CC BY
7
УДК: 004.8, 007.5, 330.1
Соловьёв А.С. пенсионер Россия, г. Ростов-на-Дону
ОСНОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО В ЗАДАЧАХ
РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ
Аннотация: В работе предлагается метод оценки состояния иерархических многоуровневых систем, находящихся в стационарном состоянии, исходя из методов анализа основного метрического тождества.
Ключевые слова: нейронная сеть, категории, волновая функция, эталон, количество, качество, мера.
Sloviev A.S. pensioner Russia, Rostov-on-don
BASIC MATHEMATICAL IDENTITY IN PATTERN RECOGNITION
PROBLEMS
Annotation: The paper proposes a method for assessing the state of hierarchical multilevel systems in a stationary state, based on the methods of analysis of the basic metric identity.
Key words: neural network, categories, wave function, standard, quantity, quality, measure.
Рассматриваются многоуровневые иерархические структуры [1], представляемые как сети со множеством узлов (множеством объектов Ob) и множеством их связей (морфизмов H), т.е. малые категории[2]
К = (ОЬ,Н).
(1)
Звено такой сети изображено на рис .1, на котором представлены два состояния: рис. a) и рис. ^^де a1, b'eOb, hlfH;i, j = 0, 1, 2.
Рис. 1. К сравнению звена иерархической структуры.
do = rt" "it Ьь = 6"
rt! = rt1 Vi n; = (f 4J: b\ - Й1 'Л bi - b;
Я) b)
Из рис. 1 видим, что каждый узел сети характеризуется своей собственной функцией ¥ и отличается только своим собственным значением а1, а состояния а) и Ь) отличаются только амплитудами объектов. Функцию ¥ определим как волновую функцию[3] соответствующего узла системы в стационарном состоянии [4].
Амплитуды объектов - числовые характеристики. Будем полагать, что числовыми величинами являются и связи между узлами, т.е. на категории (1)задаётся функтор и каждое состояние определяется своим функтором
А = А(К),= (А(ОЬ),А(Н)), В = В(Х) = (В(ОЬ),В(Н)). (2)
Полагаем, что на данных категориях каждый узел определяется левым модулем, например, для рис. 1 а)
*о = + д0а.2 = д1а1У1 + д^а2Ч/2 (3)
Заданные операции (2) и (3) на множестве узлов сети образуют линейное метрическое пространство (метрический линеал[5, стр. 15]) с мерой, определяемой внутренним произведением
р(а0 ц) = а{ • а], (4)
индуцируемой гомоморфизмом
2
0(ад = щ2 = (а1) . (5)
Гомоморфизм (5) характеризует скалярную оценку узла. Из соотношений (3) и (5) следует представление результирующей волновой функции в виде
Уо = пУРг + ^2 = (6)
где для пропускной способности соответствующей связи (как доли в формировании единицы амплитуды результирующего свойства), введено обозначение
< = Чо-Ъ= ^ (7)
Собственные функции являются базисом метрического пространства в области сравнения достаточно близких к фиксированному состоянию состояний, которые отличаются только их собственными значениями.
Воспользуемся аддитивной связью между тензорным аЬ, внутренним и внешним аЛЬ произведениями векторных величин
аЬ = а - Ь + а ЛЬ. (8)
Произведение (8) можно записать скобкой процедуры Кэли-Диксона, полярной формой
аЬ = (а-Ь,алЬ) = \\аЬ\\и, (9)
где величина
и = еыв (10)
является унитарным кватернионом. Здесь «единичный вектор представления аЛЬ = |аЛЬ|и, а аргумент равен
в = аг«д^. (11)
Заметим, что выражение (8) суть "аксиоматическое изложение евклидовой геометрии" [6, стр. 70] и представляет аддитивное расслоение линеала в евклидову и симплектическую структуры, а свойства гомоморфизма (5) сводит его к теореме Пифагора - к равенству
Б(аЬ) = Б(а • Ь) + Б(а Л Ь), (12)
являющееся основным метрическим тождеством [7] материального мира, с мультипликативным представлением
Б(аЬ) = 0(а)0(Ъ). (13)
Любая управляемая сеть - сеть прямого распространения [8]. Рассмотрим дихотомическую структуру с одним промежуточным срезом, рис. 2. К таким структурам можно отнести искусственные нейронные сети подобные сетям Хопфилда и Хемминга [9]. Следуя [10], отметим, что при любом сравнении в той или иной форме всегда присутствует эталон. "Основное назначение эталона состоит в том, что содержащаяся в нём информация определённого типа служит для оценки аналогичной информации в других объектах. ... Эталоны могут выбираться или назначаться извне и ни один их них может не принадлежать множеству рассматриваемых объектов".
/А
л) Ь)
Рис.2. К сравнению дихотомический сетей.
Как видим, бинарное соответствие состояния а некоторого объекта с состоянием выбранного эталона Ь при анализе удобно представить тензорным произведением аЬ, при этом полагая состояние эталона нормированным, ||Ь|| = 1. Вытекающее из такого представления расслоение (8)чётко выявляет две "надлежащие универсальные характеристики фундаментальных структурных элементов материи на каждом данном уровне её самоорганизации", [11 стр. 44], - качество и количество, где качество характеризуется волновой функцией рассматриваемого элемента данной сети, или её агрегатным значением, а количество определено амплитудой данной волновой функции в той же агрегации.
Не нарушая общности изложения анализа, для упрощения, положим напряжённости связей сети равными единице. Определим в каждом проекционном пространстве координаты результирующих элелентов. Приотображении а, Ь ^ М2 имеем: а = а' = [а1; а2], Ь = Ь' = [Ь1; Ь2]. При а, Ь ^ М4 имеем: а = а" = [а3; а4; а5; а6], Ь = Ь" =[Ь3; Ь4; Ь5; Ь6]. При этом с
промежуточного среза получаем те же оценки что и с нижней границы. Из тождества (12)находим
ab = ^6к=з(акЬк + %f=k+1(akbl - albk)Wk Л Wl). (14)
Если рассматривать многослойную сеть с модульной структурой, то видим, что каждый узел формирует подмодуль. Пусть сеть a имеет n =\N\ слоёв. Зафиксируем два среза i, jeN с индикацией узлов подмножествами N NcN. На i-срезе выделим m-узел. Пусть он описывается величиной am= am¥m, meNi. Предположим, что нормированная сеть (сеть стандартного вида) b, D(b) = 1, служит её эталоном. Выражение (14) в общем случае принимает вид
ambm = 'ZneNj(m)[anbn + Zk>n(anbk - akbn)Wn Л Wk]. (15) Здесь Nj(m) определяет множество индексов элементов j-слоя смежных m-узлуг-слоя. При учёте пропускной способности связей узлов сети в предыдущем выражении оценки модуля сделаем подстановки
an ^ bn ^ täb71 =
с учётом мультипликативного свойства связей
, xn _ гтт-n , .n+i _ гтт-n ,nn+i _ ,nk _ л
um = üi=o um , Фт = Hi=0 Фт , uk = Vk = 1 (16)
В заключение заметим, что подобные сетевые задачи возникают в задачах таксономии, идентификации и классификации, в анализе и обработки данных [12, 13], в задачах физической химии [14], в частности, возникают в теории старения органических соединений. Место им найдётся и в теории старения организма [15]. Их место в интеллектуальных информационных системах [16] естественно.
Использованные источники:
1. Месарович М., Мако Д., Тахакара И. Теория многоуровневых иерархических систем // М., Мир, 1973.
2. Новиков Б.В. Теория категорий //Луганск, 2004.
3. Соловьёв А.С. К корпускулярно-волновой интерпретации материи //"Экономика и социум", №2(33), 2017. www/iupr.ru
4. Постников М.М. Аналитическая геометрия //М., Наука, 1986.
5. Арнольд В.И. Теория катастроф //М., Наука, 1990.
6. Соловьёв А.С. Основное метрическое тождество //"Экономика и социум", №12(55), 2018, www.iupr.ru
7. Соловьёв А.С. Основной метрический треугольник в анализе чувствительности управляемых сетей //"Экономика и социум",№10(65), 2019, www.iupr.ru
8. Короткий С. Нейронные сети Хопфилда и Хэмминга //http://masters.donntu.org/2018/fknt/shumskyi/library/article5.pdf
9. Кузьмин В.Б. Эталонный подход к получению нечётких отношений предпочтения /Нечёткие множества и теория возможностей. Последние достижения. Под редакцией Р. Ягера//М., Радио и связь, 1986.
10. Идлис Г.М. Единство естествознания по Бору и единообразные взаимосвязанные периодические системы физики, химии, биологии и
психологии /Исследования по истории физики и механики, 1990 //М., Наука, 1990.
11. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен //М., Мир, 1976.
12. Фор А. Восприятие и распознавание образов М., Машиностроение, 1989.
13. Бек М., Надыпал И. Исследования комплексообразований новейшими методами //М., Мир, 1989.
14. Романов В.П. Интеллектуальные информационные системы в экономике //М., «ЭКЗАМЕН», 2007
