Основы методики преподавания математических дисциплин студентам-бакалаврам экономических специальностей Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ri

УДК 372.851

Основы методики преподавания

I математических дисциплин студентам-бакалаврам экономических специальностей

Г.В. Спиридонова, к.т.н., доцент

Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко (Приднестровская молдавская республика, MD-3300, г. Тирасполь, ул. 25 Октября, д.128) E-mail: [email protected] П.В. Макаров, к. ф.-м.н., доцент

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» (Россия, 119049, г. Москва, Ленинский проспект, д. 4) E-mail: [email protected] Н.В. Семенова, старший преподаватель

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» (Россия, 119049, г. Москва, Ленинский проспект, д. 4) E-mail: [email protected]

Рассмотрена методика и методология изучения математических дисциплин, проведения самостоятельной работы по математическим дисциплинам студентами-бакалаврами экономических специальностей. Изложены математические понятия на основе классического подхода и с учетом профессиональной направленности обучения, разобраны примеры задач для практических занятий и самостоятельной работы, решение которых проводится с использованием электронных таблиц MS Excel. Ключевые слова: методика преподавания, математические дисциплины, самостоятельная работа, бакалавр, экономические специальности, экономические задачи, MS Excel.

Подготовке студентов-бакалавров экономических специальностей уделяется большое внимание в связи с интенсивным развитием ряда разделов экономических и математических наук, всеобщей информатизацией экономических, технических, социальных, политических и других процессов, с возросшими требованиями овладения компетенциями практических навыков, способности эффективно решать возникающие перед современными выпускниками профессиональные задачи.

При подготовке экономистов особое место занимают математические дисциплины. Специфика содержания образовательного стандарта «ФГОС-3+» предполагает такое проведение учебного процесса, при котором изучение разделов высшей математики должно быть тесно связано с изучением прикладных математических дисциплин и должно учитывать профессиональную направленность будущих выпускников.

При переходе от специалитета к бакалавриату число аудиторных часов на изучение дисциплин математического цикла сильно уменьшилось. Однако содержание теоретического и практического материала осталось на прежнем уровне. Появилась новая форма проведения занятий - самостоятельная работа студентов в присутствии преподавателя по графику, утвержденному деканатом.

Согласно учебному плану, студенты-бакалавры экономических специальностей изучают дисциплины: «Математический анализ», «Линейная алгебра и геометрия», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Эконометрика», «Финансовые вычисления».

Сам перечень этих дисциплин говорит о роли математики при решении различных экономических задач, которое возможно только с помощью экономико-математических моделей и методов, обладающих высокой степенью абстрактности и универсальности [1, 2].

Большое значение для достижения поставленных задач имеет хорошо продуманная методика обучения математике. Основополагающую роль в данной методике, как показывает многолетний опыт преподавания авторов, должны играть задания, связанные с профилем будущей специальности бакалавров-экономистов.

Методика изложения всех математических понятий должна быть основана на классическом подходе и учете профессиональной направленности подготовки студентов.

3 ■ 2016 История и педагогика естествознания

Поэтому при чтении лекций, при проведении практических занятий, самостоятельной работы необходимо рассматривать экономический смысл, прикладную направленность понятий, их экономическую и геометрическую интерпретацию. Этот материал применяется на первом курсе в процессе решения простейших экономических задач при изучении курса математического анализа [3] и на втором курсе при изучении дисциплин «Методы оптимальных решений» [4], «Эконометрика» [5], при решении более сложных задач.

При изучении разделов курса «Математический анализ» необходимо вводить понятия экономического смысла функций, производных функций одной и нескольких переменных, находить экстремумы функций y = f(x), y = f(x1, x2.....xn) применять для решения задач метод множителей Лагранжа.

Приведем наглядный пример.

Рассмотрим функцию y = f(x), где y - это объем выпускаемой продукции, а x - количество потребляемого при этом ресурса. Пусть Ax - приращение потребляемого ресурса, Ay - приращение выпускаемой продукции. Производная , |im Ay dy

y = Hill— = — называется предельной производитель-

A^0 Ax dx

ностью ресурса, она характеризует приближенно дополнительный объем выпускаемой продукции при использовании дополнительной единицы ресурса. Если функция y = f(x) есть функция полезности блага (продукта) x, тогда соответствующая производная y называется предельной полезностью блага. Она выражает приближенно дополнительную полезность y - блага (продукта) при использовании дополнительной единицы этого блага.

Аналогично вводятся понятия предельных издержек производства, предельной производительности труда и понятия других факторов. При рассмотрении функции нескольких переменных y = f(x1, x2..... xn) частные производные

dy ■

yx ,j = 1,2.....n функции y по переменным выражают

j dxj

предельные показатели фактора - переменной y при использовании дополнительных единиц соответствующих независимых факторов-переменных x. Теоретические и экономические понятия производных применяются на практических занятиях при решении простейших задач профессиональной направленности.

Ниже приведены четыре задачи. Первые две студенты решают на практических занятиях. Третью и четвертую задачи студенты второго курса решают при изучении дисциплины «Методы оптимальных решений» в часы, предназначенные для самостоятельной работы.

Задача 1. Экспериментально установлено, что прибыль z от выпуска х единиц продукции первого вида и y единиц второго вида выражается в виде функции: z = 96ху - х3 -64У3 + 1033. Найти максимальную прибыль zmax, записать смысловой ответ, указав найденные значения х, y и zmax.

Задача является задачей нахождения безусловного экстремума функции, ее решение рассмотрено в [6].

Задача 2. По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 100 изделий. Изделия могут быть изготовлены на двух линиях. При изготовлении х изделий на первой линии затраты равны (2х + х2) у.е., а при изготовлении y изделий на второй линии затраты равны: (6y + у2) у.е. Определить, сколько изделий следует изготовить на каждой линии, чтобы выполнить план с минимальными затратами.

Задача является задачей нахождения условного экстремума функции.

Решение. Необходимо найти минимум функции затрат z = 2х + х2 + 6y + y2 при условии х + y = 100; из найденных решений выбрать те, у которых по экономическому смыслу значения х и y должны быть неотрицательны: х > 0, y > 0.

Применим метод множителей Лагранжа и найдем минимум функции Лагранжа:

L(х,y,X) = 2х + х2 + 6y + y2 + X(х + y-100) ^ min.

Найдем частные производные функции Лагранжа, приравняем их к нулю и получим систему уравнений:

8L

— = 2 + 2 х + X = 0,

8х

8L

— = 6 + 2 y + X = 0,

8y

8L

— = х + y -100 = 0.

8X

Решив систему уравнений, найдем точку X* = (51, 49), координаты которой положительны, точка лежит в области допустимых решений.

Вычисляем значение целевой функции в этой точке: z(X* = 2x51 + 512 + 6x49 + 492 = 5398.

Из геометрических соображений можем убедиться, что найденная точка является точкой минимума функции z.

Ответ: Чтобы выполнить план и выпустить 100 изделий с минимальными издержками 5398 у.е., необходимо на первой линии выпустить 51, а на второй 49 изделий.

Эти и другие простые примеры должны рассматриваться студентами первого курса при изучении дисциплины «Математический анализ». На втором курсе студенты изучают дисциплину «Методы оптимальных решений» и решают задачи профессиональной направленности, основой для решения которых является теоретический и практический материал, изученный на первом курсе. Далее рассмотрим две задачи, которые студенты выполняют на втором курсе при проведении самостоятельной работы при изучении дисциплины «Методы оптимальных решений» [7].

Задача 3. Применение производных при решении задачи оптимального выбора благ потребителем.

Дана функция полезности и(х1, х2, х3). Требуется:

1. Решить задачу оптимального поведения потребителя, найти оптимальный набор благ X* = (х1,х*,х3) при заданных ценах р1, р2, р3 благ и доходе потребителя М.

2. Найти функции спроса потребителя и вычислить реакции потребителя при изменении дохода и цен в точке оптимума.

3. Вычислить предельные полезности благ в точке оптимума.

4. Вычислить норму замещения для 2-го и 3-го товаров в точке оптимума.

5. Вычислить коэффициенты эластичности по доходу и ценам для заданных цен и дохода.

U — Xi+ ^2XiХ3 + 0,3Х2Х3.

6. Провести решение задачи в общем виде.

7. Составить программу расчета с помощью MS Excel для решения конкретного индивидуального занятия с численными значениями коэффициентов а1, а2, а3 при неизвестных в функции полезности U и при заданных ценах р1, р2, р3 благ и доходе потребителя М.

8. Провести расчетные операции и оформить письменный отчет.

Ниже рассмотрим решение конкретной задачи. U — 3 x1 x2 + x1 x3 + 4 x2 x3 p1 — 136, p2 —186, p3 — 216, M — 6240.

Решение.

1. Решим задачу оптимального поведения потребителя, если цены благ соответственно равны р1 = 136; р2 = 186; р3 = 216 и доход потребителя равен M = 6240.

Найдем функции спроса потребителя:

X1 — 1(Р1, Р2, Р3);

X2 — Р1, Р2, Р3);

X3 — f3( Р1, Р2, Р3),

где x1, x2, x3 - количество приобретаемого блага 1-го, 2-го и 3-го вида.

Для этого решим следующую задачу оптимального поведения потребителя. Математическая модель задачи имеет

вид: _

Xj > 0, j —1,3

Xl Pi + X2 P2 + X3 P3 = M.

U = 3 x1 x2 + x1 x3 + 4 x2 x3

• max.

(1) (2) (3)

Левая часть условия (2) - стоимость приобретаемых благ, а условие (3) означает, что полезность этих благ должна быть максимальной.

Решив задачу методом множителей Лагранжа, найдем функции спроса потребителя:

*1 = М ("16Р1 + 4р2 + 12р3),

М /„ „ ч

х2 = V (4Р1 " Р2 + 3Рз )

M

V (l2Pi + 3P2 - 9P3).

V = -16p2 - P| -

9Pl-

8P1P2 + 24pi P3 + 6P2 P3.

24M

_ Найдем оптимальный набор благ потребителя X* = (х.*,х2,х3) при заданных ценах на блага р1 = 136, р2 = 186, р3 = 216 и доходе М = 6240.

V = -16 • 1362 -1862 - 9 • 2162 + 8 • 136 • 186 + 24 • 136 • 216 + +6•186•216=398012.

х1 « 18,1863863; х2 « 15,7719868; х3 « 3,8567681.

Если речь идет о неделимых благах, то оптимальный выбор потребителя составит X * = (18; 15; 3), то есть ему необ-

[эо)

История и педагогика естествознания

3■2016

ходимо приобрести 1-го блага 18 единиц, 2-го - 15 единиц и 3-го - 3 единицы.

Но так как мы условились, что речь будет идти о делимых благах, то оптимальный выбор потребителя будет: X* = (18,186; 15,772; 3,857). Следует приобрести 1-го блага - 18,186 единиц, 2-го блага - 15,772 единицы, 3-го блага -3,857 единиц.

2. Функции спроса потребителя найдены в пункте 1. Вычислим реакции потребителя при изменении дохода М и цен Р1, Р2, Рз в точке оптимума.

дх-

Реакции —потребителя при изменении дохода М:

дМ

1160

дх 1

—1 = — (-16р, + 4р2 + 12р3 ) = -дМ Г 1 2 3 398012

0,0029145 > 0.

Аналогично найдем: дх

дх3

—2 * 0,0025276 > 0, —3 * 0,0006181 > 0

дМ

дМ

Поскольку при увеличении дохода спрос на 1-е, 2-е и 3-е блага возрастает, то эти блага ценные.

дх

Определим реакции —потребителя при изменении цены на 1-е благо: дР]

дх1 дР1

(-16Р1 + 4р2 + 12р3) р • V -(-16р1 + 4р2 + 12р3) • V

Р1

М_

V 2

М [-16 • V - (-16Р1 + 4Р2 + 12Р3) • (-32Р1 + 8Р2 + 24Р3 )) =

6240 3980122

• (-16 • 398012 -1160 • 2320) * -0,3568546 < 0.

дХ2 * -0,0954073 < 0, ,

дР2 дР3

-0,1458688 < 0,

дхэ

дР2

¡0,0275373 > 0,

^ (X )* = 3х2* дх1 ^ 2

)• = 3 х.'

£<х )•=Х1*+

- х3 = 51,172729,

-4 х3 = 69,98623,

-4 х2 = 81,274334.

На одну дополнительную единицу 3-го блага приходится 81,274334 единицы дополнительной полезности.

4. Вычислим нормы замещения благ в точке оптимума X * Норма замены 1-го блага 2-м:

п21 = -

ди : ди_ дх1 ' дх2

3 Х2 + Х3 3 х1' + 4 х3*

51,172729 69,98623

-0,731.

Для замещения одной единицы 1-го блага необходимо дополнительно приобрести 0,731 единицы 2-го блага, чтобы удовлетворенность осталась на прежнем уровне. Норма замены 1-го блага 3-м:

ди : ди_ дх1 ' дх3

3X2 + Х3

х1' + 4 х2'

51,172729 81,274334

^-0,630.

Для того чтобы удовлетворенность осталась прежней, необходимо 0,63 единицы 3-го блага, чтобы заменить 1 единицу 1-го блага.

Норма замены 2-го блага 1-м:

ди ди 3 х,* + 4 х3* 69,98623

п1,2 "

п1,2 =

дх2 дх1

3 х1 + 4 х3 3 х£ + х3

51,172729

-1,368.

Для замещения 1 единицы 2-го блага необходимо дополнительно приобрести 1,368 единицы 1-го блага, чтобы удовлетворенность осталась той же. Норма замены 2-го блага 3-м:

п3,2 =

ди : ди_

дх2 ' дх3

3 х1 + 4 х3 х1* + 4 х2*

69,98623 81,274334

• 0,861.

С увеличением цены на 1-е благо спрос на него уменьшается, значит, 1-е благо нормальное. Аналогично найдем дх

—2 * -0,0292228 , с ростом цены на 1-е благо спрос на 2-е дР1

благо уменьшается, эти блага взаимодополняемые, дх

—3 * 0,165654 < 0, с ростом цены на 1-е благо спрос на 3-е дР1

благо возрастает, эти блага взаимозаменяемые. Вычисляя производные:

Для замещения 1 единицы 2-го блага необходимо дополнительно приобрести 0,861 единицы 3-го блага, чтобы удовлетворенность не изменилась. Норма замены 3-го блага 1-м:

п1,3 =

ди : ди_ дх3 ' дх1

х1 + 4 х2 3х2 + х3

81,274334 51,172729

-1,588.

Для замещения 1 единицы 3-го блага необходимо дополнительно приобрести 1,588 единицы 1-го блага, чтобы удовлетворенность осталась той же. Норма замены 3-го блага 2-м:

п23 = —

ди : ди_

дх3 ' дх2

х1 + 4 х2 3 х1* + 4 х3*

81,274334 69,98623

-1,161.

выясняем, что 2-е и 3-е блага нормальные, а блага 3-е и 2-е взаимозаменяемые.

3. Вычислим предельные полезности благ в точке экстремума X * = (х1, х', х3). Это значения частных производных функции полезности и(х1, х2, х3) по соответствующим аргументам в точке X'

X* = (18,186386; 15,771987; 3,856768).

Для замещения 1 единицы 3-го блага необходимо дополнительно приобрести 1,161 единицы 2-го блага, чтобы удовлетворенность не изменилась.

5. Вычислим коэффициенты эластичности по доходу и ценам при заданных ценах и доходе: р1 = 136, р2 = 186, р3 = 216 и доходе М = 6240 Для блага 1:

дх1 : = 0,0029145 • 6240 = 1

дМ М

18,1863863

На одну дополнительную единицу 1-го блага приходится 51,172729 единицы дополнительной полезности.

На одну дополнительную единицу 2-го блага приходится дополнительных единиц полезности.

При увеличении дохода на 1 % спрос на 1-е благо возрастает на 1%.

Коэффициенты эластичности по ценам:

,_Р дх-1 х-] -0,3568546 • 136

БРЛ = —1: -1 = —^-* -2,668602.

11 дР1 Р1 18,1863863

При росте цены на 1-е благо на 1 % спрос на него уменьшается на 2,669 %.

Р дхл хл -0,0292228 • 186 ЕР2 = —1: -1 ^ ^^^ * -0,298874.

12 дР2 Р2 18,1863863

При росте цены на 2-е благо на 1 % спрос на 1-е благо уменьшается на 0,299 %.

п3,1 =

3■2016

История и педагогика естествознания

И

EP = 8x1 : x1 = 0,1656540 • 216 13 = 9p3 ' P3 = 18,1863863

• 1,967475.

При росте цены на 3-е благо на 1 % спрос на 1-е благо увеличивается на 1,967 %.

Проверка: eM + E!p1 + Ep2 + Ep3 = 0.

1 + (-2,668602) - 0,298874 + 1,967475 = 0.

(Погрешность возникает в результате округления чисел и работы с этими округленными числами).

Для 2-го и 3-го блага получим: EM ~ 1, Ef1 «-0,251984,

Ef2 « -1,125144 , Ef3 « 0,377128 , следовательно при увеличении дохода на 1% спрос на 2-е благо возрастает на 1%, при росте цены на 1-е благо на 1% спрос на 2-е благо уменьшается на 0,25%, при росте цены на 2-е благо на 1% спрос на него уменьшается на 1,125%, при росте цены на 3-е благо на 1% спрос на 2-е благо увеличивается на 0,37 %.

Проверка: EM + Epp1 + Ep2 + Ep3 = 0,

1 - 0,251984 - 1,125144 + 0,377128 = 0.

EM E

1, EP '1, E31

' 5,841405, Ep2

1,328039, Ep3

-8,169447;

при увеличении дохода на 1% спрос на 3-е благо возрастает на 1%; при росте цены на 1-е благо на 1% спрос на 3-е благо увеличивается на 5,8%; при росте цены на 2-е благо на 1% спрос на 3-е благо растет на 1,3%; при увеличении цены на 3-е благо на 1% спрос на него падает на 8,17%.

Проверка: EM + Epp1 + Ep2 + Ep3 — 0,

1 + 5,841405 + 1,3280393 - 8,169447 = 0.

Все расчеты произведены достаточно точно и правильно.

Аналогично при проведении самостоятельной работы проводится решение следующей задачи.

Задача 4. Применение производных при решении задачи оптимального поведения производителя.

Дана производственная функция типа Кобба - Дугласа:

y — A • xO xf. Найти:

1. Степень однородности функции.

2. Функцию издержек, и минимальные издержки при фиксированном значении объема выпускаемой продукции y0.

3. Предельные производительности ресурсов для заданных значений X10 и X20 .

4. Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам и эластичности от расширения масштаба производства.

5. Предельную норму замещения ресурсов для заданных

значений x0 и x£.

6. Оптимальный выбор производителя по критерию максимальной прибыли в условиях совершенной конкуренции в общем виде и при ценах единицы продукции P и ресурсов

q2.

7. Реакции производителя при изменении цен на продукцию и на ресурсы и соответствующие коэффициенты эластичности при ценах, заданных в пункте

8. Задания пунктов 2 и 6 выполнить в общем виде, а затем с помощью программы, использующей электронные таблицы MS Excel, провести необходимые расчеты и оформить отчет.

Решение конкретного примера приведено в работе [7].

В заключение еще раз отметим, что при изучении различных разделов высшей математики будущими бакалаврами решаются задачи, показывающие, каким образом эти разделы соотносятся с выбранной профессией, где и в каких областях экономики они смогут использовать полученные математические знания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Гамецкий А.Ф., Соломон Д.И. Математическое моделирование макроэкономических процессов. Кишинев, Эврика, 1997. 318 с.

2. Гамецкий А.Ф., Соломон Д.И. Математическое моделирование микроэкономических процессов. Кишинев, Штиинца, 1996. 280 с.

3. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. ЮНИТИ. М., 2004. С. 472.

4. Методы оптимальных решений: Метод. указания к индивидуальным заданиям. Ч. 1. Сост. Г.В. Спиридонова, Н. В. Леонова. ООО «РВТ». Бендеры, 2013. С. 64.

5. Спиридонова Г.В., Макаров П.В., Семенова Н.В., Журжи И.И. Эконометрика, лабораторный практикум. Тирасполь: Изд-во Приднестровского университета. 2016.С. 108.

6. Спиридонова Г.В., Семенова Н.В., Старчук Т.И. Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей. Ч. 2. Тирасполь: РИО ПГУ, 2001. 52 с.

7. Спиридонова Г.В., Семенова Н.В., Старчук Т.И. Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей. Ч. 4. Тирасполь: РИО ПГУ, 2007. 96 с.

ABOUT METHODS OF TEACHING MATHEMATICAL DISCIPLINES TO STUDENTS-BACHELORS OF ECONOMIC SPECIALTIES

Spiridonova G.V., Cand. Sci. (Tech.). Associate Prof., Transnistrian State University (128, ul. 25 Octyabrya, Tiraspol, MD 3300) Makarov P.V., Cand. Sci. (Ph.-m.), Associate Prof., National University of Science and Technology MISiS (4, Leninskiy prospect, Moscow, 119049, Russia) E-mail: [email protected]

Semenova N.V., Lecturer. National University of Science and Technology MISiS (4, Leninskiy prospect, Moscow, 119049, Russia) ABSTRACT

The technique and methodology of the study of mathematical disciplines, conducting independent work on the mathematical disciplines of undergraduate students of economic specialties. The basis of the study is the presentation of mathematical concepts based on the classical approach and taking into account the professional orientation of students, the use of Excel MS during independent work. Keywords: independent work, undergraduate students, economics, professional orientation, Excel MS.

REFERENCES

Gametskiy A.F., Solomon D.I. Matematicheskoye modelirovaniye mаkroekonomicheskikh protsessov [Mathematical modeling of mаcroeconomic processes]. Chisinau, Evrika Publ., 1997, 318 p. (In Russian).

Gametskiy A.F., Solomon D.I. Matematicheskoye modelirovaniye mikroekonomicheskikh protsessov [Mathematical modeling of microeconomic processes]. Chisinau, Shtiintsa Publ., 1996, 280 p. (In Russian).

3. Vysshaya matematika dlya ekonomistov [Higher mathematics for economists]. Edited by N.S.Kremer. Moscow, YUNITI Publ., 2004, p.472 (In Russian).

4. Spiridonova G.V., Leonova N.V. Metody optimal'nykh resheniy. Metodicheskiye ukazaniya kindividual'nym zadaniyam [Methods of Optimization. Guidelines to the individual tasks]. Part 1. 2013. Bendery, RVT Publ., p. 64. (In Russian).

Spiridonova G.V., Makarov P.V., Semenova N.V., Zhurzhi I.I. Ekonometrika, laboratornyypraktikum [Econometrics, laboratory practice]. 2016, Tiraspol RIO PGU Publ., p. 108. (In Russian)

Spiridonova G.V., Semenova N.V., Starchuk T.I. Programma, metodicheskiye ukazaniya ikontrol'nyye zadaniya dlya studentov-zaochnikov ekonomicheskikh spetsial'nostey [The program, methodical instructions and control tasks for part-time students of economic specialties], 2001, part 2, Tiraspol, RIO PGU Publ., 52 p. (In Russian)

Spiridonova G.V., Semenova N.V., Starchuk T.I. Programma, metodicheskiye ukazaniya ikontrol'nyye zadaniya dlya studentov-zaochnikov ekonomicheskikh spetsial'nostey [The program, methodical instructions and control tasks for part-time students of economic specialties], 2007, part 4, Tiraspol, RIO PGU Publ., 96 p. (In Russian).

[32J

История и педагогика естествознания

3■2016