CC BY
35
УДК 624.191.8.042/.044
О. Л. ТЮТЬК1Н (ДПТ)
ОСНОВИ ЕНЕРГЕТИЧНОГО П1ДХОДУ ДО АНАЛ1ЗУ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ СИСТЕМИ «КР1ПЛЕННЯ - МАСИВ»
В статп наведеш теоретичнi побудови i практичнi положения енергетичного пiдходу до аналiзу напру-жено-деформованого стану системи «кршлення - масив».
В статье приведены теоретические построения и практические положения энергетического подхода к анализу напряженно-деформированного состояния системы «крепление - массив».
In the article the theoretical constructions and practical statements of energetic approach to the strained-and-stressed state analysis for a system «support - massif» are presented.
З дослщжень у област термодинамши рiв-новажних i нерiвноважних систем [1 - 3] вщо-мо, що поняття енергетичного пiдходу дуже часто сшвпадае з термодинамiчним тдходом, причому пiдходи iнодi ототожнюються. У данш роботi енергетичний i термодинамiчний шдхо-ди вважаються вiдмiнними один вщ одного, що виходить з об'екту, до якого вони приклада-ються.
Так, в термодинамiчному пiдходi об'ектом е тепло i його змши, в енергетичному - енергiя i 11 перетворення. Таким чином, в авторському розумшш енергетичного пiдходу вплив тепла на параметри системи виключаеться. Дане за-уваження слiд аргументувати тим, що в системi «шдземна споруда - оточуючий масив» тепло мае до напружено-деформованого стану (НДС) опосередковане вщношення [4, 5] i впливае на нього незначно [4, 6]. Для повноти картини стд зазначити, що термодинамiчний шдхщ одинич-но застосовувався для процесу деформаци гру-нтiв [4, 6, 7], але результати цих дослщжень не були впровадженi в практику, оскшьки досл> дження термодинамiчних параметрiв системи дуже неоднозначне i вимагае розвиненого ма-тематичного апарату.
Також слщ зазначити, що останшм часом достатньо широко застосовуеться синергетич-ний тдхщ [1, 8, 9], який претендуе на загаль-нiсть його застосування до систем рiзного типу - вщ механiчних до бюлопчних i сощаль-них. Дiйсно, синергетичний пiдхiд, заснований на положеннях термодинамши нерiвноважних процесiв, проявив себе при дослщженш проце-сiв самоорганiзацii [1, 9], i багато процесiв мо-жуть бути описанi за допомогою його концептуального апарату (теорiя флуктуацiй - бiфур-кацiй, теорiя нерiвноважних систем Пригожи-на, нерiвноважна динамiка тощо).
Значущiсть синергетичний шдхвд отримав у описi нерiвноважних нестацюнарних процесiв, тобто процесiв з параметрами, що змшюються в часi. Так, реолопчш процеси можна характе-ризувати як нерiвноважнi i дослiджувати за до-помогою синергетики, але характер таких до-слщжень часто е описовим, оскшьки 11 матема-тичний апарат, претендуючи на ушверсаль-нiсть, недостатньо розвинений. У подальших теоретичних побудовах, присвячених деформа-цii глинистих груипв, автор користуватиметься термiнологiею i концепцiями синергетики, ро-зумiючи, що вони зручно описують деякi тим-часовi процеси.
У енергетичному, в^м, як i термодинамiч-ному шдход^ але з поправкою на вщсутшсть тепла деформацiя грунтiв, елементiв конструк-цii i сумiснi деформацii в системi «крiплення -масив» розглядаються як змiна об'ему i форми шд дiею зовнiшнiх сил.
Щц енергетичним пiдходом в данiй робот розумiтимемо сукупнiсть прийомiв оперування енерпею системи, зокрема енергiею деформаци, як найважливiшим 11 параметром. Пщ при-йомами оперування енергiею системи слщ ро-зумiти набiр операцш над енергiею, таких як 11 чисельне визначення, порiвняння з деякими критерiями, перерозподiл в процесi змши пара-метрiв системи i так даль Таким чином, застосування енергетичного тдходу е оперування з енерпею системи або 11 частин.
Змша об'ему i форми (об'емна деформащя i деформацiя формозмiни) е узагальненими координатами, зовнiшнi сили (тензор напру-жень) - узагальненими потенщалами.
Вiдповiдно фундаментальне рiвняння енер-гii в загальному випадку деформаци ^вняння Гiббса) записуеться в наступному вигляд^ який е класичним рiвнянням термодинамiки:
де Ли - питома внутршня енергiя грунту (вщ-несена до одиницi об'ему); <■ i г^ - тензори
напружень i деформацiй вiдповiдно.
На вщмшу вiд термодинамiчного пiдходу рiвняння Гiббса записане тiльки для процесу деформацп, вираз для питомо! вшьно! енерги Г i питомо! енерги Гiббса О записуеться так
[7]:
ЛГ = г..;
Ч ч
ЛО = -гнЛ сн.
Ч Ч
(2) (3)
звiдки компоненти тензора напружень i дефор-мацiй будуть рiвнi:
Г ди ^
5 ■ =
дг ■
V ■ /
( дО ^
; ги =
V ■ /
(4)
Надат в термодинамiчному пiдходi вщбува-еться оперування з характеристичними величинами и, Г 1 О як функщями вiд тензора <■
або г ■ . У авторському розумшш енергетичного
шдходу досить операци з питомою внутрь шньою енергiею и, яка е ушверсальним параметром системи, яка деформуеться.
Останнш вислiв вимагае серйозного обгрун-тування за допомогою системи доказiв, причо-му дана система повинна базуватися на теоре-тичних i практичних визначеннях НДС i мщно-стi системи.
Найзагальнiшою наукою, яка визначае НДС, е мехашка твердого тша, що деформуеться, або мехашка суцiльного середовища, оскiльки основною концепщею першо! е те, що тшо е су-цiльним середовищем. Основними поняттями механiки суцiльного середовища е «напружен-ня» i «деформащя», якi е вiдносними характеристиками сили i перемiщення. Питома енерпя, у свою чергу, е множенням тензорiв напружень i деформацiй, сполучаючи в собi цi два поняття. Вiдповiдно, робота з одним параметром (и) багато простше, шж з двома (с^ i г^), хоча i
вимагае вiдшукання i перемножування остан-нiх. Таким чином, питома енерпя и е надбу-довою над напруженим i деформованим станами, включаючи !х.
Але визначення НДС не е самоцшлю досл> дження системи, що деформуеться, оскшьки iнформацiя про не! ще не мае статусу, не сис-тематизована i не звiрена з деяким критерiем, який додае шформаци про НДС деяке значення.
Цим критерiем е мiцнiсть. Розробленi основи визначення НДС системи вже не викликають шяких сумнiвiв, оскiльки грунтуються на пере-вiреному практикою фiзико-математичному апарап, але саме в процесi визначення мщнос-тi, тобто порiвняння тензорiв сi г{- з критер>
ем мiцностi [с] або [г], починаються трудно-
щ^ пов'язанi з вибором цього критерда.
Не розглядаючи природу визначення мщно-стi детально, слiд зазначити однобiчнiсть кри-терiю мiцностi, вибираного або по напружен-нях, або по деформащях, що вiдображене в б> льшостi ключових робiт в цш областi [11 - 14]. Найбшьш детально суть критерив мiцностi, та-кож званих теорiями або гшотезами мiцностi, розглянута в репрезентативнiй оглядовш роботi [12], в якiй приведена !х класифiкацiя. Деталь-ний розгляд критерив мiцностi, починаючи з !х утворення (перша теорiя мiцностi Галiлея) i до сьогоднiшнiх днiв, застосування критерив, що базуються тiльки на напруженнях або тiльки на деформащях, може вважатися одностороннiм, оскiльки причиною руйнування е i першi, i дру-гi. Причому, побiчно цей факт доводиться не-розривним взаемозв'язком напружень i дефор-мацiй (через модуль пружносп в узагальненому закош Гука). Найважливiшим концептуальним проривом у визначенш мiцностi е пропозицiя Бельтрам^ яка полягала у визначеннi енерги деформацп, вщнесено! до одиницi об'ему. Про-позицiя Бельтрамi, вдосконалена Т. Губером i Р. Генки (визначення не вше! енерги деформацп, а тiльки енерги формозмiни) лягло в основу четверто! теори мщност (енергетично!), яка, втiм, в остаточному виглядi формулювалася у виглядi напружень, оскшьки знайти критерш мiцностi по деформащях для рiзних матерiалiв виявилося складним.
Дослщження енерги в рiзних варiацiях про-позици Бельтрамi (енерпя формозмши Губера-Генки, енергiя формозмши з урахуванням ди-сипаци Рейнера, густина внутршньо! енерги Федорова) е основою енергетичного шдходу, використовуваного надалi автором, важливють застосування якого доводиться не тшьки теоре-тичними побудовами, запропонованими вище, але i практикою застосування.
Але практика дослщження мщносп будiве-льних конструкцiй, вщображена в СНiП i ДБН, не спираеться на позици механiки суцшьного середовища. Це виражаеться у тому, що прак-тичнi розрахунки мiцностi оперують не НДС, а зусиллями i перемщеннями. Розрахунок мщ-ностi залiзобетонних конструкцш, зокрема, за-
сновании на оперуванш моментами 1 нормаль-ними силами, сшввщношення яких пор1вню-еться ¿з значеннями мщносп матер1ал1в. Причиною цього з'явилося те, що практична розрахункова д!яльшсть, спираючись на методи буд1вельно! мехашки { опору матер1атв, вико-ристовувала стрижиьов! модел!, невщомими розрахунку яких були моменти { нормальш си-ли.
Поза сумшвом, для перев1рочних розрахун-юв простих конструкцш розрахунюв такого роду достатньо, але для детальних дослщжень складних систем !х не вистачае. Таким чином, парадоксальниИ розрив м1ж теор1ею 1 практикою можна виключити, скориставшись поло-женнями енергетичного тдходу.
Висловивши докази в захист енергетичного тдходу, слщ продовжити Иого теоретичш по-будови. Як вже було сказано, на вщмшу вщ термодинам1чного, в енергетичному шдход! система бере участь в ¿зотерм1чному процес деформаци, тобто змша вшьно! енерги тотожно р1вна робот в процес деформаци (А = -АР), то можна записати роботу як
А = -А = -
о е
V У
(5)
Роздшяючи роботу по деформаци об'ему Ао I форми Аф, можна записати
ео
Ао =-]Ч е0 = -АА0; (6)
о еф
аф =-/тфТф = -Аф , (7)
де оо - середне нормальне напруження; ео -середня нормальна деформащя; Тф - середне дотичне напруження; Уф - середня дотична деформащя.
Декшька складшше виглядають залежиосп для питомо! енерги { роботи у раз! пружно-пластично! деформаци. Вщомо, що при пруж-но-пластичнш деформаци 5е^ = 5е® + Ьер, де
5е® I Ьер - вщповщно незалишкова (пружна) \
залишкова (пластична) компоненти загально! деформаци, вщповщно
ЬА = Е°у еч =оа
К +5ер). (8)
вщноситься випадок пластично! деформаци, частина питомо! енерги розсдаеться (енерпя дисипаци), трансформуючись в тепло, тобто ёи = А + Q, де Q - енерпя дисипаци (розс1ян-ня).
Остаточно р1вняння для енерги дисипаци записуеться в наступному виглядк
Щ = ёи-ЬА =
+
Г ди Л
V У
' ди л
Vде ■ -оу /
щ+ (ди л
Ье1
ЬТ.
(9)
Таким чином, роботу дисипаци Ар (роботу при пластичнш деформаци ЬАр ■Ьер )
при пружно-пластичному деформуванш можна визначити як р1зницю
е ■ е р
Ар = А - Ае = {о^ -¡о^ . (10)
о о
Як видно, в представленому р1внянш не бе-руть участь таю важлив! термодинам1чш характеристики, як температура \ ентротя. Прагнен-ня прибрати щ характеристики з р1внянь енергетичного тдходу пов'язане не тшьки з тим, що температура не мае чшьно! рол! в р1внянш стану I в процес деформаци, але також I з тим, що участь в р1внянш ентропи значно усклад-нюе !х.
Це пов'язано з тим, що р1вняння одержуе не цшком ясне ф1зичне значення, а ентротя е складно вим1рюваною величиною, що також вщм1чене при детальному анатз! ентропшного критерда мщносп [12].
Наочшше прошюструвати операци ¿з знахо-дження енерги (роботи) можна за допомогою д1аграм деформаци матер1атв (рис. 1, 2).
Вщомо, що у раз! необоротних р1вноважиих процешв, тобто не залежних вщ часу, до яких
Рис. 1. Ддаграма деформування пружного матер1алу !з зазначенням роботи деформування
писати, виходячи з геометричних napaMeTpiB дiаграми
Рис. 2. Д1аграма деформування пружно-пластичного матер1алу 1з зазначенням роботи деформування в пластичнш обласп (енерпя дисипаци)
З представлених дiаграм видно, що питому внутршню енергiю, яка розраховуеться за формулою (1), можна вщобразити геометрично (заштрихована область на рис. 1 - питома робота пружно! деформаци, на рис. 2 - питома робота пластично! деформаци або робота дисипаци).
Надал^ остаточно прийнявши процес дефо-рмацi! iзотермiчним, термiни «робота» i «енер-гiя» вважаемо тотожними.
Невеликим недолгом дiаграми пружно-пластичного деформування (рис. 1) е !! отри-мання тiльки пiсля циклу «завантаження -розвантаження», що дозволяе, користуючись принципом суперпозицi! деформацш, роздiлити !х. Недолiк легко виправляеться шляхом прос-тих математичних операцш по iнтегруванню криво! «напруження - деформащя» (рис. 3).
Рис. 3. Типова д1аграма деформаци глинистого грунту (графк Герсеванова)
Таким чином, знаючи перехiд з пружного в пластичну деформацiю в точцi А (використав-ши який-небудь Í3 законiв течи) i розд^ючи вид деформацii без розвантаження, можна за-
U =\ajdв. = \ajd4 +]ajdв? , (11)
o o Bj
або спрощено
U =1 с.. вj +1 (се + с p )г p (11a)
2 у У ^ У vjv v '
Таким чином, представленi теоретичнi по-будови, що вщносяться до енергетичного шд-ходу, доводять те, що енерпя е iнтегральною характеристикою НДС як споруди, так i маси-ву. I в той же час енерпя е критерiем мщносп, по якому можна визначити загальний стан сис-теми.
Стисло основне положення енергетичного шдходу можна записати у виглядi
индС <[U], (12)
де индС - енергiя, знайдена з розрахунку НДС системи; [U ] - розрахункова енерпя матерiалу,
при перевищенш значення яко' вiдбуваеться його руйнування.
Таким чином, представлене рiвняння е як штегральним визначенням НДС системи, так i перевiркою ii за критерiем мiцностi.
З'ясувавши закономiрностi енерги у випад-ку пружно-пластично' деформаци, для повноти картини загально' поведшки глинистого грунту слiд вивести рiвняння енерги у випадку реоло-пчних явищ, зокрема, повзучостi. Таким чином, одержат рiвняння можна застосовувати для оперування значеннями енерги, що власти-во енергетичному пiдходу.
Запишемо загальну енергiю деформаци, до-тримуючи принцип суперпозици деформацiй:
Э = Э + Э + Э =
Be Bp Bv
= J с e Bjd B + Jcp Bpd B + JcvBvd B. (13)
0 Be 0
Першi два члени рiвняння (13) вже теоретично обгрунтоваш i практично реалiзованi вище. Слiд таким же чином практично виршити тре-
Bv
тю частину рiвняння 3v = J cvBvdв .
o
Вщомо, що деформаци, пов'язанi з в'язкою компонентою деформування, залежать вщ часу.
Застосовуючи принцип суперпозици деформацш, достатньо легко роздшити вс три види
деформацш, викликаш рiзними причинами. Розглядаючи процес повзучосп або релаксаци, найпростiше одержати кшцеву енергiю руйну-вання, математично рiвну множення постiйного напруження на деформащю в момент руйну-вання (рис. 4):
Э —
^общ _
- С8„
(14)
в'язких деформацiй можна обчислити як рiзни-цю загально! енерги i енерги миттевих дефор-мацiй (природа миттевих деформацш в цьому випадку неважлива), причому остання е константою:
Эу — Эобщ Эе+p — J 8vd8
—С8
e+ p •
(15)
а)
б)
Для шмейства кривих повзучосп енергiю Эе+ можна обчислити шсля побудови iзо-
хронно! криво! при t — 0 (рис. 5).
Рис. 4. Геометричне визначення загально! енерги деформаци (а) i роздшення криво! повзучостi для визначення енерги компонент деформаци (б)
Вщповщно, геометричним значенням дано-го виразу е перемножування площi S, яку крива повзучосп вщдшяе вщ осi абсцис (вiсь часу t) на постiйне напруження с — const (для умо-ви повзучосп, рис. 4, а). Причому, методично правильшше роздшити площу S на двi части-ни: частина, яка вщповщае умовно-миттевiй пружно-пластичнiй деформаци, i частина, яка вiдповiдае ильки в'язкш деформацi! 8v . Тобто, крива перетвориться таким чином (рис. 4, б).
Вщповщно, загальну енергiю деформацi! в даному випадку, як i компоненти деформацш, можна роздшити на двi частини, а енерпю
Рис. 5. Схема визначення енерги Эе+ по 1зохронн1й крив1й при t — 0
Вщповщно, площа фiгури 0AD рiвна енергi! умовно-миттево! деформацi! криво! 1, тобто с181, фи-ура 0BC - енергi! с28 2, фiгура 0CF -енерги с383 , причому роздшення виду деформаци (пружна або пластична) проводиться за запропонованою вище методикою.
Таким чином, енерпя в'язко! деформаци е геометричним перемноженням площi Sv на по-стiйне напруження (рис. 5) i записуеться як рiз-ниця енергiй за формулою (15).
Основним висновком проведено! роботи е розробка теоретичних побудов i практичних положень вiдшукання енергi! деформування, яка е штегральною характеристикою НДС як споруди, так i масиву, а також критерiем мiцно-стi для найбшьш загального випадку в'язко-пружно-пластичного середовища.
Причому практичнi положення вiдшукуван-ня енерги деформування спираються на лабо-раторш дослiдження, тобто процес пошуку параметрiв базуеться на реальну поведiнку еле-ментiв системи. Вiдповiдно комплекснiсть опе-рування енергiею деформування вiд лаборатор-них дослiдження через iмiтацiйне моделювання до подальшого аналiзу результатiв дозволяе
найбшьш математично адекватно описати складш процеси поведшки системи «кршлен-ня - масив».
Практичним впровадженням надано! роботи може бути подальше застосування !! положень в розрахункових комплексах, що дозволить бшьш детально анатзувати стан шдземних споруд.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций [Текст] / П. Гленсдорф, И. Пригожин. - М.: Мир, 1973. -280 с.
2. де Гроот, С. Р. Термодинамика необратимых процессов [Текст] / С. Р. де Гроот. - М.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1956. - 28о с.
3. Гухман, А. А. Об основаниях термодинамики [Текст] / А. А. Гухман. - М.: Энергоатомиздат, 1986. - 384 с.
4. Гольдштейн, М. Н. Механические свойства грунтов. Основные компоненты грунта и их взаимодействие [Текст] / М. Н. Гольдштейн. - М.: Стройиздат, 1971. - 375 с.
5. Вялов, С. С. О проблемах реологии грунтов [Текст] / С. С. Вялов // Труды I Всесоюзного симпозиума по реологии грунтов. - Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1973. - С. 6-25.
6. Гольдштейн, М. Н. Механические свойства грунтов. Напряженно-деформативные и прочностные характеристики [Текст] / М. Н. Гольдштейн. - М.: Стройиздат, 1973. - 304 с.
7. Королёв, В. А. Термодинамика грунтов [Текст] / В. А. Королёв. - М.: Изд-во МГУ, 1997. - 168 с.
8. Лоскутов, А. Ю. Введение в синергетику [Текст]: учебное руководство / А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. - М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 272 с.
9. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах [Текст] / Г. Николис, И. Пригожин. -М.: Мир, 1979. - 300 с.
10. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести [Текст] / Н. И. Безухов. - М.: Высш. шк., 1961. - 537 с.
11. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести [Текст] / Н. Н. Малинин. - М.: Машиностроение, 1968. - 400 с.
12. Булат-Корнейчук, Е. А. Научные открытия в механике разрушения [Текст] / Е. А. Булат-Корнейчук, В. И. Дырда. - Д.: Нова вдеолопя, 2006. - 245 с.
13. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности [Текст] / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ив-лев. - М.: Физматлит, 2001. - 701 с.
14. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения [Текст] / Ю. Н. Работнов. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 80 с.
Надшшла до редколегп 28.11.2009.
