ОСНОВНОЙ МЕТРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК В АНАЛИЗЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СЕТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 330.1(0.75.8), 519.95, 51-7

Соловьёв А. С.

Россия, г. Ростов-на-Дону ОСНОВНОЙ МЕТРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК В АНАЛИЗЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СЕТЕЙ

Аннотация: В работе предлагаются методы анализа сетей социального и экономического назначения на основе показателей основного метрического тождества.

Ключевые слова: нейронные сети, орграф, оценка, сравнение, обучение, цель, категории, чувствительность.

Soloviev A. S.

Russia, Rostov-on-don

THE MAIN METRIC TRIANGLE IN THE SENSITIVITY ANALYSIS

OF MANAGED NETWORKS

Abstract: The paper proposes methods of analysis of social and economic networks on the basis of indicators of the basic metric identity.

Keywords: neural networks, digraph, evaluation, comparison, training, goal, categories, sensitivity.

Как правило, социальные и экономические системы £ имеют иерархическую структуру с внутренней организацией качественного порядка [1] и представляются плоскими орграфами рис. 1. Состоят из объектов ОЬ =

Рис. 1. Сеть прямого распространения.

(х0, х\, х3, ...} и связей между ними, морфизмами, а10 = х1х0>,... е Мог, т.е. представлены малой категорией

5 = (ОЬ, Мог).

На рис.1 представлена схема сети прямого распространения. Такие сети предназначены для создания конечного продукта деятельности. Графы обратной направленности определяются как сети обратного распространения

[2]. В иерархической сети объекты можно представить срезами по критериальным уровням из деятельности. В отличие от [2] назовём слоем орграф между двумя срезами. В зависимости от ориентации графа срезы в таком слое назовём верхней и нижней гранями. Каждый срез у разбивает граф £ на два подграфа и так, что 5 = 5+ и у = 5+ П .

Если система представлена сетью прямого и обратного распространения, то, вероятнее всего, такая система создаёт конечный продукт с внутренним управлением, которое подстраивает её существование к требованиям внешней среды. Такую систему назовём замкнутой. Элемент замкнутой сети изображён на рис. 2.

Рис. 2. Схема структурного элемента сети с управлением.

Сеть сама представляет собой управляемый элемент во внешней среде и её представление определённой схемой условно. Схему сети можно агрегировать и дезагрегировать так, что блок сети становиться отдельным её элементом. Представим её категорией в виде объединения элементов и их связей

5 = II 5т, 5т = (ОЬт,Могт)

и определим функтор F: 5 ^ Я , который отображает описание её состояния в поле вещественных чисел

так, что объекты отображаются на множество векторов X = ^Р(ОЬ), а морфизмы - на множество прямоугольных матриц ЭД = Г(Мог). В линейных сетях элементы выполняют роль линейных преобразователей. Но им можно придать и свойства квазилинейности [3].

Из рис. 1 следует, что составляющие элемента х, и, у, у' у" принадлежат векторным пространствам, а операторы В, и, и а, Р - матричным пространствам. Поскольку в общем случае управление отвечает каждому фактору, то если полагать для соответствующего элемента степень захода равной п, а степень исхода равной т, то имеем: х, и е Ш, у, у', у" е Ш", В е Ш"^Ш1, ие Ш1^Шп, а, ре Шп^Ш".

Пренебрегая лагом длительности передачи управления и полагая единицу соответствующим тождественным оператором, можно заключить, что схема действия элемента отвечает системе уравнений

гу' = в (х + и),

у' = у + у", У = ау',

у'' = ßy',

и = Uy", < a + ß = 1.

Отсюда находим, что система работает как сеть прямого распространения, действие которой описывается векторным уравнением

У = Ах, (1)

с матричным оператором

аВ

А = _

1 - BÜß'

где U, ß - матричные операторы, формирующие вектор управления и.

Назовём систему стандартной, если значения на всех её объектах равны единице. К стандартному виду можно привести любую систему вида (1). Если системы имеют одну и ту же структурную схему S (совпадает их графическое изображение, графы) и приведены к стандартному виду, то

ц= А(, у = Вх, т),х,у EX, А,В Е % (2)

а их действие отличается только операторами A и B. Состояния систем, описание которых приведено к стандартному виду легко сопоставляется. При этом, сопоставляются состояния и любых их подсистем, что удобно при поиске слабых мест при настройке их ориентации поскольку их состояния отвечают только наблюдаемым A и B.

При оценке, сравнении, обучении системы, в задачах поиска всегда предлагается тестовая модель Я0 состояния системы. Тестовую модель назовём эталоном и представим её в блочном виде

-1—1тЕМ

Положим существование её аддитивной меры [4]

D(&o) = У D(&0m) = У Dm&o).

¿—'тЕМ ¿—'тЕМ

Текущее состояние Я системы представим в том же блочном виде и определим его меру аналогичным метрическим функционалом

0(я) = & = у ят2 = у Dmm

тЕМ тЕМ

На данном расслоении системы определим аддитивную меру поблочного бинарного соответствия W = (Я,Я0) с метрическим тензором G, который является самосопряжённым оператором

^(ю = V = V

¿-'шёМ ¿-'ШЁМ

^ = ТТ (^те = (Ята,Ятас)).

-I-1-трМ

Согласованность мер определим равенством

= = .гея = Я2, Я* = ЯС*, = 1^,

и расширим её с диагонального множества на бинарное соответствие состояний, полагая

= Я(ЯЖ*с).

По аналогии с теорией индексов введём индикатор типа Ласпейреса, который определяет меру на множестве W рекурсией

/(Ю=Ц) = £жемРт/ш(Ю,

где

т Дщ(^с)

рт = тГ

Рекурсия показывает, что любой блок Жт, системы, не являющейся меры нуль, сам является метрическим пространством. Определим соотношением

Я(*с) ( )

индекс полного состава [5, формула (6), стр. 15] и введём дополнительную меру

= ±^Ф2(Ю -/2(Ж),

где И > 0 служит множителем пропорциональности. Находим, что три данные меры Ф, I и J на бинарных соответствиях состояний системы связаны основным метрическим тождеством [6]

ф2(^) = /2(^) + й2/2(^). При гомотетии [7, стр.57] состояний J(W) = 0 и Ф(Щ = 1(Ж). При структурных различиях (деформации системы [8]) показатель J отличен от нуля. Он монотонно возрастает с ростом структурных сдвигов. При этом, оператор Гамильтона принимает вид

1

Н = -ф2 = 7 + и, 2

где Т = /2(^), и = ^2/2(^) операторы фактического состояния системы и её потенциальных возможностей (показатель И можно принять равным единице), трансляции и ротации, соответственно.

Рассмотрим состояние системы (2) и предположим, что на объектах определена с метрическим тензором О вполне аддитивная мера

= = У*^. (3)

Определим бинарное соответствие исходов (у, п) = м, ему сопряжённое м* = (п, у) и введём обозначения:

= = к™*), 0(у) = у2 = Ку,у) = °2(у), ЭМ = 0(уЖг1), о(п) = е(уМ-п).

Для анализа отклонения исходов приходим к основному метрическому тождеству

а2(ш) = ц.2^)+ 1У^)12. (4)

Из соотношений (2) и (3) вытекают представления

= = -п*вВх = %*А*СВх, (5)

которое вместе с тождеством (4) позволяют оценивать относительно потоков входа и выхода эталона взаимное влияние фактических потоков.

Определяя состояние объекта величиной а, находим, что на основании (4) состояние можно описать кватернионом

а = ц. + ш1у1 = <ге1пв,

"45

где п - некоторый единичный вектор45,

М

О = агс1а — V

- биекция, является показателем вращательной симметрии - показатель оценки структурных сдвигов, и удовлетворяет соотношению Шаля [7, стр. 51].

Если обе части тождества разделить на оценку О(ц) эталона, то придём к индикаторам теории индексов

• Х = — индекс объёма производства;

т

• * = — индекс переменного состава;

• ^ = в (г?)--индекс структурных сдвигов.

На основе данных индикаторов определим коэффициент уровня согласованности фактического состояния элемента с эталоном - коэффициент корреляции, г = у/о. Его квадратр = d = г2 определяет детерминацию d свойств эталона в состоянии объекта. Его можно рассматривать в качестве вероятности совпадения состояния с эталоном. Квадрат коэффициента вариации у= |у|/а определяет коэффициент остаточной детерминации д = 1 -р = V2, где V = \у\/о = tg в и является показателями структурных сдвигов. Все эти показатели связаны с оценкой состояния системы, с её управлением, обучением, с устойчивостью системы к неожиданным воздействиям. В последнем случае целью обратной связи становится уменьшение системы к изменению её факторов.

Если ^ = ^Р(х) критериальный показатель, то инфинитезимальная характеристика коэффициента чувствительности к изменению х1 фактора определяется формулой

дР х1 дР

£,■ =

1 дх1 F дх1

45 В эволюции a = a(t) вектор n является нормалью текущего базиса, который согласован с вращением спрямляющей плоскости.

Учитывая представление индекса переменного состава в виде взвешенной суммы индивидуальных индексов

/ = Р%

имеем:

£; (г) £; (г) £/ (г)

В эти выражения входят три средние взвешенные величины: средняя арифметическая I, средняя квадратическая А и средняя гармоническая у, которые связаны равенством Я 2 = у/. Поскольку в суммах

У £¿(7) = У £^(А) = 1

¿—ЧеМ ^—ЧеМ

все слагаемые неотрицательны, то два первых показателя можно рассматривать как вероятности обнаружения соответствующих свойств в оценках арифметической и квадратической средних. Чем больше коэффициент чувствительности, тем больше его влияние на соответствующий показатель. Если для всех носителей свойств I с N имеют место равенства

/¿ = 7,

то А = /=у,/ = 0, г=1 и оцениваемые объекты качественно подобны с коэффициентом подобия равным у.

Из равенств £; (г) = £; (/) = £; (А) и равенства

£;(г) = 0

Чем

следует, что носитель N разбивается на два подмножества N и N с положительной а+ и отрицательными а' чувствительностями коэффициентов корреляции. Из а+ ^ 0 следует г ^ 0. В сумму а+ входят те факторы, увеличение которых приводит к росту качественных отклонений от эталона. Для отрицательных показателей справедливы неравенства

^ = у — < 0,1 е^-. С ростом наименьшего из них будет сокращаться отклонение качества фактического состояния объекта от эталона (уменьшается ротационная составляющая) и будет увеличиваться трансляция. Отсюда заключаем, что задача оптимальных управлений является двухкритериальной - управлением качеством и количеством, которая сводится к игровой задаче [9].

Запишем показатель чувствительности структурного сходства в виде

£; = У-1Р>;,

где Р1 = £;(/)и Х^Я1 = 1, и введём случайную величину ^ - вектор ^ = / б М). Поскольку её математическое ожидание равно нулю, т.е.

Р^ = 0,

-I

У,

ад = У

если дисперсия Е(ф2) равна нулю, то I = у для всех i с N. Вероятность, что все индивидуальные индексы лежат в интервале [у - е, у + е] определяется равенством Чебышева

Е(<р2)

Р(—£ <у<+£)>1--V".

£2

Учитывая соотношение

D(x) = у(х,у)^(у,х), среднюю гармоническую величину можно принять в качестве метрической функции.

Поскольку агрегатные показатели связаны зависимостями:

X = yr, I = yd, J = yrv, I = Xr, у = XI, rV, р = г2 = d, то построим метрический треугольник ABC с опущенной из вершины прямого угла C высоты, определим его стороны

Х = АС, I = AD, J = CD, у = АВ, y-I = BD, и введём обозначение L = CB. Данная величина равенством

J = rL

связана со структурными сдвигами. Если основное метрическое тождество Пифагора

X2 = I2+ J2

даёт возможность применять в оценке поведения объекта тригонометрический анализ, то c помощью метрического тождества

X2 = у2 - L2

можно проводить анализ с помощью гиперболических функций.

Метрический треугольник появляется как результат качественного отклонения фактического состояния объекта от эталона. При J=0 имеем: DB = 0, AC = AB = AD, т.е. X = у = I, и состояния подобны. Это качественное расхождение можно оценить величиной отрезка DB = Е(ф). Дисперсия этой величины равна Е(ф2) = у2 — X2 = L2. Её, например, можно взять целевым критерием в задаче оптимизации при условиях ограниченности ресурсов.

Пусть D(y) < D(n). Тогда I < X < 1. Разность 1 - I определяет нереализованные возможности объекта по отношению эталона. По величине к - I можно оценить потенциальное сближение, а величина (X - I)/(1 - I) даёт оценку сближения фактического состояния с эталоном за счёт структурных сдвигов в общем объёме нереализованных возможностей.

Использованные источники:

1. Юдин Д.Б. Вычислительные методы принятия решений //М., Наука, 1989.

2. Хайкин С. Нейронные сети //Москва - С-Петербург - Киев,2008.

3. Соловьёв А.С. Позиномиальные функции в оценке процессов //ж. "Экономика и социум", №6(37), 2017. www.iupr.ru

4. Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры /Мат. сб., т.25(67):1 //М., АН СССР, 1949.

5. Кёвеш П. Теория индексов и практика экономического анализа //М., Финансы и статистика, 1990.

6. Соловьёв А.С. Основное метрическое тождество //ж. "Экономика и социум", №12(55), 2018. www.iupr.ru

7. Берже М. Геометрия, т. 1 //М., Мир, 1984.

8. Соловьёв А.С. О деформации социально-экономических систем //http://www.socialphysics.narod.ru/EstimationsStructures/DeformationStructures. htm