Определение критического скоростного нaпора, дивергенции и других характеристик статической аэроупругости с использованием матрицы податливости свободного летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVII 1996

№1-2

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.424

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО СКОРОСТНОГО НАПОРА ДИВЕРГЕНЦИИ И ДРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТАТИЧЕСКОЙ АЭРОУПРУГОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ СВОБОДНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

В. Л. Токарь

Предложен метод расчета мэтрицы подашивости свободного летательного аппарата (ЛА). На ее основе определены уравнение для расчета критической скорости дивергенции свободного ЛА, а также выражения для других характеристик статической аэроупругости. Предложен новый подход к экспериментальному определению характеристик статической аэроупругосги свободного ЛА в аэродинамической трубе.

Безопасность полетов ЛА обеспечивается как грамотной его эксплуатацией, так и характеристиками его конструкции, заложенными при проектировании. Одно из важнейших требований при проектировании — обеспечение безопасности от дивергенции — статической потери устойчивости упругой конструкцией, находящейся в потоке воздуха, приводящей к разрушению ЛА. В связи с этим первостепенное значение имеют расчетные методы определения критического скоростного напора дивергенции , определяющего границу неустойчивости. Кроме того, важным этапом проектирования является определение аэродинамических коэффициентов ЛА и их производных с учетом упругости конструкции, поскольку на их основе определяются нагрузки и параметры силовых элементов. Обе эти задачи являются задачами статической аэроупругости. В настоящее время для решения таких задач широко используется метод коэффициентов влияния (МКВ) (см., например, [1] или [2]).

Рассмотрим основные положения метода. Будем полагать, что деформации конструкции и местные углы атаки малы, справедлива аэродинамическая гипотеза квазистационарности, угловые скорости ЛА невелики, так что членами уравнений, пропорциональными их квадратам, можно пренебречь. Из инерционных нагрузок учитываются только

те, которые обусловлены перегрузкой в центре масс и угловым ускорением ЛА, влияние сил сопротивления и тяги двигателей на деформации можно не учитывать. Влияние деформаций на силы сопротивления также не рассматривается.

В качестве базовой схемы ЛА для определения аэродинамических характеристик возьмем плоско-пространственную схему любого панельного аэродинамического метода*, у которого перепад давления в пределах одной панели считается постоянным, а сами панели не имеют толщины. При помощи этого метода можно получить матрицу коэффициентов аэродинамического влияния . Элементы обратной к ней матрицы Ара имеют следующий физический смысл: а?.а — коэффициент перепада давления р = р / д /-й панели, обусловленного отклонением 7-й панели на единичный угол атаки а у, д — скоростной напор.

Пусть имеется также матрица упругой податливости конструкции — Сар, которую можно получить, например, при помощи метода конечных элементов (МКЭ), Элемент СУ? матрицы представляет собой

угловую деформацию — «упругое» приращение угла атаки в центре тяжести /'-й панели под действием равномерно распределенного по у-й панели давления, в сумме дающего единичную, нормальную к плоскости панели силу. Для определения СаЕ упругая система должна быть закреплена.

Размерность матриц и Са1< равна количеству панелей в

аэродинамической схеме.

В соответствии с методом коэффициентов влияния можем записать систему уравнений:

(Хд + сх-эк + аи — А ^р\ ад = дС?рЗр,

(1)

где ад — вектор угловых деформаций, каждый элемент которого представляет собой угловую деформацию в месте расположения центра тяжести соответствующей ему аэродинамической панели, обусловленную действием потока воздуха; аж — вектор местных углов атаки аэродинамических панелей недеформированного ЛА (жесткого); аи — вектор угловых деформаций каждый элемент которого представляет собой угловую деформацию в месте расположения центра тяжести соответствующей ему аэродинамической панели, обусловленную действием совокупности инерционных сил и сил тяжести; р — вектор, каждый элемент которого представляет собой перепад давления на соответствующей ему аэродинамической панели, отнесенный к скоростному напору; ^ — диагональная матрица площадей аэродинамических панелей.

* Плоско-пространственной называется схема, в которой любая несущая поверхность — крыло, фюзеляж, киль и т. д. — схематизируется плоской фигурой.

Разрешив систему уравнений относительно а?, получим соотношение

Р = ^о(®х аи)> (2)

где

*0 = (ла? - дС^ж)'1.

Уравнение (2) позволяет определять аэродинамические характеристики упругой закрепленной конструкции, а при соблюдении некоторых дополнительных условий может служить базой для определения характеристик свободного ЛА (см. [2]). Кроме того, уравнение

й<и(лаР - дАСР-рв) = 0 (3)

определяет критический скоростной напор дивергенции да закрепленной упругой системы, находящейся в потоке воздуха.

В том случае, когда ЛА представляет собой массивный негибкий фюзеляж с прикрепленными к нему тонкими несущими поверхностями, уравнение (3) позволяет определить его критический скоростной напор дивергенции. Для ЛА с тонким несущим фюзеляжем, самолетов, выполненных по схеме «летающее крыло», а также ракет при определении <7Д необходимо рассматривать свободный ЛА, у которого аэродинамические силы и моменты уравновешиваются не силами реакции в точках закрепления конструкции, а инерционно-массовыми силами. Эту задачу можно решить, построив матрицу податливости свободного ЛА.

Предварительно рассмотрим инерционно-массовые силы, действующие на элементарную массу т в связанной прямоугольной системе координат, ось х которой направлена вдоль фюзеляжа. Согласно [3]

Рт = т8 - т К ~ * (© х (г - гс))) - т(со х (г - гс)).

Здесь г — радиус-вектор элементарной массы; гс — радиус-вектор центра масс ЛА; ¥с — скорость центра масс ЛА относительно земли;

Ус — ускорение центра масс; ю — угловое ускорение ЛА как твердого тела; £ — ускорение свободного падения.

Пренебрегая членами порядка квадратов угловых скоростей, получим:

Рт = т]{-^ + шгхс - +

+тк{-£пг + <охус - + т6х(-Гук + гг/) + /июу(-гг/ + гхк) +

+т<Ьг(-гх]+ Гу1), (4)

ще /, у, к — орты связанной системы координат; хс,ус,іс — компоненты вектора гс; гх,гу,гг — компоненты вектора г ; пх,пу, иг — значения переірузки в центре масс по осям х,у, ах, ау, — компоненты вектора ю.

Задав наїрузки, определяемые выражением (4), при помощи МКЭ можем получить выражение для вектора аи. При этом деформации, связанные с перегрузкой пх, учитываться не будут, тогда

Г м ''і

Пу

00,

СО,

(5)

где

а

иу=1:а|иг=Х:(х|<ол:=1:<х

Здесь а

и„ =1

вектор, ьи компонент которого является значением уг-

ловой деформации в центре тяжести /-й аэродинамической панели, обусловленной единичной пере1рузкой Пу. Остальные компоненты матрицы имеют аналогичный смысл.

Рассмотрим закрепленный каким-либо образом ЛА. Пусть по нормали к у'-й аэродинамической панели приложена сила Fj, деформации от инерционно-массовых сил заданы совокупностью параметров пу, пг, <ЪХ, юу, сог. Тогда вектор деформаций, соответствующий этим

нагрузкам

(

=Са/р] + Ли

пу

"г

со*

(¿V

(6)

где С*р — у-й столбец матрицы податливости.

Рассмотрим силы и моменты, действующие на свободный ЛА:

(7)

где У, Z — компоненты аэродинамической силы, действующей на ЛА по осям у и £, (? — вес ЛА

Уравнение моментов для свободного ЛА в соответствии с [4]:

МА =^ + (¿3 хК).

А Ы ' '

Здесь МА — момент аэродинамических сил, действующих на ЛА; Мх, Му, М1 — его компоненты; К — кинетический момент ЛА в проекциях

на связанные оси.

?хх ^ху Г""" ■ 1 / \

= Ку = м - 1 к 1уу Зуг (Ну

1 1 X -Ьу «

I — тензор инерции ЛА в связанных осях.

Второе слагаемое в уравнении (8), пропорциональное квадрату угловой скорости, учитывать не будем.

Тогда, из (7) и (8)

41

Z «г

мх п 6Х

Му (Ьу

М, >г,

(9)

где

/„ =

О 0 0 в 0

0 /

Для закрепленного ЛА необходимо учитывать не только аэродинамические силы, но и силы реакции в точках закрепления. Уравнение (9) в этом случае будет иметь вид

Щ ' г г' Пу

z «г

ШЕх + мх сох

ЪМяу Му Ю у

со» \ и

где элементы левого вектора представляют собой суммы сил и моментов сил реакции в точках закрепления.

Если выполняется уравнение (9), то

Щ

= 0.

Если, кроме этого, система закреплена таким образом, что при выполнении (10) каждая из сил реакции и каждый из моментов сил реакции равны нулю, это будет означать, что ЛА свободен. Назовем такой способ закрепления статически определимым, вариантом которого может служить фиксация двух линейных степеней свободы по направлениям у и г, а также трех угловых степеней свободы по осям х, у, г в конечно-элементной схеме.

Аэродинамические силы и моменты, обусловленные силой приложенной к у-й панели:

где 1} — столбец множителей, учитывающих расположение у'-й панели в пространстве.

Пусть конструкция закреплена статически определенным способом. Тогда, подставив силы и моменты из (11) в (9), определив из (9) инерционные параметры и подставив их в (6), получим столбец матрицы податливости свободного ЛА, умноженный на

Сократив на Ц и объединив столбцы, соответствующие разным у, получим выражение для искомой матрицы:

где / — матрица, являющаяся совокупностью столбцов 1у

Теперь основные уравнения метода коэффициентов влияния можно переписать в виде

ГМ

мхр =1&,

(И)

(12)

(13)

где рс — вектор перепадов давления на панелях расчетной схемы, соответствующий свободному ЛА.

Разрешив систему относительно (а? + аи), получим

рс = К)С>.Ж,

(14)

Искомое уравнение для определения критического скоростного напора дивергенции свободного ЛА:

йеі(лаР - ддС«р$) = 0.

(15)

Выражение (14) можно использовать и для определения интегральных аэродинамических коэффициентов свободного ЛА и их производных:

Шх

ту

— МСК\ах,

(16)

¥ 2

где 1С — интегрирующая матрица; су = ——, сг = —-- коэффициентах----------------------------------------------Ччх

ты аэродинамических сил по осям у и Ях — характерная площадь; тх = ^'Х); ту = — коэффициенты моментов относительно осей

4$х!’ У ЯЯХ1 Щ ?хЬа

Определим ах для подстановки в уравнение (16):

х, у, г; т. = ■ _ * ; Ьл — средняя аэродинамическая хорда. 0?хЬА

аж - аст + а

а=1 а + а

р=1 Р + а ф=1 ф + а 5э=18э +

+а

8„ +а

с=1 сох + а

,=1со у + аШг=1шг =

' 1

а

со,

ю.

Здесь аст — вектор местных углов атаки панелей, определяемых стапельной формой ЛА; а — угол атаки ЛА; (3 — угол скольжения ЛА; Ф — угол отклонения руля высоты; 5Э — угол отклонения органа управления по крену; 8Н— угол отклонения руля направления;

а

ф=1>

а

векторы местных углов атаки панелей, соответ-

шу=ъ а|шг=1 — век-

®э=1’ а|8п=1

ствующих единичным отклонениям руля высоты, руля управления креном и руля направления соответственно; а|шх=1> а

торы местных углов атаки панелей, обусловленных вращением ЛА вокруг осей х, у, г соответственно с единичными угловыми скоростями.

Значения последних трех векторов зависят от скорости набегающего потока.

Подставив (17) в (16), получим:

Ґ сул

Н

тх

ТПу

\ти

- 1сКуАж

1 '

а

Р

Ф

5Э

§н

а.

(18)

Уравнение (18) определяет и значение производных аэродинамических коэффициентов, если записать его по-другому:

С с ^

Су

Щс

Шу

т,

V *■J

С„л са<Р ^с8нсв>хса,уса>г

Уч у у у у у у у у

с сас&с'*сЪзс&*с'ахсаУс“1 го г г сг сг сг сг

тЧтх^тхтхЭтхЯтх*тхУтх* ту0т*п§п{*т**п?у* т*хШуУ от“г

^К^тУ\Эт\Нт1Хт7т1г

г п

а

р

ч>

5Э

8„

(О,

(В.

V гу

В таком виде оно идентично по форме выражению для аэродинамических коэффициентов жесткого ЛА.

Обратим внимание на следующее: деформации свободного ЛА определяются матрицей податливости с?, все элементы которой могут быть определены расчетным путем. Если построить геометрически подобную модель, податливость которой определяется матрицей С^,

то аэродинамические характеристики упругого свободного ЛА с учетом деформаций от инерционно-массовых сил можно будет определить при испытаниях в аэродинамической трубе.

Характеристики податливости могут быть смоделированы путем подбора параметров упругих элементов, как это делается при проектировании упругоподобных моделей. Такой подбор, вероятно, возможен не во всех случаях, поскольку матрица податливости зависит как

от характеристик упругости, так и от инерционно-массовых свойств ЛА В этих случаях вопрос о моделировании требует дополнительной проработки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евсеев Д. Д. Метод коэффициентов влияния при решении задач статической аэроупругости // Труды ЦАГИ.— 1986. Вып. 2305.

2. Сергеев А. А., Токарь В. Л. Методика расчета характеристик статической аэроупругости летательных аппаратов методом коэффициентов влияния с использованием пространственных схем метода конечных элементов // Ученые записки ЦАГИ.— 1991. Т. 22, № 3.

3. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков.— М.: Наука.— 1970.

4. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика продольного и бокового движения самолета.— М.: Машиностроение,— 1979.

рукопись поступит 7/П1995 г.