Основные уравнения для расчета характеристик статической аэроупругости методом коэффициентов влияния при несимметричном движении летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том XXVII 199 6

№3-4

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.42 , ,, „ (

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК СТАТИЧЕСКОЙ АЭРОУПРУГОСТИ МЕТОДОМ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОМ ДВИЖЕНИИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

В. Л. Токарь .

Выведены уравнения для расчета аэродинамических коэффициентов летательного аппарата (ЛА) методом коэффициентов влияния (МКВ) с учетом упругости его конструкции в линейной постановке задачи при несимметричном движении. Проведен анализ особенностей, связанных с формированием упругой схемы.

Метод коэффициентов влияния широко используется при решении задач статической аэроупругости. Уравнения для расчета характеристик при симметричном и антисимметричном маневре можно найти, например, в работах [1] и [2]. Выведем уравнения, которые позволят рассчитывать ЛА, схематизируемые совокупностью тонких упругих несущих поверхностей как с симметричной, так и несимметричной конфигурацией при произвольном, в том числе и несимметричном маневре. Примером ЛА с несимметричной конфигурацией может служить самолет со «скользящим» крылом, у которого одно крыло имеет прямую, а другое — обратную стреловидность.

Будем полагать, что деформации конструкции и местные углы атаки малы, справедлива аэродинамическая гипотеза квазистационарности, угловые скорости ЛА невелики, так что членами уравнений, пропорциональными их квадратам, можно пренебречь. Из инерционных нагрузок учитываются только те, которые обусловлены перегрузкой в центре масс и угловым ускорением ЛА. Влияние сил сопротивления и тяги двигателей на деформации и влияние деформаций на силы сопротивления не рассматриваются.

Выведем выражения для аэродинамических коэффициентов ЛА и их производных при стационарном обтекании с учетом упругих деформаций конструкции.

В качестве базовой схемы ЛА для определения аэродинамических коэффициентов воспользуемся плоскопространственной схемой (т. е. схемой, в которой любая несущая поверхность — крыло, фюзеляж, киль и т. д. — схематизируется плоской фигурой) любого панельного метода, у которого давление в пределах одной панели считается постоянным. При помощи этого метода можно получить матрицу коэффициентов аэродинамического влияния А°Р. Элементы обратной к ней матрицы А?а имеют следующий физический смысл:

а|а — коэффициент перепада давления р = р/д на /-й панели,

обусловленного отклонением у'-й панели на единичный угол атаки 09. Здесь д — скоростной напор.

Кроме того, для решения поставленной задачи необходима матрица упругой податливости конструкции С“^, которую можно получить, например, при помощи метода конечных элементов (МКЭ). Элемент с^г матрицы С“^ представляет собой угловую деформацию —

«упругое» приращение угла атаки центра тяжести /-й панели под действием равномерно распределенного на у-й панели давления, в сумме дающего единичную нормальную к плоскости панели силу.

Размерность матриц А^ и СаР равна количеству панелей в аэродинамической схеме.

В соответствии с методом коэффициентов влияния имеем два соотношения:

где ад — вектор угловых деформаций, каждый элемент которого представляет собой угловую деформацию в месте расположения центра тяжести соответствующей ему аэродинамической панели, обусловленную действием потока воздуха; а* — вектор местных углов атаки аэродинамических панелей недеформированного ЛА (жесткого); аи — вектор угловых деформаций, каждый элемент которого представляет собой угловую деформацию в месте расположения центра тяжести соответствующей ему аэродинамической панели, обусловленную действием совокупности инерционных сил и силы тяжести; р — вектор, каждый элемент которого представляет собой перепад давления на соответствующей ему аэродинамической панели, отнесенный к скоростному напору; — диагональная матрица площадей аэродинамических панелей.

Разрешив систему уравнений относительно ад, получим соотношение

ад + аж + аи = А°^ р = дСаГ8р,

(1)

Р — ■^о(аж + аи ) >

(2)

К0 =(Аар -дС^я) \

Для получения итадральных аэродинамических коэффициентов нужно умножить вектор давлений на интегрирующую матрицу:

Су

тх

ГПу

1сК0(аж +аи).

(3)

Оси х, у, г являются осями прямоугольной системы координат, связанной с ЛА, причем ось х направлена вдоль фюзеляжа;

Ст, = с7 = ~------коэффициенты аэродинамических сил по

у г

осям у и г; ^ — характерная площадь; тх - — коэффициент

фУх/

момента аэродинамических сил относительно оси х; Мх — величина момента относительно оси х; щ = — у, — коэффициент момента от-

^х/

носительно оси у; тг =

М.

средняя аэродинамическая хорда; 1(

коэффициент момента относительно интегрирующая

оси і\ ЬА матрица.

Определим «ж и Ои для подстановки в уравнение (3):

аж = аст + а

а=1 а + а р=1 Р+а ф=1Ф+а8э=15э +

+а|5н=18н +а

Р=1®х +а

(4)

ч>У=1фу +а|шг=1а)г>

здесь осд. — вектор местных углов атаки панелей, определенных стапельной формой ЛА; а — угол атаки ЛА; р — угол скольжения ЛА; <р — угол отклонения руля высоты; 5э — угол отклонения руля управления

креном; 5н — угол отклонения руля направления; а ф=1; а|5э=1; сх|5Н=1 ~

векторы местных углов атаки панелей, соответствующих единичным отклонениям руля высоты, руля управления креном и руля направле-

ния соответственно; а

Оу =1> а «>г=1

векторы местных углов

атаки панелей, обусловленных вращением ЛА воіфуг осей х, у, г, соответственно с единичными угловыми скоростями. Значения этих векторов зависят от скорости набегающего потока.

Для определения вектора (% рассмотрим силы тяжести и инерции, действующие на ЛА, в связанной системе координат.

Сила, действующая на элементарную массу т, определяется выражением (см. [3]):

здесь г — радиус-вектор элементарной массы; гс — радиус-вектор

центра масс ЛА; Ус — ускорение центра масс; ю — угловое ускорение ЛА как твердого тела; £ — ускорение свободного падения.

Пренебрегая членами порядка-квадратов угловых скоростей, получаем:

Рт =т!(-¿и* +<ьугс -®гУс) + т]{-&1у + юг*с -®хгс) + (5)

+тк{-%рг +<і>хУс -<®у*с) + т®х {-Гук + ггу) + тту(-ггі + г^к) + ?яшг(-гжУ + гуі),

іде і, і, к — орты связанной системы координат; хс, ус, — компоненты вектора гс; гх, гу, гг— компоненты вектора г; пх, пу, пг — значения перегрузки в центре масс ЛА по осям х, у, г; ©у, <Ьг — компоненты углового ускорения.

Задав нагрузки упругой схемы, определяемые выражением (5), получим:

«и = а пх=1 «х + а и„=1 »у + а „ы^ +

+а

=1ах +а

+ а

(6)

¿2=1® г»

здесь а „у=1

вектор, 1-й компонент которого является значением

угловой деформации в центре тяжести 1-й аэродинамической панели, обусловленной единичной перегрузкой Пу = 1.

Остальные векторы, входящие в выражение, имеют аналогичный смысл.

Подставляя (4) и (6) в (3) и пренебрегая а]Лх;=1, получаем:

с п са стхс<0Усв>гс'9 с5эс8н уОн ун ун ун ун ун. ун ун. ун а

/ \

Су сг сї®нс<£нс1цст ст сгн сгнсгнсгн Р

тх = ^ОН т1А<^т2тш<Уттш СО у

ту т% т^ т^т^т^ ®г

Ф 8э к8Н у

Л-м Л 9 СО у V Сй т С УС гС~ХСл,УС ,г

У У У У у / N

пУ

г г г г г Ч

Л» Нш (у» ©у т у т*т*т у т* юг

XXX X X X

Им 71т ¿Vі т :т*пгхт*т* а у

у у у у у

Пу П. в>х _.®у т/ ш, т_ т_ * /я 4

г г г г г

Первую матрицу, входящую в выражение (7), обозначим С^, вторую С*

Здесь

УН

т

,а

хн

УН

&

0 а| а=1 ■

Остальные компоненты матриц Си и определяются аналогично.

Уравнение (7) относится к закрепленному Л А, поскольку для получения С1р и аи необходимо иметь упругую схему закрепленного ЛА. Индекс «н» у компонентов матрицы Сн также отражает этот факт.

Поскольку нашей целью является получение аэродинамических коэффициентов свободного ЛА, продолжим наши рассуждения.

Для свободного ЛА

Су = Пув ,|

сг = \

(8)

где £? =

приведенный вес ЛА.

Уравнение моментов для свободного Л А в соответствии с [4]:

МА = — + (¿5 хк),

А ді ' 1

(9)

где Ма — момент аэродинамических сил, действующих на ЛА; К кинетический момент ЛА в проекциях на связанные оси

Ку ==

А,

IXX ~^ху “^хг

~*ух ^УУ ~ Іуі ~ ^ ту 3 хх.

/ \ ®Х

(В,

Ю

І)

здесь / — тензор инерции ЛА в связанных осях. Второе слагаемое в уравнении (9), пропорциональное квадрату угловой скорости, учитывать не будем. Тогда из (8) и (9)

где

(Ю)

V (и > Пу

сг "г

тпх =1в <ах

ТПу (Оу

(В, к и

Ів - ВІІ, =

в 0

о в

"О Т 7

Матрица В служит для обезразмеривания.

Для закрепленного ЛА мы должны учитывать не только аэродинамические силы, но и силы реакции в точках закрепления. Уравнение (10) в этом случае будет иметь вид:

ґхку ' (с > Су ПУ

«г

+ Щс = *в со*

ЪМд, Му СО У

л,

где элементы вектора слева представляют собой суммы безразмерных зил и моментов сил реакции в точках закрепления.

Если справедливо уравнение *(10), то

1Д,

Т.Мцу

[ям*)

= 0.

(11)

Если, кроме того, точки закрепления подобраны таким образом, что при выполнении (11) каждая из сил реакции и каждый из моментов в точках закрепления ЛА равен нулю, это будет означать, что ЛА свободен, т. е. аэродинамические силы уравновешиваются инерционными и силой тяжести в связанной системе координат. Тогда аэродинамические коэффициенты в левой части уравнения (7) являются коэффициентами свободного ЛА.

Назовем такой способ закрепления статически определимым. Простейшим вариантом статически определимого закрепления может служить фиксация линейных степеней свободы по направлениям у и £, а также трех угловых степеней свободы по осям х, у, г в конечноэлементной схеме.

Таким образом, закрепив ЛА статически определимым способом, разрешив систему из уравнений (7) и (10) относительно инерционных параметров, получим выражение для аэродинамических коэффициентов свободного ЛА:

В таком виде оно идентично по форме выражению для аэродинамических коэффициентов жесткого ЛА.

/

1

а

(12)

где Е — единичная диагональная матрица. Перепишем уравнение (12) иначе:

(13)

Описанная процедура удобна тем, что на промежуточном этапе определяются элементы матрицы Сн — аэродинамические производные закрепленного «невесомого» Л А, которые можно 'также получить при продувках упруго-подобных моделей в аэродинамических трубах и использовать их для оценки точности расчетных данных. Точку закрепления конструкции в расчете стоит поэтому располагать в том же месте, где находится узел крепления модели.

. ЛИТЕРАТУРА

1. Е в с е е в Д. Д. Метод коэффициентов влияния при решении задач статической аэроупругости // Труды ЦАГИ. — 1986. Вып. 2305.

2. Сергеев А. А., Токарь В. Л. Методика расчета характеристик статической аэроупругости летательных аппаратов методом коэффициентов влияния с использованием пространственных схем метода конечных элементов // Ученые записки ЦАГИ. — 1991, Т. 22, № 3.

3. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков, ^

М.: Наука. - 1970.

4. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика продольного и бокового движения самолета. — М.: Машиностроение. — 1979.

Рукопись поступила 7/П 1995 г.