Об одной экономико-математической модели поведения покупателя на потребительском рынке Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 517.955

ОБ ОДНОЙ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ ПОКУПАТЕЛЯ НА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОМ РЫНКЕ

Д.В. Туртин, Т.Ф. Аржаных, А.Н. Смирнова

Ивановский филиал Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова

Поведение покупателя на потребительском рынке является актуальной проблемой современной экономики. На сегодняшний день существует достаточно много моделей, описывающих данную ситуацию с использованием категории полезности. Однако, практически, не уделяется внимание экономико-математическому моделированию реакции покупателя на изменения на потребительском рынке. В данной работе установлено, что в модели поведения потребителя, с двухфакторной мультипликативной функцией полезности, все товары являются ценными, но эти товары не обладают валовым заменителем. Предлагаемая модель может быть использована при прогнозировании покупательной способности потребителя. Рассмотренная модель, по средствам используемого математического аппарата, может быть обобщена на произвольное число товаров или услуг. Это дает авторам возможность дальнейшего исследования данной проблемы.

Ключевые слова: модель, поведение покупателя, потребительский рынок, ценные товары, малоценные товары, спрос, полезность.

Теория потребительского поведения на рынке, в основе которой лежит категория полезности, включая закон убывающей предельной полезности, является основным направлением экономической мысли. Проблема потребления занимает одно из важных мест в экономической науке. На Западе она разрабатывалась в рамках теории предельной полезности, а в отечественной традиции -в политэкономическом аспекте широко трактуемая теория личного потребления. Потребители, выступая на рынке, наталкиваются на два рода трудностей: ограничение дохода и уровень цен на товары [5, с. 31]. С понятием предельной полезности продукта связаны идеи дифференциации, индивидуализации потребительского спроса. В рамках маржинализма особое значение придается равновесию потребителя, то есть ситуации, в которой покупатель не может увеличить общую полезность (получаемую исходя из данного бюджета), расходуя меньше денег на приобретение одного блага и больше на приобретение другого блага [1]. Максимизация полезности истолковывается как равновесие потребителя, обладающее фундаментальным значением в хозяйственной деятельности [5]. Это проявляется

в том, что потребитель для нормальной жизни нуждается в наборе благ, однако все эти потребности он в состоянии обеспечить, лишь в соответствии со своими финансовыми возможностями, с учетом рыночных цен. Производители и продавцы приспосабливаются к структуре платежеспособного спроса людей, дифференцируя их по группам материальной состоятельности с тем, чтобы одни наборы благ предоставлять бедным людям, совершенно другие корзины товаров и услуг ожидают на рынке людей богатых. Производство и торговля отслеживают также типичные нарушения равновесия потребителей, которые происходят тогда, когда товары, ранее бывшие привычными, вытесняются заменителями или появляются новые потребности, не обеспечиваемые производством на достаточно приемлемых для людей условиях. Показательны случаи, когда потребители в массовом порядке наблюдают, что предельные полезности отдельных товаров в смысле пропорциональности их ценам обнаруживают несоответствия. Это подрывает равновесие потребителя, поскольку происходят изменения в его доходах, вкусах, а также ценах на товар. В связи с вышесказанным, приобретает смысл изу-

чение математическом модели поведения потребителя, в которой автор выявляет основные свойства товаров, когда полезность описывается функцией Кобба-Дугласа и(хх,х2) = х"х2~а.

Основные определения и обозначения в модели поведения потребителя. Через п обозначим конечное число рассматриваемых товаров; л = ,..., ли )т

- вектор-столбец товаров, приобретённых потребителем за определённый срок при заданных ценах р{ (г = 1,..., п) и доходе М. Под пространством товаров будем понимать множество всевозможных наборов товаров л = (л,...,ли)Т с неотрицательными координатами л (г = 1,...,п) . Пусть X ^ Щ - множество, на котором определены интересы потребителя. Любые два вектора л, у е X потребитель может сравнить и сделать из них выбор. На множестве X введем бинарное отношение >, называемое отношением предпочтения [2], которое удовлетворяет следующим условиям: 1) л > л; 2) л > у, у > z ^ х > z; 3) для любой пары л, у е X либо л > у, либо у > л, либо и

то и другое.

При изучении поведения потребителя используется так называемая функция полезности. Эта функция приписывает всякому набору товаров некоторое число - его «полезность» с точки зрения индивидуума. Хотя функция полезности, несомненно, весьма удобное средство формализации многих экономических задач, тем не менее предположение о существовании такой функции есть некая гипотеза, справедливость которой можно оспаривать. С другой стороны, представляется естественным, что всякий человек может сделать выбор между любыми двумя наборами товаров. В этом случае говорят, что тем самым на множестве X задается отношение предпочтения. Приведем следующее определение. Опреде-

ление 0: Функция u(x) — u(x,x2xB) ,

определенная на множестве X, называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения > [2], если u(x)> u(y) тогда и только тогда, когда x > y. Из этого определения легко

видеть, что u(x, х2 ) = x"xl2a является функцией полезности.

Модель поведения потребителя. В этом разделе мы будем изучать поведение потребителя, стесненного бюджетными ограничениями, т.е. предполагается, что каждый товар имеет некоторую цену, а потребитель обладает определенным капиталом, тратя который на приобретение товаров, он стремится к максимизации своей функции полезности. Предположим, что область определения X функции полезности совпадает с RП, функция u дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет следующим условиям:

1) ди > 0- с ростом потребления блага

dxi

полезность растёт;

2) lim — да - небольшой прирост блага

xi dxi

при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность;

3) < 0 - с ростом потребления блага

Йх.

скорость роста полезности замедляется;

4) lim ди — 0 - при очень большом объё-

xi dxi

ме блага его дальнейшее увеличение не приводит к увеличению полезности.

Покажем, что мультипликативная функция u(x1,х2) = х"х-~а при выполнении ограничения 0 < а < 1 является функцией полезности. Поскольку

Йи а—1 1—а Йи

— ах^ х2 ,

дхх дх2

— (1 — а) хах2а

и

xi > 0 (i —1,2), то условия 1), 2), 4) выполняются лишь при 0 < а < 1 . Заме-

тим, что при 0 <а < 1 будет реализовано и условие 3). Таким образом,

и(х,х2) = х"л12а является функцией полезности при 0 < а < 1 . В теории потребления предполагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность и единственно, что его сдерживает - ограничение дохода. В связи с этим допущением мы приходим к следующей задаче: найти максимум функции

и(х1, х2,..., хп) при условии

(Л х) = Р1х1 + Р2х2 + ... + Рпхп = М . (1) Задача (1) описывает модель поведения потребителя. В (1) предполагается, что точка максимума х* е X. Эта задача на условный экстремум сводится к нахождению безусловного экстремума функции Лагранжа:

Ь(х, Л) = и(х) - Л(рх - М).

Применяя к функции Ь(х, Л) необходимые условия существования локального экстремума, получим:

ЁрЛ* =М,

(2)

1=1

= |и (х*) -ЛЛр, = 0, г = 1,..., п; (3)

дх1 дх1

Поскольку по предположению для функции полезности должны выполняться условия 1)-4), то уравнения (2)-(3) определяют точку максимума. Из (3) видно, что потребитель при фиксированном доходе так выбирает набор х*, что в этой точке отношения предельных полезно-стей равны отношениям цен:

ди л ди

—(х*):...:—(х*) = Рх:...:Рп.

дх1 дхп

Если разрешить уравнения (2)-(3) относительно х *, получим функцию спроса потребителя х* = х * (р, М). Далее для

и(х1, х2 ) = хах2-а, 0 < а < 1 в модели поведения потребителя найдем функцию спроса покупателя. Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид:

х^,х2,...,хп,Л) — ха х^2

-Л- (рх + Р2 х2 + ... + рпхп - М) . (4) Применив к функции (4) необходимое условие существования экстремума, получим систему из 3 уравнений

аха-1 х2-а - Лр1 = 0,

^(1 -а)хах-а -Лр2 = 0, (5)

Р1 х1 + Р2 х2 = М

В системе (5) поделим первое уравнение на второе, в результате чего получим:

х2 =

(1 -а)Р1 аР2

х.

(6)

Подставим (6) в последнее уравнение системы (5):

Р1 х1 + Р2

Р1(1 -а) Р2а

х1 = М

Откуда

аМ

х1 =■

Р1

(7)

х2 =

Из (6) с учетом (7) получим (1 -а)М

Р2 .

Таким образом, компоненты функции спроса для и(х1,х2) = х^х^-1, 0 < а < 1 имеют вид: а М

х1 =—— , а1 = а, а2 = 1- а (1 = 1,2). (8) Рг

По найденной функции спроса можно получить информацию о рассматриваемых товарах. В связи с этим приведем определения ценных (малоценных) товаров и валового заменителя, сформулированных в [3, 4]:

Товар г называется ценным, если при увеличении дохода спрос на него

дорастёт, т.е. > 0, и малоценным, если

дМ

дх.

-< 0. (определение 1, известно [4],

дМ

что ценные товары обязательно существуют); продукт I называется валовым

продукта

если

заменителем Зл

—- > 0. (определение 2); функция спро-

3Рг

са л(рх,р2,...,ря,М)обладает свойством валовой заменимости, если с увеличением цены на любой продукт i спрос на остальные продукты не убывает:

Зл ■ Зл ■

—- > 0, - * г, если же —- >0, то функция

ЗРг 3Рг

спроса обладает свойством сильной валовой зависимости ( определение 3).

Покажем, что все рассматриваемые товары для функции Кобба-Дугласа являются ценными. Действительно, фиксируя I (/ = 1,2), из формулы (8) имеем

3x1

а

> 0 (i = 1,2)

3M pi

и, применяя определение 1, получаем искомое. Далее из формулы (8) следует

3x,

3pt

а, M

Pl , i = l; 0, i * l

и, используя определение 2, заключаем, что товар I (/ = 1,2) не обладает валовым заменителем. Применяя определение 3, можно показать, что функция спроса (8)

даже не обладает свойством валовой заменимости.

Подводя итоги, легко заметить, что товар I (/ = 1,2) в модели поведения потребителя (1) для мультипликативной функции Кобба-Дугласа является всегда ценным, но не обладает валовым заменителем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Амбарцумов А. А., Стерликов Ф. Ф. 1000 терминов рыночной экономики. Справочное учебное пособие. М.: Крон-Пресс, 1993. 299 с.

2. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. 368 с.

3. Гранберг А. С. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. 240 с.

4. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 399 с.

5. Рамазанов Д.И. Инфляция и потребление продуктов питания в постсоветской России // Многоуровневое общественное воспроизводство: вопросы теории и практики.2015. №8(24). С.316-323.

5. Экономика (Экономическая теория): Учебное пособие для вузов / Под рук. и ред. проф. Б. Д. Бабаева 4-е изд. Иваново - Москва - Тверь: Ивановский государственный университет, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, Тверской филиал, 2002. 405 с.

Рукопись поступила в редакцию 25.10.2016.

ABOUT ONE ECONOMIC-MATHEMATICAL MODEL OF BEHAVIOR OF THE BUYER

IN THE CONSUMER MARKET

D. Turtin, ^ Arzhanykh, A. Smirnova

The behavior of the buyer in the consumer market is an actual problem of modem economy. For today there are many models, describing the given situation with use of a category of utility. However, practically, the attention to economic-mathematical modeling of reaction of the buyer on changes in the consumer market is not paid.In the given work it is established, that in model of behavior of the consumer, with two-factorial multiplicative function of utility, all goods are valuable, but these goods do not possess a total substitute. The offered model can be used at forecasting of consumer ability of the consumer. The considered model, on mathematical apparatus means can be generalized on any number of the goods or services. It gives the chance to authors of the further research of the given problem.

Keywords: model, behavior of the buyer, consumer market, valuable goods, low-value goods, demand,

utility.