Модель изнашивания зубчатых колес, учитывающая эволюционный характер процесса взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

УДК 531.01, 621

DOI 10.21685/2072-3059-2017-3-9

М. Г. Акопян

МОДЕЛЬ ИЗНАШИВАНИЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС, УЧИТЫВАЮЩАЯ ЭВОЛЮЦИОННЫЙ ХАРАКТЕР ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Аннотация.

Актуальность и цели. Математическая модель взаимодействия пары зубчатых колес, учитывающая процесс изнашивания в зубчатой паре, вызванный трением при взаимодействии зубьев, обладает высокой точностью и пригодна для использования в целях ресурсных испытаний зубчатых колес. Представленная модель позволит значительно сократить затраты на многочисленные этапы испытаний вновь разрабатываемых элементов зубчатых зацеплений. Цель работы - описание математической модели сопряжения зубчатых колес, учитывающей эволюционный характер взаимодействия.

Материалы и методы. Исследование математических моделей взаимодействия зубчатых колес производилось методом научного познания. В основе описанной математической модели взаимодействия зубчатых колес, учитывающей процессы трения и изнашивания, лежит метод моделирования.

Результаты. Произведено описание эволюционной математической модели зубчатой пары. Предлагаемая модель обладает достаточной для использования в целях ресурсных испытаний точностью, что поможет значительно сократить временные и материальные затраты на натурные испытания разрабатываемых зубчатых колес.

Выводы. Приведенная математическая модель взаимодействия зубчатых колес, учитывающая эволюционную природу процессов взаимодействия, обладает высокой точностью, что позволяет рекомендовать его для внедрения в специальное программное обеспечение, используемое при испытаниях, замещающих натурные.

Ключевые слова: зубчатое колесо, зубчатая пара, зубчатое зацепление, изнашивание зубчатых колес, математическая модель зубатого колеса, математическая модель зубчатой пары, двухпарное зацепление, нагрузка в зацеплении, трение в зубчатом зацеплении.

M. G. Akopyan

GEARS WEARING SIMULATION TAKING INTO ACCOUNT THE EVOLUTIONARY NATURE OF INTERACTION

Abstract.

Background. A mathematical model of gears interaction, taking into account toothed gear wearing caused by friction during teeth interaction, has high accuracy

and is suitable for resource testing of gears. The model will significantly reduce the cost of many testing stages of newly developed elements of gearing. The purpose of the study is to describe a mathematical model of toothed mating gears, taking into account the evolutionary nature of interaction.

Materials and methods. The research of mathematical models of gears interaction was carried out by the method of scientific knowledge. The described mathematical model of gears interaction is based on the simulation method, taking into account friction and wearing.

Results. The article describes an evolutionary mathematical model of a pair of toothed gears. The proposed model has enough precision to be used to test the accuracy of resources that can help significantly reduce the time and material costs for full-scale testing of gears under development.

Conclusions. The given mathematical model of gears interaction, taking into account the evolutionary nature of interaction, is highly accurate and can be recommended for introduction into special software intended to be used in less resource consuming tests than full-scale tests.

Key words: toothed gear, a pair of toothed gears, gearing, wearing of gears, gearwheel's mathematical model, double-tooth contact, gearing friction.

Введение

Современные механизмы и машины содержат в себе множество подвижных сопряжений, значительная часть которых представляет собой зубчатое зацепление. Этот вид механического сопряжения используется практически во всех сферах деятельности человека. Зубчатое зацепление применяется в технических средствах, используемых на земле, под землей, в воздухе, под водой, в космосе и т. д.

В современной науке вопросы долговечности элементов зубчатых сопряжений зачастую остаются без должного внимания. Также следует отметить большие временные и материальные затраты, необходимые для проведения испытаний на надежность и долговечность. В этой связи большое значение имеет применение моделирования зубчатого зацепления, которое способно значительно ускорить, упростить и удешевить ресурсные испытания.

Причиной выхода из строя элементов зубчатых зацеплений в большинстве случаев является износ, вызванный процессами трения. По этой причине моделирование зубчатого зацепления должно учитывать процессы трения поверхностей в зубчатых парах, а также вызванные ими изменения геометрических форм колеса и шестерни. Математические эволюционные модели зубчатого зацепления имеют большую практическую значимость как в вопросах теоретического исследования свойств материалов и технологий, так и в сфере практического применения и производства элементов зубчатого зацепления.

Целью данной работы является описание математической модели сопряжения зубчатых колес, учитывающей эволюционный характер взаимодействия.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач: произвести описание модели, описать методику решения, описать математическое представление геометрических параметров зубчатого зацепления, описать процессы в зубчатом зацеплении.

1. Описание модели

Моделирование цилиндрической прямозубой передачи во многих аспектах основывается на положениях упруго-статической модели. Принятые дополнительные допущения:

- зубья каждого колеса изнашиваются одинаково;

- условия работы передачи считаются неизменными;

- к выходному валу приложен постоянный момент сопротивления;

- шестерня вращается с постоянной угловой скоростью;

- частота вращения шестерни достаточно мала, чтобы динамическими нагрузками, обусловленными неравномерностью вращения колеса, можно было пренебречь;

- износ считается достаточно малым для игнорирования изменения упругих свойств зубьев;

- трение в зацеплении не учитывается.

В основе эволюционного подхода к моделированию лежит деление процесса изнашивания на ряд шагов. Изменение наработки Ап на каждом шаге выбирается настолько малым, что в его пределах условия изнашивания можно считать постоянными [1]. Отсюда следует, что приращение износа АН7 можно считать постоянным и в любой 7-й точке профиля с достаточной степенью точности можно выразить уравнением

ДН7 = 17 •Ап, (1)

где 17 - интенсивность изнашивания в 7-й точке профиля.

Износ эквивалентен перемещению точки по нормали к поверхности трения (рис. 1), и при известных координатах достаточно большого (т) числа

точек, задающих профиль зуба в начале шага изнашивания {х., у. }г._т , их ко-

Н'4: '

11 =m

ординаты в j x'f,yi [ конце этого шага равны:

x1 = xi + Ii ■ eix -Лп; ...

h .

У1 = У1 + Ii ■ eiy

где e1x, e1y - проекции орта нормали на оси координат; Ii - интенсивность изнашивания.

г h h] i=m

Координаты точек j , yt !• определяют новую форму профилей L J 1=1

зубьев. Дальнейшее моделирование процесса в каждой из этих точек требует поиска новых значений ортов нормалей и аргументов функции интенсивности изнашивания, т.е. скорости, нагрузки и радиусы кривизны общей точки по профилям зубьев зубчатого зацепления. Это осуществляется при решении обратной задачи теории зацепления. Отсюда следует, что в основе всех эволюционных моделей процесса изнашивания зубчатого зацепления лежит алгоритм решения обратной задачи при точечном задании профилей.

Классическая постановка обратной задачи основывается на аналитическом задании профилей зубьев в виде функций или систем уравнений, опи-

сывающих инструмент и станочное зацепление [1]. Следовательно, первый этап решения этой задачи - это переход от координатного к аналитическому описанию профилей изнашивающихся зубьев.

Рис. 1. Математическая модель процесса трения

Для удобства и упрощения моделирования задается шаг износа АН, равный приращению износа в точке с максимальной интенсивностью изнашивания 1т.

2. Методика решения задачи

Решение задачи на каждом шаге изнашивания включает следующие этапы:

1. Переход от точного к аналитическому заданию профилей.

2. Решение обратной задачи в окрестности каждой точки профилей, определение ортов нормалей и геометро-кинематических показателей.

3. Определение нагрузки в контактных точках для зон однопарного зацепления и упругого пересопряжения зубьев.

4. Определение интенсивностей изнашивания I{ и шага наработки Ап .

5. Расчет координат точек изношенных профилей.

Профили исходного зацепления задаются наборами попарно сопряженных точек: 7-я точка профиля зуба шестерни в процессе передачи движения контактирует с 7-й точкой профиля зуба колеса. За шаг изнашивания каждая точка перемещается по нормали к соответствующему профилю на величину износа АН7, не превосходящую заданный шаг износа АН. Контактирующие между собой точки профилей после шага износа перестают иметь общую точку контакта, они становятся несопряженными (квазисопряженными) [2]. При решении обратной задачи в окрестности каждой пары квазисопряженных точек отыскивается пара сопряженных точек. Их координаты в конце шага изнашивания вновь становятся координатами квазисопряженных точек.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион 3. Используемые системы координат

При исследовании плоских зацеплений будем применять следующие системы координат: подвижные ^1(х1, _у1), 52(х2, у2), жестко связанные с шестерней и колесом, и неподвижную систему координат (х, у) (рис. 2). Оси о1, х1 и о2, х2 подвижных систем являются осями симметрии зубьев исходной передачи. Отсчет углов поворота шестерни (а1) и колеса (а2) производится по направлению стрелок.

Рис. 2. Применяемые системы координат

Для упрощения переходов от одной системы координат к другой используются однородные координаты. Матрицы перехода имеют вид

M01 =

sin Ф1 cos Ф1 0 - cos Ф1 sin Ф1 0 0 0 1

(3)

M 02 =

- sin Ф2 cos Ф2 0 -cos Ф2 - sin Ф2 0 0 0 1

(4)

M21 =

008

(Ф1 +Ф2) - sin (Ф1 +Ф2) aw sin (Ф2) (Ф1 +Ф2 ) -aw cos(Ф2)

sin (Ф1 +Ф2 ) 0

008

(5)

M12 =

cos(Ф1 +Ф2) sin(Ф1 +Ф2) aw sin(1) - sin (Ф1 +Ф2) cos (Ф1 +Ф2) aw cos (Ф2)

(6)

1

xi eix

п = Л ; ni = eiy

1 1

Радиус-вектор точки Г и свободный вектор ё{ будем отождествлять с матрицами-столбцами:

(7)

где х{,у{ - координаты точки в системе «; %, ву - проекции орта нормали.

Введем дополнительные подвижные системы координат и 52* с осями, параллельными системам и «2 (рис. 3). Это уменьшает погрешность вычисления величин изнашивания профилей на одном шаге. Системы и «2 применяются при решении обратной задачи. Матрица перехода от систем «■* к имеет вид

M и* =

1 0 Хо 0 1 Ло 0 0 1

(8)

Рис. 3. Дополнительные системы координат

4. Задание геометрических параметров профилей наборами точек

Обратная задача в окрестности каждой пары квазисопряженных точек может быть решена, если известны радиусы кривизны профилей и положение ортов нормалей в этих точках. Анализ различных методов аппроксимации профиля [3, 4], заданного координатами ряда точек, позволил сделать вывод, что наиболее приемлемой для этих целей является аппроксимация кубическим сплайном с непрерывной второй производной.

Кубическая сплайновая интерполяция позволяет на каждом отрезке (хг-_1, х■) использовать интерполяцию полиномом третьей степени, что исключает возможность осцилляции. Непрерывность сплайна вместе с двумя

первыми производными, на всем отрезке х/, хт обеспечивает хорошую точность определения производных аппроксимируемой функции. Звено сплайна, расположенное на отрезке хг_, х/, описывается уравнением

У = аг0 + апх + а2х2 + а/3х3 .

Наилучшие результаты построения кубического сплайна дает глобальный способ, приводящий к необходимости решения системы т линейных уравнений с т неизвестными [5]. При этом (т - 2) уравнений являются условиями обеспечения второго порядка гладкости сплайна во внутренних узлах. Два недостающих уравнения определяются краевыми условиями, в качестве которых приняты значения первой производной в начальном и конечном узлах Я и /т .

Производные /' и /^ определяются по формулам численного дифференцирования второго порядка точности:

Л2

fl = d2 -fm = d

Д2 +Дз Am

A m + Am-l

(d3- d2);

{dm-l - dm ),

(9) (10)

где А/ = х1 _ х1 _1, di = ( _ У/ _1) / А/ .

Система линейных уравнений построена относительно вторых производных /" в узлах х/. Трехдиагональная матрица коэффициентов этой системы представлена в виде

(ll)

Аппроксимация профилей производится в системах координат $1* и 5*2*. Так как профили изношенных зубьев не могут иметь касательных, перпендикулярных этим осям, для всех г = 1, ...., т1 выполняется условие

|2( + А/+1 )>|А/| + |Аг+1 >|А^ >0.

Решение системы уравнений производится методом прогонки. На прямом ходе прогонки определяются коэффициенты а/ и Ь/ в уравнениях:

2A 2 A 2 0 fl d2 - fl

A 2 2 (A 2 +A3) A3 fi = b d3 - d2

Am-l 2 (A m-l +Am) Am fm-l dm - dm-l

0 Am 2A m f m fm - dm

- при i = l:

fi = ai-bifi,i = m -1; 3(d2 -fl).

(l2)

al =■

bl = 0,5,

при i = 2,...,m -1:

6 (+1 - di )-Vi -1 .

bi =-

4+1

1 2 + Д| )-ДА_Г 1 2 (Д,.+1 + Д. )-Д|-6|._1' В конце прямого хода определяется:

6 (./¡^ _ 4т )-Дт

Г =-

J m

Am (2 - bm-1 )

На каждом шаге обратного хода по формуле (12) последовательно рассчитываются для г = т -1,...,1. Одновременно определяются значения первых производных проекции ортов нормалей и радиусы кривизны во всех узловых точках:

H+1

- 3 ( fi+2 fi+1 )

Ч+1.

£. Y

eyi .

Y

.3

Pi r",

Ji

(13)

(14)

(15)

где у =

Решение обратной задачи в окрестности пары квазисопряженных точек. Пусть А и В - точки профилей шестерни, образующие квазисопряженную пару; ра и Рв - радиусы кривизны; вА, ев - орты нормалей в этих точках [6, 7]. Будем считать, что векторы с индексом А заданы в системе координат 51 и В - в 5*2 .

При решении обратной задачи необходимо отыскать пару сопряженных точек в ближайших окрестностях точек А и В, определить соответствующие им углы поворота шестерни ф1 и колеса ф2, значение передаточного отношения г2, орты нормалей е^, в2 , плечи нормалей Н относительно осей вращения звеньев, удельные скольжения \2 и положение общей точки линии зацепления. Профили зуба шестерни и колеса заменяются сопрягающимися окружностями с радиусами ра и Рв .

Если принять одну из точек А или В за контактную, то радиусы-векторы центра кривизны профиля в другой точке в системах 5, 51, 52 определяются несложными построениями [1]. Далее, решая уравнения,

гс = М01гсЬ гс = M02rc2, можно получить выражения для определения углов ф1 и ф2 :

f

Ф1 = arccos

хсУс1 - y cxc1 ¿1

Л

(16)

1

exi

Ф2 = arccos

{ (xc - aw )Ус2 - Усхс2 ^ rc2

(l7)

В качестве контактной точки удобнее принимать точку профиля с большим по абсолютной величине радиусом кривизны. Рассмотрим случай, когда |рА >|рв |, А - контактная точка, С - центр кривизны профиля колеса в точке А:

Гс1 = ГА _еАрВ;

- - - (18)

гс 2 = ГВ + еВР В.

Координаты точки С в неподвижной системе координат определяются пересечением окружностей, радиуса с с центром в О1 и радиуса гс2 с центром в 02.

xc = 0,5

( 2 2 ^ a + "cl - rc2 uw т

V aw у

^c2l -Xc2. (l9)

Ус = ±д/ с _х<

Знак ус зависит от соотношения радиусов кривизны ра и рв . Для начального периода изнашивания эвольвентной передачи ус > 0 . Зная радиус-вектор и орт нормали в контактной точке на профиле зуба шестерни (( = вА, Г = ?а ) и значение углов ф1 и ф2 , можно определить соответствующие величины в2 и Г> для сопряженной контактной точки на профиле зуба колеса:

= ^ (20) е2 = М21е1.

Плечи нормалей относительно оси вращения колеса определяются по формуле

И = |е2 х г2\. (21)

Отношение плеч нормалей определит передаточное отношение:

! = Iе' ХГ1 (22)

'21 = ■ (22)

Линия зацепления определяется при переписывании контактной точки в неподвижную систему координат:

Г = М01Г1. (23)

При решении обратной задачи для каждой пары квазисопряженных точек получаются профили парами сопряженных точек и таблично заданные функции ф2 (ф1),И(ф2),/21 (ф1).

5. Удельные скольжения при произвольной форме профилей зубьев

Для общего случая плоского зацепления удельное скольжение в контактной точке шестерни V и колеса \2 получаются из выражений:

V1 =

VF 2 - VF1 .

V

V2 =

VF1 - VF 2

Fl

V

(24)

F 2

где Ур1,Ур 2 - скорости перемещения общей точки по профилям зубьев.

Искомые скорости находятся из уравнений связи между кривизнами взаимоогибаемых поверхностей. Для этого используется система векторных уравнений, описывающих контакт поверхностей зубьев:

А1 = М12 А2 1 е1 = М12в2 ]

При дифференцировании по параметру движения получается

df = Mi2 df2 +

dei = Mi2 de2 +

dMi

12

d ф1

f2;

dM

12

d ф1

e2.

При использовании матрицы обратного преобразования можно

переписать уравнения в форме

dr\ = M\2d?2 + Lr\;

de\ = M\2 de2 + Le\,

где L - матрица-аналог относительной скорости,

0 Í2\ + \ ~Í2\aw cosФ\ _(»2\ + \) 0 Í2\aw sin ф\

L = d^l M2i =

d ф1

О

О

О

(25)

(2б)

При проецировании векторных уравнений (26) на орт касательной т к профилям в общей точке контакта зубьев, получается

Vfi = vf2 • L• fi); ef1 = ef 2 +(TTf •L • f1 ).

(27)

Из уравнения (24), используя уравнение Радрига, которое для плоского зацепления имеет вид вг = -хУ^, где х - кривизна профиля в рассматриваемой точке, получаются искомые выражения для удельных скольжений:

V = x1 - x2 ; V = x2 - x1 V1 ^^-; V2 ="

в + x2

в + x2

(28)

где x = —, %2 = —--кривизна профиля;

Р1 Р2

5 = %±*L. (29)

T • L • 71

6. Нагрузка в зацеплении

В зоне однопарного зацепления:

Ph = M2, (30)

в зонах двухпарного зацепления нагрузка P распределяется между двумя парами зубьев:

Ph + P'h' = M2. (31)

Для нахождения нагрузки уравнения (31) следует дополнить еще одним уравнением, которое может быть получено исходя из условия совместной деформации двух пар зубьев. Для этого воспользуемся определением податливости по методике, учитывающей изгибную и контактную деформации зубьев, а также деформацию прилегающей к их основанию части обода колеса.

Знание податливости зацепления S позволяет определить отставание колеса от нагрузки на угол:

PS

ДФ2 = —. (32)

h

Любая прямозубая передача, даже если она первоначально была абсолютно точной, уже в начальный период изнашивания становится приближенной. Геометрический коэффициент перекрытия при снятии нагрузки у такой передачи равен единице. Существующие при работе под нагрузкой участки двухпарного зацепления являются участками упругого пересопряжения зубьев. На рис. 4 показаны функции положения Ф2(Ф1), соответствующие предшествующей (I), рассматриваемой (II) и последующей (III) парам зубьев при отсутствии деформации.

Пусть 8ф2 - угловой зазор, соответствующий фазе Ф1 ненагруженной передачи. При увеличении нагрузки от нуля до полного значения сначала отставание колеса будет происходить вследствие деформации предшествующей пары зубьев. После выборки зазора 8ф2 обе пары деформируются одновременно. Таким образом, угловая деформация одной пары зубьев будет больше на величину углового зазора деформации другой пары:

Дф2y = Дф2y -8ф2. (33)

При подстановке (32) в (33) получаем

PS P S

— = ^-8ф2. (34)

Рис. 4. Функции положения Ф2(Ф1)

Если в рассматриваемой паре интенсивность изнашивания больше, чем в другой, то угловой зазор в ней будет возрастать, что в соответствии с уравнением (34) приведет к уменьшению нагрузки в зацеплении и к уменьшению интенсивности изнашивания. Одновременно интенсивность изнашивания в другой паре увеличится. Указанный процесс приводит к выравниванию ин-тенсивностей изнашивания зацепления в обеих парах зубьев.

Для нахождения выбираемого углового зазора 5ф2 используется функция положения, соответствующая паре абсолютно жестких зубьев, которая определяется в ходе решения обратной задачи в начале каждого шага изнашивания. Функции положения для предшествующей и последующей пар зубьев имеют вид

Ф2 = Ф2 (Ф1 ±Т1 )±т2,

(35)

где Т1, Т2 - угловые шаги зубьев шестерни и колеса.

Здесь верхний знак соответствует упругому входу, а нижний - упругому выходу рассматриваемой пары зубьев из зацепления.

Угловой зазор определяется разностью функции положения выходящей (входящей) и рассматриваемой пары зубьев:

5ф2 =Ф2 (Ф1 ±Т1 )±т2-Ф2 (Ф1). (36)

При известном угловом зазоре и совместном решении (32) и (34) полу-

чаем

p = hS'M2 -8ф2h

/2

h'2 S + h2 S '

(37)

Углы Ф1, при которых нагрузка, рассчитанная по формуле (37), удовлетворяет условию 0 < Р < М2 / Н , соответствуют участку упругого пересопряжения зубьев. В точках, где Р < 0, нагрузка передается только предше-

ствующей парой зубьев. При Р >М2 / Н предшествующая пара зубьев уже вышла из зацепления, упругий вход рассматриваемой пары зубьев закончился. Аналогично рассматривается участок упругого выхода из зацепления.

7. Оценка точности математической модели

Анализ литературных источников показал, что в описании условий экспериментов отсутствует единообразие, а методы обработки результатов существенно отличаются. Наиболее подходящими для оценки точности модели изнашивания зубчатых колес, учитывающей эволюционный характер процесса взаимодействия, являются результаты экспериментов Х. Плеве [8-10] и Г. Адама [11].

Малая частота вращения шестерни в процессе проведения эксперимента во многом предопределила выбор этих результатов для оценки точности модели. Именно при таких условиях реальная передача наиболее полно описывается выбранной упруго-статической моделью, не учитывающей динамические нагрузки, возникающие в зацеплении.

Сравнение результатов экспериментов и расчетов с использованием модели изнашивания зубчатых колес, учитывающей эволюционный характер процесса взаимодействия, показало, что математическая модель наглядно демонстрирует такую характерную черту процесса изнашивания реальных передач, как наличие периода приработки и последующего устойчивого изнашивания, которому соответствует устойчивая форма естественного износа зубьев.

Полученные в ходе выполнения сравнения данные демонстрируют хорошее совпадение результатов эксперимента и математического моделирования. Эпюры износа достаточно близки для различных этапов изнашивания передачи, сопоставление экспериментальных и расчетных данных позволяет сделать вывод, что разработанная математическая модель учитывает основные связи и явления, существенные для процесса изнашивания зубчатого зацепления и может быть использована для изучения его закономерностей.

Математическая модель процесса изнашивания позволила численным методом рассчитать форму естественного износа для прямозубых цилиндрических передач.

Заключение

Развитие вычислительной техники позволило внедрить современные ЭВМ практически во все сферы деятельности человека. Не стала исключением и производственная сфера. На производственных предприятиях широко применяются современные вычислительные системы на всех этапах.

Исключением является этап испытаний зубчатых колес. Как правило, на этом этапе производится многократное изготовление образцов для проведения натурных испытаний. Это обстоятельство значительно увеличивает как временные затраты, так и материальные. Улучшить показатели эффективности возможно за счет математического моделирования, внедренного в специальное компьютерное программное обеспечение.

Приведенное математическое моделирование с высокой точностью описывает зубчатое зацепление и подходит для применения в компьютерных

системах, предназначенных для виртуальных испытаний. Такого рода системы сейчас активно разрабатываются и внедряются в предприятия всего мира. Преимущества таких систем очевидны и заключаются в высокой эффективности, низкой стоимости процесса испытаний, высоком быстродействии, высокой точности получаемых результатов и т.д.

Таким образом, в статье приведено описание математической модели процесса взаимодействия зубчатых колес в зацеплении, учитывающей изнашивание и пригодной для внедрения в современные программные пакеты испытания такого рода изделий. В работе произведено подробное описание математической модели, выбрана и описана система координат, описано математическое представление геометрических параметров зубчатого зацепления и приведено описание процессов в зубчатом зацеплении.

Библиографический список

1. Егоров, И. М. Применение методов математического моделирования для исследования и расчета изнашивания прямозубых цилиндрических передач : дис. ... канд. техн. наук / Егоров И. М. - Л. : ЛИТМО, 1985. - 160 с.

2. Баранов, А. В. Метод прогнозирования и способы повышения ресурса изнашивающих подвижных сопряжений деталей машин : дис. ... канд. техн. наук / Баранов А. В. - Л., 1988. - 175 с.

3. Айрапетов, Э. Л. Состояние и перспективы развития методов расчета нагру-женности и прочности передач зацеплением : метод. материалы / Э. Л. Айрапетов. -Ижевск ; М. : Изд-во ИжГТУ, 2000. - 118 с.

4. Резников, С. С. Основы построения эволюционной модели процесса изнашивания зубчатого зацепления / С. С. Резников // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. - 2011. - № 4 (2). - C. 296-298.

5. Проблема оценки износа сопряжений зубчатых колес транспортных машин и энергетического оборудования / А. В. Баранов, В. А. Вагнер, С. В. Тарасевич, Ю. А. Баранова, А. Н. Пономарева // Ползуновский Вестник. - 2010. - № 1. -С. 99-105.

6. Онищенко, В. П. Прогнозирование работоспособности зубчатых передач с учетом взаимовлияния формы изношенных зубьев и характеристик контакта / В. П. Онищенко, В. А. Голдобин // Вюник Схщноукрашського ушверситету iменi Володимира Даля. - 2007. - № 9 (115). - С. 165-171.

7. Онищенко, В. П. Прогнозирование формы профилей зубьев зубчатых передач в результате их износа / В. П. Онищенко // Прогрессивные технологии и системы машиностроения : Междунар. сб. науч. тр. - Вып. 5. - Донецк, ДонГТУ, 1998. - C. 155-163.

8. Michaelis, K. Berechnung der verschlei bedingten Flankenformänderung langsam laufender Zahnreder. Teil 2 / K. Michaelis, P. Brinck // Antriebstechnik. - 1983. -Bd. 22, № 12. - Р. 47-48.

9. Winter, H. Abriebverschleis und Lebensdauerberechnung an geschmierten, langsam laufenden Zahnradern. Teil 1 / H. Winter, H. Plewe. - Antriebstechnik. - 1982. -Bd. 21, № 5. - Р. 231-237.

10. Winter, H. Abriebverschleis und Lebensdauerberechnung an geschmierten, langsam laufenden Zahnradern. Teil 2 / H. Winter, H. Plewe // Antriebstechnik. - 1982. -Bd. 21, № 6. -Р. 282-286.

11. Adam, G. Verschlei berechnung an Geradstirnrädern aus Stahl bei Kleinen Zaynum-fangegchwindikeiten / G. Adam // Pengerätetechnik. - 1982. - Bd. 31, № 9. - Р. 390393.

References

1. Egorov I. M. Primenenie metodov matematicheskogo modelirovaniya dlya is-sledovaniya i rascheta iznashivaniya pryamozubykh tsilindricheskikh peredach: dis. kand. tekhn. nauk [Application of mathematical simulation for research and calculation of spur gear set wearing: dissertation to apply for the degree of the candidate of engineering sciences]. Leningrad: LITMO, 1985, 160 p.

2. Baranov A. V. Metod prognozirovaniya i sposoby povysheniya resursa izna-shivayushchikh podvizhnykh sopryazheniy detaley mashin: dis. kand. tekhn. nauk [The method of forecasting and improvement means of movable mating machine parts wearing life: dissertation to apply for the degree of the candidate of engineering sciences]. Leningrad, 1988, 175 p.

3. Ayrapetov E. L. Sostoyanie i perspektivy razvitiya metodov rascheta nagruzhennosti i prochnosti peredach zatsepleniem: metod. materialy [The condition and development prospects of gears engagement loading durability: methodological materials]. Izhevsk; Moscow: Izd-vo IzhGTU, 2000, 118 p.

4. Reznikov S. S. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N. I. Lobachevskogo [Bulletin of Nizhny Novgorod University named after N.I. Lobachevksy]. 2011, no. 4 (2), pp. 296-298.

5. Baranov A. V., Vagner V. A., Tarasevich S. V., Baranova Yu. A., Ponomareva A. N. Polzunovskiy Vestnik [Polzunovsky Bulletin]. 2010, no. 1, pp. 99-105.

6. Onishchenko V. P., Goldobin V. A. Visnik Skhidnoukraïns'kogo universitetu imeni Vo-lodimira Dalya [Bulletin of Skhidnoukrainskiy Univrsity named after Vladimir Dal]. 2007, no. 9 (115), pp. 165-171.

7. Onishchenko V. P. Progressivnye tekhnologii i sistemy mashinostroeniya: Mezhdunar. sb. nauch. tr. [Progressive technologies and systems of mechanical engineering: International proceedings]. Donetsk, DonGTU, 1998, iss. 5, pp. 155-163.

8. Michaelis K., Brinck P. Antriebstechnik [Driven machinery]. 1983, vol. 22, № 12, pp. 47-48.

9. Winter H., Plewe H. Antriebstechnik [Driven machinery]. 1982, vol. 21, no. 5, pp. 231237.

10. Winter H., Plewe H. Antriebstechnik [Driven machinery]. 1982, vol. 21, no. 6, pp. 282286.

11. Adam G. Pengerätetechnik. 1982, vol. 31, no. 9, pp. 390-393.

Акопян Мисак Геворкович аспирант, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики (Россия, г. Санкт-Петербург, Кронверкский проспект, 49)

E-mail: akopyan.miso@yandex.ru

Akopyan Misak Gevorkovich Postgraduate student, Saint-Petersburg National research University of Information Technologies, Mechanics and Optics (49 Kronverkskiy avenue, Saint-Petersburg, Russia)

УДК 531.01, 621 Акопян, М. Г.

Модель изнашивания зубчатых колес, учитывающая эволюционный характер процесса взаимодействия / М. Г. Акопян // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2017. -№ 3 (43). - С. 106-120. БОТ 10.21685/2072-3059-2017-3-9