CC BY
44
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 296-298
УДК 621.833
ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ИЗНАШИВАНИЯ ЗУБЧАТОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
© 2011 г. С. С. Резников
Санкт-Петербургский госуниверситет информационных технологий, механики и оптики
stanich@mail.ru
Поступила в редакцию 16.05.2011
Рассматривается возможность построения математической модели изнашивания зубьев в передаче. Указаны допущения, при которых будет проводиться создание модели.
Ключевые слова: зубчатое колесо, износ, зубчатое зацепление, математическая модель, упруго-статическая модель.
Введение
Статистический анализ показывает, что основной причиной выхода из строя машин и механизмов является не их поломка, а износ подвижных сопряжений. Выход из строя вследствие изнашивания наиболее характерен для механизмов и устройств, работающих в различных отраслях промышленности. Они работают в средах, загрязненных абразивными частицами, в условиях либо ограниченной смазки или вообще без смазки (смазывание осуществляется однократно, в момент сборки). Несмотря на то, что износостойкость является основным показателем работоспособности таких механизмов, их проектирование базируется, в первую очередь, на прочностных расчетах. Расчеты на износ производятся крайне редко и имеют недостаточное методическое обеспечение.
Отсутствие достаточно обоснованных методик расчета передач на износ связано со сложностью математического моделирования изнашивания зубчатого зацепления. Его описание требует анализа различных процессов, зависящих от большого числа параметров, характеризующих свойства материалов колес, условия работы передачи, макро- и микрогеометрию взаимодействующих поверхностей, кинематику зацепления.
Предположения и допущения
Изнашивание, по своей природе, — процесс непрерывного изменения формы взаимодействующих поверхностей. Поэтому математическая модель изнашивающегося зубчатого зацепления должна учитывать непрерывное изменение фор-
мы зубьев и вызываемое им изменение силовых и геометро-кинематических показателей передачи.
Рассматривается процесс изнашивания цилиндрической прямозубой передачи. Для ее описания используются многие положения упруго-статической модели, успешно применяемой при синтезе приближенных зацеплений [1, 2]. В соответствии с этой моделью предполагается:
— все зубья геометрически одинаковы и равномерно распределены по ободу колеса;
— контакт зубьев осуществляется по активным поверхностям;
— под нагрузкой зубья колес деформируются и их упругие свойства одинаковы;
— пластические деформации отсутствуют.
Дополнительно приняты следующие допущения:
— зубья каждого колеса изнашиваются одинаково;
— условия работы передачи считаются неизменными;
— к выходному валу приложен постоянный момент сопротивления;
— шестерня вращается с постоянной угловой скоростью;
— износ считается достаточно малым, чтобы можно было не учитывать изменение упругих свойств зубьев;
— трение в зацеплении не учитывается.
Построение модели
Эволюционный подход к моделированию основан на том, что процесс изнашивания разбивается на ряд шагов. Приращение наработки
Ап на каждом шаге выбирается настолько малым, что условия изнашивания в его пределах можно считать постоянными. Тогда приращение износа АН* в любой г-й точке профиля с достаточной степенью точности выражается уравнением:
АН = Ап. (1)
Износ эквивалентен перемещению точки по нормали к поверхности трения (рис. 1). Поэтому если нам известны координаты достаточно большого (т) числа точек, задающих профиль зуба в начале шага изнашивания {х* ,у*} то их координаты {х/, у/ } в конце этого шага равны:
4 = X/ + ^вх Ап у/ = у/ + Ап, (2)
где вх , вгу — проекции орта нормали на оси координат.
Координаты точек { х*, у * } определяют новую форму профилей зубьев. Для продолжения моделирования процесса в каждой их этих точек необходимо найти новые значения ортов нормалей и аргументов функции интенсивности изнашивания, то есть, нагрузку, радиусы кривизны и скорости общей точки по профилям зубьев шестерни и колеса. Это производится в ходе решения обратной задачи теории зацепления. Поэтому алгоритм решения обратной задачи при точечном задании профилей зубьев является основой любой эволюционной модели процесса изнашивания зацепления.
В классической постановке обратной задачи профили зубьев считаются заданными аналитически, в виде функций или систем уравнений, описывающих инструмент и станочное зацепление. Следовательно, первым этапом ее решения в нашем случае должен быть переход от координатного к аналитическому описанию профилей изнашивающихся зубьев.
При моделировании удобно задаваться шагом износа АН, равным приращению износа в точке с максимальной интенсивностью изнашивания 3т.
Шаг наработки и шаг износа связаны уравнением
Ап = АН /3т. (3)
С точки зрения математики изложенная модель представляет собой численное решение в каждой /-й точке профиля с радиусом-вектором г* задачи Коши для дифференциального уравнения:
г/ = 3,е,. (4)
Способ решения соответствует методу Эйлера, который обеспечивает первый относительно Ап порядок точности. Если на каждом шаге производить уточнение координат точек изношенного профиля по формулам:
Х/ = X +1(3 гвх + )An,
у/ = уг +1( 3гвгу + )An,
где 3* , е* — интенсивность изнашивания и орт нормали для профиля, координаты точек кото -рого предварительно рассчитываются по уравнениям (2), то способ решения будет соответствовать модифицированному методу Эйлера, ко -торый обеспечивает второй порядок точности.
Список литературы
1. Гуляев К.И., Рязанцева И.Л. Профильная модификация зубьев колес эвольвентной цилиндрической передачи с учетом деформации зацепления // Изв. ву -зов. Приборостроение. 1981. №5.
2. Гуляев К.И., Черный Б.А. Упругая модель в задаче синтеза приближенного зацепления. В кн.: Теория и расчет передаточных механизмов. Хабаровск: Изд-во ХПИ, 1973. С. 20—25.
THE FUNDAMENTALS FOR CONSTRUCTING AN EVOLUTIONARY MODEL OF WEAR PROCESS OF TOOTHING
S.S. Reznikov
A possibility of constructing a mathematical model of wear of teeth in the transmission is considered. The assumptions for creating such a model are specified.
Keywords: gear, wear, toothing, mathematical model, elasto-static model.
