CC BY
9
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 1.
УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-33-44
О геометрии обобщенных почти кватернионных многообразий
вертикального типа
О. Е. Арсеньева
Арсеньева Ольга Евгеньевна — кандидат физико-математических наук, доцент, Московский педагогический государственный университет (г. Москва). e-mail: highgeomQyandex.ru
Аннотация
В работе исследуются обобщенные почти кватернионные многообразия вертикального типа. Приведены примеры этого типа многообразий. Доказано, что на обобщенном почти кватернионном многообразии всегда существует почти а-кватернионная связность, которая в главном расслоении индуцирует метрическую связность. Получен критерий автодуальности проектируемой вертикальной 2-формы на почти а-кватернионном многообразии. Получены компоненты структурного эндоморфизма на пространстве G-структуры. Получен ответ на вопрос: когда эндоморфизм Римана-Кристоффеля сохраняет келеров модуль многообразия. Доказано, эндоморфизм Римана-Кристоффеля эрмитова почти а-кватернионного многообразия вертикального типа сохраняет келеров модуль многообразия тогда и только тогда, когда структурный пучок этого многообразия является эйнштейновским. Откуда как следствие получаем, что четырёхмерное многообразие с рима-новой либо нейтральной псевдоримановой метрикой является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда его модуль автодуальных форм инвариантен относительно эндоморфизма Римана-Кристоффеля. Полученное следствие показывает, что предыдущий результат является широким обобщением теоремы Атьи-Хитчина-Сингера, дающей критерий эйнштейновости 4-мерных римановых многообразий в терминах автодуальных форм, поскольку результат обобщает эту теорему на случай нейтральной псевдоримановой метрики. С другой стороны, этот результат тесно связан с известным результатом Берже, который уточняет её в частном случае кватернионно-келеровых многообразий: если многообразие М кватернионно-келерово, то его риманова связность (а не только оператор Римана-Кристоффеля) сохраняет келеров модуль многообразия. В этом случае М является многообразием Эйнштейна.
Ключевые слова: алгебра обобщенных кватернионов, обобщенная почти кватернионная структура, кватернионно-келерово многообразие, многообразие Эйнштейна.
Библиография: 4 названия. Для цитирования:
О. Е. Арсеньева. О геометрии обобщенных почти кватернионных многообразий вертикального типа // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 1, с. 33-44.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 1.
UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-33-44
On the geometry of generalized almost quaternionic manifolds
of vertical type
О. E. Arsenveva
Arsenyeva Olga Evgenievna — candidate of physical and mathematical sciences, docent, Moscow Pedagogical State University (Moscow). e-mail: highgeomQyandex.ru
Abstract
We study generalized almost quaternionic manifolds of vertical type. Examples of this type of manifolds are given. It is proved that on a generalized almost quaternionic manifold there always exists an almost a-quaternionic connection, which in the main bundle induces a metric connection. The criterion of the auto-duality of the projected vertical 2-form on an almost a-quaternion manifold is obtained. The components of the structural endomorphism on the space of the G-structure are obtained. The answer to the question is obtained: when does the Riemann-Christoffel endomorphism preserve the Kahler module of a variety. It is proved that the Riemann-Christoffel Hermitian endomorphism of an almost a-quaternionic variety of vertical type preserves the Kahler module of a variety if and only if the structural sheaf of this variety is Einstein. Hence, as a consequence, we obtain that a four-dimensional manifold with a Riemannian or neutral pseudo-Riemannian metric is an Einstein manifold if and only if its module of auto-dual forms is invariant with respect to the Riemann-Christoffel endomorphism. The resulting corollary shows that the previous result is a broad generalization of the Atiyah-Hitchin-Singer theorem, which gives the Einstein criterion for 4-dimensional Riemannian manifolds in terms of auto-dual forms, since the result generalizes this theorem to the case of a neutral pseudo-Riemannian metric. On the other hand, this result is closely-related to the well-known result of Berger, who clarifies it in the special case of quaternionic-Kahler manifolds: if a variety M is quaternionic-Koehler, then its Riemann connectivity (and not just the Riemann-Christoffel operator) preserves the Koehler modulus of the variety. In this case, M is an Einstein manifold.
Keywords: algebra of generalized quaternions, generalized almost quaternionic structure, quaternionic-Kaehler manifold, Einstein manifold.
Bibliography: 4 titles. For citation:
0. E. Arsenyeva, 2022, "On the geometry of generalized almost quaternionic manifolds of vertical type" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 33-44.
1. Введение
Почти кватернионной структурой на многообразии М называется подрасслоение расслоения линейных операторов на М, типовым слоем которого является алгебра кватернионов. Особый интерес представляют собой так называемые кватернионно-эрмитовы структуры. Геометрия таких структур представляет интерес, прежде всего потому, что она естественным образом обобщает геометрию 4-мерных римановых многообразий, играющих особую роль в теоретической физике. В частности, с почти кватернионными многообразиями естественным
образом ассоциируется твисторная геометрия, обобщающая знаменитую твисторную программу Пенроуза.
В настоящей работе рассмотрены обобщенные почти кватернионные структуры, типовым слоем структурного расслоения которых является алгебра обобщенных кватернионов. Наиболее подробно рассмотрены обобщенные почти кватернионные структуры вертикального типа, естественно обобщающие кватернионно-келеровы структуры. Основной результат работы показывает, что структурный пучок такого многообразия является эйнштейновским тогда и только тогда, когда его келеров модуль инвариантен относительно оператора кривизны Римана-Кристоффеля. Это, с одной стороны, широко обобщает классический результат Пенроуза-Хитчина-Сингера об эйнштейновости 4-мерных автодуальных римановых многообразий [1], и, с другой стороны, тесно связано с известным результатом Берже об эйнштейновости кватернионно-келеровых многообразий [2].
2. Алгебра обобщенных кватернионов
Напомним [3], что алгебра обобщенных кватернионов получается двукратным применением процедуры удвоения Кэли-Диксона из поля К вещественных чисел:
((Н,, а) ) = Н, ® Ж ® = (0,1) е (И, а) = Ие«,! = (0,1) е (Иеа, @) ,к = ц; а, @ = 0
и с точностью до умножения г и на константы л/\а\ и л/\Щ соответственно представляет собой либо тело Н кватернионов (а = @ = — 1), либо кольцо АН антикватернионов (а = @ = 1). Обозначим её Н«, Н_1 = Н, Н1 = АН, а ее элементы д назовём а-кватернионами. С геометрической точки зрения эта алгебра представляет собой 4-мерное вещественное псевдоевклидово пространство, снабженное канонической метрикой д = (■, •), (51,52) = 2(Я112 + <?2?1) где ц ^ 1 — оператор сопряжения. Метрика д положительно определена в случае а = —1 и нейтральна в случае а = 1. Ортогональное дополнение единицы в этой метрике представляет собой 3-мерное подпространство чисто мнимых а-кватернионов, характеризуемых тем,
что д е ^ 1 = — 1- В частности, система {.]1,.]2,.]3} е JQa образует ортонормированный
базис пространства JQa тогда и только тогда, когда
. . , . . Г ±2 (к = т); , 1 _ _
3к3т + Но (к = т); к,т = 1, 2, 3
3. Обобщённые почти кватернионные структуры
Пусть М — гладкое многообразие, X(М) — модуль гладких векторных полей на М над кольцом С^(М) гладких на М функций, ТМ = ирёмТР(М) — касательное расслоение над М, Т(М) = ф^°8=0Т,?(М) — тензорная алгебра, а Л(М) = ©£=0ЛГ(М) — алгебра Грассмана многообразия М, {Е} — модуль гладких сечений расслоения (Е, М, ж) над М. Все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса С
Определение 1. Почти а-кватернионной (к ороче, АО.а-) структуре и на М называется подрасслоение С расслоения Т^(М) с типовым ело ем На.
При а = —1 это понятие совпадает с классическим понятием почти кватернионной структуры [4]. Многообразие, несущее почти а-кватернионную структуру, называется почти аС
ния, так же, как и элементы его произвольного слоя, будем называть «-кватернионами. Естественно возникают также подрасслоение ^ чисто мнимых а-кватернионов и X чисто мнимых а-кватернионов единичного модуля, называемое расслоением твисторов над М.
Очевидно, С — четырехмерное векторное расслоение, ассоциированное главному расслоению ВС = (В(С),М,ж,Са), элементами тотального пространства которого служат четверки {1(1, 3\,32,3-3] а-кватернионов в произвольной точке р € М, удовлетворяющие тождествам
= ^2 = а = ±1 3\ о 32 + 32 о 3\ = 0 Зз = 3\ о 32, которые в силу сказанного выше образуют ортонормированный базис слоя расслоения С, а структурной группой Са является группа автоморфизмов алгебры а-кватернионов.
Алгебра На допускает каноническое представление Л : На ^ Еп(1(Т1 а), Х(д)(Х) = д ■ X, где X € На. В самом деле, Х(д\д2)(Х) = (д\д2)(Х) = д\(д2Х) = \(д{)\(д2)Х, т.е.
42) = Х(дх)Х(д2).
Пусть {1, ¿1, ¿2, ¿з] — ортонормированный базис пространства На указанного выше вида, д = а + Ь]\ + с]2 + € На. Тогда в этом базисе
ас —й \ ай —ас а аЬ Ь а )
а
мом 4-мерного вещественного пространства На. Опуская индекс у этого эндоморфизма, получим тензор типа (2,0) на этом линейном пространстве, который будет кососимметрическим тогда и только тогда, когда а = 0, т.е. а-кватернион чисто мнимый. В свою очередь, расслоение С имеет естественную метрику д = (■, порожденную метрикой алгебры Ша. Опуская с
а
С
тальной формой этого а-кватерниона. Эту форму ш можно рассматривать как тензор Ь типа (2,2) на М- г(Х,У,и,ь) = ш(дг(Х,и),д2(У,у)).
Определение 2. Связность на А0.а-многообраз ии (М С) называется по чти а-кватер-нионной, или А0,а-связностью если модуль {С] инвариантен относительное всех параллельных переносов, порождённых этой связностью.
Предложение 1. На, А0,а-многообра,зии М всегда, существует А0,а-свя,зност,ь.
Доказательство. Пусть {Ыр— покрытие многообразия М, тривиализирующее расслоение С, и пусть {гй, К-(р)] — локальный ортонормированный базис модуля Х(Цр), Р € В. Как известно, на Ыр существует связность в которой тепзоры ш К-(р) ковариантно постоянны, в частности, V ^р) — Д2а-связность на Ыр. Пусть {фр]рев — разбиение единицы, подчинённое покрытию {Ар]рев• Тогда очевидно, что V = ^рев фрУ(^) — ^«-связность на М.
Предложение 2. Всякая АО.а-св^ность V на А0,а-многообра,зии М индуцирует, мет-
С
Доказательство. Пусть / € С^(М), д € {С], Х,У € X(М). Тогда Vx(¡д)(У) = Vx(¡д(УУ) = Xа)д(¥)+/Vx(д)УУ)—/д^хУ) = XЦ)д(У)+!Vx(д)У, и в силу произвола У € X(М), Vх(/д) = X(¡')д + f Vх(о),^.е. V — линейная связность в расслоении С. Далее, пусть д\,д2 € {С]. Поскольку Д2а-связность порождает дифференцирование алгебры Т(М), перестановочное со свертками, то УХ € X(М) ^ Vx(дхд2) = Vx(д\)д2 + + х(д2) ■ Кроме того, легко видеть, что Vхд = Vх<1, Я € С. Отсюда следует:
Ш)) =
( а аЬ
Ь а
с —ай
\ (1 —с
(дгд2) = Vx (дг)д2 + дг Vx д2; (щдг) = Vx (д2)дг + д2^х дг.
(■, ■)
Ух(<71, Ы = (Ух 11,12) + (<71, Ух 12),
т.е. V — метрическая связность в С. В дальнейшем мы всегда будем подразумевать, что на АО, «-многообразии фиксирована ^2а-связность. Тогда Х(С) — V ® Н: где V и Н, соответственно, вертикальное и горизонтальное распределения индуцированной метрической связности в расслоении С, У = {С}.
Напомним, что тензор Ь е Т/(С) называется вертикальным, если он обращается в нуль, когда хотя бы один из аргументов этого тензора, рассматриваемого как полилинейная функция, горизонтален. Иначе говоря, для УХ1,... ,ХГ е Х(С) и ^ш1,... ,ш8 е X* (С) ^ ¿(X1,..., Хг ,ш1, ..., ) = ¿(Ху,..., Ху, Шу,..., Шу), где Ху, шу — вертикальные составляющие вектора X и ковектора и> соответственно. Вертикальные тензоры определяют подалгебру тензорной алгебры Т (С), которую мы назовем вертикальной тензорной алгеб рой и обозначим Ту (С). Аналогичные замечания относятся к алгебре Грассмана Л(С) Э Л у (С). В частности, точечная локализация модуля Лу (С) имеет размерность = г,(44_г),, 0 < г < 4, и нулевую размерность при г > 4 Таким образом, естественно определена алгебра Грассмана Лу(С) = ©4=0Лу(С), которую мы назовем вертикальной алгеброй Грассмана.
Заметим, что модуль Лу (С) одномерен; в качестве его базиса естественно взять форму т, определенную равенством
тр = у/((Ш(д)ри)1 Л ш2 Л ш3 Л ш4,
где (д)р — матрица Грамма метрики д, {ш1, ш2, ш3, ш4} — кобазис, дуальный базису {е1, е2,е3,е4} пространства Ур = Ср (р е С). Стандартным образом проверяется независимость тр от выбора базиса. Назовём форму т вертикальной формой объема. Очевидно, она порождает ориентацию пучка V = {С}.
Определение 3. Оператором Ходжа, в расслоении С называется оператор * : Лу (С) ^ Л у(С), определяемый тождеством
ш Л (*ш) = (и, ш)т; и е Лу(С), г = 0,1,2,3,4, г()е (■, ■) _ скалярное произведение в Лу (С) индуцированное метрикой в С.
В частности, * : Лу(С) ^ Лу(С), причём (ш,ш) = 4,й4 и, значит, (*ш)аь = шы, гДе 1 2 3 4 ) — чётная перестановка. Отсюда следует, что (*)2 = г^ на Лу (С) и, значит,
$ О С $ }
имеет собственные значения ±1.
С
ственно, антиавтодуальной), если она является собственным вектором оператора Ходжа с собственным значением 1 (соответственно, -1). Если она к тому же параллельна вдоль слоев расслоения (т.е. проектируема), она, называется формой на М.
Модуль автодуальных (соответственно, антиавтодуальных) форм на М будем обозначать Л+(М) (соответственно, Л_(М)).
Теорема 1. Проектируемая вертикальная 2-форма автодуальна на, А0,а-м,ногообра,зии М тогда и только тогда, когда она является фундаментальной формой чист,о мнимого аС
мы, согласована с канонической ориентацией этого пучка тогда и только тогда, когда этот а-кватернион имеет положительную норму.
Доказательство. Пусть ш — проектируемая вертикальная 2-форма. Согласно определению, ш € Л+(М) & *ш = ш, т.е. д^дъ^^ш^ = В ортонормированием базисе
( 1 0 0 0 \
{7о = гЛ, пространства Ср (р €М), в котором ) 0 —а 00
( 1 2 3 4 \
мула означает, что е ре = где I ^ ^ „ I е £ = ( ,). Отсюда следует, что
, эта фор-чётная перестановка, = 0,1, 2, 3,
0 0 —а 0 0 0 0 1
Ш € Л+(М) & (ш^!) =
/ 0 ах ау — \
— ах 0 —
—ау 0 — х
V — х 0 )
(1)
С
го выше может быть отождествлён с чисто мнимым а-кватернионом д = х,1\ + Оче-
а
автодуальна. Заметим, что в силу определения автодуальной формы, ш Аа = шА(*ш) = (со, ш)т, и, следовательно, ориентация пучка С, порождённая формой ш Аш, совпадает с канонической ориентацией этого пучка тогда и только тогда, когда ||ш||2 > 0, т.е. ||д||2 > 0.
Пусть ( М, С) — а-кватернионное многообразие. Задание Д2«-структуры на М равносильно заданию С-структуры на нем со структурной группой 0 = СЬ(п, Ыа) х БРа(1), где ЗРа(т) — симплектическая группа порядка т над кольцом Ыа. Элементы этой ^-структуры, называемые адаптированными реперами, или А-реперами, строятся следующим образом. Пусть р € М, (.10 = гй, ,]х, 32, 7з) — ортонормированный базис слоя Ср, (ех,..., еп) — базис пространства ТР(М ), рассматриваемого как Ыа-модуль: если д = а + Ь]\ +с]2 + й]3 € Ыа, X € ТР(М), то дХ = аХ+ЬЗ\(Х)+с^(Х)+(!,1з(Х). Условимся, что греческие индексы пробегают значения от 0 до 3, а латинские — от 1 до п. Обозначи м е@а = тр (еа). Тогда {р, е^а; [3 = 0,..., 3;а = 1,... ,п] есть репер пространства ТР(М), называемый адаптированным. Очевидно, в этом репере
( ^) =
(0 а! 0 0 \ /000 0 0 0 а!
( Зз) =
0 0 а 0
; (32) =
00 0
0В V 0—
В0 0 0 —/ и
0 0 а/ 0
0 — а/ 0 0
0 0 0
—а/ 0 0
(2)
и значит, ( ) = (]к) ® /\к = 1, 2, 3] / — единичная матрица порядка п.
Очевидно, задание тензора £ типа (1,1) на М определяется заданием набора функций {] на пространстве С-структуры, являющихся компонентами этого тензора в соответствующем А-репере. Из (2) следует, что такой тензор является а-кввтернионом д = агс! + Ь,1\ + с,^ + с1,1з
(а аЬ ас
тогда и только тогда, когда & = где (д^) =
Ь а — а \ й —с
ай —ас а аЬ Ь а
матрица
/
а-кватерниона д в базисе {г(1, Зх, ,Т2, Зз], рассматриваемого как эндоморфизм структурного пучка. Рассмотрим естественное представление алгебры эндоморфизмов касательного пучка
Д2«-многообразия (М, С) в алгебру эндоморфизмов модуля этой алгебры, порождённое левыми сдвигами. Именно, если / е Т11(М), сопоставим ему эндоморфизм /, действующий по формуле /(д) = f о д, где д е Т^М). Очевидно, отображение f ^ / является представлением в силу ассоциативности алгебры эндоморфизмов. Возникает естественный вопрос: когда элемент $ е Т1(М) в этом представлении сохраняет структурный пучок и, следовательно, индуцирует эндоморфизм структурного пучка? Ответ дает следующая
Теорема 2. Пусть М А0,а-многообщзие. Эндом орфизм £ е Т^(М) индуцирует эндоморфизм структурного пучка тогда и только тогда, когда его компоненты на пространстве С-структуры имеют вид:
« = Ч (3)
Доказательство. Пусть выполняется тождество (3), я е {С}. Положим ¿(д) = £ о д. Зафиксируем реперы (р, За; а = 0,1, 2, 3) в Ср и соответствующий ему А-репер (р, ерь е Я). Имеем: ¿(^ )(еь) = г о (еь) = ¿(^ (еь)) = ¿(е^) = Ще^ = Ц Ь%е1С = Ц е7ь = ^ (еь) Vb = 1,...,п, откуда ) = Арт.е. эндоморфизм £ : $ ^ £ о £ пучка Т1(М) сохраняет структурный пучок и, значит, индуцирует его эндоморфизм. Обратно, пусть { : / ^ £ о / сохраняет структурный пучок. Тогда ¿(^) = ^и, значит, ¿(е^) = (еь)) = £ о .]р(еь) = ¿(^)(еь) = ЦЬ(еь) = = Ар(ес) = АрЬ^е1С. Таким образом, АрЬ = Ар
Очевидно, задание эндоморфизма Ь структурного пучка равносильно заданию вертикального тензора Ьу е (7^1)у(С) и, таким образом, теорему 2 можно сформулировать так:
Теорема 3. Пусть М — А0,а-многооб^зие. Эндоморфизм £ е Т^(М) порождает, вертикальный тензор Ьу е (7^1)у (С) тогда и только тогда, когда его компоненты на, пространстве С-структуры имеют вид:
Ас = А ^с
В связи с этим эндоморфизм £ е Т1(М), обладающий свойством (3), назовем вертикальным, а его образ Ьу, при указанном соответствии — базисным эндоморфизмом.
Как мы уже видели, всякий а-кватернион удовлетворяет условию теоремы 3 и, следовательно, является вертикальным эндоморфизмом. Справедливость (3) в этом случае можно показать и несколько иначе. Пусть д е С. Тогда д(ерь) = яЫ/з(&ь)) = Я1(^з(е-ь)) = Я1 (Л о -Ч)еь = Я1 с1фЛЫ = я1 с1ф513,(вс) = я}й^ес,™. Ярь = 1%^ где ^ = с^я1, -структурный тензор алгебры а-кватернионов.
Аналогичную терминологию сохраним для других типов тензоров, полученных из вертикальных эндоморфизмов с помощью классических операций тензорной алгебры. В частности, 2-форму ш е Л2(М) назовём вертикальной, если она при операции поднятия индекса (в случае фиксации псевдоримановой метрики на М) соответствует вертикальному эндоморфизму. Очевидно, совокупность всех вертикальных 2-форм на М образуют подмодуль Луу (М) С Л2(М), который мы назовём модулем вертикальных 2-форм на М, а его образ при композиции операций поднятия индекса, естественного представления и опускания индекса с помощью метрики д — модулем базисных тензоров. Подмодуль кососимметрических базисных тензоров назовём модулем базисных 2-форм и обозначим Л2В(С).
Определение 5. ([4]) АО.а-структура С на, М называется эрмитовой, или %АО.а-структурой, если на М фиксирована псевдориманова метрика С = {■, ■}, такая, что VJ е {X} ^ {,1Х, Г} + {X, ЗУ} = 0; Х,Г е Х(М).
В этом случае для любого чисто мнимого а-кватерниона я тензор &(Х,У) = {Х,д(У)} является вертикальной 2-формой, которую мы назовем келеровой формой а-кватерниона д.
Келеровы 2-формы на М образуют подмодуль К,(М) С Лу (М), который мы назовём келеро-вым модулем. Очевидно, образ келерова модуля в естественном представлении есть модуль Л+(М) автодуальных форм и, таким образом, Л+(М) С Л у (М).
Задание НД2«-структуры та многообразии М равносильно заданию Q = Spа(п) ■ Sp«(1)-структуры на М, элементами которой служат А-реперы, векторы е\,..., еп которых образуют ортонормированную систему в кватернионно-эрмитовой метрике
{{X, Y)) = {X, Y) + г {X, IY) + j {X, JY) + k {X, KY),
где гd, I,J,K — ортонормированный базис слоя Ср, где р Е М.
Пусть (М, С, G) — НД2а-многообразие, R — тензор Римана-Кристоффеля метрики G.
М
Определение 6. HAQa-структуру (С, G) на многообразии М назовём структурой вер-
R G
М
Пример 1. Кватернионно-келерово многообразие определяется как HAQi -многообразие, структурный пучок которого инвариантен относительно параллельных переносов в римано-вой связности. Тем, более этим свойством обладают м,одуль вертикальных эндоморфизмов и м,одуль вертикальных 2-форм. Значит,, всякое кватернионно-келерово многообразие является HAQa-многообразием вертикального типа.
Пусть М — НД2а-многообразие вертикального типа. Тогда эндоморфизм R Римана-
эндоморфизма как систему функций {rp-sе} на пространстве расслоения ВС Пусть {Gpbyc} и {RfibycSdeh,} — компоненты тензоров G и R на пространстве G-структуры соответственно, t
вертикальный кососимметрический эндоморфизм на М, t^ = Тогда
п^-Л Е> /-уеИв f +¿<1 г> г^ЬвА+Ь
Щ1)рЬус = МрЬ-уМек^ ^^вf = МрЬуМек^ £в
и значит,
(4)
Учитывая, что К(Ь) — тоже вертикальный тензор на М, имеем: Б,(Ь)Хс = г(Ъ)Х5с- Поэтому, свёртывая (4) по индексам г тс, получим: г(1 )Х = ПпСхг^ьСеЬ^л ЯрьуМек^в- Последнее равенство можно переписать в виде:
г{Ъ )Г11 = — дцвдхк,Свс^ь Е/зь-/сМл^х
и значит,
С^С^Щ^сши, (5)
что и даёт нужный результат. Кроме того, проведя в (5) следующие переобозначения индексов: в о к, [ЗЬ о еН, используя классические свойства тензора Римана-Кристоффеля,
рии:
г V1 $ х = г Х ¿IV,
(6)
откуда немедленно следует
Теорема 4. Эндоморфизм Римана-Кристоффеля НА0.а-многообразия вертикального типа индуцирует, симметричный эндоморфизм модуля базисных 2-форм этого многообразия.
Возникает естественный вопрос — когда эндоморфизм г сохраняет также модуль автодуальных форм многообразия? Мы уже знаем, что этот модуль в естественном соответствии отвечает келерову модулю многообразия, и, следовательно, вопрос можно переформулировать так: когда эндоморфизм Римана-Кристоффеля сохраняет келеров модуль многообразия?
Определение 7. Структурный пучок С НА0,а-многообразия вертикального типа назовем эйнштейновским, если на пространстве расслоения ВС
д^г^ъе = сдуе; С е С~(С).
(7)
Ясно, что если dim, М = 4, свойство эйнштейновости структурного пучка равносильно эйнштейновости многообразия М.
Теорема 5. Эндоморфизм Римана-Кристоффеля HAQa-многообразия вертикального типа сохраняет, келеров модуль многообразия тогда и только тогда, когда структурный пучок этого многообразия является эйнштейновским.
Доказательство. Утверждение теоремы, очевидно, равносильно следующему: эндоморфизм г сохраняет модуль Л+ (М) автодуальных форм НД2«-многообразия М вертикального типа тогда и только тогда, когда на М справедливы соотношения (7). Пусть ш е Л+(М). На пространстве В ( С) эта 2-форма характеризуется матрицей функций
) =
/ 0 —х —у —z\
х 0 —z —ay
у z 0 ах
\ z ау —ах 0 J
(8)
(9)
Следовательно, г(Л+(М)) с Л+(М) ^Уш е Л+(М) ^ г(?) е Л+(М), т.е.
1) (aroifij + )wfil = 0;
2) (aro2^1 — ri3p1 = 0;
3) (aro3i3~f — rnp-t= 0.
Далее, ш^1 = = ере1 и с учетом (8),
(^) =
Следовательно, соотношения (9) примут вид:
1) (аго101 + Г2301)ах + (агою2 + Г2302)ау — (агоюз + Г2зоз)г — — (агои2 + Г2312)г + (аг0113 + Г2313)у — (аго123 + Г2323 )х = 0.
Ввиду того, что это соотношение должно выполняться тождественно относительно х, у, г, получим
0 ах ау —Z
ах 0 —z У
■ау z 0 —х
z —У X 0
^0101 — т2323 = 0;
Г0102 + аг2302 + агоиз + Г2313 = 0; —агоюз — Г2303 — агои2 — г 2312 = 0.
откуда
Далее
2) ( аГ0201 - ri3oi)ax + (аго202 - г2зо2)ау - (аго2оз - Пзоз) z --(аго212 - ri3i2)z + (аго21з - Г131з)у - (аго22з - Г1з2з)x = 0;
Г0201 - апзо1 - аго22з + Г1з2з = 0;
Г0202 - Ггзгз = 0; (11)
-аГ020з + Г1зоз - аГ0212 + Г1з12 = 0.
3) (гозо1 - Г1201)ах + (агозо2 - г^02)ау - (гозоз - г^оз)? --(Гоз12 - Г1212) Z + (Гоз1з - Г121з)у - (гоз2з - Г1з2з)х = 0;
откуда
агозог — аг\2о\ — гоз2з + г\22з = 0;
агозо2 — аг\2о2 + гозгз — г\2\з = 0; (12)
—Гозоз + г 1212 = 0.
Сравнивая (Ю2) и (Н1), получим:
ГоЮ2 + Г1з2з = 0; Г2зо2 + Гоиз = 0. (13)
Аналогично, сравнивая (10з) и (12г), (11з) и (122), получим, соответственно:
агои2 + гоз2з = 0; агоюз + П22з = 0; (14)
аго212 — гозгз = 0; аго2оз — гтз = 0. (15)
Равенства (13)-(15) можно переписать в виде:
гою2 + ггз2з = 0; гюгз + Г2о2з = 0; —агюи + гзоз2 = 0; гоюз — аг212з = 0; аг2о21 — гзозг = 0; Го2оз — аг 121з = 0;
или д^гр1&€ = 0, т.е. д^гр^€ = сд1€ (^ = е).
Утверждается, что система оставшихся равенств
^оЮ1 = Г2з2з; Го2о2 = Пз1з; ^озоз = Г1212 (16)
равносильна соотношениям
9^ = ,
т.е.
gpSrposo = -ад^грш = -адр5гр252 = д^грзбз,
т.е.
-arww - аг2020 + гзозо = -arow1 + г2121 - аг;цз1 = = -аГ0202 + г 1212 - аТ'з2'з2 = Гозоз - аГ1з1з - аГ2з2з. (17)
В самом деле, сравнивая первое и четвертое выражения в (17), получим:
^1010 + Г2020 = Г 1з1з + Г 2з2з.
С другой стороны, сравнивая второе и третье выражения в (17), находим, что
^1010 — т2020 = -^1313 + r2323,
откуда
^1010 = ^2323', Г2020 = Г1313. С учетом этого, сравнивая первое и второе выражения в (17), находим, что
-аГ2020 + Г3030 = Г2121 - аГ2020,
Т.е. Г3030 = Г1212-
Очевидно, что справедливо и обратное. Объединяя эти результаты, получим, что gß& Г fr Se = сдуе.
Обратно, из сказанного выше следует, что выполнение этих условий равносильно (13)-(16), которые, как мы видели, равносильны (9) в силу (8), т.е. инвариантности модуля Л+(М) относительно эндоморфизма г.
Следствие 1. Четырёхмерное многообразие с римановой либо нейтральной псевдорима-новой метрикой является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда его модуль автодуальных форм инвариантен относительно эндоморфизма Римана-Кристоффеля.
4. Заключение
В работе доказано, что эндоморфизм Римана-Кристоффеля эрмитова почти а-кватернион-ного многообразия вертикального типа сохраняет келеров модуль многообразия тогда и только тогда, когда структурный пучок этого многообразия является эйнштейновским. А значит, четырёхмерное многообразие с римановой либо нейтральной псевдоримановой метрикой является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда его модуль автодуальных форм инвариантен относительно эндоморфизма Римана-Кристоффеля.
Этот результат показывает, что доказанная нами теорема 5 является широким обобщением теоремы Атьи-Хитчина-Сингера, дающей критерий эйнштейновости 4-мерных римановых многообразий в терминах автодуальных форм [1], поскольку само обобщает эту теорему на случай нейтральной псевдоримановой метрики.
С другой стороны, теорема 5 тесно связана с известным результатом Берже [2], который уточняет её в частном случае кватернионно-келеровых многообразий: если многообразие M кватернионно-келерово, то его риманова связность (а не только оператор Римана-Кристоффеля) сохраняет келеров модуль многообразия. В этом случае M является многообразием Эйнштейна.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Atiyah M. F., Hitchin N.J., Singer M. Self-duality in four-dimensional Reimannian geometry // Proc. Roy. London. 1978. Vol. 362, No. 1711. P. 425-461.
2. Berger M. Remarques sur le groupe d'holonomie des variétés Riemannienes // C. R. Acad. Sei. Paris. 1996. Vol. 262. P. 316-318.
3. Жевлаков К. А., Слинько A.M., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978. 431 с.
4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990. Том 2. 703 с.
REFERENCES
1. Atiyah, M. F., Hitchin, N.J. k, Singer, M. 1978, "Self-duality in four-dimensional Reimannian geometry", Proc. Roy. Soc. London, vol. 362, no. 1711. pp. 425-461.
2. Berger, M. 1996, "Remarques sur le groupe d'holonomie des variétés Riemannienes", C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 262, pp. 316-318.
3. Zhevlakov, K.A., Slinko, A.M., Shestakov, I. P., Shirshov, A. I. 1978. "Rings that are nearly associative", Moscow, Nauka, 431 p.
4. Besse, A.L. 1987, "Einstein Manifolds", Springer, vol. 2, 703 p.
Получено 23.08.2021 г. Принято в печать 27.02.2022 г.
