CC BY
39
УДК 539.4
М. О. КУЗ1Н (ДТГО «Льв1вська залiзниця»), Т. М. МЕЩЕРЯКОВА (Льв1вська фiлiя ДПТу)
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПАРАМЕТР1В ВТОМНО1 М1ЦНОСТ1 СТРУКТУРНО-НЕОДНОР1ДНИХ МЕТАЛ1ЧНИХ СИСТЕМ
З використанням п1дход1в термодинашки запропоновано вар1ант математично! модел1 мехашки опису параметр1в втомно! мщносп в процеа експлуатаци. Показано зв'язок отриманих сшвввдношень i3 сучасни-ми критерiями довговiчностi тiл.
Ключовi слова: структурно--неоднорщна металiчна система, параметри втомно! мщносп, термодинамiка, математичне моделювання, сучаснi критери довговiчностi тiл
С использованием подходов термодинамики предложен вариант математической модели механики описания параметров усталостной долговечности в процессе эксплуатации. Показана связь полученных соотношений с современными критериями долговечности тел.
Ключевые слова: структурно-неоднородная металлическая система, параметры усталостной прочности, термодинамика, математическое моделирование, современные критерии долговечности тел
With use of thermodynamic approaches the variant of mathematical model of mechanics of the description of parameters of fatigue strength while in service is offered. The connection of the obtained relationships with the modern criteria of durability of bodies is shown.
Keywords: structural non-uniform metallic system, parameters of fatigue strength, thermodynamics, mathematical simulation, modern criteria of durability of bodies
1. Вступ
Важливими проблемами сучасно! iнженерii е обгрунтування параметрiв роботи обладнання ще на стади його проектування, оцшка i прогноз залишкового ресурсу конструкцш з метою подовження термiну експлуатаци ддачих вузлiв i деталей.
Особливу актуальшсть щ проблеми мають для об'екпв рухомого складу залiзничного транспорту, яю експлуатуються протягом тривало-го часу [1]. Умови !х роботи характеризуются складними нестацiонарними навантаженнями рiзноi природи, що призводить до суттево! де-градацii початкових параметрiв мщшсних влас-тивостей матерiалiв.
Необхiднiсть економй ресурсiв вимагае пошу-ку шлях1в управлiння параметрами довговiчностi матерiалiв вузлiв залiзничного транспорту з метою вщновлення або максимального подовження !х експлуатащйних характеристик.
Одним iз можливих шляхiв прогнозування та управлiння ресурсом роботи деталей е метод математичного моделювання процеав знемщ-нення металiчних середовищ з врахуванням зовнiшнiх навантажень.
Зростання кшькост наукових робiт присвя-чених цим питанням дозволяе говорити про формування нового наукового напрямку в ме-хашщ деформiвного твердого тша - механiки
пошкоджуваних середовищ (МПС) [2], яка з використанням пiдходiв фiзики мiцностi мате-рiалiв, металознавства проводить оцiнку пара-метрiв надшност експлуатацii конструктивних елементiв в умовах багатопараметричних не-стацiонарних зовнiшнiх навантажень.
Суттевою вiдмiннiстю методiв МПС вщ класи-чних пiдходiв е те, що процеси деформування i накопичення пошкоджуваносп необхiдно розгля-дати з врахуванням !х взаемного впливу [2].
Рiзноманiтнiсть сучасних пiдходiв, критерiiв та способiв оцiнки довговiчностi металiчних систем пов'язана зi складнiстю процесiв, що вщбуваються в матерiалах при зовшшшх змш-них навантаженнях, та чутливютю цих процесiв до рiзних технолопчних, конструктивних та експлуатацiйних факторiв.
Як вiдмiчаеться в роботi [3], в шякому ш-шому випадку не спостер^аеться такоi суттевоi змiни характеристик опору руйнуванню одного i того ж матерiалу в залежностi вщ умов випро-бовувань як це вщбуваеться у випадку з втом-ним руйнуванням.
Враховуючи складнiсть явищ, що супрово-джують змiну довговiчностi металiчних систем, !х мiцнiсних параметрiв в процеа експлуатаци, в да-нiй робой пропонуеться пiдхiд до моделювання змiни довговiчностi з позицiй термодинамiки та запропонована математична модель механiки ощ-нки змiни цього параметру в процеа експлуатаци.
© Кузiн М. О., Мещерякова Т. М., 2011
2. Аналiз сучасних пiдходiв моделювання втомноТ мiцностi металiчних систем з пози-цiй континуальнот механiки
2.1. Теоретичш аспекти побудови матема-тичних моделей. Розгляд металiчнот системи як багаторiвневого континууму.
Одним з природних шляхiв для побудови ма-тематичних моделей мехашки металчних систем е використання тдход!в термодинамши нер!внова-жних процеав та концепцл твердих розчитв [4].
Приймають, що внутршня енерпя системи е функщя параметр!в стану I задаеться наступ-ною формулою [4 - 7]:
йи = 50 + 5А + 52, (1)
де 50 - сума кшькосп теплоти, що передана систему 5А - сума кшькосп роботи, що здшс-нена над системою; 52 - енерпя, що переда-еться систем! при обмш! масою. У вираз! (1) внутршня енерпя е повним диференщалом, а диференщальш форми 50, 5А ,52 - неповш диференщали (тобто не е функщями параметру стану).
Необхщно вщм!тити, що в деяких роботах, зокрема [8], не вважають внутршню енерпю за функщю параметр1в стану.
Оскшьки термш «параметри стану» можна вщносити тшьки до р1вноважних процешв [6], для опису нер1вноважних процешв будемо ви-користовувати поняття локально! термодинам> чно! р1вноваги, яка запропонована Лоренцом [9]: «Локальним називаеться об'ем, який е великим пор1вняно з вщдаллю м1ж молекулами \ дуже малий пор1вняно з макроскошчними не-однорщностями середовища».
Перейдемо для екстенсивних величин до !х питомих значень, яю розраховаш на одиницю об'ему [5, 6]:
йи =5^ + 5а + 5г . (2)
Доповненням до р1вняння (2) р1внянь балансу ¿мпульсу, моменту ¿мпульсу, маси, а також визначальних сшввщношень (р1внянь стану), одержують повну систему р1внянь для опису конкретно! термодинам1чно! системи.
Щоб враховувати зм1ну мщшсних парамет-р1в матер1алу в час!, використаемо додаткову змшну адитивно! природи «пошкоджувашсть».
Вперше як об'ект скалярно! природи пошкоджувашсть була введена в роботах Качано-ва Л. М. { Работнова Ю. М. [10], як об'ект тен-зорно! природи !! запропонував розглядати 1ль-юшин О. А. [2]. На даний момент юнують роботи, в яких пошкоджувашсть розглядаеться як
скалярна, векторна або тензорна величина, що може мати яку завгодно високу валентнють.
Для врахування пошкоджуваносп в р1внян-нях стану юнують декшька шлях1в.
Зокрема в робот [7] вважають, що довгов> чшсть матер1ал1в краще зв'язувати не з характеристиками процешв, що проходять при нава-нтаженш, а з характеристиками, що описують стан матер1алу незалежно вщ того, яким до нього йшли шляхом.
В робот! [2] до цього тдходять по шшому ! вважають, що при опис! стану пошкоджуванос-т! матер!алу через механ!чн! параметри в основному виникають дв! проблеми:
1. Як ц! параметри ввести у вщповщш р!в-няння процешв деформування ! накопичення пошкоджень?
2. Як встановлювати числов! значення па-раметр!в?
При цьому розглядаються два типи м!р по-шкоджуваност!:
- мшроскошчна, що безпосередньо пов'яза-на з розподшом м!кродефект!в (к!лькост!, дов-жини, площ!, об'ем!в; зменшення ютинно! площ!, що визначаеться геометр!ею, розмщен-ням ! ор!ентац!ею дефект!в тощо);
- макроскошчна, що визначаються станом пошкоджуваносп за зм!ною в!дпов!дних ф!зич-них величин (пружн! константи, межа текучос-т!, межа м!цност! при розтягу, видовження, гус-тина, електроотр, швидк!сть ультразвукових хвиль, акустична емюя тощо).
В робот! [10] вводиться тензор другого рангу п, який е м!рою пошкоджуваносп матер!а-лу; також вважаеться, що поточне значення тензора П ) в загальному випадку не визначаеться поточними значеннями деформаци, температур, нав!ть вшею перед!стор!ею !х зм!ни. При цьому ф!зичного трактування введеного параметру не подаеться.
Результати роботи [10] вказують на необ-хщшсть врахування пошкоджуваност!, яка була в тш в початковий момент часу к ^ = t0) .
В робот! [11] запропоновано розширити параметри стану й ввести додаткову множину величин, що враховують внутршню будову матер!алу, ! назвати !х «внутр!шн! параметри стану». Характер цих параметр!в ! !х зм!на, вна-сл!док прикладених до т!ла зовн!шн!х термоме-хашчних вплив!в, визначаеться макроскотч-ним анал!зом !х м!кромехан!зму [11]. Таким чином, в сучасних моделях матер!ал!в вводять нов! внутршш ступен! свободи та вщповщш !м характеристичн! параметри, для яких необхщно
встановлювати ршняння стану, к1нетичн1 та 1н-ш1 сшввщношення. В робот [11] дещо форма-
льно введен! «внутршш зм1нн1 стану» х
(1)
х(Р)
кк ■
Хш
(р) (а = 1,...; Р = 1,...,РМ; у = 1,...,у^),
ЯК1
характеризують, в1дпов1дно, процеси знемщ-нення структури { накопичення пошкоджень.
Необхщшсть врахування м1кростуктурних змш при навантаженш також наведено в роботах [11, 12]: оскшьки при будь-якому зовшшньому навантаженш змшюеться внутршня енерпя тша; для реальних матер1ашв цей процес зумовлюе зм1ну структури, - вщбуваеться перехщ вщ одного термодинам1чного стану до шшого. Якщо ха-рактерний час змши зовтшнього навантаження близький до часу переходу термодинамчно! сис-теми в новий стан, то необхщне врахування змши структури на макрор1вт [12].
Ц1кав1 тдходи до необхщносн врахування будови метал1чних систем наведет у грунто-внш робот [13]. В нш, зокрема, написано, що розрахувати криву «напруження-деформацп» на основ! тшьки мшроскошчних уявлень теорп дислокацш не вдалось ще до цього часу. Вс спроби прямого переходу вщ м1крошдход!в ф1-зики до макрошдход1в мехашки виявились без-устшними.
Треба шукати нетрадицшш тдходи. Вони формувалися тривалий час на основ! виявлення нових мехашзм1в деформацп, як розвиваються
в деформ1вному твердому тш на пром1жному м1ж мшро- 1 макромасштабному р1внях, так званому мезомасштабному р1вш. Було усвщом-лено деформ1вне тверде тшо як багатор1вневу систему, в якш мехашзми на мшро-, мезо- 1 ма-кромасштабних р1внях взаемопов'язаш.
У вщповщносн з роботами [2, 10 - 13] по-стулюемо розгляд деформ1вного твердого тша як багатор!внево! !ерарх1чно! системи вкладе-них континуум1в, на кожному з яких буде ви-користовуватись пошкоджуванють як м1ра -«внутршня змшна», що описуе деградащю властивостей матер1алу (табл. 1). При цьому кожну точку бшьш високого р1вня ¿ерархп бу-демо розглядати як локальний об'ем в сенс Панша-Лоренца, тобто об'ем, який е великим пор1вняно з вщдаллю м1ж елементарними скла-довими на даному р1вш ¿ерархп { дуже малий пор1вняно з1 складовими вищого р1вня ¿ерархп [13], пошкоджуванють в якш утворюеться в результат змши структурних елементарних складових, появою деяких новоутворень, що призводить до порушення суцшьносн макроча-стинки [2].
Перехщ вщ нижнього р1вня до верхнього в> дбуваеться за допомогою осереднення шфор-мацп про поведшку матер1алу на попередньому р1вш за заданим критер1ем.
Таблиця 1
Масштабш р1вм1 пошкоджуваностi в деформiвному твердому тiлi, що придатмi для континуального опису
№ Масштабний ршень Опис Ф1зичне трактування пошкоджуваносп (Постулювання пошкоджуваносп) Розм1р р1вня, м
1 М1крор1вень Локальна неоднорвдшсть кристал1чно! гратки Група дислокацш (Пошкоджуванють - скаляр, тензор друго! валентносп) [2] < 10-7
2 Мезор1вень 1 Формування дисипа-тивно!' субструктури (полоси ковзання) Полоси ковзання (Пошкоджувашсть - Тензор друго! (або будь-яко!) валентносп ) [14] 10-7...10-5
3 Мезор1вень 2 Стохастичне (або направлений розподш мжротрь щин) М1кротр1щини (Пошкоджувашсть -Тензор друго! валентносп ) [10] 10Л..10"3
4 Макрор1вень Втрата стшкосл об'екту (поширення трщини) Пошкоджувашсть - Тензор друго! валентносп (або скаляр) [3, 10] 10-2...100
2.2. Постулюваммя пошкодженост мате-р1алу як «внутр1шньоТ зм1нноТ».
Достатньо грунтовно пошкоджуванють, як «внутршня змшна» матер1алу, була введена в робот [15]. Тому використаемо цей тдхщ з додатковими умовами для постулювання по-
шкоджуваност як тензорно! величини друго! валентност для р1вшв ¿ерархп Мезор1вень 1, Мезор1вень 2 (табл. 1).
Постулюемо юнування внутршньо! змш-но! - тензорно! величини друго! валентност П , яка е макром1рою внутршшх структурних
перетворень в матер1ал1, називаеться пошко-джувашстю, й волод1е наступними властивос-тями [15, 16]:
1. Об'ект П буде приймати початков! зна-чення на штерват 0 <т < 7, якщо на цьому ш-терват р1вш нулев! параметри навантаження;
2. Об'ект П буде функщею стану мшрочас-тинки, тобто однозначно визначаеться проце-сом навантаження су (7), Т (7) , в (7) . Функцю-
нал П (су(7),в(7),Т(7),...) приймаемо непере-
рвним за змшними навантаження безпосеред-ньо до стану, що передуе руйнуванню.
3. 1снують деяю невщ'емш м1ри, що нази-
ваються м1рами пошкоджуваност! Мт (п), { вщповщш додатш константи Ст таю, що
- коли Мт (п) < Ст , то стан частинки мщ-ний,
- коли Мт (п )> Ст для будь-якого т = к , то вщбуваеться руйнування типу к (для шших т може бути Мт (п) < Ст).
Додамо також додатков! умови:
1. Невщ'емш м1ри Мт (П) внутршньо!
змшно! дор1внюють нулю тшьки тод1, коли те-оретичш мщшсш властивосп матер1алу р1вш реальним (вщхилення в сторону зменшення реальних мщшсних властивост матер1алу вщ теоретичних вважаемо результатом наявносп мшродефекпв у матер1ал1).
2. Внутршня змшна П (7) в момент часу 7
визначаеться не тшьки параметрами навантаження, але й швидюстю !х змши.
Перша умова дозволяе враховувати збшь-шення мщшсних властивостей матер1алу спещ-альними технолопчними впливами (що особливо часто вщбуваеться для поверхневих ша-р1в); друга умова дозволяе враховувати ефекти в'язкосп при навантаженш тш, а також середо-вища з пам'яттю.
Аналопчно постулюемо пошкоджувашсть як скалярну величину для р1вшв ¿ерархп: Мш-рор1вень 1 Макрор1вень (табл. 1).
Запишемо балансов! р1вняння пошкоджуваност! як для тензорно!, так { для скалярно! величини:
- для тензорно! величини:
1. -^У- + У0 • JП = сп - р1вняння балансу по-
д7
шкоджуваносп при можливосп потоку пошкоджуваност! (як тензорно! величини третьо! ва-лентносп). Пошкоджувашсть в локальному
об'ем! може змшюватись за рахунок утворення (стоку - зникнення, ефект мае назву залшову-вання пошкоджуваност!) в локальному об'ем!, так ! притоку ззовн!.
2. дП = су п - р!вняння балансу пошкоджу-
д7
ваност! при неможливост! потоку пошкоджуваност!. Пошкоджувашсть в локальному об'ем! може змшюватись за рахунок утворення (стоку
- зникнення) в локальному об'ем!, так ! притоку ззовн!.
- для скалярно! величини:
о дП - 7
3 .--+ у0 • JП =сп - р1вняння балансу по-
д7
шкоджуваност! при можливосп потоку пошкоджуваност! (як векторно! величини). Пошкоджувашсть в локальному об'ем! може змшюва-тись за рахунок утворення (стоку - зникнення) в локальному об'ем!, так ! притоку ззовн!. , дП
4. -= сп - р1вняння балансу пошкоджу-
д7
ваност! при неможливост! потоку пошкоджуваност!. Пошкоджувашсть в локальному об'ем! може змшюватись за рахунок утворення (стоку
- зникнення) в локальному об'ем!, так ! притоку ззовн!.
Величини JП, JП - потш точково! (ор1ен-тацшно!) пошкоджуваност! (останнш випадок можна вважати «винятковим» випадком, коли перемщуються ор!ентоваш дефекти). Тому р> вняння (1) варто розглядати скорше як деяку математичну абстракщю «виняткового» ви-падку.
2.3. Запис балансових енергетичних сшв-в1дношень для деформiвних систем з ураху-ваннях змiни 1х мщшсних параметрiв.
Запишемо р1вняння балансу енерг!! при на-явност! розшяного руйнування у модифшованш форм! пор1вняно з (1)-(2) [5, 10]:
7(е + и + и*) = У-(ст-V- 1Ч -ц/р) +
Р ^/р) + N ];
(3)
де е - густина кшетично1 енерги; и - густина внутршньо! енерг!!; и* - густина енерг!! мщносп матер1алу або «ефективно! поверхнево! енерг!! пошкоджуваного матер1алу» [10]; су - тензор на-пружень; 1Ч - локальний пот1к тепла; 1р - лока-
льний пот1к маси; ц - х1м1чний потенц1ал, Р -густина масових сил; V - вектор швидкосп де-
формацл; Ыг - потужнiсть густини розподше-них джерел енергн, якi безпосередньо пов'язаш з руйнуванням матерiалу.
Необхщно вiдзначити, що рiвняння (3) мае безпосереднш зв'язок з енергетичним стввщ-ношенням Грiффiтса, яке е базовим для мехаш-
Аи*
ки iзольованоl трiщини, якщо прийняти - i
А
Ып за дельта-функцн, що ствпадають з вершиною трщини [10].
Якщо прийняти, що пошкоджувашсть може змiнюватись в локальному об'емi також за ра-хунок потоюв [16], то рiвняння (3) набувае на-ступного вигляду:
А (е + и + и* ) = У-(с-V - 1Ч-ц/р- /яп) +
+ -V1р) + N ^, (4)
де 1ЕП - потiк енергн пов'язаний з пошкоджу-ванiстю.
3. Побудова математичноТ моделi механiки поведiнки металiчних систем в умовах зов-н1шн1х навантажень з врахуванням змши Тх мщшсних властивостей в часi
3.1. Запис балансових р1внянь та визна-чальних стввщношень.
Запишемо балансовi рiвняння для явищ тепловой мехашчно1, хiмiчноl природи [4, 6, 7]. Рiвняння балансу маси:
А
¡рАУ = -| п • ТрАЕ.
(5)
А
¡рVАУ = ¡(п • с)АЕ + ¡(Р - V • (V • Тр )) АУ . (7)
1з врахуванням спiввiдношень (5)-(7) рiв-няння (4) можна записати у виглядк
де 1р - потш маси; п - нормаль до поверхш. Рiвняння балансу ентропп:
—¡*ау = -¡п • Т*АЕ + ¡с*АУ, (6)
а у Е У
де 1* - потiк ентропп; с* - потужнiсть джере-ла ентропп.
В припущеннi безмоментно1 теори пружно-стi запишемо рiвняння балансу кшькост руху:
Рiвняння балансу енергп з врахуванням енергн змiни пошкоджуваносп в матерiалi буде мати вигляд (4).
ди
■ = с
• (V 0 )+Т ^ + -ст -^ 0 ' дt дt 5
(т)-С1^N-Vo• 1еп |. (8)
ди*
"дТ
Проаналiзуемо рiвняння (8) у випадку ска-лярно1 пошкоджуваносп.
Для цього у вiдповiднiсть величин П по-ставимо спряжену величину Ч, яка характери-зуе реакщю матерiалу на змiнну П . В результат отримаемо наступи спiввiдношення:
1 = ЧТ •
-'ЕП _ Т-|П '
N =^сп .
(9) (10)
В результат рiвняння (8) буде мати наступ-ну форму:
ди „ ^ дs0 др0 ( дП ди*
— = сс • ( ®у ) + Т—- + + 1 Ч---
дt V 0 / дt дt { дt дt
Т - (V 0Т) • - (V 0^) Тр - (IV 0 ч) • Тп . (11)
Вщ рiвняння (11), з врахуванням принципу локально1 термодинамiчноl рiвноваги, пере-йдемо до:
Аи = с ••АУ + TАs + р + (ЧАП-Аи*) ; (12)
с* =-Т((ЧТ) + (У0ц)-1р +(0Ч)1п) . (13)
Якщо прийняти, що пошкоджувашсть е тен-зорна величина друго1 валентносп, отримаемо [16]:
Аи = с • • АУ + ТА** + цАр + (Ч • • АГ1 - Аи*) ; (14)
с* = -Т ((<Т)Т5 +(Чм)-Тр +(% • Тп). (15)
Як видно, внутршня енергiя (12) або (14) е фун-кцiею наступних параметрiв * , У, р, П , и*:
и = и(*,У,р,П,и*) . (16)
За допомогою сшввщношення
f = -и + Т* + цр + ЧП+и* (17)
отримаемо:
А/ = ¥• Ас + *АТ + рА ц + ПАЧ + Аи*. (18)
Е
Якщо функци и або _ е заданими, то мож-на записати визначальш рiвняння стану локально! термодинамiчноi рiвноваги як зв'язки мiж вiдповiдними екстенсивними та iнтенсивними параметрами:
ди
<5 = --тг = < (У Р, Г1, и*);
дУ ди
Т = д-и = Т ((, Р, Г1, и*);
дs 4 '
Ц=lp=ц(s'У' Р' п и*); р=ж=< ( p' п и*)
(19)
або
У = _ = У (Т,< ц, Р, и*);
-с
-Т
5=_=5 (Т, < ц ^и*);
(20)
Л-/*
Р = -ц = р(Т, <5, ц, Р, и*);
П = _ = п (Т, <5, ц, Р, и*). -р V /
4. Аналiз отриманих термодинамiчних сп1вв1дношень
4.1. Зв'язок побудованих р1внянь з крите-р1ями довговiчностi металiчних тiл.
В сучаснш механiцi деформiвного твердого тiла для розрахунку довговiчностi матерiалу найчастiше використовуються деформацiйнi i енергетичнi критерп [3], при цьому роботу кон-кретних деталей найчастiше оцiнюють з враху-ванням силового навантаження.
Тому розглянемо сшввщношення (4) - (19) в спрощенш постановцi з врахуванням тшьки силово! складово!, нехтуючи явищами теплово! та дифузшно1 природи.
Тодi системи (18) i (19) трансформуються у наступш рiвняння:
<< = < (у, пп, и*);
-У У '
р=< (,п, и*),
яп V >
(21)
-П
У=_=У (<ри*);
п = _ = п (, Р, и*). -р v /
(22)
Як видно з системи (20), напружений стан в тш залежить як вiд деформацiй' так i вiд по-шкоджуваностi. Утворення пошкоджуваност в тiлi визначаеться насамперед його напружено-деформованим станом (21), а також мщнюними параметрами матерiалу тiла.
Зокрема, якщо прийняти, що друге рiвняння системи (21) мае вид:
пп (г ) = я (<) г,
(22)
що вiдповiдае лiнiйному закону сумування по-шкоджуваностi.
Велику кшьюсть експериментальних залеж-ностей довговiчностi матерiалу вiд умов наван-тажень, при використанш енергетичних критерий утворення пошкоджуваносп оцiнюють як втрату енерги на непружне деформування пiд час зовшшшх навантажень.
Це, зокрема, добре шюструеться за допомо-гою сшввщношення (8) без врахування проце-шв несилового походження:
"С N= (23)
-г
коли енерпя зовнiшнього навантаження витра-чаеться не тшьки на змшу внутршньо1 енерги системи, але й на змшу мщшсних параметрiв тiла.
5. Висновки
В робот проаналiзовано сучасний стан ма-тематичного моделювання опису змши мщшс-ностi металiчних систем шд час зовнiшнiх навантажень.
З використанням уявлень про iерархiчну ко-нтинуальну багатовимiрнiсть процесiB' що про-ходять при деградаци властивостей матерiалiB' запропоновано пiдхiд до побудови математич-них моделей на основi уявлень нерiвноважноl термодинамiки.
Проаналiзовано одержат стввщношення та встановлено !х зв'язок iз сучасними критерiями оцiнки довговiчностi металiчних тiл.
Запропонованi в робой шдходи можуть бути використанi для розрахунку i управлiння довговь чшстю деталей залiзничного транспорту.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Дефекти зал1зничних колю [Текст] : монография / I. О. Вакуленко [та ш.]. - Д.: Вид-во Макове-цький, 2009. - 112 с.
2. Волков, И. А. Уравнения состояния вязкоупру-гопластических сред с повреждениями [Текст] /
А. И. Волков, Ю. В. Коротких. - М.: Физмат-лит, 2008. - 424 с.
3. Прочность материалов и конструкций [Текст] : серия монографий / под общ. ред. В. Т. Трощенко. - К.: Ин-т проблем прочности им. Г.С. Писаренко НАН Украины. - Т. 2. Усталость металлов. Влияние состояния поверхности и контактного взаимодействия / В. Т. Трощенко [и др.]. - 2009. - 664 с.
4. Ф1зико-математичне моделювання складних систем [Текст] / пвд ред. Я. Й. Бурака. - Льв1в: Сполом, 2004. - 264 с.
5. Седов, Л. И. Механика сплошной среды [Текст] / Л. И. Седов. - т. 2. - М.: Наука, 1970. - 568 с.
6. Подстригач, Я. С. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах [Текст] / Я. С. Подстригач, Ю. З. Повстенко. - К.: Наук. думка, 1985. - 200 с.
7. Третьяченко, Г. Н. Прочность и долговечность материалов при циклических тепловых воздействиях [Текст] / Г. Н. Третьяченко, Б. С. Карпи-нос. - К.: Наук. думка, 1990. - 256 с.
8. Терегулов, И. Г. Термодинамика необратимых процессов и теоретические основы построения определяющих соотношений для сплошных сред [Текст] / И. Г. Терегулов // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. - 1995. -№ 4 (395). - С. 82-95.
9. Агеев, Е. П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах [Текст] / Е. П. Агеев. - М.: Эди-ториал УРСС, 2001. - 136 с.
10. Кондауров, В. И. Основы термомеханики конденсированной среды [Текст] / В. И. Кондауров,
B. Е. Фортов. - М.: МФТИ, 2002. - 336 с.
11. Кувыркин Г. Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном на-гружении [Текст] / Г. Н. Кувыркин. - М.: МГУ, 1993. - 142 с.
12. Зарубин, В. С. Математические модели термомеханики [Текст] / В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин. - М.: Физматлит, 2002. - 168 с.
13. Панин, В. Е. Физическая мезомеханика: достижения за два десятилетия развития, проблемы и перспективы [Текст] / В. Е. Панин, Ю. В. Гри-няев, С. Г. Псахье // Физическая мезомехани-ка. - 7-й спец. вып., ч. 1 (2004). - 2004. -
C. 25-40.
14. Мурамаки, С. Математическая модель трехмерного изотропного состояния поврежденности [Текст] / С. Мурамаки, Ю. Н. Радаев// Механика твердого тела. - 1996. - № 4. - С. 93-110.
15. Ильюшин, А. А. Об одной длительной прочности [Текст] / А. А. Ильюшин // Инж журн. «Механика твердого тела». - 1967. - № 3. - С. 21-35.
16. Кузш, М. О. Використання тдходав термодина-мши для континуального опису змши довгов1чно-сп металчних систем в умовах зовтшшх навантажень [Текст] / М. О. Кузш // Укранська акад. друкарства. Наук. записки. Наук.-техн. зб1рник. -2010. - № 2 (52). - С. 123-130.
Надiйшла до редколегп 18.01.2011.
Прийнята до друку 25.01.2011.
