CC BY
163
Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http ://naukovedenie.ru/
Том 8, №1 (2016) http ://naukovedenie. ru/index.php?p=vol8-1
URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/56TVN116.pdf
DOI: 10.15862/56TVN116 (http://dx.doi.org/10.15862/56TVN116)
Статья опубликована 17.03.2016.
Ссылка для цитирования этой статьи:
Резников С.С., Акопян М.Г., Петров А.И. Анализ методов математического моделирования для исследования и изготовления зубчатых колес // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 8, №1 (2016) http://naukovedenie.ru/PDF/56TVN116.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ. DOI: 10.15862/56TVN116
УДК 681.2
Резников Станислав Сергеевич
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных
технологий, механики и оптики (ИТМО)», Россия, Санкт-Петербург1
Доцент кафедры «Мехатроника» Кандидат технических наук, доцент E-mail: reznikov@mail.ifmo.ru
Акопян Мисак Геворкович
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных
технологий, механики и оптики (ИТМО)», Россия, Санкт-Петербург
Аспирант
E-mail: akopyan.miso@yandex.ru
Петров Алексей Игоревич
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных
технологий, механики и оптики (ИТМО)», Россия, Санкт-Петербург
Магистрант E-mail: Stich.Beg@mail.ru
Анализ методов математического моделирования для исследования и изготовления зубчатых колес
Аннотация. Статья посвящена обзору современных методов математического моделирования зубчатых колес и зацеплений для упрощения и повышения эффективности сложных, трудоемких и малопроизводительных процессов исследования, проектирования и изготовления элементов фрикционных систем. Приведены наиболее прогрессивные и универсальные методы, имеющие ярко выраженные достоинства и позволяющие без значительных сложностей смоделировать зубчатые колеса для всесторонних исследований. Подробно рассмотрен метод замкнутых векторных контуров, позволяющий без использования значительных вычислительных мощностей описать эвольвентное зацепление зубчатых колес не только в статическом положение, но и при повороте. В статье изложено описание эволюционного метода математического моделирования зубчатых зацеплений, разработанного для исследования процессов изнашивания, протекающих во фрикционных системах, обладающий высокой точностью и позволяющий производить прочностные расчеты, при вводе дополнительных вычислений. Описан метод моделирования процесса
1 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49
изготовления зубчатых колес с использованием червячной зуборезной фрезы, являющейся на данный момент наиболее универсальным, производительным и точным зуборезным инструментом. Выводами из проведенного обзора послужили описание достоинств и недостатков и разработка рекомендаций по использованию различных методов в конкретных ситуациях. Отдельно выделены основные особенности, которые следует учитывать при разработке универсальной математической модели геометрических параметров процесса червячного зубофрезерования.
Ключевые слова: зубчатые передачи; моделирование; зубчатые колеса; зацепление; износ; червячное зубофрезерование; эвольвентное зацепление; математическое моделирование
Введение
Еще в 50-60-х годах XX века в научное обращение было введено понятие математического моделирования поведения технических объектов. В XXI веке математическая модель интерпретируется как совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.), описывающих наиболее важные для исследователя свойства технического объекта, процесса или системы, а математическое моделирование понимается как процесс построения математической модели и работа с ней, имеющие цель - получение новых сведений об объекте исследования [1, 2].
Математическое моделирование возможно использовать в области исследования и изготовления элементов систем с зубчатым зацеплением. Зубчатые колеса описываются различными математическими моделями, позволяющими с требуемой точностью решить поставленные задачи.
Математическое моделирование зубчатых колес является неотъемлемой частью процессов изготовления, исследования и использования зубчатых колес. Благодаря математическому моделированию возможно в кратчайшие сроки и без больших материальных затрат воссоздать как само зубчатое колесо, так и условия его применения. В первую очередь это необходимо в целях испытания спроектированной детали и, при необходимости, корректирования его параметров до этапа производства. Также благодаря новейшим методам математического и компьютерного моделирования возможно испытание зубчатых колес и передач на трение и износ.
Метод математического моделирования векторных замкнутых контуров
Существующие методы математического моделирования в большинстве случаев сводятся к описанию частых случаев зубчатых зацеплений (например, рейка-колесо). В основе большинства из них лежит математическое описание эвольвентного зацепления. Такой подход дает описание в статическом положении и требует значительных дополнительных вычислений для описания перемещения (поворота) зубатых колес.
Среди множества существующих на данный момент методов математического моделирования, применимых в области зубчатых зацеплений, следует выделить метод математического моделирования векторных замкнутых контуров как один из наиболее простых в реализации и не требующих чрезмерно ресурсоемких вычислений. Этот метод достаточно подробно описан в литературе [3, 4, 5].
Метод основывается на замкнутых векторных контурах, состоящих из отдельных векторов. Вектор - это направленный отрезок с параметрами р1 - длина вектора и ф - угол вектора (рис. 1). Подобные векторные замкнутые контуры можно привести к виду
элементарных векторных замкнутых контуров-модулей, с заранее известными и подробно описанными решениями, что позволяет строить систему векторных контуров, достаточно простым методом подбора требуемых модулей, тем более, что для плоских моделей, таких модулей всего 4, а для пространственных 20 [3].
" , /Л
1 ^^ р
\ ^ \ ф
-1— 1
Рисунок 1. Плоский вектор [7]
Математическая модель, описывающая эвольвенту поверхности зуба, состоит из цепочки векторных контуров вдоль профиля зуба. Такая модель характеризуется жесткой структурой: большим количеством векторов; жестко заданными параметрами векторов. Приведенные выше характеристики модели, приводят к существенным затруднениям при перенастройке данной векторной модели, связанным с необходимостью вводить (или изменять) большое количество векторов для достижения необходимой точности описания профиля эвольвенты. Поэтому для построения такого сложного варианта контурных систем, применяется подход моделирования векторных систем, основанный на вводе новых понятий -«промежуточные аргументы» и «векторный контур модели одной точки профиля (кривой)». Описываемый подход включает в себя решение двух подзадач:
1. описание поверхностей зуба 1 и 2 (рис. 2);
2. описание высоты зуба А в конкретном сечении [7].
Приведенные задачи решаются с помощью метода моделирования векторных замкнутых моделей.
Рисунок 2. Описываемые поверхности зуба [7] Поверхность зуба строится по свойству эвольвенты (рис. 3).
Рисунок 3. Построение поверхности зуба [7]
Вместо 01А[ подставляется вектор 1, вместо - вектор 2. Для замыкания
векторного контура используются векторы 3 и 4. Причем вектор 3 параллелен оси ординат, а вектор 4 - оси абсцисс (рис. 4).
Рисунок 4. Построение векторного контура [7]
Произведенные операции позволяют получить векторный контур, описывающий эвольвенту поверхности 1 зуба шестерни 1.
Длина вектора 1 равняется радиусу основной окружности г0.
Угол вектора 1 изменяется в определенных числовых пределах.
Длина вектора 2 изменяется в определенных числовых пределах.
Угол вектора 2 связан с углом вектора 1 зависимостью = + Дф, где Дф - шаг угла поворота.
Длины векторов 3 и 4 неизвестны.
Полученный векторный контур описывается с помощью модуля Пл2 (р3, р4) [3]. Аналогичным образом описывается поверхность 2 зуба шестерни 1 (рис. 5).
Рисунок 5. Поверхность 2 зуба шестерни 1 [7]
Анализ рисунков 4 и 5 показывает, что задача 2 решается сложением длин векторов 3 и 7, таким образом в конкретном случае получается толщина зуба.
Полученные две модели объединяются в модель 3 (рис. 6).
Рисунок 6. Объединенная векторная модель [7]
Векторы 1 и 2 остаются без изменений, т.е. так, как они были в первом векторном контуре (рис. 4). Вектора 3 и 7 объединяются, и получается вектор 3'. Векторы 5 и 6
откладываются как прямые, без указания их направления. Их направления выбираются таким образом, что полученный контур замыкался.
Решением поставленных задач является полученная модель (векторный контур 1-2-3'-
4'-5').
Определение координат точек БГ и Б2' требует использования вспомогательных векторных моделей, сходных с моделями 1 и 2. Изменение углов наклона векторов 1, 5 и длин векторов 2, 4 позволяет получить траекторию поверхностей зуба (рис. 7).
А АГ
\ / > 3' N
о. /
/ ^^^ У 2 в'"
/ АГ
Рисунок 7. Траектория поверхностей зуба [7]
Представленная модель описывает поверхность отдельного зуба шестерни в один и тот же момент времени, параметры углов наклона векторов 1, 5 и длины векторов 2, 4, являются промежуточными одномоментными по времени аргументами. Введение этих же параметров в основные аргументы модели позволяет получить поворот зуба и описать положение зуба в различные моменты времени.
Достоинствами данного метода являются:
• простота: реализация данной модели не требует больших математических вычислений и, соответственно, производительных вычислительных систем;
• возможность варьирования шага изменения промежуточных и основных аргументов модели;
• как следствие из первых двух пунктов, приведенных выше, возможность оперативно добиваться нужной точности вычислений при описании поверхности зуба шестерни и его движения.
К недостаткам стоит отнести:
• отсутствие возможности моделирования процессов изнашивания в зацеплении;
• необходимость определенности аргументов модели и связей между отдельными векторами и контурами в каждый момент времени.
Метод математического моделирования векторных замкнутых контуров идеально подходит для описания не громоздких систем с зубчатым зацеплением, в случае отсутствия необходимости учета процессов изнашивания зубьев.
Математическое моделирование зубчатого зацепления с учетом непрерывного изменения формы зубьев вследствие изнашивания
Полноценное и всестороннее исследование зубчатого зацепления требует учета непрерывного изменения формы зубьев, вызванного процессом непрерывного изнашивания при математическом моделировании.
Созданию инженерных методик расчета передач на износ посвящены работы Ю.Н. Дроздова, И.В. Крагельского, И.С. Кузьмина, А.Д. Невского, А.С. Проникова, Я.Н. Решетова, К.П. Чудакова, Г.Я. Ямпольского, Г. Адама, П. Бринна, К. Михаэлиса и других ученых.
Особый подход к расчету изнашиваемых кинематических пар содержится в работах В.В. Шульца, в которых на основании вариационных методов определены устойчивые формы естественного износа, обладающие свойством энергетического экстремума в заданном относительном движении.
Расчеты передач на износ производятся с целью определения ресурса работы или стыкования конструктивных параметров передачи, при которых он имеет максимальное значение.
Изнашивание приводит к изменению различных эксплуатационных характеристик передачи: уменьшается изгибная и контактная прочность зубьев, увеличивается циклическая погрешность и мертвый ход, возрастают динамические нагрузки и т.д.
Описываемое моделирование относится к цилиндрической прямозубой передачи, и во многих аспектах основывается на положениях упруго-статической модели, успешно применяемой при синтезе приближенных зацеплений. В соответствии с этой моделью предполагается:
• все зубья геометрически одинаковы и равномерно распределены по ободу колеса;
• контакт зубьев осуществляется по активным поверхностям;
• под нагрузкой зубья колес деформируются и их упругие свойства одинаковы;
• пластические деформации отсутствуют. [8, 9] Дополнительно приняты следующие допущения:
• зубья каждого колеса изнашиваются одинаково;
• условия работы передачи (температура окружающей среды, свойства смазывающего материала, концентрация и свойства абразивных частиц и т.д.) считаются неизменными;
• к выходному валу приложен постоянный момент сопротивления;
• шестерня вращается с постоянной угловой скоростью;
• частота вращения шестерни достаточно мала, чтобы динамическими нагрузками, обусловленными неравномерностью вращения колеса можно было пренебречь;
• износ считается достаточно малым, чтобы можно было не учитывать изменения упругих свойств зубьев;
• трение в зацеплении не учитывается. [13]
В основе эволюционного подхода к моделированию лежит деление процесса изнашивания на ряд шагов. Изменение наработки Ап на каждом шаге выбирается настолько малым, что в его пределах условия изнашивания можно считать постоянными. Отсюда следует, что приращение износа АН можно считать постоянным и в любой /-ой точке профиля с достаточной степенью точности можно выразить уравнением:
ДЩ = и • Ап, где I/ - интенсивность изнашивания:
йН
1
2
где ёН - величина износа, - путь трения, q - контактное давление, а - находится в пределах 1<а<3 (для приработанных поверхностей а~1), к - интенсивность физико-химических процессов во фрикционном контакте, определяемая экспериментально. [10, 11, 12]
Износ эквивалентен перемещению точки по нормали к поверхности трения (рис. 8), и, при известных координатах достаточно большого (т) числа точек, задающих профиль зуба в
начале шага изнашивания (х^,их координаты {х-1, у-} в конце этого шага равны:
У* = У; + V е1у • Дп, где е/х, в/у - проекции орта нормали на оси координат.
Рисунок 8. Математическая модель процесса трения [13]
( Ъ л /—
Координаты точек {х- } определяют новую форму профилей зубьев. Дальнейшее моделирование процесса в каждой из этих точек требует поиска новых значений ортов нормалей и аргументов функции интенсивности изнашивания (2), то есть, нагрузки, радиусы кривизны и скорости общей точки по профилям зубьев шестерни и колеса. Это производится в ходе решения обратной задачи теории зацепления. Отсюда следует, что основой любой эволюционной модели процесса изнашивания зацепления является алгоритм решения обратной задачи при точечном задании профилей.
Классическая постановка обратной задачи основывается на аналитическом задании профилей зубьев, в виде функций или систем уравнений, описывающих инструмент и станочное зацепление. Следовательно, первый этап решения этой задачи - это переход от координатного к аналитическому описанию профилей изнашивающихся зубьев.
Для удобства и упрощения моделирования задается шаг износа АН, равный приращению износа в точке с максимальной интенсивностью изнашивания 1т.
Связь между шагом наработки и шагом износа задается уравнением:
АН
Дп = —. 4
'т
С математической точки зрения, представленная модель является численным решением в каждой /-ой точке профиля с радиус-вектором 77 задачи Коши для дифференциального уравнения:
г/ = • еь. 5
Уравнение (5) решается методом Эйлера, обеспечивающим первый относительно Ап порядок точности. В случае произведения уточнение координат точек изношенного профиля на каждом шаге по формулам:
1
= + ^ (V е1х + /* • е;х) • Дп;
1 6
у/1 = У1 + 2 • + 7* • е*у) • Дп'
/* * 1
- интенсивность изнашивания и орт нормали для профиля, с предварительно
рассчитанными по уравнениям (3) координатами точек - то способ решения будет
соответствовать модифицированному методу Эйлера, обеспечивающему второй порядок
точности.
Данный метод моделирование обладает ярко выраженными достоинствами:
• возможность учета непрерывного изменения формы зубьев при моделировании;
• высокая точность;
• благодаря первым двум пунктам, возможность проведения прочностных расчетов, при произведении некоторых дополнительных вычислений.
Недостатком данного метода является громоздкость вычислений, требующая использования современных компьютеров с высокой производительность. Это, в свою очередь, приводит к материальным затратам.
Основная функция такого моделирования - учет непрерывных процессов трения в зубчатом зацеплении, что позволяет на этапе проектирования корректировать параметры зубчатых колес. Как итог нет необходимости в нескольких циклах производства опытных образцов, значительно увеличивающих материальные и временные затраты.
Математическое моделирование процесса червячного зубофрезирования
Большой вклад в область исследования математического моделирования процесса червячного зубофрезерования (ЧЗ) внесли работы многих российских и зарубежных ученых: А.Я. Сенокола, В.А. Шишкова, В.Н. Башкирова, Г.И. Когана, Л.А. Васина, Н.Д. Феофилова, А.К. Сидоренко, В.Ф. Чурбаков, C. Andrew, R. Наттап'а, Hoffmeister'а, A. Schmidthammer'а, W. Konig'^ G. Sulzer^.
Анализ существующих работ в области математического моделирования и аналитического исследования процессов ЧЗ позволяет сделать следующие выводы [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32]:
1. в области математического моделирования процессов ЧЗ можно выделить три направления исследований основанные на:
• анализе зон контакта фрезы и заготовки;
• применении кинематического метода моделирования;
• применении геометрических методов анализа процесса обработки.
2. большинство проведенных исследований относится к математическому описанию процессов обработки прямозубых эвольвентных зубчатых колес со встречной или попутной подаче. Вследствие чего в большинстве работ, посвященных математическому описанию процесса ЧЗ, картины резания рассматриваются в плоскостях, перпендикулярных оси заготовки, а в качестве представления инструментальной рейки используется геометрическая фигура, построенная на основе исходного производящего контура;
3. практически все методы математического моделирования процесса ЧЗ ориентированы на моделирование обработки фрезами со стандартной схемой резания;
4. существующие на данный момент методы моделирования процесса ЧЗ описывают обработку инструментом, установленным «по центру станка» (середина периферийной кромки одного из зубьев находится на межосевом перпендикуляре «фреза-заготовка»);
5. насчитывается малое количество методов моделирования, позволяющих проводить описание «входа в резание» и «выхода из резания» инструмента.
Конструктивно червячная зуборезная фреза (ЧЗФ) для любого вида обработки представляет собой червяк с продольными винтовыми или прямыми стружечными канавками для образования передних поверхностей зубьев и задними поверхностями зубьев, обработанными для образования задних углов. Режущие кромки червячной фрезы образуются при прорезании стружечных канавок как линии пересечения передней поверхности зуба фрезы с витками основного червяка. Схема образования передних и задних поверхностей ЧЗФ приведена на рис. 9 [17].
Винтовая передняя поверхность
X0 д
Режущая кромка
Вершинная задняя поверхность
Поверхность основного червяка
Рисунок 9. Схема образования передней и задней поверхности затылованных зубьев
червячной зуборезной фрезы [33]
ЧЗФ обычно проектируются на основе эвольвентных, архимедовых или конволютных червяков, которые строятся на базе открытых (конволютных, в том числе эвольвентных) или закрытых (архимедовых) линейчатых винтовых поверхностей [34, 35, 36].
Основные конструктивные параметры ЧЗФ для наиболее общего случая (цельная червячная зуборезная фреза с винтовыми стружечными канавками) приведены на рис. 10.
Рисунок 10. Основные конструктивные параметры червячной зуборезной фрезы: Lo - общая длина фрезы; L¡ - рабочая длина; Lvo - длина посадочных поясков; Leo - длина контрольных буртиков; dao - наружный диаметр фрезы; deo - диаметр контрольных буртиков; dao -наружный диаметр фрезы; Ho - полная глубина стружечной канавки; rfko - радиус во впадине стружечной канавки; 0- угол стружечной канавки; ymo - угол наклона витков фрезы; Amo -угол наклона стружечных канавок; zo - число зубьев фрезы [ЗЗОшибка! Источник ссылки не
найден.]
С точки зрения построения геометрического представления, отражающего наиболее важные для моделирования процесса обработки свойства инструмента, ЧЗФ может быть представлена как «комплект» режущих кромок, пространственное размещение и общее количество которых определяется конструкцией инструмента. Тогда задача построения геометрической математической модели ЧЗФ может быть сведена к следующим двум задачам:
1. построение математического представления режущей кромки (режущих кромок) зубьев ЧЗФ;
2. разработка алгоритмов определения местоположения и «пространственное размещение» представлений режущих кромок зубьев инструмента [33].
В общем случае режущая кромка зуба червячной зуборезной фрезы представляет собой пространственную кривую, которая образуется пересечением передней поверхности рейки фрезы (прямого геликоида при /0=0 или конволютной поверхности при /0^0) и поверхности основного червяка (рис. 9). Единственным типом фрез, у которых передняя поверхность является плоскостью, а режущая кромка - плоской кривой, являются фрезы с осевыми стружечными канавками [33].
Наиболее формально корректным и опробованным в работах В.Н. Башкирова и О. Би^ег'а является представление режущей кромки инструмента списком точек. Именно такое представление предлагается использовать в дальнейшем для формирования математической модели. Общее число точек, описывающих режущую кромку инструмента, зависит от типа фрезы и определяется наличием или отсутствием протуберанца и фланка, типом основного червяка, а также заданной степенью точности описания. Таким образом, в общем случае режущая кромка фрезы должна представляться списком точек, каждая из которых определяется тремя вещественными координатами в системе координат, связанной с зубом фрезы. Однако, вследствие того, что отклонение передней поверхности зуба фрезы от плоскости крайне мало, для представления режущей кромки в большинстве случаев может быть использована плоская кривая, представленная списком точек. Использование представления режущей кромки список трехмерных точек подробно описано в следующих работах [17, 37]. Однако при использовании в качестве представления режущей кромки списка трехмерных точек, возникают серьезные проблемы с операционализацией понятий «толщина срезаемого слоя» и «площадь срезаемого слоя», определенных в соответствии с [38]. С точки зрения построения операциональных определений этих понятий, наиболее удобным и формально корректным является представление режущей кромки фрезы списком M точек Tm, (m=1...M), заданных в декартовой системе координат XkYk, связанной с зубом червячной зуборезной фрезы. Система координат XkYk размещается в нормальном (для фрез с винтовыми канавками) или осевом (для фрез с осевыми канавками) сечении зубьев фрезы. Начало системы координат XkYk связывается с точкой Ok, расположенной на оси симметрии зуба фрезы (в случае, если такая ось существует) таким образом, что середина периферийной режущей кромки имеет в системе XkYk координаты (0; hao) ^0 - высота головки зуба фрезы). Нормальное или осевое сечение для размещения системы координат XkYk выбирается таким образом, чтобы точка Ok начала системы координат принадлежала передней поверхности зуба фрезы [33 Ошибка! Источник ссылки не найден.].
На рис. 11 приведена схема, иллюстрирующая формирование списка точек, являющегося представлением режущей кромки зуба конволютной червячной зуборезной фрезы с винтовыми стружечными канавками и передним углом, равным нулю, предназначенной для обработки зубчатых колес под шевингование или шлифование. В дальнейшем такое представление режущей кромки списком точек в системе координат XkYk будет называться «примитивом». В случае, представленном на рис. 11 , общее число точек,
использующихся для построения примитива, равно M=4+2J, где J - число точек на переходной кривой вершины зуба фрезы, определенное исходя из заданной точности описания профиля режущей кромки [33].
Правый полупрофиль
Рисунок 11. Схема к построению представления режущей кромки зуба червячной зуборезной
фрезы [33]
Полное описание представленного метода приведено в работе [39]. Основными особенностями данного подхода являются:
1. с точки зрения разработки алгоритмов построения примитива, наиболее простым видом фрез являются конволютные червячные зуборезные фрезы с винтовыми стружечными канавками и стандартной схемой резания. Режущие кромки таких фрез являются прямолинейными в сечении, нормальном к витку или впадине фрезы, что позволяет использовать для представления режущей кромки фрезы наименьшее количество точек. Стандартная схема резания предполагает симметричность размещения точек Tm относительно оси Yk, что позволяет производить расчет координат точек только для одного полупрофиля (рис. 11). Координаты точек второго полупрофиля могут быть получены из условия (для обозначения идентификаторов осей систем координат используются прописные буквы, а для указания значений координат объектов в заданных системах координат - строчные. Так, Хк(Гщ) - x -координата точки Гщ в системе координат ХкХк):
М
т > — ^ 2
Х к ((Тт ) _ Хк (Тм +1-т ) У к (Тт ) _ ук (ТМ +1- т)
Также в стандартной схеме резания предполагается, что все зубья фрезы обладают идентичной формой и для представления всех зубьев инструмента возможно использование единого примитива. Для других типов фрез примитив несимметричен [17, 34, 35];
2. размещение системы координат ХьУк в нормальном или осевом сечении фрезы не позволяет учесть в представлении режущей кромки примитивом различия между фрезами с нулевыми, положительными и отрицательными передними углами. Фактически, представление режущей кромки списком точек в системе координат ХьУк (рис. 11) в наибольшей степени соответствует фрезам с нулевым передним углом. В случае, когда требуется построение математической модели обработки зубчатого колеса фрезой с передним углом, значительно отличающимся от нуля, каждой из точек Tm может быть поставлено в соответствие значение уоо(Гщ). Аналогично, значения уо(Гщ) и ао(Тщ) могут быть определены в
случаях, когда требуется построение моделей изменения передних или задних углов для некоторой точки заданного зуба фрезы;
3. при построении примитива не требуется включение в список тех точек режущей кромки, которые ни при каких условиях не принимают участия в обработке впадины зуба колеса. К числу таких точек могут быть отнесены любые точки зуба фрезы, имеющие координату у^Тт) < - высота головки зуба колеса). Так, точки To и Т4+2.1 (рис. 11),
имеющие координату у^Тт) = ^^ < ^1, используются в представлении режущей кромки фрезы для замены точек, расположенных на переходных кривых АВ и СП ножки зуба [33].
В основе описываемой модели лежит использование плоской кривой, заданной списком точек и соответствующей нормальному или осевому сечению витков ЧЗФ, для представления режущей кромки. Конструкция фрезы и необходимая степень точности определяют количество точек при моделировании. Данный метод наиболее подходит для описания математических моделей фрез с нулевым передним углом.
Заключение
Исследование теории и практики математического моделирования процессов исследования, изготовления и проектирования зубчатых колес и зацеплений показало, что в этой области посвящено огромное количество научных работ. Основная масса методов сводится к математическому описанию эвольвентного зацепления. Такой подход универсален, но описывает зубчатое колесо в момент простоя. Для описания зубчатого зацепления в движении требуются ввод дополнительных переменных и новые расчеты. Также большая масса работ посвящена частным случаям зубчатых зацеплений (например зацепление рейка-колесо). Приведенные математические модели являются наиболее универсальными и разнообразными с точки зрения исследования различных стадий жизненного цикла зубчатых колес.
Метод замкнутых векторных контуров базируется на основах описания эвольвентного зацепления. Данный метод идеально подходит в случае необходимости моделирования «общего вида» зубчатого зацепления, где основной задачей является описание контакта зубьев в целом без учета постоянного изменения формы зубьев. Основным достоинством метода замкнутых векторных контуров является возможность описания поворота зубчатого колеса без значительного усложнения расчетов.
Эволюционная модель зубчатого зацепления является следующим этапом развития методов математического моделирования зубчатых колес. Эта модель позволят всесторонне описать зубчатое зацепление. Благодаря эволюционной модели возможно произвести исследование износа зубчатых колес в процессе работы, что значительно сокращает время проектирования и избавляет от необходимости в нескольких этапах производства опытных. Качественная реализация этой математической модели на современных вычислительных системах в виде программного обеспечения позволит значительно снизить временные затраты на расчеты и повысить точность. Также при незначительной доработке эволюционного метода моделирования возможно произведение прочностных расчетов зубчатых колес.
Моделирование процесса зубофрезирование относится к области производства зубчатых колес и незаменимо при необходимости исследования процесса червячного зубофрезирования. Несмотря на большое количество работ, выполненных как отечественными, так и зарубежными авторами, в настоящее время отсутствует единая концепция математического моделирования процесса ЧЗ, описание алгоритмического обеспечения которой позволит моделировать процессы обработки как прямозубых, так и косозубых колес фрезами различной конструкции с различными схемами резания.
Для формирования универсальной математической модели геометрических параметров процесса червячного зубофрезерования необходимо избежать следующих ограничений, присущих упомянутым работам:
• для представления режущей кромки зуба инструмента часто используют плоский четырехугольник, что не позволяет учесть особенности конструкции конкретного инструмента (наличие радиуса при вершине зуба, наличие усика или протуберанца, изменение схемы резания и т.д.);
• в случае обработки фрезами с «четырехугольной» режущей кромкой и стандартной схемой резания введена типология форм срезаемых слоев и для каждого из типов слоев получены формулы для расчета координат граничных точек и площадей. В случае отступления от этих условий требуется расширение типологии срезаемых слоев и, вследствие этого, изменение математического аппарата определения геометрических параметров срезаемых слоев;
• для представления режущей кромки инструмента используется список связанных отрезков плоскости (конец одного отрезка является началом другого). При определении координат граничных точек срезаемого слоя, требуется определение координат точек пересечения «всех со всеми» отрезков режущей кромки, что приводит к квадратичному увеличению вычислительной сложности задачи при повышении точности описания профиля инструмента;
• для моделирования следует использовать три типа декартовых и цилиндрических систем координат, общее число которых зависит от схемы резания (для стандартной схемы резания используется четыре системы координат трех типов), в отличие от шести декартовых систем координат. Сокращение списка использующихся координатных систем приводит к упрощению алгоритмического обеспечения математической модели процесса зубофрезерования;
• существующие методы не позволяют учитывать тот факт, что даже в случае, когда режущая кромка фрезы представляется плоской фигурой, в общем случае режущие кромки всех зубьев червячной зуборезной фрезы расположены в различных плоскостях. Вследствие этого, в общем случае не существует плоскости, будь то торцовая плоскость заготовки или осевая плоскость фрезы, в которой может быть проведен полный анализ картины резания.
Также следует отметить все более набирающее популярность компьютерное моделирование зубчатых зацеплений с использованием систем автоматизации проектирования. В основе данного подхода также лежат математические модели, описывающие зубчатые колеса с последующим графическим отображением. Последние версии программных пакетов позволяют практически полностью моделировать весь жизненный цикл зубчатых колес.
ЛИТЕРАТУРА
1. Раскин Л.Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления. - М.: Советское радио, 1976. - 344 с.
2. САПР: Система автоматизированного проектирования: Учеб. пособие для втузов. В 9 кн. Кн.4. Математические модели технических объектов / В.А. Трудоношин, Н.В. Пивоварова; Под ред. И.П. Норенкова. - Минск: Вышэйшая школа, 1988. - 159 с.
3. Семенов Б.П. Аналитика элементарных векторных модулей. Методическое пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1989. - 40 с.
4. Семенов Б.П., Тихонов А.Н., Косенок Б.Б. Модульное моделирование механизмов. - Самара: СГАУ, 1996. - 98 с.
5. Семёнов Б.П. Элементарные модули векторных моделей. - Самара: СамНЦ РАН, 2000. - 99 с.
6. Мануйлов П.А., Семенов Б.П., Косенок Б.Б. Инвариантность модульных векторных моделей // Математическое моделирование в машиностроении: Тез. докл. 1-ой всесоюзной школы конференции. - Тольятти, 1990. - С. 70-71.
7. Косенок Б.Б. Разработка методики моделирования зубчатых передач на основе метода математического моделирования векторных замкнутых контуров // Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 11, №3, 2009 с. 202-204.
8. Гуляев К.И., Рязанцева И.Л. Профильная модификация зубьев колес эвольвентной цилиндрической передачи с учетом деформации зацепления. -Известия ВУЗов. Приборостроение, 1981.
9. Гуляев К.И., Черный Б.А. Упругая модель в задаче синтеза приближенного зацепления. - В кн.: Теория и расчет передаточных механизмов. - Хабаровск, 1973, с. 20-25.
10. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов В.С. Основы расчетов на трение и износ. - М.: Машиностроение, 1977. - 526 с.
11. Проников А.С. Расчет износа сопряжений. - В кн.: Трение, износ и смазка: Справочник. В 2-х кн. / Под ред. И.В. Крагельского, В.В. Алисина. - М.: Машиностроение, 1978, кн. 1, с. 98-125.
12. Хрущев М.М., Бабичев М.А. Абразивное изнашивание. - М.: Наука, 1970. - 252 с.
13. Резников С.С. Основы построения эволюционной модели процесса изнашивания зубчатого зацепления. - Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, №4(2) 2011, с. 296-298.
14. Ахсан Али Хан. Исследование условий работы и кинематических геометрических параметров зубьев червячных фрез для нарезания червячных колес: Дисс. канд. техн. наук / МОССТАНКИН. - М., 1983. - 190 с.
15. Башкиров В.Н. Аналитическое исследование процесса резания при зубофрезеровании цилиндрических колес червячными фрезами: Отчет о НИР. / КСПО - Коломна, 1984. -101 с.
16. Башкиров В.Н. Исследование динамики процесса резания при зубофрезеровании цилиндрических зубчатых колес крупно модульными червячными фрезами: Дисс. канд. техн. наук / ЭНИМС. - М., 1983. - 266 с.
17. Лашнев С.И. Формообразование зубчатых деталей реечными и червячными инструментами. - М.: Машиностроение, 1971. - 216 с.
18. Лашнев С.И., Юликов М.И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ. - М.: Машиностроение, 1975. - 392 с.
19. Медведицков С.Н. Исследования стойкости зуборезного инструмента: Отчет о НИР / ВМИ, ВГТЗ - Волгоград, 1963 - 104 с.
20. Медведицков С.Н., Нарожных А.Т., Скребнев Г.Г., Чурбаков В.Ф. Методика расчета параметров коррекции червячно-модульных фрез с прогрессивной схемой резания // Технология и автоматизация машиностроительного производства. Научные труды Волгоградского политехнического института. Выпуск 6 (1968 г.) / ВПИ. - Волгоград, 1975. - С. 26-31.
21. Никитина З.А. Инструкция по расчету червячных фрез / ВНИИ. - М., 1966. - 27 с.
22. Ничков А.Г. Оптимизация режимов резания и условий эксплуатации инструмента на зубофрезерных станках: Отчет о НИР. / УПИ - Свердловск, 1985 -85 с.
23. Ничков А.Г. Оптимизация технологических параметров зубофрезерования и внедрение результатов работы при нарезании зубчатых колес нефтебуроваго оборудования: Отчет о НИР / УПИ - Свердловск, 1982 - 53 с.
24. Сидоренко А.К. Прогрессивное зубофрезерование. - М.: Машгиз, 1951. - 116 с.
25. Хардин Ю.П. Исследование диагонального зубофрезерования червячных колес: Автореф. дисс. канд. техн. наук / УПИ. - Свердловск, 1967. - 19 с.
26. Чурбаков В.Ф. Исследование силы резания, точности и чистоты поверхности профиля зубьев цилиндрических косозубых колес при зубофрезеровании червячно-модульными фрезами с прогрессивной схемой резания: Дисс. канд. техн. наук / ВПИ. - Волгоград, 1971. - 156 с.
27. Шишков В.А. Образование поверхностей резанием по методу обкатки. - М.: Машгиз, 1951. - 152 с.
28. Шунаев Б.К., Гаврилов П.Г., Шмулевич А.Г. Определение длины загруженной части фрезы и условия ее рационального использования // Производство и эксплуатация режущего инструмента. Опыт уральских заводов. Выпуск 6. - М.Свердловск, 1954. - 152 с.
29. Bouzakis K., ^nig W. "Process models for the incorporation of gear hobbing into an information centre for machining data", Annals of the CIRP. 1981. Vol.30. No.1. P. 77-82.
30. ^nig W., Bouzakis K. "Chip Formation of Gear Shaping", Annals of the CIRP. 1977. Vol.25. No.1. P.17-20.
31. Sulzer G. Leistungssteigerung bei der Zylinderradherstellung durch genaue der Zerspankinematic. Diss. TH Aachen. 1973. p. 156.
32. Sulzer G. Bestimmung der Spanungsquerschnitte beim Wдlzrдsen. Industrie-Anzeiger 96. Jg. Nr. 12, 8/2/1974, S.246-247.
33. Токарев В.В. Имитационная математическая модель геометрических параметров процесса червячного зубофрезерования. Метрологические аспекты и алгоритмическое обеспечение: диссертация кандидата технических наук. Волгоград. 1998.
34. Семенченко И.И., Матюшин В.М., Сахаров Г.Н. Проектирование металлорежущих инструментов. - М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1963. - 952 с.
35. Справочник инструментальщика / И.А. Ординарцев, Г.В. Филиппов, А.Н. Шевченко и др. - Л.: Машиностроение. Ленинградское отделение, 1987. - 846 с.
36. Червячные зуборезные фрезы: Учебное пособие / В.В. Токарев, Г.Г. Скребнев, А.Т. Нарожных и др. / ВолгГТУ. - Волгоград, 1998. - 137 с.
37. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Машиностроение, 1967. - 372 с.
38. ГОСТ 25672-83. Обработка резанием. Термины, определения и обозначения общих понятий. - М., 1985. - 41 с.
39. Токарев В.В., Скребнев Г.Г. Математическое моделирование процессов резания, режущего инструмента и АСНИ: Учебное пособие / ВолгГТУ. - Волгоград, 1998. - 75 с.
Reznikov Stanislav Sergeyevich
Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics (ITMO)
Russia, St. Petersburg E-mail: reznikov@mail.ifmo.ru
Akopyan Misak Gevorkovich
Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics (ITMO)
Russia, St. Petersburg E-mail: akopyan.miso@yandex.ru
Petrov Alexey Igorevich
Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics (ITMO)
Russia, St. Petersburg E-mail: Stich.Beg@mail.ru
Analysis of methods of mathematical modeling for the research
and manufacture of gears
Abstract. The article is devoted to the review of modern methods of mathematical modeling of gear wheels to simplify and improve the efficiency of complex, time-consuming and inefficient processes of research, design and manufacture of elements of friction systems. Provided the most advanced and versatile methods which have clear advantages and allows without considerable complexity to model gears for comprehensive research. In detail considered the method of closed vector paths, which allows without using significant computing power to describe the involute toothing of gear wheels not only in a static position, but also when turning. The article presents the description of the evolutionary methods of mathematical modeling of the gear developed for the study of the wear occurring in friction systems with high accuracy and allowing to make strength calculations, when you enter additional computations. The described method of modeling the process of manufacturing gears using a worm gear cutters, which is currently the most versatile, precise and efficient gear cutting tools. Conclusions from the review was the description of strengths and weaknesses and development of recommendations on the use of different methods in specific situations. Separately highlighted the main features that should be considered when developing a universal mathematical model of the geometric parameters of the hobbing process for gear milling.
Keywords: gear transmission; simulation; gear wheels; gear; wear; worm gear milling; involute toothing; mathematical modeling
REFERENCES
1. Raskin L.G. Analiz slozhnykh sistem i elementy teorii optimal'nogo upravleniya. - M.: Sovetskoe radio, 1976. - 344 s.
2. SAPR: Sistema avtomatizirovannogo proektirovaniya: Ucheb. posobie dlya vtuzov. V 9 kn. Kn.4. Matematicheskie modeli tekhnicheskikh ob"ektov / V.A. Trudonoshin, N.V. Pivovarova; Pod red. I.P. Norenkova. - Minsk: Vysheyshaya shkola, 1988. - 159 s.
3. Semenov B.P. Analitika elementarnykh vektornykh moduley. Metodicheskoe posobie.
- M.: Izd-vo MAI, 1989. - 40 s.
4. Semenov B.P., Tikhonov A.N., Kosenok B.B. Modul'noe modelirovanie mekhanizmov. - Samara: SGAU, 1996. - 98 s.
5. Semenov B.P. Elementarnye moduli vektornykh modeley. - Samara: SamNTs RAN, 2000. - 99 s.
6. Manuylov P.A., Semenov B.P., Kosenok B.B. Invapiantnost' modul'nykh vektornykh modeley // Matematicheskoe modelirovanie v mashinostroenii: Tez. dokl. 1-oy vsesoyuznoy shkoly konfepentsii. - Tol'yatti, 1990. - S. 70-71.
7. Kosenok B.B. Razrabotka metodiki modelirovaniya zubchatykh peredach na osnove metoda matematicheskogo modelirovaniya vektornykh zamknutykh konturov // Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiyskoy akademii nauk, t. 11, №3, 2009 s. 202-204.
8. Gulyaev K.I., Ryazantseva I.L. Profil'naya modifikatsiya zub'ev koles evol'ventnoy tsilindricheskoy peredachi s uchetom deformatsii zatsepleniya. - Izvestiya VUZov. Priborostroenie, 1981.
9. Gulyaev K.I., Chernyy B.A. Uprugaya model' v zadache sinteza priblizhennogo zatsepleniya. - V kn.: Teoriya i raschet peredatochnykh mekhanizmov. - Khabarovsk, 1973, s. 20-25.
10. Kragel'skiy I.V., Dobychin M.N., Kombalov V.S. Osnovy raschetov na trenie i iznos.
- M.: Mashinostroenie, 1977. - 526 s.
11. Pronikov A.S. Raschet iznosa sopryazheniy. - V kn.: Trenie, iznos i smazka: Spravochnik. V 2-kh kn. / Pod red. I.V. Kragel'skogo, V.V. Alisina. - M.: Mashinostroenie, 1978, kn. 1, s. 98-125.
12. Khrushchev M.M., Babichev M.A. Abrazivnoe iznashivanie. - M.: Nauka, 1970. -252 s.
13. Reznikov S.S. Osnovy postroeniya evolyutsionnoy modeli protsessa iznashivaniya zubchatogo zatsepleniya. - Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo, №4(2) 2011, s. 296-298.
14. Akhsan Ali Khan. Issledovanie usloviy raboty i kinematicheskikh geometricheskikh parametrov zub'ev chervyachnykh frez dlya narezaniya chervyachnykh koles: Diss. kand. tekhn. nauk / MOSSTANKIN. - M., 1983. - 190 s.
15. Bashkirov V.N. Analiticheskoe issledovanie protsessa rezaniya pri zubofrezerovanii tsilindricheskikh koles chervyachnymi frezami: Otchet o NIR. / KSPO - Kolomna, 1984. -101 s.
16. Bashkirov V.N. Issledovanie dinamiki protsessa rezaniya pri zubofrezerovanii tsilindricheskikh zubchatykh koles krupno modul'nymi chervyachnymi frezami: Diss. kand. tekhn. nauk / ENIMS. - M., 1983. - 266 s.
17. Lashnev S.I. Formoobrazovanie zubchatykh detaley reechnymi i chervyachnymi instrumentami. - M.: Mashinostroenie, 1971. - 216 s.
18. Lashnev S.I., Yulikov M.I. Raschet i konstruirovanie metallorezhushchikh instrumentov s primeneniem EVM. - M.: Mashinostroenie, 1975. - 392 s.
19. Medveditskov S.N. Issledovaniya stoykosti zuboreznogo instrumenta: Otchet o NIR / VMI, VGTZ - Volgograd, 1963 - 104 s.
20. Medveditskov S.N., Narozhnykh A.T., Skrebnev G.G., Churbakov V.F. Metodika rascheta parametrov korrektsii chervyachno-modul'nykh frez s progressivnoy skhemoy rezaniya // Tekhnologiya i avtomatizatsiya mashinostroitel'nogo proizvodstva. Nauchnye trudy Volgogradskogo politekhnicheskogo instituta. Vypusk 6 (1968 g.) / VPI. - Volgograd, 1975. - S. 26-31.
21. Nikitina Z.A. Instruktsiya po raschetu chervyachnykh frez / VNII. - M., 1966. - 27 s.
22. Nichkov A.G. Optimizatsiya rezhimov rezaniya i usloviy ekspluatatsii instrumenta na zubofrezernykh stankakh: Otchet o NIR. / UPI - Sverdlovsk, 1985 -85 s.
23. Nichkov A.G. Optimizatsiya tekhnologicheskikh parametrov zubofrezerovaniya i vnedrenie rezul'tatov raboty pri narezanii zubchatykh koles nefteburovago oborudovaniya: Otchet o NIR / UPI - Sverdlovsk, 1982 - 53 s.
24. Sidorenko A.K. Progressivnoe zubofrezerovanie. - M.: Mashgiz, 1951. - 116 s.
25. Khardin Yu.P. Issledovanie diagonal'nogo zubofrezerovaniya chervyachnykh koles: Avtoref. diss. kand. tekhn. nauk / UPI. - Sverdlovsk, 1967. - 19 s.
26. Churbakov V.F. Issledovanie sily rezaniya, tochnosti i chistoty poverkhnosti profilya zub'ev tsilindricheskikh kosozubykh koles pri zubofrezerovanii chervyachno-modul'nymi frezami s progressivnoy skhemoy rezaniya: Diss. kand. tekhn. nauk / VPI. - Volgograd, 1971. - 156 s.
27. Shishkov V.A. Obrazovanie poverkhnostey rezaniem po metodu obkatki. - M.: Mashgiz, 1951. - 152 s.
28. Shunaev B.K., Gavrilov P.G., Shmulevich A.G. Opredelenie dliny zagruzhennoy chasti frezy i usloviya ee ratsional'nogo ispol'zovaniya // Proizvodstvo i ekspluatatsiya rezhushchego instrumenta. Opyt ural'skikh zavodov. Vypusk 6. - M.-Sverdlovsk, 1954. - 152 s.
29. Bouzakis K., Ktsnig W. "Process models for the incorporation of gear hobbing into an information centre for machining data", Annals of the CIRP. 1981. Vol.30. No.1. P. 77-82.
30. Ktsnig W., Bouzakis K. "Chip Formation of Gear Shaping", Annals of the CIRP. 1977. Vol.25. No.1. P.17-20.
31. Sulzer G. Leistungssteigerung bei der Zylinderradherstellung durch genaue der Zerspankinematic. Diss. TH Aachen. 1973. p. 156.
32. Sulzer G. Bestimmung der Spanungsquerschnitte beim Wdlzrdsen. Industrie-Anzeiger 96. Jg. Nr. 12, 8/2/1974, S.246-247.
33. Tokarev V.V. Imitatsionnaya matematicheskaya model' geometricheskikh parametrov protsessa chervyachnogo zubofrezerovaniya. Metrologicheskie aspekty i algoritmicheskoe obespechenie: dissertatsiya kandidata tekhnicheskikh nauk. Volgograd. 1998.
34. Semenchenko I.I., Matyushin V.M., Sakharov G.N. Proektirovanie metallorezhushchikh instrumentov. - M.: Gosudarstvennoe nauchno-tekhnicheskoe izdatel'stvo mashinostroitel'noy literatury, 1963. - 952 s.
35. Spravochnik instrumental'shchika / I.A. Ordinartsev, G.V. Filippov, A.N. Shevchenko i dr. - L.: Mashinostroenie. Leningradskoe otdelenie, 1987. - 846 s.
36. Chervyachnye zuboreznye frezy: Uchebnoe posobie / V.V. Tokarev, G.G. Skrebnev, A T. Narozhnykh i dr. / VolgGTU. - Volgograd, 1998. - 137 s.
37. Lyukshin V.S. Teoriya vintovykh poverkhnostey v proektirovanii rezhushchikh instrumentov. - M.: Mashinostroenie, 1967. - 372 s.
38. GOST 25672-83. Obrabotka rezaniem. Terminy, opredeleniya i oboznacheniya obshchikh ponyatiy. - M., 1985. - 41 s.
39. Tokarev V.V., Skrebnev G.G. Matematicheskoe modelirovanie protsessov rezaniya, rezhushchego instrumenta i ASNI: Uchebnoe posobie / VolgGTU. - Volgograd, 1998. - 75 s.
