченными планетарными волнами и волнами Кельвина существенную роль здесь играют струйные и фронтальные волны, которые обычно не учитываются при модельных оценках параметров низкочастотных волн в океане. Проведенный анализ меридиональной структуры колебаний уровня океана, исследование когерентности и разности фаз годовых и полугодовых колебаний уровня в различных областях океана свидетельствует о том, что имеет место скачок фазы, вероятно, связанный, как мы покажем в дальнейшем, со стояче-поступательным характером градиентно-вихревых волн.

Упрощенная кинематическая модель стояче-поступательных волн может быть представлена в виде

£ = X A (x,y,t)cosmjxcosj cos(ai/-kijx-nijy), (!)

ij

где Aij — амплитуда волны, произвольная функция координат, медленно

изменяющаяся по сравнению с фазовыми волновыми возмущениями; i — номер волны,

2п ■ 2п j

j = 1, 2, 3 ... — мода волны; kj =-; nj =--зональное и меридиональное волновое

lx ly

число; ст.. = —- — частота волны, Ti — период волны; lx и ly — меридиональная

ij T

и зональная составляющие длины волны, t — время.

Волновое поле представляет систему стационарных и нестационарных узловых линий стоячих колебаний, между которыми перемещается прогрессивная

волна с составляющими на параллель и меридиан фазовыми скоростями c .. =-

- kij

и cyij =—-. Свидетельством реальности такой волновой динамики могут быть

yj nij

часто наблюдаемые в поле волн узловые линии со скачкообразными изменениями начальных фаз, регистрируемые как в морях, так и в открытом океане [1, 2, 3].

В целом уравнение (1) описывает ячеистую структуру, когда внутри ячейки, находящейся между узлами двумерной стоячей волны, развиваются энергонесущие волны, затухающие на периферии ячеек.

Реализация этой модели представлена на рис. 2 при следующих параметрах: m = I = п/590 рад км 1 , k = -2 х п/590 рад км-1, п = 0, о = 2 х п/110 рад сут.-1. Величина ячейки — расстояние между узлами стоячей волны, огибающей группы энергонесущих поступательных волн, в два раза превышает длину волны. Естественно, что если между узлами стоячей волны «укладывается» несколько длин поступательной волны, изменчивость рельефа уровенной поверхности значительно усложняется.

100 200 300 400 500 X (км)

Половина периода

100 200 300 400 500 X (км) Три четверти периода

Рис. 2. Трансформация волновой поверхности в различные моменты времени.

Внутри прямоугольной ячейки, со всех сторон ограниченной стационарными узловыми линиями, в начальный момент времени в центре бассейна расположен гребень, а на западе и востоке — подошва волны. Через четверть периода волновой рельеф смещается на запад, и возникает диполь, в котором гребень расположен в западной части ячейки, а подошва — в восточной; через половину периода в центре ячейки оказывается подошва, а на западе и востоке — гребень волны; еще через четверть периода экстремумы, смещаясь на запад, образуют в центре ячейки диполь противоположного знака. Таким образом, наблюдающаяся на альтиметрических картах пестрая картина

чередований положительных и отрицательных аномалий уровня океана может быть объяснена природой стояче-поступательных волн Россби.

Физические механизмы, определяющие захват волновой энергии, помимо в-эф-фекта, могут быть следующие: топографический (шельфовый, «желобовый», хребтовой и т. д.), сдвиговый или струйный и фронтальный волноводы. Концентрация волновой энергии в волноводах связана с конвергенцией потоков — динамического и термодинамического происхождения.

Остановимся на одном частном, простом случае, описывающем стояче-поступательные волны Россби. Исходя из эмпирических наблюдений, связывающих существование в океане точек с нулевым или мало изменяющимся уровнем, зональные баро-тропные стояче-поступательные волны Россби можно в простейшем случае представить как зональную поступательную волну модулированную по амплитуде в меридиональном направлении, в виде:

^ = А соз(ау)соз(стг — кх), (2)

где А — амплитуда волны, х, у — горизонтальные координаты, г — время, а — частота, к — волновое число, а — параметр модуляции, имеющий размерность волнового числа. Мы акцентируем внимание на часто встречающейся ситуации, когда системы волн перемещаются в западном направлении в ограниченной полосе широт со скачкообразным изменением фазы волны на границах этой полосы, то есть происходит захват энергии волн в этой зоне, являющейся волноводом распространяющихся волн. Подобная кинематическая модель во многих случаях удовлетворительно описывает волновые возмущения в поле альтиметрических возвышений уровня океана.

Можно предположить, что подобные возмущения должны удовлетворять системе гидродинамических уравнений, описывающих волновые движения типа градиентно-вихревых волн [4]. В линейном бездиссипативном приближении на «в-плоскости» ба-ротропные волны такого типа описываются уравнением

М—— 0, (3)

дг / ду дг дх gH дг

где / — параметр Кориолиса, Р=--параметр Россби, g — ускорение силы тяжести,

йу

Н — глубина моря, Д — плоский лапласиан.

Подставляя (2) в (3), получим дисперсионное уравнение для интересующего нас класса волн — зональных дивергентных волн с поперечной модовой структурой:

Р к

а = —7!-2-Г, (4)

к2 +а2 + К ~2

при условии sin а y = 0.

__в

k k2 + а2 + R

деформации Россби.

Фазовая скорость этих волн с = — = ——2-2-—2, где К — баротропный радиус

Меридиональная структура этих волн должна определяться условием sin a y = 0, 2п j

где а=-, Я — расстояние между узлами меридиональной стоячей волны, j = 0, 1,

X

2, ... — номер моды захваченной волноводом волны.

В некотором смысле подобные волновые движения получаются в гидродинамической теории волн Россби в замкнутых бассейнах. Общая теория низкочастотных, в особенности, градиентно-вихревых волн в ограниченных бассейнах сравнительно небольшой протяженности еще недостаточно развита. Численные оценки собственных колебаний относятся, главным образом, к баротропным инерционно-гравитационным волнам и не затрагивают диапазон низкочастотных волн.

Теория баротропных волн Россби в замкнутом бассейне изложена в монографиях Дж. Педлоски [6] и П. Ле Блона, Л. Майсека [5] в приближении теории мелкой воды. Основным уравнением, описывающим низкочастотные волны малой амплитуды на в-плоскости является линеаризированное безразмерное уравнение потенциального вихря

д ду

— (Ду- F у) + = 0, (5)

F =

где у — функция тока, равная отклонению свободной поверхности моря;

' ЬV

— \ , Я = —- — баротропный радиус деформации Россби, Ь — масштабный

V Я ) /

множитель.

Задача решается в предположении, что граница бассейна совпадает с линией тока. Для наиболее простого случая приближения «твердой крышки», V = 0 (бездивергентное волновое движение), примем на границах бассейна у = 0. Тогда решение уравнения (2) можно искать в виде гармонической волны с изменяющейся в пространстве амплитудой

-II стt + — X

у = А Ф(х,y) Re e у J. (6)

Подставляя (6) в (5), получим

ДФ + X2 Ф= 0, (7)

где X2 = Р

4а2

Уравнение (7) при условии на внешнем контуре у = Ф = 0 — известное уравнение зажатой по краям мембраны.

Для прямоугольного бассейна 0 < x < x0, 0 < y < y0 решением уравнения (7) при этом граничном условии будет

кnx ппy

Ф = Фкп =sin-sin-, (8)

x0 Ус к = 1,2,3... n = 1,2,3...

при дисперсионном уравнении

а=а„ =-

/

2п

к2 п2 ^

-г + -т

Хо Уо у

Каждая мода колебаний имеет вид

л -1Х- У

Укп = Акп Б1П кП-Б1ППП-008

Хо Уо

ап+

(9)

2 а

(10)

т. е. представляет собой несущую волну, направленную всегда на запад, амплитудно-модулированную в пространстве огибающей из синусоидальных функций. То есть в замкнутом бассейне каждая мода представляет собой стояче-поступательную волну с фиксированными и движущимися узловыми линиями.

Отличие (10) от (1) в том, что в (10) рассматривается только зональная волна и предполагается, что границы бассейна совпадают с узловыми линиями.

Между узлами волны возникают ячейки, размеры которых постоянно меняются. Максимальная амплитуда колебаний находится в центре ячейки. Фазовая скорость волны в западном направлении определяется дисперсионным уравнением:

с = —

в

/

2п2

к2 п

"Г + ^ V Хо Уо

2 ^

(11)

Принципиально такая же, но более сложная система узловых линий и пучностей возникает при произвольной ориентации бассейна и других его формах. По П. Ле Бло-ну и Л. Майсеку баротропные волны Россби второй моды в прямоугольном произвольно ориентированном бассейне возбуждают четыре стационарные циркуляционные ячейки, ограниченные неподвижными узловыми линиями, и несколько нестационарных ячеек, ограниченных неподвижными узловыми линиями и меридиональными узловыми линиями, перемещающимися на запад [5].

Дж. Педлоски доказывает, что моды колебаний в бассейнах других геометрических форм имеют ту же общую структуру — распространяющаяся на запад несущая волны, амплитудно-модулированная постоянной огибающей в виде стоячей волны [6]. Этот вывод относится и к случаю, когда Р в (5) равно нулю.

Структура дисперсионных соотношений в более общем случае дивергентных ба-ротропных и бароклинных волн Россби аналогична, различие состоит лишь в том, что радиус деформации бароклинной волны значительно меньше того же радиуса баро-тропной волны. Можно показать, что для бароклинных волн в прямоугольном бассейне собственные функции будут иметь такой же вид, как для баротропных волн:

а = ст> = —

в

к2 п2

2 2

п п „-2

—+—+

4 "

у/2'

(12)

в

где Я = —--бароклинный радиус деформации Россби для г-й моды, N =

1 т/ \

частота Вяйсяля-Брента, т — вертикальная составляющая волнового числа.

Обычно Я2 << х0 , Я2 << 72, тогда

1 др р д г

ст = -РЯ , с = рКг2. 13)

Таким образом, частота и фазовая скорость бароклинных волн Россби не зависят от морфометрических особенностей бассейна, а определяются величинами бароклин-

й/

ного радиуса деформации Я и параметром Р = ——.

ау

Бароклинные и баротропные волны Россби, как это следует из дисперсионных соотношений, распространяются только на запад. Когда длина волны значительно меньше радиуса деформации волны Россби (к2 >> Я-2), фазовые скорости элементарных баротропных и бароклинных волн Россби совпадают, т. е. с = -в/к2. Такая ситуация соответствует бездивергентному волновому движению. В том случае, когда длина волны значительно больше радиуса деформации (А2 << Я~2) волны не обладают дисперсией, т. е. с = -^Я2.

Баротропная мода (п = 0) имеет характерный радиус деформации в тысячи километров, тогда как первый бароклинный радиус деформации Россби Я1 = 35н50 км (при этих значениях фазовая скорость бароклинных волн Россби достигает 2 • 10-2 м/с) и меньшие значения для более высоких вертикальных мод. Величины в и Я зависят от у, и эта изменчивость имеет значение для анализа данных. Следует отметить, что для любой моды на фиксированной широте максимальная частота (минимальный период-

Р Я

может быть определена по следующей формуле: а = [5, 7].

Для примера рассмотрим результаты альтиметрических съемок Балтийского моря [8]. Для морфометрических характеристик Балтийского моря (средняя глубина 48 м, наибольшая длина 1800 км, ширина 1350 км) периоды и фазовые скорости первой моды баротропных бездивергентных стояче-поступательных волн Россби оценивались дисперсионными соотношениями (5) и (7) при к = п = 1, в = 0,94 • 10-12 рад м-1 • с-1. Период стояче-поступательных колебаний первой баротропной моды составил 26 суток, фазовая скорость направленных на запад поступательных волн внутри ячеек между узлами стоячей волны равнялся 4 см/с. Если принять для Балтийского моря бароклинный радиус деформации Россби Я1 = 5 н 20 км, то периоды стояче-поступательных волн Россби будут 230 н 580 суток, а фазовые скорости 1 н 6 см/с.

В реальных условиях параметр в, наряду с эффектом вращения и сферичностью Земли, может имитировать, как топографические эффекты, так и эффекты, связанные с горизонтальным сдвигом скорости в невозмущенном потоке, т. е. можно предполагать, что топографические волны Россби (в частности, шельфовые волны), как и сдвиговые волны (в частности, струйные волны), как и волны Россби будут иметь структуру поступательных волн, амплитудно-модулированных стоячей волной.

Можно предполагать, что эти волновые движения в Балтийском море относятся к градиентно-вихревым волнам типа волн Россби. Направление распространения волн между узлами огибающей стоячей волны — преимущественно западное.

Сравнивая экспериментальные альтиметрические данные с общими теоретическими представлениями о динамике градиентно-вихревых волн в ограниченном бассейне, можно утверждать, что именно эти волны предопределяют низкочастотную динамику вод Балтийского моря, которая регистрируется как по экспериментальным измерениям колебаний уровня и течений, так и при численных экспериментах на гидродинамических моделях. Подобные длины низкочастотных волновых структур наблюдаются и в океане.

Анализируя изоплеты колебаний уровня на зональных и меридиональных разрезах, обнаруживаем наличие на них узловых точек, в которых в течение некоторого промежутка времени наблюдается «стояние уровня» (возвышение уровня не отличается от нуля). Около этих точек происходит скачкообразное изменение фазы колебаний уровня на обратную. Это позволяет интерпретировать эти волновые движения в Балтийском море как стояче-поступательные волны. Периоды этих волн составляют от нескольких суток до нескольких лет, длины — от нескольких километров до нескольких тысяч километров. Оценивая тем или иным образом амплитуды и фазы основных энергонесущих волн, можно выделить особенности кинематической структуры стояче-поступательных волн.

Очевидно, что наложение низкочастотных волн различного происхождения, различных мод стоячих колебаний должно значительно усложнить поле возвышений уровня и затруднить их волновую интерпретацию.

В качестве другого примера на рис. 3 представлены зональные изоплеты альти-метрических измерений уровня в северо-западной части Тихого океана вдоль 30° с. ш. Для построения изоплет использовался массив1 аномалий уровня моря, из исходных данных путем фильтрации удалялся среднемноголетний сезонный ход. На рисунке отмечены области, в которых происходит резкое изменение фазы перемещающихся в западном направлении колебаний. Фиксируя гребни и подошвы перемещающихся волн, можно получить эмпирические оценки длин и периодов этих волн, которые представлены в табл. 1. Несмотря на многообразие представленных в табл. 2 оценок периодов и длин волн, фазовая скорость перемещающихся волн существенно не меняется и составляет 7,5 см/с. Выделенные на рис. 2 волны разных периодов и длин имеют одну и ту же фазовую скорость, то есть эти волны не обладают дисперсией. При этом длины этих волн имеют значения меньшие, чем длины баротропных волн этих же периодов, следовательно, доминирующими являются бароклинные волны Россби. Из формулы для фазовой скорости с = -^К2 получаем эмпирический бароклинный радиус деформации Россби для 30° с. ш. равным 153 км.

Ограничимся рассмотрением основных закономерностей пространственного распределения амплитуд и фаз полугодовых колебаний уровня северной части Тихого океана. На рис. 4 представлены амплитуды (а) и фазы (б) полугодовых колебаний аномалий уровня моря, рассчитанные по альтиметрическим данным при помощи гармонического анализа. Амплитуда полугодовых колебаний в среднем изменяется в пределах 2-3 см. На рис. 4, а хорошо заметна интенсификация полугодовых колебаний в системе вод течения Куросио. Фазовая картина (рис. 4, б) характеризуется относительным постоянством на северных широтах от 40° до 50° и существенной неоднородностью в остальных областях исследуемого района. Ячеистая фазовая картина может свидетельствовать о стояче-поступательном характере полугодовых волн.

1 URL: http://atoll-motu.aviso.ooeanobs.oom (дата обращения: 20.10.2011).

140 150 160 170 180 Долгота

190

200

Рис. 3. Зональные изоплеты альтиметрических измерений уровня (см) в северо-западной части Тихого океана вдоль 30° с. ш. с выделенными гребнями волн (сезонный ход удален путем фильтрации).

Таблица 2. Эмпирические характеристики волн Россби для 30° с.ш. северо-западной части Тихого океана

Выделенные гребни волн 1-2 3-4 4-5 6-7 8-9 10-11 11-12 13-14 14-15 16-17

Длина волны Ь, км 590 375 375 640 860 540 540 480 700 700

Период Т, сут 110 73 73 110 146 73 73 73 110 110

Отмеченные закономерности особенно очевидны при анализе вейвлет-изоплет, свидетельствующих о выраженном скачкообразном изменении фаз колебаний уровня вдоль зонального разреза по 35° с. ш. северо-западной части Тихого океана. Для каждого пункта разреза проводится вейвлет-анализ временных рядов уровня, пространственная дискретность точек составляет 1/3°. Вейвлет-коэффициенты, рассчитанные для полугодового периода, представлены на рис. 5. Оттенками черно-белого цвета показаны значения вейвлет-коэффициентов.

110°Е 120° Е 130° Е 140° Е 150°Е 160°Е 170°Е 180° Е 170°\У160°\У 150°\¥ 140° 130° Ш 120° 110°ЧУ 70° N

60° N

50° N

40° N

30° N

20° N

10° N

110°Е 120° Е 130° Е 140° Е 150°Е 160°Е 170°Е 180°Е 170°№- 160°\¥ 150^ 140°\¥ 130°\¥ 120°\У 110°\¥ 70° N

60° N

50° N

40° N

-100

-150

Рис. 4. Амплитуды (см) (а) и фазы (градусы) (б) полугодовых колебаний уровня моря

При рассмотрении вейвлет-коэффициентов полугодового периода на зональном разрезе четко прослеживается преимущественно поступательный характер полугодовых волн, причем наклон гребня указывает на то, что волны распространяются преимущественно на запад. Рассчитанная по углу наклона фазовая скорость волн составляет 3-4 см/с, что согласуется с оценками скоростей градиентно-вихревых волн для данного района.

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 170

167

163

160

157

153

150

147

143

140

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Рис. 5. Изоплеты значений вейвлет-коэффициентов для полугодовых масштабов колебаний уровня моря на зональном разрезе по 35° с. ш. По оси абсцисс отложены годы, по оси ординат — градусы восточной долготы.

Изоплеты, построенные на основе вейвлет анализа, показывают, что наличие полугодовой периодичности в колебаниях уровня моря в системе вод течения Куросио обусловлено распространением стояче-поступательных градиентно-вихревых волн. Анализ альтиметрической информации в целом свидетельствует о том, что полугодовая периодичность колебаний уровня моря в системе вод течения Куросио связана, главным образом, с распространением стояче-поступательных градиентно-вихревых волн. Представленные факты соответствуют теории волн Россби в замкнутых бассейнах [5, 6].

Таким образом, вопреки сложившимся феноменологическим представлениям о низкочастотной волновой динамике, как в морях, так и в открытом океане доминируют не поступательные, а стояче-поступательные градиентно-вихревые волны типа волн Россби.

Литература

1. Белоненко Т. В., Захарчук Е. А., Фукс В. Р. Градиентно-вихревые волны в океане. СПб., 2004.

2. Фукс В. Р. Низкочастотные волны в экваториальной и тропической зонах Тихого океана // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 7. 2003. № 23, вып. 3.

3. Volkov D. L., van Aken H. M. Annual and intramural variability of sea level in the northern North Atlantic Ocean // J. Geophys. Res. 2003. Vol. 108.

4. Belonenko T. V., Foux V. R., Zakharchuk E. A. «Gradient-vorticity waves in the world ocean». LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. 2010. 408 p.

5. Ле Блон П., МайсекЛ. Волны в океане // пер. с англ.; под ред В. А. Городцова, А. И. Леонтьева. М.: Мир, 1981. Т. 1, 2. 853 с.

6. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: в 2 т. М.: Мир, 1984. С. 811.

7. Geographical variability of the first-baroclinic Rossby radius of deformation / D. B. Chelton, de R. A. Szoeke, M. G. Schlax, K. El Naggar, N. Siwertz // J. Phys. Oceanogr. 1998. Vol. 28. P. 433-460.

8. Захарчук Е. А., Тихонова Н. А., Фукс В. Р. Свободные низкочастотные волны в Балтийском море // Метеорология и гидрология. 2004. № 8. C. 53-64.

Статья поступила в редакцию 23 декабря 2011 г.