Формирование тезауруса для изучения высшей математики в вузе Текст научной статьи по специальности «Математика»



УДК: 378.14

Танюхина В.В.,

Старший преподаватель кафедры «Математика и инженерная графика»

Шахвердова Е.О.,

Старший преподаватель кафедры «Математика и инженерная графика»

Военная академия связи, г. Санкт-Петербург, Россия РР1: 10.24411/2520-6990-2019-10197 ФОРМИРОВАНИЕ ТЕЗАУРУСА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ВУЗЕ

Taniukhina V.,

Senior teacher of the "Mathematics and engineering graphics" pulpit

Shakhverdova E.

Senior teacher of the "Mathematics and engineering graphics" pulpit

Military communications academy Saint Petersburg

FORMING TESAURUS FOR STUDYING HIGHER MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION

INSTITUTION

Аннотация.

В статье приведен тезаурус высшей математики для изучения теории рядов Фурье и интегралов Фурье.

Abstract.

The article presents a thesaurus of higher mathematics for studying the theory of Fourier series and Fourier integrals.

Ключевые слова: образовательный процесс, специальные разделы математики, высшая математика, ряды и интегралы Фурье, тезаурус.

Keywords: educational process, special sections of mathematics, higher mathematics, Fourier series and integrals, thesaurus.

Авторами в работах [1-2] был предложен к рассмотрению тезаурус, необходимый для изучения таких специальных разделов высшей математики, как «Марковские процессы» и «Операционное исчисление». В данном исследовании приведен тезаурус для освоения важнейшей темы курса высшей математики, изучаемой в техническом вузе: «Ряды и интеграл Фурье, преобразование Фурье».

Для исследования периодических процессов в науке и технике применяются математические методы, позволяющие описать поведение физической системы периодическими функциями. Задачу представления произвольной функции суммой гармонических функций (гармоник) называют гармоническим анализом этой функции. Для этого применяются ряд и интеграл Фурье. Ряд Фурье позволяет произвести разложение периодической функции на сумму бесконечного числа гармоник, частоты которых меняются дискретно, а интеграл Фурье дает разложение непериодической функции, заданной на всей числовой оси.

Приведем основные понятия, определения, теоремы, утверждения теории рядов и интегралов Фурье и связанный с ним тезаурус высшей математики.

Определение. Функция [(х) называется периодической с периодом Т, если она определена на всей действительной оси и для нее выполняется равенство: [(х + Т) = /(х) для всех х.

Определение. Гармоникой называется функция вида: у = АкБт(кх + фк), к = 0,1,2,.... Эта

функция определяет гармонические колебания с амплитудой Ак, фазой срк и частотой k.

Определение. Функциональный ряд вида

ж

+ ^ (ак cos кх + Ък sin к х)

к=1

называется тригонометрическим рядом, где постоянные а0, ак, Ък (к = 1,2,...) -коэффициенты тригонометрического ряда.

Определение. Система функций

1, cos х, sin х, cos 2 х, sin 2x,..., называется тригонометрической системой, ортогональной на отрезке [с, с + 2п] (в общем случае, на любом отрезке длины 2п).

Определение. Тригонометрический ряд

ж

а0 V-"

— + ^(ак cos кх + Ьк sin кх)

к=1

в котором коэффициенты определяются по формулам:

ао =1$с+2П f(x)dx ак = 1$ç+2nf(x) coskxdx (к = 1,2,...) Jjk = f(x) sin к xdx

называется тригонометрическим рядом Фурье функции [(х) в промежутке [с; с + 2п]. Коэффициенты ряда называются коэффициентами Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть функция [(х) периодическая, с периодом 2 л, удовлетворяет в промежутке [с; с + 2п] условиям:

1. [(х) непрерывна на [с;с + 2п] или имеет на этом промежутке конечное число точек разрыва 1-го рода;

2. [(х) монотонна на [с; с + 2п] или имеет на этом промежутке конечное число экстремумов; тогда ряд Фурье этой функции сходится в данном промежутке и сумма его равна:

1) /(х), в точках непрерывности этой функции;

2) ---в точках разрыва 1-го рода

(полусумме левого и правого пределов функции в этих точках);

3) ---на концах промежутка.

Определение. Если функция [(х) периодическая с периодом 21, то ряд Фурье в комплексной форме для [(х) будет иметь вид

/М = £

.kn

Сье1Тх

к=-ю

комплексные коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

Ck=1jl,f(x)e-1-Xdx, к = 0, ±1, ±2.....

.кж -—1—тх

21 I

S(<o)

Г+Ю

= I fix)

J-ю

е 1ШХйх

прямое преобразование Фурье функции f(x). Определение. Обратное преобразование Фурье

1 f

S((o)elo>tdt

Определение. Интеграл Фурье для функции f(x) представляется в вещественной форме:

^ г Ю ^Ю

f(x) = — I йш I f(t) cos — x)dt nJo J-ю

или

n Ю

f(x) = I [а(ш) cos ш x + Ь(ш) sinMx]dM

0

комплексной (показательной) форме:

юю

f(x) = — I da I f(t)eiw(x-t)dt

2™}-ю J-ю

и амплитудно-фазовой форме:

ю

f(x) = I А(ш) sin(ax + ф(ш)) da.

0

Определение. Функция Л(ш) =

^а2(ш) + Ъ2(ш) называется частотным спектром плотностей амплитуд (амплитудным спектром).

Определение. Спектральной функцией, или спектральной плотностью интеграла Фурье, называется выражение

Таким образом, в основе тезауруса для изучения темы «Ряды и интеграл Фурье, преобразование Фурье» положены следующие разделы математического анализа:

■ Теория рядов

■ Основы дифференциального исчисления

■ Основы интегрального исчисления

■ Комплексные числа

Для более полного представления об изучаемом материале авторы рекомендуют обратиться, например, к [3].

Тезаурус для изучения темы «Ряды и интеграл Фурье, преобразование Фурье»

Определение. Функции f(x) и д(х) называются ортогональными на промежутке [а,Ь], если скалярное произведение этих функций на данном

промежутке равно нулю (f,g) = J^ f(x) ■ g(x)dx = 0.

Определение. Система функций

l1(x), l2(x),..., ln(x),... называется ортогональной на промежутке [a; b], если все различные функции этой системы попарно ортогональны, т.е. (Ji, lj) = 0, i Ф j.

Теория рядов

Предполагая, что обучаемые владеют основами темы «Числовые ряды» рассмотрим основные понятия теории функциональных рядов.

Определение. Функциональным рядом называется формально написанная сумма

ю

X fn(X) = fl(X) + f2(x) + . ..+fn + -

n=1

бесконечного числа членов функциональной последовательности (fn(x)}.

При фиксированном значении х0 всякому функциональному ряду соответствует числовой ряд.

Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

По аналогии с числовыми рядами определяются частичные суммы ряда Sn(x) функционального ряда, предел которых при п ^ <х определяет сумму ряда (если существует). Очевидно, что сумма функционального ряда в области сходимости является функцией от х:

X

fn(x) = lim Sn(x) = S(x)

Основы дифференциального исчисления Определение. Если функция строго убывает

п=1

<<шушетим-ши©мак>>#Щ12)),2(

57

или строго возрастает на интервале [а; Ь], то ее называют монотонной на этом интервале.

Определение. Точка называется точкой строгого локального максимума функции у = Д(х), если она является внутренней точкой промежутка [а, Ь] и значение функции в данной точке больше, чем ее значения в некоторой окрестности этой точки. Точка называется точкой строгого локального минимума функции у = Д(х), если она является внутренней точкой промежутка и значение в данной точке меньше, чем ее значения в некоторой окрестности этой точки. Точки минимума и максимума функции у = Д(х) называются точками экстремума.

Определение. Функция у = ) называется непрерывной в некоторой точке если она определена в ней и в некоторой ее окрестности, существует предел функции в этой точке, равный значению функции в ней.

Определение. Точка х = х0 называется точкой разрыва функции у = ^), если эта функция определена в некоторой окрестности точки х0, а в самой точке х0 условие непрерывности нарушено.

Определение. Если в точке разрыва х0 f (го - 0) и f(x0 + 0) конечны, то точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода. Точки разрыва 1-го рода_подраз-деляют на точки устранимого разрыва и точки неустранимого разрыва.

Определение. Если в точке разрыва х0 хотя бы один из пределов ^0 - 0) или ^0 + 0) бесконечен или не существует, то точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода.

Основы интегрального исчисления (нахождение несобственных интегралов по неограниченному промежутку)

Будем считать, что обучаемые владеют основными навыками интегрирования (интегрирование элементарных функций, метод интегрирования по частям), поэтому здесь рассмотрим сведения о несобственных интегралах.

Определение. Пусть функция [(х) непрерывна на интервале [а; Несобственным интегралом от функции [(х) на промежутке [а; называется предел, к которому стремится интеграл f(x)dx при ^ ^

Г+Ж рЦ

I [(х)<х = Ит I [(х)<х

I п^+ж I

■>а 1 ^ а

Определение. Несобственный интеграл г(х)<1х называется сходящимся, если существует конечный предел II т [(х)<х. Если же

ц^+ж а

[(х)<х не имеет конечного предела при ^ ^ то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Комплексные числа Определение. Число вида г = а + Ь • I называется комплексным числом, где а, Ь - вещественные числа, I - мнимая единица, I = \1—1

г = а + Ь • I - алгебраическая форма комплексного числа

г = г • (соБф + I • эту) - тригонометрическая форма комплексного числа

г = г • е1р - показательная форма комплексного числа

1 _ ■ Формулы Эйлера: с оБф = ~(е1р + е 1<р)

Бтср =1(е1р - е-р)

Список литературы

1. Танюхина В. В., Шахвердова Е. О. Применение тезаурусного подхода при обучении специальным разделам математики в высшей школе // Научно-практический электронный журнал Аллея Науки» №11(27), 2018

2. Танюхина В.В., Шахвердова Е.О. Особенности изучения специальных разделов высшей математики в вузе // Со1^шш-_|оигпа1 №2(26), 2019

3. Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. - 544 с.