CC BY
33
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 74-81
Механика =
УДК 539.42; 539.375
Основные соотношения варианта теории процессов упругопластического деформирования и разрушения *
О. Е. Энгельман, А. А. Маркин
Аннотация. На основе варианта деформационной теории Генки-Ильюшина, связывающего скорости деформаций и напряжений, рассматривается процесс упругопластического деформирования и разрушения треугольного конечного элемента при плоском напряженном и деформированном состояниях. Процесс разрушения элемента в ансамбле описывается как упругопластическая задача с фиксированными условиями на внешней границе и изменяющимися узловыми силами, воздействующими на тело со стороны разрушаемого элемента.
Ключевые слова: модель деформирования, конечный элемент, критерий прочности, процесс разрушения.
Введение
Согласно положениям дискретной модели деформирования и разрушения, описанной в работе [1], тело в начальном состоянии представляется ансамблем ¿-элементов с некоторым характерным размером. При решении задачи с помощью метода конечных элементов таким ¿-элементом будет являться конечный элемент. Ниже рассмотрено его поведение в процессе деформирования и разрушения.
1. Описание модели деформирования и разрушения
Рассмотрим конечный элемент треугольной формы с узлами, совпадающими с вершинами треугольника, обозначив их индексами г, ], к против часовой стрелки. Данный элемент широко применяется при расчетах, так как довольно прост и удобен для представления плоских тел достаточно сложной геометрии [2]. Распределение напряжений внутри элемента полагается постоянным.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-01-01875-а).
Модель деформирования конечного элемента будем рассматривать в геометрически линейном приближении. Для определения напряжений используем вариант деформационной теории пластичности Генки-Ильюшина [3], связывающей скорости напряжений и деформаций в следующем виде:
а = КвЕ + 2Сё при э ^ эт, аг ^ аТ, (1)
где К, С — упругие постоянные, эт — предел упругости по деформациям, э = л/ (ё • •ё) — модуль девиатора деформаций, в = вц + е22 + е33 — объемная деформация.
При переходе в упругопластическую область различают процессы нагру-жения и разгрузки. В этом случае связь между скоростями имеет форму: при нагружении
а = Кв Е +2Скё при э > эт и э > 0, а > ат и а > 0, (2)
где — касательный модуль сдвига, который принимается постоянным;
при разгрузке
а = Кв Е +2Сё при э ^ 0.
При описании процесса разрушения используется феноменологический подход. В качестве критерия, определяющего начало процесса разрушения, будем использовать критерий, описанный в работе [4]:
= 1С + 1К2 ^. (3)
Данный критерий подразумевает, что тело начинает разрушаться при достижении величиной Фд некоторого предельного значения, зависящего от свойства материала и определяемого экспериментально. Изменение знака перед вторым слагаемым в выражении (3) в зависимости от числового значения величины ао показывает, что при сжатии (ао < 0) разрушение «притормаживается», а в случае растяжения (а0 > 0), процесс, наоборот, ускоряется.
Таким образом, предлагаемая модель деформирования и начала процесса разрушения позволяет решать как прямую задачу — по заданным законам узловых перемещений определять НДС с учетом возможных промежуточных разгрузок, так и обратную — по заданным законам узловых сил определять соответствующие им узловые перемещения и через них — НДС.
2. Вывод разрешающих соотношений
Будем полагать, что горизонтальная щ и вертикальная и2 составляющие перемещения и в пределах элемента изменяются согласно закону
( Пг = ЛцХг + А12Х2 + а.1, (4)
\ П2 = Л21Х1 + Л22Х2 + а2, ()
где Лц, Л12, Л21, Л22, аг, а2 — некоторые константы.
В вершинах треугольника перемещения в элементе должны совпадать с узловыми перемещениями. Для каждого из узлов элемента (п = г^,к)
(п) (п)
известны горизонтальная щ и вертикальная и2 компоненты узлового
(п) (п) (п)
перемещения и(п), а также узловые координаты х1 и х2 . Это дает 3 пары из двух независимых друг от друга уравнений для определения констант, входящих в систему (4) [5].
Компоненты тензора деформаций связаны компонентами перемещения следующим образом:
= 1 ( дщ + дщ \ (5)
¿] = П дх3 + дхг) - (5)
Подставляя в соотношение (5) решение системы (4), можно найти выражение компонент тензора деформаций через узловые перемещения.
Учитывая, что связь между скоростями тензоров деформаций и напряжений в упругой области имеет вид (1), получим выражения для вычисления компонент тензора скоростей напряжений:
ач = 2С¿г] + К (¿11 + ¿22 + ¿33) ¿] , (6)
где ¿] — символ Кронекера.
Подставляя в уравнение (6) компоненты тензора деформаций, выраженные через узловые перемещения по формуле (5), получим соотношения, позволяющие выразить компоненты скорости напряжений а] через узловые скорости иг:
для случая ПДС (плоского деформированного состояния)
1 / 2С \ /АС + 3К
а 11 = 2Д СТ + К (5С + 6К !/1 + Г«!/3 + ^ + + 1'К - К Х] ,:,2 + щ + Х],ив)\,
С
а 12 = а21 = 2Д X]и 1 + Хгки3 + У]ки5 + У]ки2 + Укй4 + У]иб) , (7) 1 ( 2С \ ( 3К - 2С
1 {2С \ / 3К_2С
а22 = 2Д ("Т + 2К) (¿ёГбК (Ук"1 + Ук'1,3 + ^°5) +
АС + 3К \
+ 2С + 6К ^Хк] и2 + Хгки4 + Х]гиб) ) ;
для случая ПНС (плоского напряженногосостояния)
' а 11 = ^ (СС+К1) ^Ъ + ^з + Узйа) +
3К_2С
+ ^ . {хк]и2 + Хгки4 + Х^гйб)
2С + 6К
С
а 12 = <721 = 2д Хкз й 1 + Хгк й3 + У]к й5 + Ук й2 + Укй4 + Угз йб)
а 22
1 (АС (С + 3К) 2А
3К- 2С
4С + 3К у ) 2С + 6К I + {Хкз (^2 + ХгкЦ/4 + Хзгйб)) .
Здесь введены следующие обозначения:
(У,-к ( + Укгйз + У," (5) +
А
1 X 1 X 1 X
(г) „(О
Хп
(з) л)
Хп
(к) (к)
1
2
площадь элемента,
й=
и
(г) „3) „(з) „(к) (к)
и
и
и
и
и
Т
{ Х = Х(г) - Х(з)
) Хгз — Х1 Х1 , I У-ь = Х(г) - Х(к)
^ Угк — Х2 Х2 ,
а остальные компоненты Х и У получаются путем циклической перестановки индексов г, з, к.
В области пластичности при нагружении связь между скоростями задается соотношением (2), при этом компоненты скорости напряжений будут вычисляться по формулам, аналогичным (7) и (8), с той разницей, что в них модуль С заменяется модулем С к. В зоне разгрузки для определения компонент напряжений становятся справедливыми формулы (7) и (8).
3. Пример
Будем полагать, что узловые перемещения для конечного элемента заданы в виде
и
(п) 1
(п)
и
(п) 1
(п)
®,
(9)
ч и2' = и2 '№ ,
где п = г,з, к — индекс узла элемента, £ — монотонно возрастающий параметр.
В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример: дан конечный элемент с узлами в точках (0;0), (0; 1) и (1;0), при этом первые два узла остаются неподвижными (не совершают перемещений), а для третьего узла
1
1
узловые перемещения имеют вид (9). Рассмотрим процесс деформирования элемента при двух различных законах изменения узловых перемещений. Для первого случая примем следующий закон:
и
(3)
(3)
и\ =
г, г < 0.0025^, п - г, г ^ 0.0025п, г, г < 0.0025п, п -г, г > 0.0025п.
(10)
Во втором случае узловые перемещения будут подчиняться закону вида
и
и
= 0.0025(сов г - 1), = 0.0025 вт г.
(11)
Траектории, соответствующие системам (10) (сплошная линия) и (11) (пунктирная линия), и начальное положение элемента изображены схематически на рис. 1.
Рис. 1. Начальное положение элемента и траектории движения
1
1
2
Узловые перемещения и диапазон изменения переменной г подобраны таким образом, чтобы в результате деформирования элемент вернулся в исходное состояние. Таким образом, данный процесс в обоих случаях можно считать замкнутым по деформациям. В случае упругих свойств материала элемент вернется к исходному ненапряженному состоянию. При выходе в пластичность возникают остаточные напряжения, различные для данных траекторий.
Механические характеристики представим в безразмерном виде, а значения зададим следующими: С = 122.263, С = 3.723, К = 160.041, ат = 1. В качестве критерия, определяющего наступление пластичности, возьмем критерий Мизеса-Генки [6].
Ниже приведены результаты расчета компонент напряжения ац, а\2, а 22 и интенсивности напряжений а по траекториям (10) (траектория 1) и (11) (траектория 2) для случаев ПНС (рис. 2) и ПДС (рис. 3).
Рис. 2. Случай плоского напряженного состояния
Из графиков видно, что процесс деформирования по различным траекториям приводит к различному виду напряженного состояния в конечной точке. Также определим величину Фр в элементе, пользуясь формулой (3). Ее значение в процессе деформирования элемента изображено на рис. 4.
Как видно из данного графика, величина Фр в процессе деформирования будет зависеть как от траектории деформирования, так и от вида НДС, при котором протекает процесс деформирования.
а) б)
РИС. 4. Величина Ф/р в зависимости от параметра а - ПНС, б - ПДС
4. Описание процесса разрушения элемента в ансамбле
Полагаем, что процесс разрушения элемента будет происходить следующим образом: пусть в момент «времени» t = tD в элементе с номером п достигнут предел прочности по критерию (3). При этом — узловые
перемещения, а — узловые силы, действующие со стороны узлов
данного элемента на окружающее тело (рис. 5).
Процесс разрушения элемента будем считать равновесным, происходящим в течение «времени» разрушения 0 < т ^ 1. На этом отрезке «времени» силы F$n) будут внешними по отношению к остальному телу и будут
изменяться по закону F= ^F(1 — т), достигая при т = 1 нулевых значений.
В процессе разрушения элемента граничные условия для тела не изменяются. В результате происходит перераспределение напряжений в точках тела, которое может сопровождаться как догрузкой, так и разгрузкой остальных элементов. Кроме того, возможно достижение предела прочности и разрушение других элементов. Таким образом, процесс разрушения является сложным в том смысле, что напряженно-деформированное состояние не будет изменяться во всех элементах пропорционально одному параметру.
Список литературы
1. Маркин A.A., Глаголев В. В. Термомеханическая модель дискретного разделения упругопластических тел // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 2. С. 103-128.
2. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов: учеб. пособие для студентов авиац. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1985. 392 с.
3. Ильюшин А.А. Труды (1946-1966). Т. 2. Пластичность / Составители: Е.А. Ильюшина, М.Р. Короткина. М.: Физматлит, 2004. 480 с.
4. Энгельман О.Е. Процесс деформирования и разрушения упругой полуплоскости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2012. Вып. 1. Ч. 1. С. 89-97.
5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
6. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т. 1. Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. М.: Наука, 1975. 832 с.
Энгельман Олег Евгеньевич (jjesterrr@gmail.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Fundamental interrelations regarding a variation of elastoplastic deformations and fracture processes theory
O. E. Engelman, A. A. Markin
Abstract. The process of elastoplastic deformation and fracture of a triangular finite element under plane stress and strain states is discussed. This problem is based on a variant of the Hencky-Ilyushin's deformation theory linking strain and stress rates. The process of element's destruction in the ensemble is described as an elastoplastic problem with fixed conditions at the external border and changing nodal forces, acting on the body from destructive elements.
Keywords: deformation model, finite element, strength criterion, fracture process.
Engelman Oleg (jjesterrr@gmail.com), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 22.12.2014
