Основы теории сейсмостойкости подъемных сооружений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК [69+699.841](083.74)

А.В. Синелыциков, канд. техн. наук, доц., (8512) 62-62-11, laex@bk.ru (Россия, Астрахнь, АГТУ)

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЕЙСМОСТОЙКОСТИ ПОДЪЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ

Рассмотрен численный метод решения матричного уравнения сейсмических колебаний металлоконструкция грузооодъемных кранов как в линейной, так я в нелинейной постановке. Проанализированы недостатки нормативного метода расчета грузоподъемных кранов на сейсмостойкость согласно СНиПII-7-81*. Предложена вероятностная модель расчетного сейсмического воздействия.

Ключевые слова: динамический анализ, кран, сейсмостойкость.

Проблема проектирования грузоподъемных кранов в сейсмостойком исполнении сначала, по требованию МАГАТЭ, была сформулирована для кранов атомных электростанций [1], позже, для сейсмических зон СНиП II-7-81*. В равитие данной проблемы [2, 3], автором настоящей работы в [4] было предложено матричное уравнение сейсмических колебаний кранов

[М\УЦ)} +[C]{V(t)} + [K ]{V (t)} + {R(V (t), V(t))} = {P}, (1)

где [М, С, К] - матрицы масс, демпфирования и жесткости; {V} - вектор перемещений (и его производных); {P} - вектор нагрузок:

{D} = {Dco} -[ М ]A(t ){cos}, (2)

где 1-е слагаемое - вектор статических нагрузок; A(t) - акселерограмма землетрясения; {cos}, - вектор направляющих косинусов разложения сейсмического воздействия по осям общей системы координат. Кроме того в (1) {R(V(t),V(t))} - вектор нелинейных силовых факторов, - усилий в демпферах, силы трения заторможенных ходовых колес о рельсы и др.

В качестве способа интегрирования системы сейсмических уравнений движения (1) предложен жестко-устойчивый метод Гира в виде формул дифференцирования шзад [5], позволяющий контролировать знак df /dyна каждом шаге интегрирования и эффективно строить агоригмы

интегрирования системы дифференциаьных уравнений (1). Согласно метод Гира конечно-элементные уравнения движения (1) расчетнодинамических моделей кранов (РДМ) с учетом (2) с n степенями свободы преобрауются в систему порядка 2n вида

^М,_. ....1, (3.

"[E] [0]" , L " [0] [ E] "

_[0] [М ]_ 1Г Г _-[к ] -[с ]_

где [E] - единична матрица.

Или (3) в свернутом виде

[£]{У} = [Б]{¥] + {Н} . (4)

В отличие от одношаговых методов в (3) нет необходимости вычислять обратную матрицу масс [І]-1, что существенно сказывается на точности получаемых при этом результатов. Решение уравнения (3) будем искать в виде итерационного сходящегося процесса

2 (0)_ р2 • п _ п-1’ (5)

2„{у+1)_()-іжр(г™) ,

где 2^ - вектор Норд ста [5], который представлен в транспонированном (Т) виде

~\Т

{У}п, И{У}п 2{У}п ,...,1 ьк {У (к)}п (6)

2 к! ] .

В (5) и (6) к - порядок метода Гира; Р - треугольна матрица Пас-

гГ

кая [5]; І - вектор вида {І} = {/о,/р...,/к } с постоянными коэффициентами, зависящими от порядка к метода Гира.

Кроме того, в формуле (5) Р(2^))- функция невязки

р (2^ Ъ _№ (хп ,({У}п)«) -к({У}”)(у>, (7)

в которой ({У}п)(у)) и ({У}п)(у) - решения, полученные на у-м шаге итерации, а Ж - итерационна матрица вида

Ж = ((^ (2П))/Ж)І)- . (8)

Если права часть уравнения движения (4) линейна, т.е. \я(У,¥} в (1) равно нулю, то итерационный процесс (5) сходится за одну итерацию, в противном случае требуется от трех до пяти итераций. Укажем, что метод Гира имеет средства контроля погрешностей вычислений на каждом шаге, что позволяет строить адаптивные вычислительные процессы с автоматическим выбором шага интегрирования и порядка метода интегрирования. Кроме того, он позволяет решать как линейные, так и нелинейные задачи динамического анализа, причем учет нелинейных характеристик в системе (3) поводится в векторе |К(К,¥}. В случае, когда задача решается в линейной постановке и вектор \^КУ,У} отсутствует, нахождение решения (3) существенно упрощается, т.к. нет необходимости вводить специавные вычислительные процедуры учета нелинейных явлений и пересчитывать динамические матрицы [М С, К] в (1), как это делается при использования метода интегрирования уравнений движения в нормаьных координатах.

С учетом изложенного метода динамического анализа (МДА) сейсмостойкости пространственных металлоконструкций кранов, автором установлено [6], что СНиП 11-7-81*, основывающийся на плоской задаче ли-нейно-спектраьного метода (ЛСМ) теории сейсмостойкости сооружений, не может быть в чистом виде применен для сейсмического анаиза кранов по трем главным причинам:

а) СНиП 11-7-81* не позволяет анаизировать пространственную работу конструкции крана;

б) сейсмические коэффициенты динамичности (СКД) СНиП 11-7-81* получены для сооружений с логарифмическим декрементом затухани колебаний 8 >0,5, в то время как для кранов он составляет не более 0,15

(рис. 1);

в) СКД СНиП 11-7-81* слева ограничен собственной частотой сооружений не более 10 Гц (период Т=0,1 с), в то время как для металлоконструкций кранов частоты на частотной оси должны учитываться по крайней мере до 30 Гц (см. рис. 1).

,скд

/ —А

д

X ч

7 ч ^\\

'Ч>!

\£-

,4 4/ 5/

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 7.0 10 20 М"ц 50

Си52 Г25 114 ^28 12*56 4196 Й8 125.6 ©рад/с 314

Рис. 1. Сейсмический коэффициентдинамичности при различных декрементах колебаний для регионов со средними сейсмическими условиями согласно СНиП 11-7-81* [6]:

1 - дз=0,0314, £=0,005; 2 - 3=0,125, £=0,02; 3 - 3=0,314, £=0,05;

4 - 3з=0,628, £=0,1; 5 - 3=0,942, £=0,15; 6 - СКД СНиП 11-7-81* 3=0,5 для грунтов I и II категории по сейсмическим свойствам;

7 - СКД СНиП 11-7-81* 3=0.5 для грунтов III категории по сейсмическим свойствам

Сущность способа устранения указанных недостатков ЛСМ СНиП II-7-81* была предложена авторами работы [7], где учтено, что в основе ЛСМ лежит представление о рассчитываемой динамической системе крана как о совокупности независимых осцилляторов, частоты колебаний которых совпадают со спектром собственных частот системы. После чегореак-ция рассчитываемой системы крана на сейсмические колебания земли определится как сумма максимальных реакций составляющих ее осцилляторов. Для этого рассмотрим вынужденные сейсмические колебания недемпфированной системы с n степенями свободы:

[M ]{V}+[K ]{V}=-[M ]A(t), (9)

где [M] и [K] - матрицы масс и жесткости металлоконструкции крана; A(t) - вектор сейсмического воздействия (СВ), заданный акселерограммой. Демпфирование в (9) должно быть учтено после перехода к нормальным координатам на уровне сейсмического спектра ответа (ССО). В качестве нового базиса для решения (9) выберем собственные векторы, полученные для динамической системы РДМ крана из уравнений свободных колебаний, получаемых обнулением правой части (9). Связь между обобщенными координатами {V} и нормальными координатами {¥} определяется соотношением [1, 4]:

{V} = [0]{у} , (10)

где матрица [Ф] содержит в качестве столбцов собственные векторы (формы колебаний) {фг}. Подставим в (9) выражение (10) и его вторую производную, после чего умножим слева полученное уравнение на транспонированный вектор m-й формы колебаний

(фш!г [ M ][0]{у} + {фт }T [K ][0](у} = -{фт }T [M ]{A(t)}. (11)

Согласно условиям ортогональности, доказанным Рэлеем, незави-

симое уравнение (11) по m-й форме колебаний примет вид

Mm f + Kmy = --yT [M ]{A(t)}, (12)

где M и K - модальные масса и жесткость соответственно, m m

Mm =m }T M^m,}; Km ={*JT[ ^m, > (13>

Выражение в павой части (12) может трактоваться как доля нагрузки, вызывающа сейсмические колебания сооружения по m-й форме. Если СВ представим в виде

{A0(t)} = A0(t ){cos}, (14)

где {cos}- вектор направляющих косинусов, то уравнение (12) с учетом затухания примет вид

у+2Z ю у+ю2 y = -D A(t) , (15)

Y^m^Y^Y m 0w

г\

где &т - собственна частота колебаний осциллятора: ют = кт1мт ;

С,т = 0,2 ^0,4 - коэффициент относительного демпфирования несущих

систем кранов, связанный с логарифмическим декрементом затухания колебаний 8^ РДМ кранов зависимостью

(2 п)2 + 52

0,5

= 5^ 12 п

Далее в (15) Эт = {Фф [М]{соб}/М- коэффициент влияния-

величина постоянная для т-й формы колебаний РДМ крана. Вводя новую независимую переменную у, такую, что

у = В у, (16)

т у 7

выражение (15) можно записать в виде уравнения движения осциллятора с единичной массой, совершающего вынужденные колебания под действием сейсмической нагрузки, заданной акселерограммой землетрясения - А(г):

у+ 2£ ю у+ ю2 у = -Ап(г). (17)

Поскольку сейсмические нагрузки по своей природе являются

инерционными нагрузками, для ж определения необходимо знать абсолютные ус кореня земли. Для многомассовых систем кранов сейсмические нагрузки определяются вектором

{£(г)}т = [М]{у (г)} , (18)

где {V (г)}- вектор абсолютных ускорений земли в обобщенных координатах. Учитыва (12) и (18), вклад от т-й формы колебаний конструкции крана в расчетную сейсмическую нагрузку (18) может быть представлен в виде

{«(»)}т = [М ]{Фт }Отуа, т (г). (19)

Здесь уа т(г) - абсолютное ускорение т-го осциллятора, испытывающего воздействие - у (г) из (14). Принципиально важным моментом в развитии

ЛСМ СНИП ІІ-7-81 * является переход от динамической задачи (19) к ква-зистатической, что осуществляется заменой временной функции уат (г) в (19) на постоянную величну уа т(г), котора представляет собой макси-

маьную реакцию осциллятора с частотой ют на СВ, заданное акселерограммой -А0(г) (см. (14)). Величину у (г) в (19) можно получить из

о а ,

ССО для заданной акселерограммы (рис. 2), поэтому расчет т-й сейсмиче-

ской силы в соответствии с ЛСМ может быть осуществлен с использованием спектра ответа по формуле

Ш = [МфЫЖ(ш ,с ),

т

т

т т

(20)

где Ж(шт,Ст) - отсчёт сейсмического спектра ответа с затуханием ^т на

частоте шт, построенного для акселерограммы ~А0(?). При этом

у ($) = Ж(ш , £ ) . Если исходна акселерограмма (14) задана трехком-

а,

понентным воздействием по направлениям пространства X, У и 7, что чаще всего имеет место на практике, расчетная сейсмическая сила по т-й форме колебаний конструкции крана может быть вычислена по формуле

[м ]{фт}

{^}т =[ М ]{фт}--------------т

Т

[м ]{Фт}Т {Фт}

ЛЖ(® ,Є)}

т ■'т'

(21)

где {Ж(шт,С,т)} - вектор порядка п, построенный на основе трехкомпо-ненгного ССО

{Ж(Ф , С )}

1 4 т т' ’

{Ж (ф £ ),ж (ф , с ),ж (ф ),о,0,0,0}:

1 хчгт,ът/5 учгт,ът/5 г^т’^т7’ ’ ’ ’ Ч

Т

Т

{Ж (ф ,С ),Ж (ф ,С ),Ж (ф ,С ),0,0,0,0}

1 хх т ту ух т ту т ту }ы

. (22)

Фактически в рамках ЛСМ в настоящей работе вводится понятие вектора квазистатических расчетных сейсмических сил [$}т (20), который

характеризуется тем, что при приложении эквивалентного ему вектора статических сил конструкция крана получает сейсмические смещения {V}т,

определяемые из условия статического равновесия

К ]^ }т ={51т • (23)

Используя полученный вектор смещений из (23), согласно теории метода конечных элементов (МКЭ) определяются внутренние усилия {^0ху2 в каждом конечном элементе (КЭ) ]к расчетной модели конструкции крана по т -й форме колебаний по формуле

0 xyz

[Т ]12 х12[у}т

Л

0 Х72

(24)

где [Т]12х12 - матрица преобразования из общей в местную системы координат «ОСК^-МСК» [1, 4]; [к' - матрица жесткости КЭ 'к; [у' - век-

oxyz т

тор перемещений узлов в' и к КЭ 'к, выделенный из вектора [V }т, получаемого после решения (23) в ОСК.

Результирующие внутренние усилия от действия сейсмических сил должны быть получены суммированием векторов (24) для всех учитываемых форм колебаний. Однако их значения для разных собственных форм достигаются в различные моменты времени, которые не могут быть определены в рамках ЛСМ. Поэтому суммарные расчетные сейсмические силы

[0} определяют с помощью эмпирических формул, установленных с помощью сопоставления расчета по ЛСМ и методом динамического анализа (МДА) на акселерограмму [9, 10].

В рамках ЛСМ принимаются наихудшие условия нагружения, которые получаются при совпадении направления действия статических эксплуатационных и расчетных сейсмических нагрузок (29) либо (30). Поэтому для каждого КЭ 'к суммарные внутренние усилия вычисляются по формуле

[0} =[0}5 + Я£п(0}у) -0}5 . (25)

Теперь становится очевидным, что для завершения построения а-горитмов как МДА, так и ЛСМ требуется обоснованна математическа модель входного СВ. Для МДА требуется, как правило, трёхкомпонентна акселерограмма, причем реаьна акселерограмма может быть принята по бае данных ГИПРОТИС’а [8], синтезированна - по нормам [9]. В случае затруднений, проектировщик может построить на нормативном уровне вероятностно-статистическую акселерограмму (ВСА) [6] и повести для нее оценочный спектраьный анаиз, - для установления ее соответствия основополагающим характеристикам сейсмического районирования.

В заключение укажем, что автор располагает оцифровками ВСА

7, 8 и 9 балов (б) по шкае ЫБК-64, где, в качестве примера, график гори-зонтаьных (X, У) и вертикаьной (7) компонент ВСА 7 б покаан на рис. 2 а, б.

й,(/), м/с2 £(»), м/с*

0 2 4 6 8 Г, с 0 2 4 6 8 /,с

А б

б г

Рис. 2. Сейсмическое воздействие 7 б по шкале М8К-64: а, б- график горизонтальных (X, У) и вертикальной (I) компонент; в, г- горизонтальный (X, У) и вертикальный (I) ССО: 1 - полученный по (33) обобщенному ССО; 2 - ССО ВСА [6]; 3 - ССО синтезированной акceлeрограммыСА-482 [9]; 4 - обобщенный ССО для кранов АЭС [10]

Кроме того, на рис. 2 в, г представлен сравнительный анаиз моделей ССО, полученных как автором, так и используемых в расчетной практике проектирования сейсмостойкого машиностроительного оборудования.

Список литературы

1. Панасенко НН. Динамика и сейсмостойкость ПТО атомных станций. - Дисс. ... д-ра. техн. наук: в 2 кн. Кн. 1. - Новочеркасск: НГТУ, 1992. 475 с.

2. ПБ 10-382-00. Правила устройства и безопасной эксплуатации грузоподъемных кранов.

3. НП-043-03. Требования к устройству и безопасной эксплуатации грузоподъемных кран°в для объектов использования атомной энергии.

4. Синелыциков А.В. Динамика и сейсмостойкость мостовых кранов: Дис. ... канд. техн. наук. Астрахань: АГТУ, 2000. 276 с.

5. Арушанян А.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. 336 с.

6. Котельников В.С. Н.Н. Панасенко, А.В. Синелыциков. Разработка модели землетрясений в расчетном анализе сейсмостойкости подъемных сооружений // Безопасность труда в промышленности, 2007 / №9. С. 42-46.

7. Линейно-спектральная теория сейсмостойкости пространственных конструкций башенных кранов / Н.Н. Панасенко, [и др.]. // Образование, наука и практика в строительстве и архитектуре. Матер. междун. на-учно-практ. конф. 11-12 октября 2007 г. Астрахань. Астрахань: Мин-во образования и науки Астраханской обл., АИСИ, 2007. С. 144-148.

8. Материмы для экспериментального проектирования и технических исследований сейсмостойких сооружений / ГИПРОТИС Госстроя СССР. Таблицы ускорений грунта прошедших землетрясений интенсивностью 7 и 8 баллов. М., 1961, вып. 1. 200 с.

9. РТМ 108.020.37-81. Оборудование атомных энергетических установок. Расчет на прочность при сейсмическом воздействии.

СПб.: Минэнергомаш, НПОЦКТИ, 1981. 37 с.

10. ПНАЭ Г-002-86. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок. М.: Энергоатомиздат, 1989. 525 с.

A.Sinelschikov

Bases of the theory of the seismic stability of lift construction

Is proposed the numerical method of solving the matrix equation of the seismic fluctuations of the metal structures of cranes both in the linear and in the nonlinear setting. Are analyzed deficiencies in the normative method of calculation of cranes to the seismic stability according to SNIP (Construction norms and regulations) II-7-81*. The probabilistic model of calculated seismic action is proposed.

Получено 07.04.09