МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 004.032.22, 519.24, 330.1, 316.4

Соловьёв А. С. пенсионер Россия, г.Ростов-на-Дону

МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ

Аннотация: Предложен метод анализа социальных и экономических иерархических структур с позиции общей теории систем на основе отношений симметрии аффинных пространств. Показано, что во всех хорошо нормированных пространствах, построенных процедурой Кэли-Диксона, справедливо основное метрическое тождество.

Ключевые слова: сеть, категория, цепной комплекс, симплекс, кватернионы, октонионы, основной метрический треугольник, основное метрическое тождество.

Soloviev A. S. retiree

Russia, Rostov-on-don

METHODS OF SYSTEM ANALYSIS AND MODELING OF INFORMATION PROCESSES IN THE GENERAL THEORY OF

SYSTEM

Abstract: A method of analyzing social and economic hierarchical structures from the standpoint of the general theory of systems based on the symmetry relations of affine spaces is proposed. It is shown that in all well-normalized spaces constructed by the Cayley-Dixon procedure, the basic metric identity is valid.

Keywords: network, category, chain complex, simplex, quaternions, octonions, basic metric triangle, basic metric identity.

Система. Основные понятия. При управлении производством, различными социальными группами и процессами, моделировании и решении технико-экономических задач приходим к анализу сложных иерархических структур, которые имеют множество допустимых вариантов принятия решений [1, 2]. Такие структуры называют системами, а решение соответствующих задач сводится к системному анализу [3, 4, 5].

Информационные системы имеют сетевую архитектуру [6] и из окружающей среды выделяются множеством взаимно связанных объектов, Ob. Связи Hom объединяют объекты и выделяют их из окружающей среды как целое Ж = (Ob, Hom) обладающее своим собственным агрегатным

свойством, качеством, в котором каждый объект, с одной стороны, выступает как целое, т.е. как система, с другой - как часть системы, как количество определённого качества. При этом обычно система имеет иерархическое спектральное представление. Примером абстрактного представления подобных систем могут служить цепные и коцепные комплексы [7], градуированные пучки [8].

Не нарушая общности подхода, предположим, что система описывается цепным комплексом = (X., Ф.) модулей (состояниями

множества объектов), и связей между ними (множеством граничных операторов), которые определяются функтором на объектах категории X, = F(OЬ) и связях Ф, = Р(Нот).

Рассмотрим два смежных модуля Фк. Хк ^ Хк - 1 цепного комплекса. На модуле Хк _ 1 выделим произвольный объект. Предположим, что его собственное состояние равно х0, а состояния ему смежных узлов на Хк равны соответственно (хг| I Е N = {1, 2, ..., п}). Изменение состояний смежных узлов модуля Хк меняет состояние фиксированного узла модуля Хк _ 1 в соответствии с их функциональными связями Фк = (ф I Е А) и их количественно качественными характеристиками. Если новое состояние фиксированного узла системы обозначить х, то приходим к равенству

х = ФкХо, (1)

где функционал Фк выступает как оператор количественно -качественных преобразований состояния хо данного узла и перехода его в новое состояние х. Если система имеет абелеву структуру, то новое состояние описывается кватернионом

X = X0 + = X0 + X = х° + хг + х2 + —+ Хп,П = |М|. (2)

Здесь величины х0 и х принадлежат множеству допустимых состояний X объектов системы, а величины х и хс I Е А, характеризует событие _ переход элементов фиксированного объекта из одного его возможного состояния в другое, а динамика объекта может быть интерпретирована как вектор х = х - х0, как элемент множества событий X, заданных на множестве состояний X объектов системы. Величина Х{ = ^¡х1 ЕХ в представлении (2) определяет собственное количественное значение х1 качества ф1 Е Ф ¡-го объекта (узла) в архитектуре системы.

На множестве узлов системы изменение состояния фиксированного узла при изменении состояния смежных с ним узлов, определяется равенством (1), которое можно записать в виде параллельного переноса х = Фк(х)х0 = х0 + х, [9, стр.50], определить собственные функции качества фиксированного узла в его новом качестве ф и, с учётом качества данного узла в предшествующем состоянии ф0 и его количественного собственного агрегатного нового значения х, равенство (2) переписать в качественном представлении

фХ = £¿6^0 ^ ,N0 = 0,1,2,..., п.(3)

Величина х = фх, как новое собственное количественное значение х Е X его нового качества ф Е Ф, принадлежит множеству событий X. Если полагать, что в левой части равенства (3) стоит агрегатная величина, а величина х - агрегатная оценка события, т.е. скаляр, то, нормируя эту величину и полагая \\ф\ = 1, г Е Ы0, приходим к разложению новой качественной функции фиксированного узла по локальным качественным признакам смежных с ним узлов

^ = £¿6*0^, Я* > 0, I Е N0 = 0,1,2.....п, (4)

т.е. квантованную множеством Ы0 линейную функцию ф. Множество выбранных точек комплекса, которые являются качественно независимыми и для которых имеет место представление (4), № = (ф{\ г Е Ы0) с Ф называются п-мерным симплексом, а его элементы называются вершинами симплекса. Таким образом, комплекс можно рассматривать как некоторую совокупность симплексов [10, стр. 22], с другой стороны, симплекс сам является простейшим комплексом.

Симплекс и его представление в пространстве 11. Нормирование элементов множества событий X предполагает существование меры на этом множестве, т.е. функции, которая каждому элементу множества в соответствие ставит скалярную величину [11, стр. 16]. В качестве функции меры могут быть использованы различные производственные функции -линейные и нелинейные, индексы [12], функции измерения информации [13], энтропии и фракталов [14] и т.п. Преимуществом линейной меры й(х) является её простата и интуитивная понятность. Здесь качество определяется пропорциями показателей составляющих качеств к0: к1: к2: ...: кп, а результаты анализа выражаются в "натуральных" показателях описания явлений.

Примером линейной меры на пространстве событий служит пространство суммируемых с первой степенью последовательностей 11. В этом случае мера определена скаляром и равна длине "отрезка" [а, Ь] в единицах измерения качества й(ф) = 1 при изменении состояния объектов

й(х) = = |Ь — а|,(5)

Здесь а начальное количественное значение состояния фиксированного узла в архитектуре комплексного представления целого, а Ь - его конечное значение. С учётом равенств й(хг = кгфг) = к1, = 1 заключаем, что оценка узла в пространстве /1 определяет долю его вклада в результирующий показатель качества ф.

При этом, в симплексном представлении последнего (4) выполняются условия

Я0 + А1 + ••• +Ап = 1,А > 0,(6) в которых числа кг, г Е Ы0, называются внутренними (барицентрическими) координатами точки к = (кг| г Е Ы0) Е Бп. Свойства (6) показывают, что координаты определяют вероятности присутствия

соответствующей вершины симплекса в формировании агрегатного качества симплекса.

Из условий (5) и (6) следует, что функция качества ф задаёт на вершинах симплекса, квантованных ограниченным множеством А0, в борелевских пространствах (Ки+1, 1)) распределение к ЕХ.

Для анализа состояния симплекса в пространстве 11 удобно ввести аффинное пространство А" = (Б", 8", Ф, d), где: множество Б" содержит относительные величины собственных количественных значений узлов симплекса; 8" - множество значения узлов симплекса в смысловом значении элементов множества Б" с учётом их собственных качественных признаков; Ф _ определённый на множестве 8" функционал, действующий на множестве Б", Ф(8"): Б" ^ Б"; d _ линейная мера (5), ± 8" ^ Б" сгК.

Совокупность А" = (Б", 8", Ф, d) назовём аффинным пространством. Топология этого пространства задана метрической линейной функцией (5) на множестве событий 8". Функция выпукла. Известно, что если существует хотя бы одна топология, то на основе суперпозиции выпуклых функций можно построить множество топологий.

Описание симплекса в пространстве 12. Простейшей нелинейной топологией, полученной из предыдущей линейной топологии, является стандартная топология, которая индуцируется любой вспомогательной евклидовой метрикой, определяемой формулой

о(х) = ^Щх) = 4х2 = ^(Ъ-а)2 .(7) Евклидова метрика задаётся скалярным произведением и в выражение (7) входит положительно определённой квадратичной формой О(х), в которую запишем в виде скалярного произведения Ю (х) = х2 = х • х, либо в виде матричного произведения на присоединённом векторном пространстве событий X: Б(х) = х*х, Б(х) = хх*, где х* - эрмитово сопряжённая матрица матрицы х.

Построим евклидову метрику симплекса (4), заданного барицентрическими координатами (6). Предположим, что Б" принадлежит евклидову пространству К"+1 и х = (р - к)ф, где к, р Е К"+1. Компоненты качества функции равны фи I Е N0, и функцию распределения агрегатного качества симплекса по его вершинам возьмём в качестве базиса евклидова пространства. Учитывая условия О(х) = 0(к)0(ф) и О(ф) = 1, находим расстояния между точками к и р пространства Б"

р(Х,р) = 7(Я-Д)2 = а(х) = 7Щ*).(8) Получаем, что мера в симплексном пространстве как пространстве состояний согласуется с мерой присоединённого пространства _ пространства событий, и, в последнем, в качестве меры в пространстве последовательностей, суммируемых с квадратом, пространстве 12 можно взять либо скаляр а(х), либо значение квадратичной формы Э(х).

Мера на симметрии аффинных пространств. Предположим, что Ж = (Х.,Ф.) абстрактный комплекс и А = А(%) = (Х,Х,Ф,у.(\) множество событий на его произвольном абстрактном симплексе X, определяемом как множество состояний некоторого идеала структуры с квантованными состояниями его вершин, характеризуются последовательностью ф = (фс i E N0 = 0, 1, ..., n) EX собственных функций с мерой у на пространстве событий X, порождаемой положительно определённой квадратичной формой D = D(x).

Определим A в качестве аффинного пространства [9] и построим взаимное симметричное ему эрмитово сопряжённое пространство A* = (X*, X*, Ф*, у*), связь между которыми, зададим матричными равенствами в барицентрических координатах (6)

х = фА*,х* = Хф* ,(9)

где к EX, 1* EX*, ф, x EX, ф*, x* EX*, полагая, что система является ортонормированным базисом пространства событий в l2, а последовательность ф* = (ф*= ф1\ i E No) служит взаимным базисом ему симметричного пространства событий X*.

Пусть x = фa*, y = щЬ* EX и x* = aф*, y* = Ьщ*, a, b EX, a*, b* EX* и Xa, Xb EX. Если b EXa, то карты Xa и Xb могут отличатся только ротацией и можно полагать, что базисы совпадают щ = ф. Если же карты различны, то будем полагать, что существует оператор Р: Xa ^ Xb, переводящий элементы из одной карты в другую, т.е. из одного базиса в другой.

Рассмотрим действие метрического оператора на элементах симметричных пространств A и A *. Имеем:

¡i(x,y) = x*y = aф*щb* = aKb*, ¡i*(x, y) = (x*y)* = Ьщ*^a* = bK*a*;

(10)

¡i(x*, y*) = xy* = фщ* = aWb*,y*(x*,y*) = (xy*)* = bW*a*.(11)

Поскольку в одной и той же карте метрический тензор совпадает со своим сопряжённым: K* = K, W* = W, то для данных мер получаем равенства:

M*(x, y) = M(y, x), ju*(x*,y*) = ju(y*, x*).(12)

Очевидно, меры D и D* совпадают: D*(x) = D(x) = aGa*, а метрический тензор G = ф*ф является самосопряжённым. При переходе из

карты Xa в другую карту Xb приy = Ьщ EXb находим D(y) = bG'b*, где G' = щ*щ.

Положим, что оператор P = ((PiJ)) и его сопряжение опускает индекс, т.е. P* = ((PiJ))* = ((Pj)). Тогда

Г = ZjEN0PijVj = ZjENyiPjY ,(13)

т.е. щ = фР*. Откуда следует, что при переходе из одной карты в другую метрический тензор преобразуется по формуле G' = PGP*.

Аналогично имеем D(x*) = xx* = фa*aф* = фНф*, где H = a*a -метрический тензор в карте Xa. Находим: ф = Нф* и ф* = фН. Отсюда

следует, что оператор H является оператором отображения базиса. Построение агрегатной оценки на симплексе рассмотрим на примере 1.

Пример 1. Пусть Б" квантованная списком А0 группа студентов во главе со старостой группы, отмеченным индикатором 1 = 0. Каждый студент имеет свою индивидуальность ф1, 1 ЕА0, (ФИО), 8 = (фг. 1 ЕА)). После сдачи сессии каждый студент группы приобретает свой вес, оценку успеваемости, которую можно усреднить по группе, к1, 1 ЕА0. Эти весовые оценки вершин симплекса 8 удовлетворяют условиям (6), т.е. являются его барицентрическими координатами. Список приобретает новое качество X" = (х1 = фк | 1 Е N0). Здесь х1 столбец в списке студентов с оценкой к1 в ¡-ой строке против фамилии ф1 1-го студента.

Получаем х = х0 + х1 + ...+ хп. Если определить скалярную оценку элемента группы выражением

й(х) = х*х = V = У (¿ОЧуА7' =

¿—Ч,)ЕП о ¿—Ч,)ЕП о

и ввести обозначения

Я = Я*£ = ( А' = Я; = У (ЯОЧ; | У Е ли,

V ¿-ЧЕМо )

то получим

2

О(х) = V = £]ЕЫ0(К) = я2,

т.е. оценка группы как целого определяется скаляром к2.

Естественно, что это небольшой фрагмент в общем представлении управления вузом в виде циклического комплекса.

Оценка О(х) = р(х, х) может быть применена как функция для упорядочивания множества. Например, при выборе направления эволюции: пусть х, у ЕХ, если Б(х) < О(у), то у предпочтительнее х, т.е. у >х. Функция р, заданная на бинарном соответствии Х*Х, может быть положена в алгоритмы выбора. Например, функцию /выбора множества Ха сX можно определить условием: Ха = (/(х) ЕХ: р(а, х) < г, г ЕЖ, а ЕХ).

Сети. Сеть опишем категорией Ж = (X Ф), в которой множество возможных состояний её объектов X, представлено в виде иерархии квантованных модулей х1 > х2 > ...>хт Е X, рис. 1. Сеть, как элемент внешней среды, относительно этой среды открыта, т.е. имеет связи с внешней средой посредством некоторых своих элементов. Сеть, изображённая на рис.1, х1 > х2 > х3 имеет связи с внешней средой посредством элементов (вершин) модулей х1 и х3. Элементы этих модулей называются граничными. Остальные вершины, вершины модуля х2, называются внутренними. Внутренние вершины также располагаются на иерархически расположенных модулях. Если рассматривать модуль как проективную прямую, то он гомотопически эквивалентен окружности (6). А, поскольку вершины модуля суть неупорядоченное множество, то они

циклически равномерно квантуются на своей окружности независимо от порядка.

Эпюра нагрузки системы

Рис. 1. Нейронная сеть прямого распространения под нагрузкой.

Для физического представления действия данной сети её иерархия поставлена " с ног на голову". В таком представлении сеть воспринимается как ферма, структура которой остаётся неизменной при её нагрузке, которая прикладывается только в узлах посредством передачи её по связям-стержням, в которых, естественно, возникают напряжения. Эти напряжения должны быть допустимыми, т.е. не превосходить верхний предел. При нагрузке организационная структура сети (организация) деформируется [15] и восстанавливается после её снятия, т.е. между напряжениями связей и деформацией структуры сети существует связь. Если же нагрузки на организацию превышают допустимые пределы, то некоторые её связи могут не выдержать нагрузки, появляется их "текучесть" в соответствующем узле организации и её структурная схема может нарушиться, что может привести к несоответствию организации своему предназначению. На практике, в производственных сетях, такая "текучесть" может проявить себя как реальная текучесть кадров.

На рис. 1 на узлы граничного модуля поступают из внешней среды определённые сигналы, которые отвечают некоторой функции распределения нагрузки, представленной эпюрой нагрузки. Задача организации трансформировать этот сигнал в соответствующий образ на выходе системы. Будем полагать, что трансформация исходного сигнала в выходной - это работа организации и для этой работы система обучена [16], т.е. работа организации нарушается только при выходе реакции из допустимого интервала.

На рис. 1 изображён фрагмент производственной структуры, все элементы которой, не входящие в этот фрагмент, определим внешней средой. Из внешней среды в выделенный фрагмент через узлы граничного модуля N поступают ресурсы, которые в этих узлах обрабатываются, передавая ресурсам добавочную стоимость. Входящие в систему ресурсы

вместе с добавленной стоимостью определим вектором х3 = (х^1 у 6 Ы3 = 1,2,... ,10 ). Обработанная продукция хз в виде определённых полуфабрикатов с граничного модуля N по логистической системе Ф| поступает на внутренний скрытый производственный модуль N = 1, 2, 3, 4, 5. Структура логистики и соответствующие затраты характеризуется

элементами матрицы связей Ф| = ((03/)) . В узлах модуля N из

V '5X10

поступающих полуфабрикатов собираются изделия с добавленной стоимостью, характеризующейся вектором х2 = (х2>| / 6 Ы2), которые

поступают по логистике Ф2 = ((ф^У) в сборочные узлы граничного

модуля N1 = 1, 2, 3, из которых изделия с добавленной стоимостью Х1 = к 6 Ы1) уходят во внешнюю среду как готовая продукция данного фрагмента сети. Подобные задачи рассмотрены ниже в примерах 2 и 3.

Пример 2. Пусть система настроена на выпуск заданного вида продукции эталоном Х3 = [8;9;6;7;4;5;2;4;1;5], имеет логистику Б32 = [3 2 1

5 5 4 7 8 6 9;2 1 3 9 4 5 6 7 9 8;5 5 6 8 8 9 8 8 7 2;8 7 9 2 4 5 7 5 4 5], Б21 = [6 5

6 4;2 2 4 3;4 4 8 7] и при обработке продукции в соответствующих узлах вносит добавочную Х2 = [2;3;6;5], Х1 = [1 ;2;4]. Сравним с эталоном загрузку фрагмента по следующей схеме: Х3 = [9;4;5;6;3;7;2;1;9;10], /32 = [3 2 1 6 5 4 8

7 10 9;1 2 3 4 5 6 7 8 9 10;6 4 5 8 7 10 9 3 2 1;8 7 10 1 5 4 9 3 2 6], /21 = [7 4 5 6;3 1 2 4;4 5 9 7], х2 = [ 3;1;6;4], х\ = [2;1;3]. Применяя основное математическое тождество [17], можно определить все основные характеристики сети, оценить работу всех её элементов, выявить её слабые и сильные стороны и оптимизировать структуру. А используя методы её обучения [16] можно настроить данный фрагмент на оптимальное выполнение работ.

Отметим некоторые особенности выполнения поставленной выше задачи. Так, находим, что фактическая нагрузка на систему превышает плановую на 13% и имеет с эталоном высокий коэффициент детерминации 68%. После выполнения работ на промежуточном модуле детерминация деталей для сборочных узлов уже составляет 96%. Выпущенная продукция отклоняется от качественных характеристик эталона всего на 3%о, а в условных агрегатных единицах количества превышает плановую продукцию на 15%, т.е. добавленная стоимость в изготовление изделия скрытого и граничного сборочного модулей в сумме составляет 2% и хорошо согласуется с плановыми показателями.

Здесь можно оценить действие каждого узла и связи производственной структуры. Выявить узкие места схемы и выделить средства на их модернизацию в соответствии с данными оценками. А в соответствии с оценками выполнения трудовых договоров работников направить часть средств для материальной стимуляции мотивации персонала.

Пример 3. Рассмотрим аналогичную сеть с промежуточным модулем

а\ А2

которую будем рассматривать как фрагмент некоторой производственной системы, и сопоставим его фактическую работу с расчётными показателями. Предложенные методы можно использовать как в методах обучения работы сети, так и при распознавании образов.

Предположим, что |К3| = 11 и из внешней среды в систему поступают ресурсы х3 = [2;6;5;4;7;3;9;4;8;3;6], которые в узлах данного модуля подготавливаются к производству продукции с затратами а3 = [2;1;3;1;4;4;5;2;3;1;2] и, по логистике с соответствующими затратами А2 = [4 3 5 0 0 0 0 0 0 0 2;0 6 7 5 0 0 0 0 0 2 0;0 0 0 3 4 2 0 0 0 0 5;0 0 0 0 0 0 0 6 7 0 4;0 0 9 0 0 0 0 0 7 3 6], поступают на внутренний модуль К2, рассосредотачиваясь по его узлам х2 = {93; 131; 113; 145; 209] в условных стоимостных единицах. Поступающие в промежуточный модуль К2 подготовленные для производства ресурсы с затратами а2 = [23; 47; 56; 32; 75] перерабатываются в полуфабрикаты, соответственно, в стоимостном выражении X2 = [116; 178; 169; 177; 284] и по структурной системе связей А^ = [3 2 1 0 0;0 4 2 3 0;0 0 4 5 6] поступают в связанный с внешней средой модуль К1 в количестве х1 = [873; 1581; 3265], в котором вместе с добавленной стоимостью а1 = [32; 75; 63] в виде готовых изделий в стоимостном выражении X1 = [905; 1656; 3328] поставляются во внешнюю среду.

Пусть предложенное выше описание состояния некоторой системы является расчётным. В фактическом же состоянии показатели могут отличаться от расчётных как в ресурсном потоке и в элементах добавленной стоимости, так и в стоимостных показателях логистики. Предположим, что фактическое состояние системы принимает вид: _у3 = [4;6;5;2;7;3;8;4;8;4;6], Ь3 = [3;2;4;1;4;3;5;2;3;1;2], Я23 = [4 4 5 0 0 0 0 0 0 0 3;0 6 6 6 0 0 0 0 0 2 0;0 0 0 3 4 2 0 0 0 0 5;0 0 0 0 0 0 0 6 5 0 4;0 0 8 0 0 0 0 0 7 3 6], Ь2 = [28; 47; 52; 32; 75],, Ь1 = [34; 73; 69].

Сравнение расчётных значений показателей с фактическими в натуральных показателях, в пространстве I1, показывает, что объёмы используемых ресурсов не изменились, табл. 1, но показатели в отдельных узлах меняются

х3: 26547394836 у3: 46527384846

В связи с этим изменилось и качество поставки - изменились межфакторные пропорции, элементы столбцов 1. Добавленная стоимость изменилась как качественно, так и количественно. В связи с этим существенно изменилось качество поставок на внутренний модуль системы и возросла на 2% их стоимость. Из табл. 1 и 2 видим, что незначительные качественные изменения в системе проводят к значительным качественным и количественны значениям на выходном модуле. На выходе стоимость продукции снижается на 5%.

Больше информации получим переносом анализа в пространство /2 с использованием основного метрического тождества [17].

Таблица 1. Сравнение значений фактических и расчётных _параметров системы на нижнем (входном) граничном модуле._

¡.Внешние

ресурсы

2.Затраты

обработки

3.Сумма

Расчётные показатели

1 2 3

Фактические показатели

12 3

Количества:

57.0028.0085.00

57.0030.0087.00

а в т с е

Е «

а к

и л е теа

аза

к о п е ы н

л

л е

т и

ис о н т О

и н е

еш о н тно

х «

и

а р

о п

о р

п

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

0.040 0.110 0.090 0.070 0.120. 0.050 0.160 0.070 0.140. 0.050. 0.110

070.05

040.08

110.09

040.06 140.13

140.08 180.16

070.07 110.13 040.05

070.09

0.070 0.110 0.090 0.040 0.120. 0.050 0.140. 0.070 0.140. 0.070 0.110

100.08

070.09

130.10 030.03 130.13 100.07 170.15 070.07 100.13 030.06 070.09

Таблица 2. Сравнение значений фактических и расчётных параметров системы на выходном модуле.

¡.Полуфабрикаты 2.Затраты сборки З.Сумма Расчётные показатели Фактические показатели

1 23 1 23

Количества: 2431632494 2095692164

Показатели качества в пропорциях отношений 1 2 3 0.153 0.188 0.155 0.278 0.441 0.284 0.569 0.371 0.562 0.212 0.193 0.211 0.271 0.415 0.277 0.517 0.392 0.512

В табл. 3 приведены индикаторы переменного состава Ь, которые можно рассматривать как индексы общего состава или средней квадратической

Г2 _ _ у™ „ку. 2 .ук — ак2 _ ьк

Ь = а-а~^к=1а Хк >а ~ 0(а)'Хк~ ак

Индексы сходства I и расхождения J, индикатор расхождения в в полярном сравнении состояний, индикаторы детерминации Р и остаточной детерминации

Ь I 2

/ = —= уП акхк, ] = ^12- I2, Р = (т) , Q = 1-p.

а • а ¿—1к=1

Здесь строки под номером 1 показывают показатели при сравнении фактических результатов с расчётными для добавленной стоимости, дают оценки бинарного соответствия (а, Ь). Вторая строка показывает оценку бинарного соответствия входящих ресурсов (х, у). Третья строка определяет оценки бинарного соответствия (х + а, у + Ь ).

Таблица 3. Индикаторы сравнения отклонения фактических показателей

от расчётных в пространстве /2.

п/п Относительные индикаторы сравнения

LШ(рад)P Q

Показатели захода в систему 1 2 3 3 1.04351.02220.20960.20230.95960.0404 0.98540.97100.16780.17110.97100.0290 1.01181.00000.15420.15300.97680.0232

Показатели исхода 1 2 3 1.02911.02750.05820.05660.99680.0032 0.87770.87360.08500.09700.99060.0094 0.88620.88240.08210.09270.99140.0086

Из табл. 3 следует, что качественно выходные показатели практически на 100% совпадают с расчётными, хотя в количественном отношении они ниже расчётных.

Геометрическая интерпретация самосопряжённого аффинного пространства. Рассмотрим аффинное пространство А. Предположим, что гладкая кривая Ь, представленная на рис. 2, описывает эволюцию прибыли на поверхности фиксированных затрат в пространстве X Е А, X Е состояний некоторой организации, а точка А - текущая точка этой кривой.

Пусть прямая (ЛВ) является касательной к кривой Ь в точке А, точка В отвечает плановому уровню достижению прибыли, а вектор а = АВ определяет заложенные в план качественную и количественную характеристики в текущем моменте. Плоскость Р(е3Ле2), к которой вектор а ортогонален, для кривой Ь является нормальной плоскостью к траектории эволюции прибыли в точке Л. Спрямляющая плоскость Н является касательной плоскостью к поверхности затрат и характеризует уровень затрат, а построенные соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости являются координатными плоскостями и определяют локальный базис (е1, е2, е3), карту Ха (К3) <^Х, окрестности текущий точки Л.

Рис. 2. Геометрическая интерпретация сопряжённых аффинных

пространств.

Пусть за расчётный период организация перешла в состояние, соответствующее точке СЕ Ь. Учитывая спрямляемость кривой в окрестности текущего состояния (точки А) в силу близости фактического состояния (точки С) заключаем, что вектор х — АС определяет количественно-качественные характеристики фактического состояния

организации за расчётный период. Этот вектор равен сумме векторов уШ + ЯС. Но, |ЛС| — х • а вектор ОС связан с бивектором Ь — х х поворотом на угол в — - и масштабированием величиной к, т.е.

Л—+1пК

DC = be 2 m = ibh = h(xAe1).

Находим

x = (x • e1)e1 + h(xAe±) e X, (14) x* = (x • e1)e1 — h(xAe1) e X*, т.е. A и A* являются изометрическими, самосопряжёнными пространствами. Спрямляющая плоскость H является плоскостью их зеркального отражения, рис. 3. Величина x e X определяет фактическое состояние организации как точки C относительно состояния A, а угол ф поворота вектора x характеризует качественные изменения, происходящие в состоянии организации относительно плановых показателей a e X. Эти качественные сдвиги определяются оценкой кривизны кривой в точке A:

1 1 nil ■ I — 1 Ф 2

к = -=2ЦхЦ cos- « ——. я 11 2 ||х||

Положим масштабный коэффициент соизмерения слагаемых в (14)

равным единице, обе части равенства умножим на длину вектора a и

полученное равенство перепишем в форме кватерниона и в виде числа Клиффорда

с = х • а + ¿(х х а) = х • а + хла.(15) Поставим в соответствие данному числу точку С, которая отвечает соответствующему состоянию. Сопряжённому состоянию будет отвечать её зеркальное отражение С* в плоскости Н, как, например, на рис. 3,

с* = х • а — хла. (16)

Таким образом, решение поставленной задачи и её интерпретацию рис. 2 можно рассматривать в пространстве кватернионов Н. В анализе задач удобно использовать в качестве базиса систему (Р, Ы, п), включающую пару идемпотентных положительного и отрицательного паравекторов, лежащих в касательном пространстве Н= ТЛХ

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dema.jpg?uselang=ru

где вектор е1 принимается как скаляр е0, а вектор п = Р*Ы является нормальным вектором е2 к поверхности затрат в текущей точке Л, нормалью к касательной плоскости Н, [18].

Октонионы в анализе сетевых моделей. Если посмотреть внимательно на условие и решении задачи в примере 3, то можно обнаружить, что здесь параллельно протекают два, взаимодействующих друг с другом процесса - процесс преобразования ресурсов, в результате

изготовления продукции, и процесс внесения добавленной стоимости, как результат использования средств труда и рабочей силы. В теоретической физике для описания взаимодействия протекания параллельных процессов в микромире предложена "теория струн". Теория струн изучает взаимодействие протяжённых объектов, так называемых, "квантовых струн". Аналогом квантовых струн в общей топологии многоуровневых иерархических систем [18, 19] вида Ж можно в соответствие поставить нити в их графическом представлении. Например, в графе рис. 1 фрагментом такой нити будет отражение

ю31 ю21 1 ю21 1 ю11 1 _ч

x11-1x1-1x1 .(17)

Но, если элемент x характеризует динамику ресурсов, то параллельно ресурсам по данной цепи осуществляется движение и трудовых ресурсов a, как, например, в примере 3, т.е. осуществляется, как бы, движение соответствия g = (a, x). В микромире теория струн описывается диаграммой Фейнмана. Диаграмма Фейнмана в её стандартном представлении и аналог её в теории струн изображены на рис. 4.

Рис. 3. Диаграмма Фейнмана в стандартной модели и её аналог в теории струн [20].

Выше мы пришли к заключению, что анализ возможных состояний иерархических многоуровневых сетей приводит к представлению состояний в виде кватернионов (2), т.е. множество X возможных состояний х Е X системы в её сетевом представлении является предметом алгебры кватернионов Н, X с Н, а их бинарное соответствие g = (а, х), а, х Е Н, используя итеративную процедуру удвоения Кэли-Диксона, можно записать в виде аналога комплексного числа g = а + 1х Е О, /2 = -1, которое является элементом прямого произведения пространства кватернионов на себя О = НХН. Это пространство называется пространством октонионов [21]. Пространство октонионов - удвоенное пространство кватернионов Н, является нормированной алгеброй с делением, что даёт возможность не только изучать два параллельно протекающих процесса, но рассматривать и их взаимодействие [21].

О процедуре Кэли-Диксона и её связи с основным метрическим тождеством. Мы пришли к заключению, что состояние любого объекта (субъекта) можно рассматривать как точку в некотором пространстве и, если даны три возможных состояния объекта и из одного из этих состояний требуется найти оптимальный переход в одно из двух других состояний, т.е. возникает проблема выбора при принятии решения, то решение задачи можно свести к основному метрическому тождеству.

Процедура Кэли-Диксона сводится к специальному представлению бинарного соответствия g = (а, Ь) состояний a и Ь объекта некоторого пространства А, перевод бинарного отношения в элементы -точки g другого пространства А', действия в котором расширяют возможности анализа, например, даёт возможность в пространстве А' ввести евклидову и симплектическую структуры, т.е. ввести скалярное и кососкалярное произведение, к чему, собственно, и сводится основное метрическое тождество [23].

Пусть, например, состояниям объекта ставятся в соответствие точки числовой прямой, а, Ь Е X с К. Тогда элемент g Е G, как совокупность упорядоченных действительных чисел можно рассматривать как вектор присоединённого векторного пространства G сХ Е С и конечное состояние записать в виде Ь = а + х, что характеризует последнее как кватернион.

Но, бинарное соответствие g, как упорядоченную пару, можно представить точкой на координатной плоскости в прямоугольной системе координат (О, х, у = хвт/2) = (О, х, у = хГ), т.е. g = а + Ы ЕС, где а, Ь ЕК и Р = -1. Здесь ось Ох является осью симметрии и, в силу симметрии, каждому числу g в соответствие ставится симметричное смежное число g* = а - Ы Е С с К2 так, что I* = -1, g* = (а +Ы)* = а* + (Ы)* = а - Ы и

ОД = g*g = gg* = (а - Ы)(а + М) = с2(1, 0),(18)

где введено обозначение

с2 = а2 + Ь2.(19)

Тождество (19) определяет метрику в пространстве комплексных чисел и служит основным метрическим тождеством в этом пространстве.

В общем случае кватернион (2) определяется парой комплексных чисел. Так, если а, х Е С, то кватернион g определяется процедурой Кэли-Диксона g = (а, х) = а + х1, где оператор I ортогонален 1 Е С, /2 = - 1 и I* = -I. Кроме этого, справедливы равенства

а(/х) = /(а*х),(а/)х = (ах*)/,(/а)(х/л) = (ах)*.(20)

Свойства оператора / совпадают со свойствами мнимой единицы поэтому для него введём обозначение / = /.

Оценим состояния двух параллельных производственных процессов g = (а, Ь) и к = (с, д) с компонентами в алгебре Н. Пусть g, к Е О. Тогда они хорошо нормированы, т.е. существуют их оценки О^), О(к) > 0 и справедлива конструкция Кэли-Диксона

gк = (а, Ь)(с, Ь) = (ас - дЬ*, а*й + сЬ). (21)

Учитывая, что g* = (a*, - b), находим

D(g) = g*g = (a*, - b)(a, b) = (D(a) + D(b))(1, 0).(22)

Поскольку D(-) = > 0, то

приходим к основному метрическому тождеству, связывающие метрические функционалы различных пространств, в данном случае, пространств Н и О, как их внутренние меры

o2(g) = a2(a) + o2(b).(23)

Рис. 4. Метрический треугольник.

Равенство (23) устанавливает метрическую связь последовательности вложений R с С с Н с О в виде проекции одного пространства на другое. Из него автоматически вытекает "теорема о восьми точных квадратов" как последовательное расширение теоремы Пифагора, которая, в свою очередь является последовательным расширением основного метрического тождества.

Из рис. 4 следует, что если a, b 6 Н, то c = g 6 О. При этом, элемент более высокой алгебры несоизмерим с элементами низших алгебр, например, в технике расчёта их фрактальных размерностей в соответствие с парадоксом Анри Лебега, как объект из высшего параллельного мира. Таким образом, природа нашего мира при реализации стратегии принятия решений в своей эволюции выбрала простейшую йорданову алгебру ^ п(С), основанную на бинарном отношении в пространстве R2, простейшее проективное пространство всех алгебр.

Использованные источники:

1.Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов //М., Наука, 1990.

2.Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений //М., Наука, 1989.

3.Долятовский В.А., Долятовская В.Н. Исследование систем управления -Учебно-практическое пособие. М.: Март, 2003, 256 с.

4.Санников А.А., Куцубина Н.В. Системный анализ при принятии решений //Екатеринбург, 2015.

5.Горлушкина Н.Н. Системный анализ и моделирование информационных процессов и систем //Университет ИТМО, 2016.

6.Соловьёв А.С. Сетевое моделирование //"Экономика и социум" №5(84),2021, www.iupr.ru.

7. Дональд А. К гомотопической теории цепных комплексов // Математика, 1963, том 7, вып. 2, 3 - 26.

8.Бредон Г. Теория пучков М., Наука, 1988.

9.Берже М. Геометрия, т. 1 //М., Мир, 1984.

10.Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии //М., Наука, 1989.

11.Дороговцев А.Я. Элементы теории меры //Киев, Выща школа, 1989.

12.Ершов Э.Б. Ситуационная теория индексов цен и количеств //М., РИОР ИНФА-М, 2017.

13.Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов //М., Наука, 1987.

14.Чумак О.В. Энтропия и фракталы в анализе данных //М. -Ижевск, 2017.

15.Соловьёв А.С. Деформация структур //"Экономика и социум" №1(92) 2022.

16.Хайкин С. Нейронные сети //Москва, Санкт-Петербург, Киев, 2008.

17. Соловьёв А.С. Основное метрическое тождество в задачах распознавания образов //"Экономика и социум" №12(67) 2019, www.iupr.ru

18.Тарханов И.И. Геометрическая алгебра //СПб: Изд-во СПбГПУ, 2002.

19.Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем //М., Мир, 1973.

20.Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология //Изд. МГУ, 1988.

21.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Point %26string.svg

22. Джон С. Баэз.Октонионы //Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1 (5)Vol 3, 2006. https://docplayer.com/61181742-Oktoniony-1-dzhon-s-baez.html

23.Арнольд В. И. Теория катастроф //М., Наука, 1990.