CC BY
26«C©yL©qyiym=J©yrMaL»#2î2â),2@19 / PEDAGOGICAL SGQIMGIS 53
УДК: 378.14
Танюхина В.В.,
Старший преподаватель кафедры «Математика и инженерная графика»
Шахвердова Е. О.
Старший преподаватель кафедры «Математика и инженерная графика» Военная академия связи, г. Санкт-Петербург, Россия
ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ РАЗДЕЛОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ВУЗЕ
Taniukhina V.,
Senior teacher of the "Mathematics and engineering graphics" pulpit
Shakhverdova E.
Senior teacher of the "Mathematics and engineering graphics" pulpit Military communications academy, Saint-Petersburg, Russia
CHARACTERISTICS OF STUDYING SPECIFIC AREAS OF HIGHER MATHEMATICS IN
UNIVERSITIES
Аннотация:
В статье обоснована необходимость применения тезаурусного подхода при обучении специальным разделам математики в вузах. Приведен тезаурус знаний высшей математики для изучения основ операционного исчисления.
Abstract:
The article justifies the necessity of applying a thesaurus approach while teaching specific areas of mathematics in universities. A higher mathematics information thesaurus is applied to research the basics of operational calculus.
Ключевые слова: образовательный процесс, специальные разделы математики, высшая математика, операционное исчисление, тезаурус.
Keywords: educational process, special sections of mathematics, higher mathematics, operational calculus, thesaurus
В данной работе авторами продолжено исследование трудностей, с которыми сталкиваются преподаватели и обучающиеся вузов при изучении специальных разделов высшей математики. Под специальными разделами высшей математики мы будем полагать отдельные разделы математики (например, теория вероятностей и математическая статистика, теория систем массового обслуживания, операционное вычисление, и другие), которые важны для расширенного использования математических методов в учебно-профессиональной деятельности студентов. Как было упомянуто в [1], к моменту изучения специальных разделов, что происходит обычно на старших курсах учебного заведения, студентам необходимо вспомнить определенный запас знаний и освежить набор навыков, изученных ранее в курсе высшей математике. Таким образом, для качественного освоения важного для учебно-профессиональной деятельности студентов материала, педагогу необходимо составить для каждой изучаемой темы минимальный тезаурус знаний. В данном исследовании представлен тезаурус знаний высшей математики для изучения основ операционного исчисления.
Операционное исчисление (ОИ) - одна из важнейших областей математики, методы ОИ используются в физике, механике, электротехнике и других науках при решении различных задач. Применяется для нахождения интегралов, решения дифференциальных и интегральных уравнений. В основе методов ОИ лежит идея интегральных преобразований (преобразование Лапласа), связанная с сопоставлением решению исходной задачи, функции /(£:) действительного переменного, некоторой
функции ,Р(р) комплексного переменного. Операции дифференцирования и интегрирования заменяются некоторыми алгебраическими операциями. В результате дифференциальное или интегральное уравнение заменяется алгебраическим. Находится алгебраическое решение, а по нему восстанавливается искомое решение уравнения.
Приведем пример определений, свойств, теорем операционного исчисления, для которых необходим тезаурус знаний высшей математики и представим этот тезаурус. Для полного изучения курса операционного исчисления следует обратиться к учебным пособиям, можно рекомендовать, например, [2].
Определение. Преобразованием Лапласа заданной функции /(£:) действительной переменной t называется преобразование, ставящее в соответствие функции /(£:) функцию ^(р) комплексного переменного р, определенную с помощью интеграла
J0ooe-^At)dt = F(p).
Здесь функция /(£:) - оригинал,
функция ,Р(р) - изображение по Лапласу.
Тот факт, что функция ,Р(р) является изображением оригинала /(О обозначают так: /(£) ^
Пр).
Определение. Комплекснозначная функция /(О вещественного аргумента t называется оригиналом, если:
1) /(0 = 0, при £ < 0;
при £ > 0 /(£:) является функцией ограниченного роста с показателем X (существует такое число М (зависящее от функции А, что |/(01 ^ МеЯ4,
54
PEDAGOGICAL SCIENCES / <<Ш11ШетУМ~^©УГМА1>>#2126)),2(0]9
t >0). Обозначается: f(t) E Tx, где Тл - пространство функций ограниченного роста с показателем X;
2) На любом конечном отрезке [a, b] положительной полуоси Ot функция f (t) удовлетворяет условиям Дирихле (ограничена; либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода; имеет конечное число экстремумов).
Теорема. Несобственный интеграл J e~pt ■ f(t)dt абсолютно сходится при всехр, удовлетворяющих условию Rep > X, если функция f(t) E Т Важнейшей областью применения операционного исчисления является решение дифференциальных уравнений. Приведем схему решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операторным методом Пусть требуется найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами
у(п) + а1у(п-1) + а2у(п-2)+... +ап-1у' + апу = f(t)
k(0)=yk, к = 0,1.....п-1 '
где /(О E Тл.
Решение ЛДУ с постоянными коэффициентами произвольного порядка осуществляется по алгоритму:
1) записываются изображения искомого решения, всех его производных и правой части;
2) применив теорему о дифференцировании оригинала, от ДУ переходят к алгебраическому уравнению;
3) находят решение алгебраического уравнения, которое является изображением решения ДУ;
4) по данному изображению находят оригинал, который и является искомым решением дифференциального уравнения.
Как можно видеть, необходимый тезаурус знаний для изучения «Основ операционного исчисления» базируется на следующих разделах высшей математики:
■ Комплексные числа
■ Основы интегрального исчисления (вычисление несобственных интегралов)
■ Дифференциальные уравнения
Тезаурус знаний для изучения раздела «Основы операционного исчисления» Комплексные числа Определение. Число вида z = а + b • i называется комплексным числом, где a, b - вещественные числа, i - мнимая единица, i = \1~1
z = а + Ъ • i - алгебраическая форма комплексного числа
z = г • (cosy + i • siny) - тригонометрическая форма комплексного числа
z = г • е19 - показательная форма комплексного числа
i _ ■ Формулы Эйлера: cosy = ~(el<p + е 1(р)
sincp =1(ei<P - е-1*)
г
J п
Основы интегрального исчисления (вычисление несобственных интегралов по неограниченному промежутку)
Определение. Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [а; ^ е [а; +го).Несоб-ственным интегралом от функции f(x) на промежутке [а; называется предел, к которому стремится интеграл /J f(x)dx при ц ^ +т.
о ^
f(x)dx = lim I f(x)dx
Определение. Несобственный интеграл
f(x)dx называется сходящимся, если существует конечный предел lim /v f(x)dx. Если же
ц^+ж а
/ f(x)dx не имеет конечного предела при ^ ^
то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Дифференциальные уравнения
Уравнение вида F(x,y,y') = 0 или у' = f(x,y), где х - независимая переменная, у - искомая функция, у' - ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка при заданном начальном условии у(х0) = у0 называется задачей Коши.
Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка ставится следующим образом: найти решение уравнения у" = f(x,y,y') при начальных условиях у(х0) = у0, у'(х0) = уг.
(у" = f(x,y,y')
Обычно пишут {у(х0) = у0
(yOtO = Уг
Функция у = ^(х,Сг,С2) называется общим решением дифференциального уравнения второго порядка, если:
1) при любых фиксированных Сг и С2 эта функция является решением данного уравнения;
2) решение любой задачи Коши с начальными
(У(х0) =Уо я
условиями j ,, . _ может быть представлено в
1-У (хо) = Уг
виде у = (р*(х, C2¡), где C2¡ некоторые постоянные из множества С, называемого множеством допустимых значений произвольных постоянных.
Задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
уЫ + агуСп-!) + й2У(п-2)+... +ап-гу' + апу = f(t) yk(0)=yk¡ k = 0,l.....П-1 '
где
аг,.. ап - постоянные коэффициенты
Список литературы
1. Танюхина В. В., Шахвердова Е. О. Применение тезаурусного подхода при обучении специальным разделам математики в высшей школе // Научно-практический электронный журнал Аллея Науки» №11(27), 2018
2. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: Еди-ториал УРСС, 2003. - 176 с. (Вся высшая математика в задачах.)
