CC BY
78
6. Справочник по специальным функщям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стеган: М. Наука, 1979. - 830 с.
Трубин А. А.
Добротные колебания сферических диэлектрических резонаторов оптического и инфракрасного диапазонов.
Приведены результаты анализа электромагнитных параметров диэлектрических резонаторов, выполненных из низко проницаемых диэлектриков оптического и инфракрасного диапазонов. Проведен анализ частот и добротностей собственных колебаний высших типов двухслойных диэлектрических резонаторов сферической формы. Показано существование высоко добротных ко-лебаний.
Trubin A.A.
High-Q Spherical Dielectric Resonator oscillations in the optical and infrared ranges.
It's provided the analysis results for the Dielectric Resonators electromagnetic parameters with low permittivity dielectric in the optical and infrared wave-length ranges. The frequencies and Q-factors of the Spherical two-layer Dielectric Resonators is tested. It's studied resonances of very big number coupling Spherical Resonators. An existence of high-Q resonances is demonstrated.
Надтшла до редакцп 20 квтня 2006року
УДК 621.317.3
РОЗРАХУНОК ХВИЛЕВОД1В З ЧАСТКОВИМ Д1ЕЛЕКТРИЧНИМ
ЗАПОВНЕННЯМ
Манойлов В.П., Чухов В.В.
Отримано утверсальний вираз для ефективног д1електрично1 проникност1 част-ково заповнених хвилевод1в (ЧЗХ) з двома д1електричними пластинами та узагальнено випадок одшег д1електрично1 пластини при 1х довшьному розташувант, проникностях та розм1рах.
Вступ
Анашз публжацш по хвилеводних методах вимiрювання дiелектрич-но! проникност матерiалiв показуе, що бшьшють цих методiв не враховуе часткове (вщносно поперечного перерiзу) заповнення хвилеводу зразком внаслщок його неточного виготовлення, що вимагае розробки способу усунення тако! похибки. Реашзащя такого тдходу вимагае, в першу чергу, пошуку !х сталих поширення.
Постановка задачi
Поряд з юнуючими строгими методами пошуку сталих поширення [1-3] е потреба в простому наближеному метод^ який, маючи прийнятну на практищ точшсть, не вимагатиме громiздких розрахунюв.
В основу виршення тако! задачi пошуку стало! поширення в ЧЗХ до-цiльно покласти поняття ефективно! дiелектричноl проникностi геф (див.,
наприклад, [4-5]).
Теоретичнi викладки
Як звичайно, сталу поширення будемо шукати у виглядi
У2 = к2ег -х2, (1)
,2л .
де к = — - хвильове число вакууму; вг - вщносна дiелектрична проник-X
нiсть матерiалу, яким заповнено хвилевщ; х - поперечне хвильове число.
Так як у = в - /а, то при малих втратах у хвилеводi у « в i мае мiсце наближена рiвнiсть
в2 = к2вг -х2 (2)
Зпдно [4, 5] перший доданок в (1) можна представити у виглядi к2веф. Вираз для веф можна записати через власш поперечнi векторнi функ-цп порожнього хвилеводу [5]:
Веф = ВсередВ1 , (3)
де
в
= 7Г \Вг (Х у^ , (4)
серед ф
Б± Б±
в± = |в г (х у )еА' ^, (5)
— серед Б±
вг (х, у) - функщя розподiлу — в поперечному перерiзi хвилеводу;
Б± = Б0 + Бд - площа поперечного перерiзу хвилеводу; Б0 - незаповнена
частина плошд поперечного перерiзу хвилеводу; Бд - площа поперечного
перерiзу дiелектрика; Еа, Еа, - поперечнi електричнi власнi векторш функ-
цп порожнього хвилеводу; для основно! хвилi Еа = Еа, = Е .
Для частково заповненого хвилеводу з одшею дiелектричною пластиною (рис. 1) маемо [6]:
/ чЛ п(2 х + с) пс ^ cd веф =в1 + (в2 -в1) 1 - со^^^-• втс--г. (6)
а а
у
аЬ
У *
У1 + й
У1
0
Рис.1. Частково заповнений хвилевщ з одшею дiелектричною пластиною.
Якщо хвилевiд заповнено повоям е1 = 1, а дiелектрик мае проник-нiсть е2 = ег то [5]:
/ п(2 х , -)
де бшс =
= 1 + ( - О
Бт ^
Т".
п(2 + с) пс
1 - соб—-—1-- • БШС—
V
а
а у
аЬ
(7)
Введемо в розгляд множник заповнення:
С
П
1 - соб
п
(2 х1 + с)
пс
бШС-
V
а
а
с й а Ь
г
1 - соб
п(2х1 + atx) .
Бтсп/.
V
а
Цу (8)
с
де tx = — - коефщент заповнення хвилеводу уздовж вiсi х; 1у = — - кое
а
Ь
фiцiент заповнення хвилеводу уздовж вiсi у. З урахуванням (7) вираз (8) набуде вигляду
ееф =1 + (ег - Оп
(9)
З (9) випливае, що для хвилеводу, заповненого повпрям (tx = 0, ty = 0, ег = 1) П = 0 i ееф = 1, а для хвилеводу, заповненого дiелектриком з про-никнiстю ег (tx = 1, ty = 1) п = 1 i ееф =ег, що повнiстю вщповщае (1). Для частково заповненого хвилеводу з (9) випливае, що
0 < П < 1 i 1 <ееф < ег . За визначенням [2] коефщент сповiльнення хвилi
Ь
т
X Л
(10)
де Л - довжина хвилi в ЛП (хвилевод^, яка, в свою чергу, однозначно ви-значаеться його фазовим коефщентом в :
Л - 2^
=У'
Шдставляючи (11) в (10), отримаемо
т - —,
(11)
(12)
звщки
— - кт
З шшого боку, зпдно (2), маемо
—2 - к 2 8 г -X 2 - к 2
8,-
Гх1
V к )
(13)
(14)
Порiвнюючи вирази (13) i (14), отримаемо формулу, яка виражае зв'язок мiж коефщентом сповiльнення та ефективною дiелектричною проникнiстю [6]:
т
1
'еф
Т
V к )
(15)
В частинному випадку, для хвилi Н10 прямокутного хвилеводу
(Х-%,), отримаемо з (15)
т-
8 еф
Г—1
V 2а )
2
(16)
Враховуючи дiапазон значень 8еф згiдно (9), з (15) випливае, що зна-чення т будуть лежати в дiапазонi
К
1 -
V к )
< т <
8 г -
V к )
(17)
Отриманi результати справедливi для Н -, Е - хвиль. Для Т - хвиль, як вщомо, х2 - 0.
2
Шдставляючи значення х2 = 0 в (15), отримаемо формулу, яка встано-влюе зв'язок мiж коефщентом сповiльнення та ефективною дiелектрич-ною проникнiстю у випадку Т - хвиль:
(18)
т
' еф
Пiдстановка (18) в (12) дае наступний результат
в
к
8еф - '
Отриманий результат повнiстю збiгаеться з визначенням ефективно! дiелектричноl проникностi, який використовуеться при розрахунках штег-ральних лшш передач [7].
Таким чином, знайдено зв'язок мiж геф та Р для Н - та Е - хвиль.
Справедливiсть отриманих результат пiдтверджена шляхом сшвставлен-ня вщомого та знайденого рiшень для випадку Т - хвиль.
Аналiз результа^в
Практичну придатнiсть описаного пiдходу визначимо шляхом його сшвставлення з точним розв'язком.
З точки зору простоти виготовлення та зручност вимiрювань доцшь-но розглянути такi ЧЗХ (при цьому використаемо позначення модифжацш застосоваш в роботi [1]):
- прямокутний хвилевщ з двома дiелектричними пластинами, розта-шованими симетрично бiля вузьких стшок (модифiкацiя 2-1-2) - рис. 2 а;
- прямокутний хвилевщ з центральносиметричною дiелектричною пластиною (модифжащя 1-2-1) - рис. 2 б;
- прямокутний хвилевщ з одшею дiелектричною пластиною бiля ву-зько! стiнки (модифiкацiя 1-2) - рис. 2 в.
с
а
б
в
Рис. 2. Частково заповнеш хвилеводи (а - модифжащя 2-1-2; б - модифжащя 1-2-1; в - модифжащя 1-2).
с
а
Вираз (6) справедливий лише для модифжацш 1-2-1 та 1-2. Отримае-мо вираз для геф у випадку модифжаци 2-1-2 тако!, коли пластини розта-
шованi на довшьнш вiдстанi вiд стiнок хвилеводу (рис. 3).
У
У1 + й---
У1 0
х2 + с а
Рис. 3. Частково заповнений хвилевщ з двома дiелектричними пластинами.
Використовуючи (3), отримаемо
/ 1 ( п(2 х1 + с) п(2 х2 + с) 1 + (б2 -е1) 1 —I соб—-—1-+ соб- 2 у
Б еф = Б1 +
, соб
2 ^ а
а
п гх
Б1пе-
2
г г
х У
/ п(х1 + х2 + с
Б1 + (Б2 - Б1) 1 - СОБ^--
I а
) п(х1 - х2) - соб——-—
х2 ) . п гх Бте- х
а
2
г г
хУ
(19)
2с й
де гх = — > гу = Ь ■ а Ь
Порiвнюючи отриманий вираз з (6) та (9), отримуемо вираз для множ-ника заповнення
П
п(х1 + х2 + с) п(х1 - х2 ) . п гх 1 - соб——-2-- • соб——-— • Б1пе- х
а
а
2
г г .
хУ
(20)
З урахуванням (20) вираз (19) набуде вигляду
Б еф = Б1 + (
Б + 18о - Б
:1 )П .
Для частинного випадку б1 = 1, б2 = бг з (21) маемо
Беф = 1 + (бг - 1)П.
(21)
(22)
Порiвнюючи мiж собою (22) та (9), робимо висновок про те, що щ ви-рази вiдрiзняються лише формою множника заповнення.
Ь
Остаточно для модифжацш 2-1-2, 1-2-1 та 1-2 (див. рис. 2) маемо
ееф = 1 + (ег - 1)П,
(23)
де вигляд множника заповнення п наведено в таблиц 1, за умови = 1, тобто заповнення по вузькш стiнцi повне.
Таблиця 1
Модифшащя ЧЗХ
2-1-2 1-2-1 1-2
п (1 - ига п гх ^х (1 + sinc п гх )Гх (1 - sinc2п гх )х
к 2с с с
а а а
Як приклад, на рис. 4 - 6 наведено залежност т^х) при рiзних зна-ченнях ег, причому суцшьт кривi вiдповiдають розв'язку дисперсiйних рiвнянь модифiкацiй 2-1-2, 1-2-1, 1-2 [2], а пунктирш - наближеному розв'язку (23), причому вс залежностi побудовано при таких значеннях , коли в ЧЗХ поширюеться лише хвиля основного типу.
а/ /Л = 0,7
/
/ ^^ У у Л4
/ /
9 / / / /
/\у > /О' е = 2
т 2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8 0.6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 /
Рис. 4. Залежшсть т(:х) для модифжаци 2-1-2 при ^ = 0,7
Рис. 5. Залежшсть m(tx ) для модифжаци 1-2-1 при ^ = О,7
Висновки
Анашз наведених залежностей дозволяе зробити наступнi висновки:
- з трьох розглядуваних модифжацш найкращу збiжнiсть зi строгим розв'язком мае модифжащя 1-2-1, дещо гiршу - модифжащя 2-1-2 i найгь ршу - 1-2;
- формула (23) дае систематично занижений результат, оскшьки не враховуе дiелектричного ефекту;
- розбiжнiсть строгого та наближеного розв'язюв збiльшуеться при збiльшеннi дiелектрично! проникност пластини (пластин) бг та коефщен-
та заповнення гх, а також збшьшення ^;
- особливютю модифiкацiй 2-1-2 та 1-2-1 е те, що похибка наближеного розв'язку мае мшмум на початку та в кшщ дiапазону значень гх i до-сягае максимуму приблизно в його середиш. Проте така тенденщя не спо-стерiгаеться для модифжаци 1-2. Максимальна вщносна похибка (див. рис. 4-6) при цьому не перевищуе
для модифжаци 2-1-2
2,6 % ( б г = 2, а/ Х = 0,7) та 13 % ( бг = 4, а/Х = 0,7); для модифжаци 1-2-1
2,7 % ( б г = 2, а/Х = 0,7) та 8 % ( б г = 4, а/Х = 0,7); для модифжаци 1-2
6,2 % ( б г = 2, а/ Х = 0,7);
- наближений розв'язок (23) можна використовувати замють точного при бг < 4 для модифжаци 2-1-2 та 1-2-1 та при бг < 2 для модифшаци 1-2.
В робот [1] для знаходження стало! поширення ЧЗХ використано ва-рiaцiйний метод. Формули, знaйденi за його допомогою, для нaйпростiших видiв апроксимаци, та формули (23) повнiстю зб^аються. В силу цього, враховуючи результати [1], наближений розв'язок (23) можна використовувати замють точного при бг < 5 для модифжацш 2-1-2 та 1-2-1 при будь-
яких значеннях гх (при гу = 1). При бшьших значеннях бг (до 10) можна
використати наведет в [1] формули для другого наближення. К^м цього, формула (23) дае крашд результати для тонких пластинок, паралельних ль шям електричного поля, причому при гу = 1 [1]. Знання бг , гх та гу дасть
змогу використати при розрахунках сталих поширення в ЧЗХ формулу (23), не розв'язуючи при цьому трансцендентш дисперсiйнi рiвняння.
Отже, отримано анал^ичш вирази для ефективно! дiелектрично! про-никностi Беф ЧЗХ з двома дiелектричним пластинами та узагальнено випа-
док однiе! дiелектрично! пластини при !х довiльному розташуванш, прони-кностях та розмiрaх. Шляхом введення множника заповнення п вираз для Беф приведено до спшьного виразу у виглядi (21) для рiзних модифiкaцiй
ЧЗХ, причому, другий доданок в (21) вщповщае збуренню порожнього хвилеводу дiелектриком та вщповщному приросту стало! поширення збу-реного хвилеводу.
Вираз (23) можна використовувати замють точного при вr < 5 для мо-дифiкацiй 2-1-2 та 1-2-1 при будь-яких значеннях tx (при ty = 1), при роз-
рахунках фазообертачiв, узгоджуючих трансформаторiв, тощо, а також ви-мiрюваннi д1електрично1 проникностi матерiалiв [8].
Лггература
1. Егоров Ю.В. Частично заполненные прямоугольные волноводы. - М.: Сов. ра-
дио, 1967. - 216 с.
2. Бергер М.Н., Капилевич Б.Ю. Прямоугольные волноводы с диэлектриками. -
М.: Сов. радио, 1973. - 256 с.
3. Мурмужев Б.А., Самородов В.В., Спиридонов О.П. Дисперсионные характерис-
тики металлодиэлектрических волноводов. // Радиотехника и электроника. -1999. Т.44, №2 - С. 157-165.
4. Капилевич Б.Ю., Трубехин Е.Р. Волноводно-диэлектрические фильтрующие структуры. Справочник. - М.: Радио и связь, 1990.- 272 с.
5. Почерняев В.Н., Скрыпник Л.В. Постоянная распространения частично запол-
ненного воловода // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1988. Т. 31, №5. - С. 6364.
6. Chukhov V.V. One method of propagation constants measurement // Proceedings of
the 4-th International Kharkov Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter, and Submillimeter Waves (MSMW'01). - Kharkov, Ukraine. - 2001. - V.2, p. 820-822.
7. Нарытник Т.Н., Бабак В.П., Ильченко М.Е., Кравчук С.А. Микроволновые тех-
нологии в телекоммуникационных системах. - К.: Техшка, 2000. - 304 с.
8. Чухов В.В. Модифшований метод вимiрювання параметрiв дiелектрикiв // Ма-
терiали VIII-l науково-техшчно! конференцп „Вимiрювальна та обчислюваль-на техшка в технолопчних процесах". - Хмельницький: Технолопчний унь верситет Подшля. - 2001. - С. 147-149.
Манойлов В.П., Чухов ВВ. Расчет волноводов с частичным диэлектрическим заполнением
Получено универсальное соотношение для расчета эффективной диэлектрической проницаемости частично заполненных волноводов с одной и двумя диэлектрическими пластинами.
Manoilov V.P., Chukhov V.V. Calculation of the waveguied with the shape dielectric fulfills.
Universe formula for calculations of the effective dielectric permittivity of the waveguied with the shape dielectric fulfills by one or two plate are received.
Надтшла до редакцИ 20 травня 2006року
