Метод учета влияния деформаций самолета на его нагружение Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XII 19 8 1

№ 6

УДК 629.735.33.015.4:533.69.048.1

МЕТОД УЧЕТА ВЛИЯНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ САМОЛЕТА НА ЕГО НАГРУЖЕНИЕ

В. Я. Митрущенков

Предлагается метод решения задач статической аэроупругости, основанный на разложении деформации конструкции в ряд по формам деформаций, полученным из метода последовательных приближений.

На примере решения задачи о нагружении и напряженно-де-формированном состоянии конструкции самолета с учетом влияния деформаций на распределение аэродинамических сил исследована сходимость метода по количеству членов разложения деформации в ряд.

Приведены некоторые результаты расчетов.

Задача обеспечения заданной прочности, заданного ресурса конструкции самолета при постоянном повышении весовой отдачи и усложнении конструкции не может быть решена без проведения многочисленных прочностных расчетов для большого числа случаев нагружения. Для этой цели в настоящее время широко используется метод конечного элемента (МКЭ). Задача усложняется тем, что, как известно, при расчете распределенных аэродинамических нагрузок для современных самолетов необходимо учитывать влияние на них упругих деформаций конструкции. Естественно требовать, чтобы обе части этой задачи решались в рамках единой упруго-массовой схематизации, т. е. в рамках упругой схемы МКЭ.

Среди расчетных методов учета влияния деформаций на распределение аэродинамической нагрузки наибольшее распространение получили метод заданных форм в варианте „метода многочленов" [1], метод последовательных приближений [2] и метод коэффициентов влияния [3]. Последние два метода используют упругую схему МКЭ. Однако следует отметить следующее. При подробной упругой схеме получение матриц коэффициентов влияния с™ и Сар (см. [3]) занимает много времени на ЭВМ, так как для получения каждого столбца необходимо с помощью МКЭ решить задачу о нагружении конструкции единичной силой. Расчет перемещений на ЭВМ ЕС-.1050 в системе ДИАНА [5] для конструкции, описанной схемой из 500 узлов, занимает приблизительно 15 минут для первого случая нагружения и 0,5 минуты для каждого последующего. Следовательно, при аэродинамической схеме, состоящей из 150 панелей, время расчета составит около полутора часов.

Недостатком метода последовательных приближений является то, что для некоторых режимов он сходится очень медленно или совсем расходится. Кроме того, при каждом изменении параметров полета (числа М, величины скоростного напора <?, перегрузки пу, распределения весов и т. д.) расчет приходится проводить практически в том же объеме.

В данной работе предлагается метод решения задач статической аэроупругости, который соединяет в себе простоту и наглядность метода последовательных приближений и низкий порядок разрешающих уравнений метода заданных форм*. Рассматриваются два варианта метода.

Первый вариант представляет собой 5-шаговый градиентный метод [4] для решения разрешающего уравнения метода коэффициентов влияния. Второй вариант можно трактовать как метод заданных форм, в котором в качестве базисных функций разложения упругой деформации конструкции приняты разности деформаций в двух последовательных итерациях при решении этой же или близкой задачи методом последовательных приближений. Такая трактовка позволяет в качестве базисных функций использовать также другие деформации,, лучше описывающие реальное нагружение конструкции и, в частности, итерации для режима, близкого по своим параметрам к расчетному.

Рассмотрим оба варианта на примере задачи о нагружении распределенной нагрузкой Р0 упругого самолета, закрепленного моментно в одной точке в потоке воздуха.

1. Для построения расчетной аэродинамической схемы н-есущая поверхность самолета по известным правилам заменяется срединными поверхностями таких агрегатов, как крыло, фюзеляж, горизонтальное оперение и т. п., разбитыми на ряд панелей трапециевидной формы в плане. Расчет распределения аэродинамических сил по деформированному самолету производится с использованием методов линейной теории:

^упр = Я$Аа.уПр, (1)

где <7 — скоростной напор, 5 — диагональная матрица площадей панелей, А — матрица аэродинамических коэффициентов влияния, причем ау — изменение перепада давления на 1-й панели при единичном изменении угла атаки /-й панели,. аупр — вектор угловых деформаций (местных углов атаки) в точках выполнения граничных условий непротекания.

Для простоты выкладок считаем, что силы Р0 и Рупр приложены в одних и тех же точках, какими при М < 1 являются центры вихрей, а при М > 1 — геометрические центры тяжести панелей, и направлены по нормали к срединной поверхности:

Р$ — Ро + ^упр-

Вектор аупр можно выразить через вектор нагрузок:

Яупр = сар (Р0 + Рупр) = С,,Е (Ро + <?5Лаупр), (2)

где Сар — матрица коэффициентов влияния, причем С*? — изменение местного угла атаки в г-й точке удовлетворения граничных условий под действием единичной силы, приложенной в У-й точке,

Преобразуем уравнение (2) к виду:

(£-Са/г?5Л)аупр = С'грР0. (3)

Приближенное решение этого уравнения может быть найдено с помощью одного шага ^-шагового градиентного метода [4]. Согласно этому методу приближенное решение уравнения

Ау = Ь (4)

минимизирует функцию ошибки

/(у)=-£-утЛу — уть + с, (5)

(„Т“ — символ транспонирования, С — константа) среди векторов, принадлежащих подпространству 5, натянутому на векторы Ь, АЬ, . . . Ь (в качестве нулевого приближения здесь принято уо=0).

* Предлагаемый метод является дальнейшим развитием подхода к решению задач аэроуиругости, разрабатываемого А. Ф. Пчелкиным, где полный набор базисных функций, основанный на анализе спектра внешнего нагружения, определяется из метода последовательных приближений, примененного отдельно

к каждой из составляющих нагрузки: р0, ра, рь, ра'г, Ме и т. д.

Вместо векторов Ь, АЬ, . . . А5 Ь в качестве базиса подпространства 5 можно принять векторы ДУ1=-У1—У1_ 1 (1—1, 2, , 5), так как они являются

линейной комбинацией векторов Ь, АЬ<-. . . А1~г Ь. Здесь у[, уг_1 — решения уравнения (4) методом последовательных приближений соответственно в г-й и в г —1-й итерациях. Тогда приближенное решение уравнения будет

5

у^\и,±У1,

1-1

где и1—неизвестные коэффициенты, определяемые из условия минимума функции ошибки.

Для уравнения (3) приближенное решение можно искать в виде

5

“упр = Р'Л Даупрг г. 1

или в матричной форме

“упр = ХаТ • и, (6)

где Ха— матрица, строками которой являются векторы Даупр; = аупр г — <*упрг_1,

(аупр о = 0).

Функция ошибки (5) для уравнения (3) примет вид

/(£/) = иг Ха(Е — С“р дБ А) Хат и - Ут Ха С%рР0 + С=

= ^ Ха X" и - V ит Xя х” и~итХа Сар Р0 + С, (7)

где Ха = Сар аЗАХат— матрица; столбцами этой матрицы являются угловые де-формации от аэродинамических сил ДРупр г = ^упрг — ^упр•

Вектор и определяется из условия минимума функции ошибки: д/

=0. г’=1, 2........5,

ди1

или, подставляя (7),

ха хат и - ха х^ и - X* С«р Р0 = 0.

2. Эту же задачу о нагружении упругого самолета можно решить методом заданных форм.

Будем искать вектор линейных перемещений в виде:

5

IУ = или \У = Хти, ауПр = Хати, (8)

г=1 /

т. е. в том же виде, что и в 5-шаговом градиентном методе.

Здесь Л’— матрица, строками которой являются векторы ДИ^ = 11^—1, т. е. векторы линейных деформаций, соответствующих угловым деформациям А^унр (•

Вектор аэродинамических сил Яупр, учитывая (1), можно представить в виде:

Рупр = ?5'ЛА'7Т и - и, (9)

где — матрица, строками которой, как нетрудно заметить, являются векторы Д-Рупр г = Рущ г — ^,пр •

* Для точного решения уравнения необходимо формировать матрицу СаР (или Сард8А), что, как было сказано выше, занимает много времени на ЭВМ. При итерационном же методе число обращений к МКЭ равно числу итераций, т. е. значительно меньше.

Потенциальную энергию упругого самолета можно выразить следующим образом:

П = — и*Хр-*и — —и*ХРт и-и*ХР0. (10)

2 2 *

В этой формуле первый член описывает энергию деформации, второй и третий — работу внешних сил.

Здесь £—матрица; строками этой матрицы являются векторы ДРс = Р^,.— — 1, т. е. векторы сил, под действием которых получены деформации Д1VI.

КУПР

1.1

1,0

0,3

0,8

0,7

О,В

- ----------------------------

-----метод заданных форм

-----Я-шаговыи градиентный метод

л—1—I—I—I___________________I_I I I I

'4121*56783 Число членов разложения амр, XV

Рис. 1

Неизвестные коэффициенты £/*•, являющиеся обобщенными перемещениями, можно найти из условия минимума потенциальной энергии:

<ЭП

(г'=1>2......5)>

или, подставляя (10),

ЛТ1 и — ХР'1 и — хр0 = 0.

Таким образом, в обоих вариантах метода решение ищется в виде (8) и отличие состоит в том, что в первом методе минимизируется функция ошибки (7), а во втором — потенциальная энергия конструкции (10), при этом обе функции имеют близкую структуру.

На рис. 1 представлены графики зависимости результата расчета угловой деформации на конце консольно закрепленного стреловидного крыла от количества 5 членов разложения деформации. Видно, что различие результатов расчета для этих методов небольшое, и оба метода быстро сходятся по количеству учтенных итераций.

3. Ниже будет изложена методика в трактовке метода заданных форм применительно к расчету на прочность самолета в случае установившегося маневра. Применение этой методики к решению других задач статической аэроупругости не вызывает принципиальных трудностей.

Рассматривается установившийся маневр в плоскости тангажа с заданной перегрузкой. Под таким маневром здесь понимается движение самолета в одной точке круговой траектории с постоянными значениями угла атаки а, угла отклонения органа управления 8, угловой скорости тангажа о>г, скоростного напора <?, перегрузки пу.

Вектор аэродинамических сил, действующих на самолет, можно представить в виде:

Раэр = Рсг + + Я5 - 8 + + -Рупр. (11)

п. Ъ

где Рст, Р , Р , Р 2 — соответственно векторы аэродинамических сил от стапельной деформации, от единичных а, 6, шг. Они могут быть получены из ре-

(пу — 1) £

шения соответственно деформационной а, 8, а>г—задач, «г = —-—— — .

Деформации конструкции представим в виде (8). При этом упругая схема строится на основе МКЭ, в рамках этой схемы в дальнейшем получаются напряжения в элементах конструкции. При таком представлении деформации автоматически выполняются граничные условия по краям несущих поверхностей и в местах их стыков, что позволяет повысить точность описания деформаций несущих поверхностей. Линейные перемещения определяются в точках упругой схемы, а угловые — в точках выполнения граничных условий аэродинамической схемы.

Для определения базисных деформаций ДЩ рассмотрим уравнения равновесия

етр (Рст + Ра <* + Рд ь + + Рупр) _ Пу етм = О,

хтр (РСт +р*а+ рьъ + />“* шг +Яупр) - Пу хтм Мё = О,

(12)

где Хр и хм — векторы координат точек приложения аэродинамических сил и точек приложения инерционных сил; ер и ем — векторы с единичными компонентами, соответствующие Хр и хм; ме — вектор инерционных сил.

Неизвестными В ЭТОМ уравнении ЯВЛЯЮТСЯ углы а, 6 И вектор Рупр. Будем решать его методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения примем Й70 = 0, аупро = 0, Яупро = 0.

Подставляя Рупро в уравнение (12), определяем оь 6^ далее из уравнения (11) получим вектор Раэр 1- Деформации №Г1 можно получить по формуле:

Щ = К (Ь рРаэр ! - пу 1М Мё), (1ч3)

где К — матрица податливости. Конструкция самолета должна быть закреплена в одной (моментно) или безмоментно в двух точках; тогда угол атаки определяется как угол атаки плоскости, проходящей через эти точки, и деформации конструкции получаются с учетом их закрепления; Ьр и — операторы преобразования нагрузок из точек приложения аэродинамических и инерционных сил в точки упругой схемы.

Угловые деформации можно получить путем интерполяции линейных деформаций:

“упр 1 = Ь ^1> (14)

где Ьа — оператор интерполирования, связывающий угловые деформации с линейными деформациями.

Векто.р Рупр1 определяется по формуле (1).

Проводя описанный выше процесс 5 раз, получаем последовательность векторов Ц7г, <хупр I, Раэрг, Рупр/ и, следовательно, векторов Д1VI, ДаупргЧ Ьр&РаЭр I = ЬрРаэр I ЬрР аЭр г-_], (ЬрРаэро=иу ^мМ§)> ^р^Рупр Ь которые образуют матрицы X, Ха, Г, Р*.

Для нахождения коэффициентов разложения деформации £/* [уравнение (8)], являющихся обобщенными перемещениями, рассмотрим уравнения равновесия в обобщенных координатах:

(15)

где в = Х1^— обобщенная матрица жесткости, 0—вектор обобщенных сил.

Вектор <2 может быть выражен через реальные силы, приложенные к конструкции, следующим образом:

С? = ХЬр (Рст + Р“ а + Р8 5 + Ртг <о2) + £/ - Пу ХЬ^. (16)

Подставляя (16) в (15) и добавляя два уравнения балансировки, получаем систему уравнений 5 + 2 порядка относительно неизвестных и, а, 8:

(ХГТ - XI*[) — ХЬР Ра — ХЬр Р1

- еТр дБАХ* -етрРа - етр Рь

-хтрд5АХа -хтрРа -хтрРь

Решая эту систему и подставляя решение в (11) с учетом (1) и (8), полу-

чаем вектор суммарной аэродинамической нагрузки:

Раэр = Рст + а + Ртг <о2 + Р5 8 + 95ЛХ“Т и.

Перераспределяя эту нагрузку в узлы упругой схемы, определяем по МКЭ напряженно-деформированное состояние конструкции.

4. Как известно, метод последовательных приближений может расходиться или сходиться, но очень медленно. Но это в данном случае неважно, так как в каждой новой итерации получается деформация Д№/, характеризующая способность конструкции деформироваться под действием новой нагрузки ДРаэрг, а ее доля в общей деформации учитывается коэффициентом £7*.

и XIр (Рст+РШг а>г)-Пу XIм Щ

• а = ер (Рст+73 2 “г) ем ПУ (17>

8 ХТр(РСт + Р“г «*) — Хтм Пу Mg

V -1,0-0,3-0,8 -оА

а) <1 = 1,0

V

\ / V

ои

Л________!______I______I______I______I______I —і ■*!

О 1,1 -

ю-

0,3-

0,8-

°’70

Число

12 3 456189 \

\

ос ЗПР

и -1,0 0,3 0,8

0,1

б)г-¥

І I____________________________________________________I____________________________I__________________________I__________________________I____________________________I__________________________I___________________________I__________________________І1

0 12 3 4 5 6 18 3

I

Л,

/

1 2 3 4 5 6 18 9

членов разложения \М,№ итерац-ции

Рис. 2

ю

0,3 0,8

0,10 1 2 3 4 5 6 18 9

Число членов разложения Щ№ итерации

І I___________________!__________1_

V 1,0

о;з

С,8

П

6 ~

и —

V

1,0-113-0,8-

0,10 Число

а) і =2,5

_]__і_і_і__і_1—1

12 3 4 5 6 7

/ 13 4 5 6 18 9

членов разложения Щ № итерации - предлагаемый метод ----------

6)(1<0

сс

УПР

1,1

1,0

0,9

О,В

0,1

і і і і і і і 111

0 1 2 3 4 5 6 18 9

метод последовательных приближении Рис. 3

На рис. 2 и 3 показаны сходимости результатов расчета: балансировочного угла 5 и угловой деформации в одной из точек крыла, по количеству 5 учтенных итераций. Приведены также результаты расчета по методу последовательных приближений. Во всех случаях 8—10 членов разложения оказывается достаточным, чтобы получить решение с необходимой точностью. При этом метод последовательных приближений дает быстро сходящийся процесс (рис. 2, я и 3,а), медленно сходящийся процесс (рис. 3, 6) или расходящийся процесс (рис. 2, б). ,

Деформации Д1Г,- хорошо описывают искомую деформацию так как они получены от действия нагрузок, отражающих реальное нагружение конструкции. Практически нет необходимости для расчета нагрузок на режимах полета, незначительно отличающихся по своим параметрам, каждый раз проводить расчет векторов ДИ7г и, следовательно, матриц X, Ха, а достаточно только решать уравнение (17). Это позволяет проводить оперативные исследования влияния различных параметров полета (числа М, q, пу, распределения масс) на нагружение и напряженно-деформированное состояние конструкции.

9—.Ученые записки ЦАГИ" № 6.

129

На рис. 4 показано влияние отличия режима, для которого проводится расчет нагрузок (^ = 2,5), от режима, на котором получены векторы Д№;, на относительные погрешности определения угловых деформаций и напряженного состояния конструкции. Видно, что для близких режимов это отличие практически не сказывается на результаты расчета.

Как можно было заметить, нагрузки ДРаэр г. П°Д действием которых получаются деформации ЛИ7/, самоуравновешены. В число членов разложения деформации можно также вводить деформации от других самоуравновешенных нагрузок, отражающих нагружение самолета в целом или позволяющим более точно описывать деформацию некоторых участков.

Проведенные исследования показали эффективность предложенного метода учета влияния деформаций самолета. В качестве примера расчета на рис: 5 приведен график зависимости напряженного состояния в некоторых элементах силового набора конструкции от скоростного напора.

К достоинствам разработанного метода следует отнести сравнительно небольшое время на ЭВМ при подробной упругомассовой схематизации конструкции. При расчете нагрузок на нескольких близких режимах полета основное время на ЭВМ занимает расчет для первого режима. Для следующих режимов время расчета значительно сокращается.

Метод позволяет решать задачи статической аэроупругости для самолетов произвольных аэродинамических и конструктивных схем на дозвуковых и сверхзвуковых скоростях полета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Амирьянц Г. А., Буньков В. Г. Применение метода многочленов к расчету параметров установившегося маневра упругого самолета. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VII, № 4, 1976.

2. Мазур В. В., Турчанников Г. И. Итерационный метод расчета на прочность крыла самолета с учетом влияния деформаций на распределение аэродинамических сил. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VIII, № 5) 1977.

3. Евсеев Д. Д. Расчет некоторых аэродинамических характеристик упругого самолета методом коэффициентов влияния. „Ученые записки ЦАГИ“', т. IX, № 6, 1978.

4. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейно^ алгебры. Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

5. „Автоматизированная система расчета конструкций методом конечных элементов”. Тезисы доклада на Всесоюзной конференции „Автоматизация проектных и конструкторских работ.*, МАИ, 1979.

Рукопись поступила 151V 1980 г.