Особенности нахождения собственных частот составленного металлодиэлектрического резонатора методом частичных областей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.372.061

К Г. САВ1Н, Ю.В. ПРОКОПЕНКО

Нацюнальний технiчний ушверситет Укра1ни «Кшвський полiтехнiчний шститут»

ОСОБЛИВОСТ1 ЗНАХОДЖЕННЯ ВЛАСНИХ ЧАСТОТ СКЛАДЕНОГО МЕТАЛО-Д1ЕЛЕКТРИЧНОГО РЕЗОНАТОРА МЕТОДОМ ЧАСТКОВИХ

ОБЛАСТЕЙ

У cmammi розглядаеться застосування метода часткових областей для розрахунку власних частот складеного метало^електричного резонатора. Порiвняння експериментальних та теоретичних результатiв демонструе Их узгодження. Показана можливкть побудови компактних резонансних елементiв з мжроелектромехатчним перелаштуванням.

Ключовi слова: дiелектричний резонатор, метод часткових областей, рiвняння Фредгольма, переналаштуваннярезонансноi частоти, мжроелектромехатчне перелаштування.

K.G. SAVIN, YU.V. PROKOPENKO

National Technical University of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute"

FEATURES OF SOLVING COMPOSITE METAL-DIELECTRIC RESONATOR EIGENPROBLEM USING MODE MATCHING TECHNIQUE

Eigen frequencies of the composite metal-dielectric resonator are discussed. The purpose of the research was solving the eigenproblem using mode matching technique. The problem is reduced to a set of homogeneous integral Fredholm equations of the first kind. The system is solved using Galerkin method. The technique is more efficient than FEM in terms of computational resources due to low rank of the system. It is shown that theoretical and experimental results are in good agreement. It is also shown that efficient tuning of the resonant frequency can be achieved by changing the air gap thickness between the dielectric and the metal plate. The composite metal-dielectric resonator can be used in compact high-Q tunable radiofrequency devices.

Keywords: dielectric resonator, mode matching technique, Fredholm equation, resonant frequency tuning, MEMS.

Бурхливий розвиток безпровщних технологш останшми роками викликав посилену увагу до перелаштовуваних радючастотних пристро!в. У якосп основного елемента селективних пристро!в широко використовуються д1електричш резонатори. Ключовими перевагами таких резонатор1в е висока добротшсть та мшатюршсть [1]. Метало -д1електричш резонатори дають змогу досягти ще менших розм1р1в селективних пристро!в. Використання електромехашчного перелаштування дае змогу досягти широкого д1апазону перелаштування без втрати добротносп. При використанш електромехашчного перелаштування резонансно! частоти до конструкцп складеного метало-д1електичного резонатора (СМДР) вноситься керована неоднорщшсть у вигляд1 повггряно! щшини. Наявнють тако! щ1лини поряд з д1електричним елементом СМДР призводить до великих складностей при використанш чисельних метод1в, що застосовують об'емш сггки. Сюди можна вщнести метод сшнченних елеменпв (МСЕ), метод ск1нченних р1зниць (МСР) та ш. Метою цього дослщження стало розв'язок задач1 на власш коливання методом часткових областей (МЧО).

Модель СМДР складаеться з двох сшввюних д1електричних цил1ндр1в рад1уса R, з висотами h та d, з ввдносними проникностями е1 та е2, що розмщеш м1ж двома металевими пластинами. Прост1р навколо цил1ндр1в заповнено д1електриком з вщносною проникшстю е3, що обмежений металевою стшкою рад1уса Rs. (рис. 1). Д1електричш цилшдри формують часткову область 2, все решта - часткова область 1.

Рис. 1. Конструкция СМДР

Електромагштне поле СМДР описане за допомогою вектор1в Герца, що мають лише z-компоненти:

ре(m) _ о 0 Гe(Т

Г? = 1(2 )фП (Ф)«П (г),

,=0 . ю

ГГ I «К (- )ФГ (Ф», (г),

де 1=1,2 - номер частково! областi, а?.(г) - амплиуди власних коливань, - iмпеданс вiльного

простору, ФП (ф) - розв'язок однорвдних рiвнянь Гельмгольца:

'2Ф (Ф) + „2ф?г) (ф) = о,

як1 задовольняють умову:

й ф аф

й Ф Г (ф) ;

(1)

й ф

= ±п Феп (ф)

<Г) (г ) - розв'язок ртняння Бесселя для областi I:

(г ) =

(г ) =

ЭТ2(Г} (г )=

п (РъЛ) Jn (Ръ-г) - Jn (^А(Р1,-г) Де(вз£2 -Р2ъ-) > 0, К (^А) 1п (Р1,г) - 1п (^А)Кп (Р1,г),Яе[гф1 -р2^,) < 0, У (^А) Jn (Р1,г) - J'n (^А(Р1,г),Яе[гък2 -Р21,) > 0,

кп (^А ) 1п (Р1,г) - 1'п (^А )Кп (Р1,г) Де(гзк2 - Р21,-) < 0,

Jу,

(Р2(Г)г),Р2(Г) =Лч к2 -(р:(Г)) ,Ие[ В1 к2 -(Р?(Г})

2 Л

(Р2(Г)г),Р2(Г) = МГ)) -«1к2,Яе[ «1к2 -(Р?((Г))

2

> 0,

< 0,

Jn (х) та Уп (х) - функци Бесселя першого та другого роду п-го порядку, J'n (х) та Уп (х) -похiднi функцш Бесселя першого та другого роду п-го порядку, 1п (х) та Кп (х) - модифшоваш функци Бесселя першого та другого роду п-го порядку, 1'п (х) та К'п (х) - похвдш модифшованих функцiй Бесселя першого та другого роду п-го порядку, Р1, - /-те поперечне хвильове число обласп 1:

4«ък2 -Р21, Де(«зк2-Р21,)> 0,

Р1, =

Ф21, -«зк2,Яе(«зк2-Р21,)

< 0,

(2) - ¡-^ одновимiрнi власнi функци обласп 1, яш задовольняють граничним умовам на площинах 2 = 0, 2 = к :

4- (2 ) =

1

, = 0;

008

(Р21,2),, * 0;

^ ( 2 ) = £7 » (Р 2'" )•

да

/

1

п

2

ßzn - /-те поздовжне хвильове число областi 1:

ß zii =

1%

Ze(m) (z) - i-Ti одновимiрнi власнi функцй' областi 2, як1 задовольняють граничним умовам на площинах z = 0, z = h , z = h + d :

*(ßZl,-z )

Z21 (z ) =

cos I

cos

zm (z )=

Nf81 cos (ßzi,h) '

(ßz2, (z - h - d))

Nz 82 cos (ßf 2,d)

sin (ßzi,z )

0 < z <y

!< z <

Nm sin

in (ßezi,h)'

in (ßm2, (h+d - z)) Nm sin (ßm2,d) 'h

0 <z<,

!< z <

де

NZ =

1=

Nm =

h i sin (2ßzi,h) d sin ( 2ßz 2id )

2 4ßzzi, , 2 4ßz2,

8icos2 (ßzi,h) 82 cos2 (ßZz2id )

h sin(2ßmi,h) d sin (2ßm,-d)

2 4ßmi, ,2 4ßm2,

sin2 (ßmi,h) sin2 (ßm2,d)

3Z( m)

ßzl(2)i - i-Ti поздовжнi xBffi^Bi числа областей з ввдносними проникностями ввдповвдно 8i та 82, яш е розв'язком системи рiвнянь:

ß Zz1,

L tg ^.h ) + ^ tg (ßz 2 ,d ) = 0, ßm,- ctg (ßmi,h )+ßm2, ctg (ßm2,d )=0,

(81 -82 ) k2 =(ßZ(m) )2-(ßZ(m} )2,

к - постiйна поширення у вшьному просторi.

Системи власних функцш Zf, (z), Zm (z), Z^j (z) е ортонормованими, а система Z|i ( z) е

p (z)=in- 0<z<h.

z2zW |g2, h < z < h + d Для виконання умов рiвностi z-компонент поля на поверхш r=R введемо двi невiдомi функцп:

^т-z i _ п ,Л

-2т- z ,

ортонормованою з вагою

Г ( z ) =

Ez (z, R, ф)

ФП (ф)

d Ге (z, R, ф) \12Tz/ „ \

—ч—+8(z)k Г (zR,ф)

dz

ФП (ф)

д2гГ (2 Я ф) 2 Г( г, \

-Ч-- + « (2)к Г/ (^Я Ф)

д2

Г (2 )=^ ЕЛ^=

() 0 ФГ (ф) 0 ФГ (ф)

де 1 = 1,2 , « (2)=е3 , «2 (2) = Р2е (2) • Отримуемо систему рiвнянь:

ю / \

/е (2) = I(«зк2 -Р21, ^ (2 Щт (я),

ю

I 2 ) =

,=0

ю

! 2 ) = -

,=0

ю

ю

/т (2)=-I «Г («зк2 -Р21, (2 ( я ),

2 ]

/е(2) = I«2, («1к2 -(Р?1,) к(2Щт (я)

,=0 V

г (2) = -I«Г «1к2 -(РГ1,) к (2(Я).

,=0 V У

Тодi, помножуючи обидвi частини рiвнянь на вщповщш власнi функци з урахуванням ваги, отримуемо вирази для амплiтуд електричних та магнiтних коливань в обох областях:

, к+й

= / , Л-— 0 Г (2) (2) й2,

пГ _ % =

(«зк2 -Р21,)Иы (Я) 0 1

к+й

(«зк2-Р21,)^1п,(Я) 0

| Г ( 2 ) 2ГГ (2 ) й2

к +й

4,, =

«1к2 - (Р21,) ]^2п, (я) 0

| Р ? ( 2 ) /? ( 2 ) 72 2 ) й2,

к +й

пг _ °2, = "

«1к2 -(РГ1,)2(я) 0

| /Г (2) 722) й2.

З умови рiвностi ф-компонент поля на поверхш г=К отримуемо систему iнтегральних рiвнянь Фредгольма 1-го роду:

к +й

0 (с? (2, 2')/? (2') + ОТ (2,2')/Г (2'))й2' = 0, 1 = 1,2 ,

(1)

де

(

1=0

вз^-Рл-

« к2 -

(Р?1,)

с1Г (2,2') = к I

,=0

(2') ¿Г (2) йЯ 1п, (Я) 72", (2')72", (2) йЯ (Я)

(«зк2-Р21, )я1п, (Я)

йЯ

«к2 - (РГ1,)2 ]яГп, (Я)

йЯ

1

0

со

(г, г') = кX

г=0

вз^к (г)ге (г) а(Я) ^ (г)22(г ')в(г)^ (г) аэд^. (Я)

(взк2 -р^-(я)

ая

Чк2-{р\ц) р2ш (Я)

ая

(г г') = ±Щ X

Я

1=0

гт (г ') дщ (г) 2% (г) ^ (г)

взк2 -Р2Ъ-

Ч к2 -

(Рт)

Знаки ядер та От спiвпадають зi знаками вiдповiдно першого та другого рiвнянь системи

(1).

на

Згiдно з методом Галершна розкладемо шуканi функци /'е(т) (г) по повних та ортогональних вiдрiзку [0, к+а\ з вагою р^е(т) (г) системах координатних функцш т) (г)|,I = 0,да :

/е(т) (г) = р е(т) (г)Х^1(т)фе1(т) (г)

ф

(2)

I=0

е(т)

де а - шукаш коефiцieнти, та вимагатимемо перетворення в нуль проекцш нев'язки на таш самi системи проекцiйних функцiй. В результата отримуемо систему лiнiйних алгебрачних рiвнянь

(СЛАР) ввдносно коефiцiентiв а

де А =

А е1 А т1 Ае 2 Ат2

е(т) I :

АХ = 0,

неск1нченна квадратна матриця з елементами:

н+ан+а

(3)

= | | (г,г ')р е (г)фе (г ')фт (г)ёг'<Ь,

0 0 ф н+а н+а

Ат1 = | | ^т (г,г ')р т (г ')фт (г ')фт (г)^Ъ,

0 0 ф к+ан+а

А% = | | (г,г ')р е (г ')фе (г ')фЩ (г)аг'<Ь,

0 0 ф н+ан+а

43* = | | 02т (г,г ')р т (г ')фт (г ')фЩ (г)йг

X =

„е е т „т

а1 • -,а1 ,а2 5

0 0

- несшнченний вектор коефпцентш розкладу, п = 0,оо,/ = 0,оо.

В результатi, (1) зведене до несшнченно! системи однорвдних лшшних алгебра!чних рiвнянь. З умови юнування И нетривiального розв'язок випливае дисперсшне рiвняння СМДР:

<1е1 (А) = 0 . (4)

Типи коливань СМДР можна класиф^вати по аналоги з однорвдним метало ^електричним резонатором, в якому усi коливання розпадаються на 4 типи: ТМ0т1, ТБ0т1, ИБ^ и ЕНпт1 [2\. 1ндекси п, т та I визначають кiлькiсть варiацiй електромагнiтного поля вщповвдно по азимуту, радiусу та висоп резонатора. Резонансна частота певного типу коливань СМДР наближаеться до частоти однорщного резонатора такого самого типу коливань за умови й/к^0 або £2^£ь Тому типи коливань складеного резонатора будемо позначати так само, як i однорiдного.

Для акаально-симетричних типiв коливань СМДР (п=0), 0е (г, г' ) = 0т(г, г') = 0, а отже Ае1 = Ат2 = 0. Тодi СЛАР (4) розпадаеться на:

да

ёа (Ае2 ) = 0, (АГ ) = 0.

(5)

(6)

Розв'язок рiвняння (5) визначае резонанснi частоти ТМ0т/-типу коливань. Резонанснi частоти ТЕотгтишв знаходять з (6).

Структура СМДР мiстить дiелектричне ребро, утворене трьома дiелектричними середовищами з проникностями еь е2, е3, поблизу якого складовi електричного поля мають особливiсть вигляду

( \

Е ~ гу 1/2 [3], де г - ввдстань до ребра, V = — агссо8

53 (51 - 52 )

52 (^ + 52 ) + 51 (52 + 53 ) + 53 (51 + 52 )

-1

Базиснi функци необхвдно визначити таким чином, щоб вони враховували особливостi поля та задовольняли граничнi умови при 2=0 та 2=к+й. Згiдно [4], найкращим чином задовольняють цi вимоги

полшоми Гегенбауэра С2/ (£,), С2+1 (£,), системи яких ортогональнi з вагою та повш на вiдрiзку [0,1]:

ф\ ( 2 ) =

С

21 +1

С

фГ (- ) =

С

V (^) = РфГ (^) =

21 +1

- 2

V I 2 21

С/

V

1 -

- 2

0 < 2 <у

0 < г < I

!< г <

1

( ' \2У"2

1 -I2 ' 2

J

- 2

2^ ^

0 < 2 < И,

!< 2 < И + й.

Для розв'язання рiвнянь (4), (5) та (6) використовувався метод редукцп, коли в рядах (2) утримувалася ск1нченна к1льк1сть членiв, а перехвд до границi при чисельному розв'язаннi реалiзовувався послвдовним збiльшенням шлькосл утримуемих членiв до тих шр, поки рiзниця розв'язк1в двох останшх iтерацiй перевищуе задану точнiсть розрахуншв.

Для перевiрки результатiв розрахунк1в було побудовано експериментальний стенд, зображений на рис. 2. Металева основа стенду (рис. 2, а) виконувала роль нижньо! пластини та бiчноl стшки радiуса Rs=12 мм. В якосл нижнього дiелектричного цилiндра було використано два зразка. Перший мав радiус R=7 мм, висоту 1=4,5 мм та ввдносну проникнiсть е=37,7. Параметри другого зразка: R=5,5 мм, 1=5 мм, е=79. Верхнш дiелектричний цилiндр в обох випадках моделювався повггряною щiлиною змшно! товщини. Рухома верхня пластина моделювалася металевим цилiндром, приеднаним до мiкрометричного гвинта за допомогою двосторонньо! клейко! стрiчки (рис. 2, б). Для збудження резонатора використовувалися два коаксiальнi порти у бiчнiй стiнцi.

Теоретичнi та експериментальнi залежносп нормованого резонансного хвильового числа нижчого типу коливань резонатора вiд нормовано! товщини повиряно! щiлини для двох дiелектричних цилiндрiв приведенi на рис. 3. Стад зазначити, що представлеш на рис. 3 результати демонструють гарне узгодження.

Крiм того, з рис. 3 помггао, що резонансна частота ТМ010-типу коливань сильно залежить вщ товщини повиряно! щiлини. Це можна пояснити наявнiстю домшантнох 2-компоненти електричного поля [5].

К

v

1

а)

металевии цилшдр, тд'еднании до гакрометричного

Рис. 2. ЕкспериментальниИ стенд: а) металева основа, i

гвинта.

Використання МЧО для розрахунку власних частот складеного метало-дiелектричного резонатора зводить задачу до системи однорвдних iнтегральних piBram Фредгольма першого роду, яка виpiшуeться методом Галерк1на. В pезультатi отримуемо одноpiдну систему лiнiйних алгебра!чних piвнянь. Такий шдхвд дозволяе отримувати матриц суттево менших pозмipностей поpiвняно з методами, що застосовують об'емну сггку (МСЕ, МСР тощо). Результати експериментального дослiдження узгоджуються з теоретичними даними.

4 6

с!/И, 10-2

Рис. 3. Залежшсть нормованого резонансного хвильового числа ТМ0ю типу коливань СМДР в1д нормованот товщини повиряного зазору (е2=1) при Я,=12 мм та 1) й=7 мм, к=4,5 мм, г=37,7; 2) й=5,5 мм, к=5 мм, г=79. Результати розрахуншв демонструють сильну чутливють резонансно! частоти ТМою-типу коливань складеного метало^електричного резонатора ввд товщини повггряно! щ1лини. Перемщення у десятки-сотн1 м1крометр1в дозволяють отримати перелаштування резонансно! частоти на десятки-сотш в1дсотк1в у сантиметровому д1апазон1 довжин хвиль. Так1 перем1щення п1д силу сучасним п'езоелектричним актуаторам та МЕМС. Тому складений метало-д1електричний резонатор може бути використаний для побудови компактних високодобротних перелаштовуваних рад1очастотних пристро!в.

Лггература

1. Mansour R. High-Q tunable dielectric resonator filters / R. Mansour // IEEE Microwave Magazine. — 2009. — Vol. 10. — pp. 84-98.

2. Kobayashi Y. Resonant modes of a dielectric rod resonator short-circuited at both ends by parallel conducting plates / Y.Kobayashi and S.Tanaka // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. — 1980. — Vol. MTT-28. — No 10. — pp. 1077-1085.

3. Brooky G.N. Field behaviour near anisotropic and multidielectric edges / G.N. Brooky, M.Z. Kharadly // IEEE Trans. — 1977. — Vol.AP-25. — No 4. — pp.571-575.

4. Линии передачи сложных сечений / [Г.Ф. Заргано, А.М. Лерер, В.П. Ляпин, Г.П. Синявский]; под ред. В.С. Михалевского. — Ростов: Издательство Ростовского университета, 1983. — 320 с.

5. Poplavko Yu.M. Frequency-tunable microwave dielectric resonator / Yu.M. Poplavko, Yu.V. Prokopenko, V.I. Molchanov, A. Dogan // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. — 2001. — Vol. 48. — No 6. — pp. 10201027.