Экономико-математическая модель потребителя электроэнергии в условиях альтернативной энергетики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 631.371: 65.011.46+332.144

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ В УСЛОВИЯХ АЛЬТЕРНАТИВНОЙ

ЭНЕРГЕТИКИ

А.Ю. МОШИН

Университет Российской академии образования

Рассмотрена экономико-математическая модель и ее решения, позволяющие определить оптимальный набор альтернативных источников электроэнергии для потребителя с учетом местных условий, который может повысить вероятность бесперебойного снабжения потребителя электроэнергией (мощностью), а также предоставить возможность активного участия потребителя в оптимальном использовании электроэнергии, ее сбережении и повышении уровня безопасности электроснабжения.

Ключевые слова: энергобезопасность сельскохозяйственных предприятий, энерготарифы, локальные источники энергии, организационные формы энергообеспечения.

Условия топливоснабжения электростанций (требуемые объемы поставок топлива и цены) могут оказывать существенное влияние на формирование перспективной структуры развития электроэнергетики [1]. В свою очередь, возможность появления ограничений на добычу и производство энергоресурсов будет сдерживающим фактором развития электроэнергетики, поскольку в России до сих пор ориентация в топливном балансе электростанций на природный газ, неконтролируемый рост потребления которого, из-за искусственно заниженных цен на него, не обеспечивает безопасность энергосистемы (монотопливо, которым является газ из единой системы газоснабжения, содержит в себе повышенные риски на случай форс-мажорных ситуаций) [2].

Очевидно, что одним из обязательных условий обеспечения безопасности электроснабжения является рациональное использование имеющихся запасов топливно-энергетических ресурсов, и это возможно только при активном внедрении альтернативной энергетики в стране [3, 4]. К сожалению, местные виды топлива (торф, биотопливо, ветреная, солнечная и приливная энергия, древесные отходы и т.д.) являлись в прошлом нетрадиционными и только в настоящее время получают развитие, в отличие от экономически развитых стран Европы и США.

Поэтому перед потребителем в процессе развития рыночных отношений на внутреннем рынке электроэнергии встанут вопросы выбора генерирующей компании (источника, использующего определенный вид топлива), с тем чтобы обеспечить себе надежную поставку электроэнергии (безопасность) с учетом ее стоимости.

Исходя из вышеизложенного, целью данной работы явилась разработка экономико-математической модели потребителя, позволяющей оптимизировать набор альтернативных источников электроэнергии в рыночных условиях для повышения собственной безопасности.

© А.Ю. Мошин

Проблемы энергетики, 2010, № 7-8

Пусть потребитель на внутреннем рынке имеет возможность покупать электроэнергию (мощность) от п различных источников (например, ТЭЦ; АЭС; ветреная, солнечная, приливная генерирующие компании и т.д.), занумерованных индексом г. Вектор X((... к хп) соответствует набору источников электроэнергии, причем хг - некоторое количество электроэнергии по цене рг, а в цену ру включена, как и ранее предлагалось, стоимость услуг по обеспечению надежности электроснабжения.

Вектор X ( . ху . хп) при ху > 0 входит в положительный «октант» С пространства Яп (линейного векторного пространства), в котором определены операции умножения на положительное число и сложение, что имеет практический смысл. Векторы цен Р(р1... рп) составляют особую группу векторов, операции над ними не определены (не имеют практического смысла), но можно определить для

пары векторов X , Р их скалярное произведение ((, Р) = ^ ху рг, имеющее смысл

г=1

стоимости электроэнергии хг с ценами рг (очевидно р^ > 0).

Заметим, что если вектор начинается в точке 0, то он может иметь конец в любой точке отрезка ХУ. И тогда, если векторы X, У е С и а + в = 1, то вектор

(аХ + рУ)е С (1)

и конец его лежит на отрезке, соединяющим точки X и У.

В самом деле, как следует из рис. 1, вектор А может быть записан как X + р(У- X), 0 < р < 1 и, следовательно, А = X(1 -р)+ рУ = аX + рУ, что и

требовалось доказать (т.е. конечная точка вектора А , представленного в виде (1), лежит на отрезке, соединяющим концы векторов X, У.

(Г-А-)

¥

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству выпуклости «октанта» С Такое свойство С называется выпуклостью.

Рассмотрим бюджетное множество в(Р, Q). Если доход потребителя - Q , а

цены выражаются вектором Р , то он может купить электроэнергию (мощность)

. . п п

из набора источников X при условии ((, Р) = ^ х^р^ < Q. В случае ^ хг р[ = Q

г=1 1=1

будем называть множество всех таких X бюджетным множеством в(Р, Q), X е в(Р, Q) (зависит от цен Р и дохода Q ). Докажем, что в(Р, Q) представляет

собой плоскость, вектор цен Р к которой является перпендикуляром (нормалью). Если X е В(Р, Q), У е в(Р, Q) и а + р = 1, то

(аХ + рУ, р)= а(Х, р)+ р(Х, р)= + Р2 = О Значит прямая, содержащая концы векторов X и У, принадлежит плоскости в(Р,&), при этом в(Р,Q) - выпукла. Заметим, что, согласно вышеприведенному определению выпуклости плоскости, она является (п - 1)-мерным образованием.

Рассмотрим систему предпочтений потребителя. Потребитель оценивает различные наборы и сточников эл ектроэнергии с точки зрения предпочтительности. X < У означает, что У по крайней мере не хуже X, т.е. либо X < У, либо X — У. Отношение предпочтения обл адает транзитивность ю: если X < У и У < 2 , то X < 2 ; если X < У и У < 2 , то X < 2 ; если X — У и У — 2 , то X - 2 ; а также непрерывностью в метрике Яп : из ^ X, Xn < У} следует, что X < У и если У < X , Xn ^ X, то начиная с некоторого п, при ш > п , Xш > У.

Также система предпочтений рефлексивна: X — X; полна: либо X < У, либо У < X ; возрастает: при а > 1, ах > х; выпукла: если Z □ У , то

©У + (1 -©)2 > У,2.

Рассмотрим далее функцию полезности и{к). Она определена на С и обладает свойствами:

1) X < У о и^)< и(У);

2) X — У о и^)= и(У);

3) непрерывности: при Xn ^ X в метрике Яп.

Функция полезности существует (и не одна). В самом деле, разбив все множество С на классы эквивалентности, получим отношение порядка уже между классами (взяв по одному представителю из каждого класса). Далее, для любого

выпуклого ограниченного в метрике Яп подмножества С1, не касающегося осей

координат при X ^ 0 из С, находим наивысший класс (существует ввиду непрерывности отношения порядка) и наинизший (начало координат). Соединив лучом исходящим из 0 любую точку из наивысшего класса и придавая началу значение «0», концу - 1, середине - 0,5 и т.д. и распространяя затем эту оцифровку на все классы, «нанизанные» на данный луч (ввиду непрерывности отношения порядка предпочтений луч пересечет все классы), мы получим, как легко видеть, функцию, имеющую в некоторой определенности луча достаточное количество производных (введя аксиому так называемой «дистальн ости», можно расширить эту окрестность на все подмножество С1). Обозначим ее и^). ди

-1X1 называется предельной полезностью г-го источника электроэнергии

дх;

в точке X(х1,...хп). Градиент и 1X1 и = ,

1дх1 дхп)

направлении которого и растет быстрейшим образом. Изолинии и^) - линии равного предпочтения или безразличия. Легко видеть, что классы

ди ди

это вектор, в

эквивалентности имеют касательные, нормальные к grad u = () (если сами не являются кусками прямых). Они выпуклы вниз и, как из ранее сказанного следует, что при Z ~ Y u (© Y + (1 - ©)) > u (г), u (Z).

Из аксиомы дистальности следует, что для любых двух классов эквивалентности X и Y отношение максимального расстояния между их представителями к минимальному расстоянию не более некоторого фиксированного числа M, одного для всего подмножества С (разрешающая способность потребителя, позволяющая дифференцировать, различать между собой пары наборов, не бесконечна).

Так как касание кривой безразличия какой-либо оси координат означало бы важность источника электроэнергии в наборе (X), что недопустимо с точки зрения потребителя, то эти кривые (поверхности) асимптотически стремятся к осям, что означает, вместе с их выпуклостью вниз,

дu

Нш

дхi

= 0,

дх 2

< 0

(2-й закон К. Тоссена).

Набор А , как видно из рис. 2, замещается набором В , равноценным с А . При

этом отношение

-дх/ дЛ;

в пределе при дх; ^ 0 называется предельной нормой

замещения г-го /-м источником электроэнергии и обозначается М/. Очевидно, что при перемещении из В в А ди = 0, и полный дифференциал равен

ди / ди

. При х^ ^ 0 предельная полезность

0 = ^^йхг + ;. Отсюда М/ = -ди-

дх; 1 дх/ 3 дх;1

дх

источника электроэнергии г уменьшается; вместе с ней уменьшается М; (если /

соответствует одному источнику электроэнергии, а ; потребления у потребление г возрастает).

«Г<к1«

рост«

другому, то при уменьшении

линии безразличия

Рис. 2. Иллюстрация равноценного замещения набора А набором В Используем зависимость бюджетного множества в(Р, Q) от дохода Q и цен Р .

Рассмотрим без ущерба для общности 3-х мерный случай Я3. Заметим, что выражение вида

х1 + ^2 х2 + А3 х3 = 0 (2)

является уравнением некоторой плоскости П. Разделим А0 на части,

рцион; Итак,

2 2 2

пропорциональные ^ , А2, А3

2 2 2 А0 = ХА1 + + х А3,

где X = -

А0

А2 + А2 + А2

(3)

123

(знаменатель не равен 0). Тогда получаем, группируя члены, А1 (х1 - ХА1)+ А2 (х2 - ХА2 )+ А3 (х3 - ХА3 )= 0 ,

то есть Х (х1, х2, х3 ) получен прибавлением к ХА вектора Х — ХА, нормального к

А. Таким образом вектор Х принадлежит некоторой плоскости П, что и требовалось доказать (рис. 3).

Л (Л-;, ЛГ2,Л"З)

Рис. 3. Иллюстрация принадлежности вектора Х некоторой плоскости П

Заметим, что вместе с А нормален к плоскости П и ХА, следовательно, он является перпендикуляром к плоскости П, расстояние же от П до точки 0 равно

+ а2 + а| =

А0

л/А?

2+А22+А32

Итак, расстояние от в(Р, 0) до точки 0 равно

0

и при

у/р1 + Р2 + Р3

изменении дохода на д0 плоскость в(Р, 0) перемещается параллельно себе на

0

расстояние дd =

л/р1 + Р2 + Р3

© Проблемы энергетики, 2010, № 7-8

. Вектор цен нормален к плоскости в(Р, .

Задача же потребителя заключается в максимальной полезности набора X (х 1, х2, к хп ) при заданном доходе Q . Рассмотрим эту задачу графически.

Q'P2

и - const, U = const; и = const]

Xi

Рис. 4. Графическая иллюстрация выбора потребителем источника электроэнергии

Среди семейства линий равной полезности найдем ту, которая касается

*

бюджетного множества. Точка х - точка оптимального спроса, при этом воспринимается набор максимальной полезности при заданном Q .

Любая другая точка на линии и = const3, например хi, отвечает большему Qi.

Найдем х аналитическим способом. Требуется найти max u (х) при условии Q. Используем функцию Лагранжа l(x, l)= u (х)+1 (qр^х^).

Ее экстремум находится из уравнений:

dL ди дх^ dxi

—— = —--kpi = 0, i = 1,...и ;

(4)

f=Q-S рх=0.

(5)

Последнее уравнение соответствует бюджетному ограничению. Отсюда (п + 1 уравнение для п + 1 переменных):

ди

-кр;, I = 1,...п;

ах1

Q "Е Ргхг = 0.

Первая группа уравнений дает

ди I I . * ди . * -\рЛ * = 1 , или-= 1

fa; 1 Цх =х

(6)

йхг рг

* / * * \

Это означает, что предельная полезность в точке спроса х х ...х^

*

относится к единице цены, постоянна и к - это предельная полезность © Проблемы энергетики, 2010, № 7-8

источника на рубль его цены электроэнергии, или ди /дQ¿ = р■ дх-), т.е.

*

предельная полезность в точке спроса постоянна и равна X . Если бы это было не так, то следовало бы перейти в точку, в которой предельная полезность была лучше, то есть полезность источника электроэнергии г с большей величиной

ди/дQ^ . Отсюда видно, что х - оптимальна.

*

Итак, точка спроса х является функцией цен и дохода: * * / \

хг = хг (1 кРп, Q), г = 1,кп. Таким образом, получили формализованную

модель потребителя (конечно, обобщенного).

Рассмотрим теперь зависимость функции спроса от цен и дохода. Рассмотрим 2-х мерный случай, все выкладки легко переносятся на п-мерное пространство.

Пусть цена электроэнергии 1-го источника изменилась на ЗР1.

* *

Дифференциал выражения Q = Р1Х1 + Р2^2 равен

***

dQ = йр1 хх + РldХl + Р2^2 (7)

(точка спроса перемещается по (изолинии) равнополезности).

Считая изолинию достаточно гладкой (т.е. имеет, по крайней мере, 2-ю

*

производную), получаем, что в малой окрестности х расстояние от изолинии до

**

бюджетной линии (касательной) пренебрежительно мало по сравнению с «х1 dх2

* * *

и Р1«х1 + Р2«х2 ® 0. Отсюда dQ = «Р1 х1 с точностью до бесконечно малой

высшего порядка по сравнению с «х* , «х2 . Дифференциал «х* вдоль изолинии запишем в виде, используя последнее выражение для dQ :

* л * * *

* дх1 дх дх1 дх1 * дР1 ЭQ дР1 дQ

Этот дифференциал обусловлен поворотом Р за счет «Р1, при этом «Р1 и

dQ связаны уравнением (7). При увеличении Р1 происходит увеличение Q

(компенсирующее) так, чтобы оставаться при прежнем значении (максимальной) полезности (рис. 5).

Х2,

Рис. 5. Зависимость функции спроса от цен © Проблемы энергетики, 2010, № 7-8

Отсюда, деля dx* на dpi, получим

dPi ф1

вдоль изолинии

dpi

dx!

при 2 ÖQ фиксир

Аналогично, для 6X2:

dx*

dp1

dx*

вдоль изолинии

Öp1

С^2 *

при 2 dQ фиксир

Это - уравнение Слуцкого. Его записывают, обычно, в виде

dxi

dpj

dxi

Q=const

dpj

dxi

x

(comp) dQ j u=const

Заметим теперь, что при dpi > 0 движение x происходит в направлении достижения min dQ , причем

dQ = х* «р

*

(для достижения оптимальности). Значит х1 убывает с ростом р, т.е.

öx* dpi

< 0.

(8)

(9)

Далее вычислим расстояние между бюджетными множествами при

P = const и различных значениях Q^ и Qj. Согласно изложенному ранее материалу, оно равно dQ

Vpi+p2

Поэтому

dQ = |P| dl.

*

Заметим теперь, что dx- = dl ■ соза ■ (рис. 6),

(i0)

(ii)

где cos(ai) - направляющие косинусы dx (направлен по градиенту u (х) и P ).

* Р; дхг Поэтому dx; = dl-r=r и —- = . .. — = —т

; P dQ PPdl P2

Рис. 6. Зависимость функции спроса от дохода

дР рг

, отсюда

Едх* р -V Р1 -1

*

С другой стороны, в малой окрестности х , йх

* —

йх ± Р , значит

comp

dpi

(12)

(вдоль изолинии) (13)

comp

Отсюда следуют выводы: из выражения (8) - при изменении цены р^

*

компенсация дохода равна dQ — х^ йр^. Из (13) - йх^ имеют разные знаки, т.е. если

**

х1 убывает, то х2 возрастает (взаимокомпенсирующие, взаимозаменяемые

источники электроэнергии). Из (9) -

дх* dp;

< 0, т.е. даже при компенсации

потребления электроэнергии, х; уменьшается при увеличении ее цены (включая

стоимость обеспечения надежности электропотребления).

Из (12) - при увеличении дохода спрос на обеспечение надежности возрастает.

Таким образом, рассмотренная выше экономико-математическая модель и ее решения позволяют определить оптимальный набор альтернативных источников электроэнергии для потребителя с учетом местных условий, который может повысить вероятность бесперебойного снабжения потребителя электроэнергией (мощностью), а также предоставить возможность активного участия потребителя в оптимальном использовании электроэнергии и ее сбережении. В целом же эти направления, безусловно, повысят уровень безопасности электроснабжения потребителей.

0

Summary

We consider the economic-mathematical model and its solution, to determine the optimal set of alternative sources of electricity for consumers, taking into account local conditions, which may increase the likelihood of continued supply of electricity consumers (power), as well as provide an opportunity for active participation of consumers in making optimal use of energy, its conservation, and improving security of electricity.

Key words: energy farms, energy prices, local sources of energy, organizational forms of energy.

Литература

1. Мошин А.Ю. Некоторые особенности анализа внутреннего рынка электроэнергии. Монография. М.: Изд-во РУДН, 2007.

2. Фаворский О.Н. Энергообеспечение России в ближайшие 20 лет // Вестник РАН, 2001. Т. 71. №1. С. 788-796.

3. Безопасность России. Энергетическая безопасность (Проблемы функционирования и развития электроэнергетики). М.: МГФ «Знание», 2001.

4. Безопасность России. Энергетическая безопасность (ТЭК и государство). М.: МГФ «Знание», 2000.

Поступила в редакцию 7 декабря 2010 г.

Мошин Андрей Юрьевич - канд. эконом. наук, доцент факультета Экономики и бизнеса Университета Российской академии образования. Тел.: 8 (495) 657-06-40. E-mail: [email protected].