CC BY
3
УДК 591.816, 530.1, 316
Соловьёв А. С. Россия, г. Ростов-на-Дону
ОСНОВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО НА БИНАРНЫХ СООТВЕТСТВИЯХ В АЛГЕБРЕ КЛИФФОРДА
Аннотация: устанавливается связь метрических отношений на основе алгебры Клиффорда с элементами квантовой механики, которые предлагаются для решения проблемы в теории статистических индексов.
Ключевые слова: основное метрическое тождество, средние величины, мера, качество, количеств.
Soloviev A. S.
Russia, Rostov-on-don
BASIC METRIC IDENTITY ON BINARY CORRESPONDENCES IN
THE CLIFFORD ALGEBRA
Abstract: a connection is established between metric relations based on the Clifford algebra and elements of quantum mechanics, which are proposed to solve the problem in the theory of statistical indices.
Keywords: basic metric identity, average values, measure, quality, quantity.
Предметом работы являются бинарные соответствия [1] z = (x, y) многомерных массивов x, y EM, определённых на поле K (действительных R или комплексных С чисел), которые рассматриваем в виде соответствующим образом структурированных векторов евклидового пространства E|N|, в ассоциированной алгебре Клиффорда с делением так, что, если g = x0y = xy E ^|N|, то он представляется кватернионом в виде суммы внутреннего и внешнего произведений исходных массивов
д = х • у + хлу = х • у + in\x х у\, (1)
где n - единичный вектор.
Из теоремы Рисса следует, что во внутреннем произведении выражение х • определяет линейный функционал как изометрический
линейный оператор х •: EINI ^ (Eini) , который элемент x EEn отображает в сопряжённый элемент x* эрмитово сопряжённого пространства (E|N|)*, порождающий на евклидовом пространстве функционал
D(x) = х2 = х* х (2)
и аддитивный гомоморфизм g* на независимых составляющих равенства (1)
D(g) = д*д = д2 = D(x • у) + D(xAy). (3)
Заметим, что не нарушая общности изложения, представленный здесь выражением (2) функционал осуществляет полную свёртку массива х, но, с использованием его внутренней структурной особенности, легко записать различные схемы оценок на его внутренних свёртках. Более того, сам элемент (1) можно интерпретировать как бинарное соответствие массивов gl и g2 е^, g = glg2 е ^
Равенство (3) представляет метрическое тождество. Рассмотрим каждый его член. Возьмём первое слагаемое правой части. Будем полагать, что все компоненты массива х отличны от нуля. Тогда это слагаемое можно записать в виде
й(х^у) = 02(хШкемак2гк)2 = Я2(х)^2(г), (4)
где введена линейная мера взвешенной суммой относительных координат массива у:
= \\2\\ь = Ёке№ск7'2к' Ёкемак2 = 1, (5)
_ Ук _ хк
Zk = xfe, ак = е(хУ о(х) = ^й(х).
Аналогично находим
Э(хлу) = Р2(х)^к<1ем - гг)2 = Э2(х)^52(г), (6)
= Лк<1ем ака1(гк-г1)2, (7)
и
Я (д) = Я (ху) = Р (х)Р(у) = Р2 (х)^К2 (г), (8)
^Ь2(г) = \\г\\Ь2 = ТЁ^ёТ^2? • (9)
Здесь предполагается, что массив х еМ полный, т.е. все его элементы отличны от нуля. Этот массив формирует подпространство Мх с М бинарного соответствия элементов, при котором за базу сравнения принимается эталон - элемент х, и в построенном с помощью его отображением /х: Мх ^ 2х относительном пространстве 2х формируется единичный массив ех, качественно подобный массиву х и являющийся единицей измерения этого качества в соответствующих элементах г = (гк = уи /хи, к е N х,у е Мх с М) е 2х с 2 , приведённого пространства 2х в окрестности эталона е = ех. Таким образом множество М вместе со счётным набором подмножеств Мх с М, называемых координатными картами, обращается в ^-мерное многообразие. При этом из того, что карты Мх при заданном атласе <А покрывают множество М, следует
(10)
При фиксировании элемента х е М выделяется подмножество соответствующих элементов у еМх, для образов которых г ё2х справедливо основное метрическое тождество (ОМТ), которое запишем в виде
^22г = ^ь2г + ^52г. (11)
Это уравнение окружности радиуса С г = ^^г с катетами Аг = и В г = . Фиксируя горизонтальную ось катетом Аг и рассматривая меры
как операторы, заключаем, что оператор А характеризует меру трансляции, а оператор В - меру вращательной симметрии массива у по отношению массива х. Выбор элемента х Е М определяет выбор масштабной количественной и качественной единицы на многообразии М. Он же определяет выбор масштабной единицы ех на приведённом многообразии 2 как диагонали единичного куба [0, 1]^.
Если рассматривать равенство (11) как операторное уравнение и ввести эрмитово взаимно сопряжённые операторы
С = А + 1В, С* = А* - 1В*, (12)
то приходим к волновому представлению оператора С в полярной форме
С = р¥, С* = ¥*р*, (13)
о
р = (А2 + В2), ¥ = в**, -ф = агсгд-, 0<ф <2п, (14)
А
интерпретация которого представлена на рис. 1.
Рис. 1. К представлению метрического оператора оценки сравнения
массивов.
Пусть г = ¥(0) и с = С2. Тогда ОД = г2 = ¥*¥ = 1, г = е и
С = С¥ = р(2)¥(2). (15)
Здесь единичный вектор е "растягивается" до величины р, что соответствует росту объёмной характеристике, и поворачивается против часовой стрелки на угол что, в свою очередь, отвечает изменению его качества - изменению в его структуре.
Что же такое " качественные изменения"? Качественный показатель определяется собственной функцией состояния массива ¥(£). Если эта функция не меняется при изменении объекта, то меняется только объёмная характеристика - собственное значение р. Из (14) и (15) следует, что угловая характеристика = 0. Отсюда находим, что оператор В = 0, что отвечает равенству нулю симплектической меры (7), т. е. для всех к, I Е N имеют место равенства 2к - 21 = 0. Приходим к соотношениям
* = * = = » = (16)
Х1 Х2
Следовательно, при достоверном качественном сходстве у = Ах. (17)
Структурные сдвиги нарушают пропорции компонент массивов. Чем больше структурные сдвиги, тем больше в равенстве (11) симплектическое слагаемое относительно линейной оценки. Тем меньше качественное сходство в единицах выбранного эталона а Е<ЛПМ. А поскольку сравнение допустимо только в определённых качественных пределах, то множество Ма, очевидно, определено границами, при выходе за которые сравнение становится невозможным и нужно переходить к новому эталону Ь Е <АПМ при сопоставлении, что определяет новую координатную карту МЬ (%Ь: М ^ МЬ) с возможностью перехода в области их пересечения МаПМЬ, определяемой композицией °Ха в виде функции
ХьоХа: Ха(МаПМЬ) ^ хь(МаПМь). (18)
Предположим, что объект рассматривается в области О карты 2а и
¡а ЯОТ^ = 1. (19)
Тогда из уравнения (15) находим интегральную оценку эволюции объекта в рассматриваемой области [2, формула (2.1), стр. 19]
р = ¡а (20)
В ОМТ (11) определяется связь между средними линейными и квадратичными оценками. Именно первые средние легли в основу статистической теории индексов Фишера-Конюса [3, 4], ряд проблем которой до настоящего времени "не имеет ясного экономического содержания" [5]. Возможно, именно связь этой проблемы с методами квантовой механики позволит прояснить возникающие проблемы.
Использованные источники:
1. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений //М., Наука, 1989.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, т.3 //М., Наука, 1989.
3. Кёвеш П. Теория индексов и практика экономического анализа //М., Финансы и статистика, 1990.
4. Ершов Э.Б. Ситуационная теория индексов цен и количеств. М.: РИОР, 2011.
5. Иванов Ю.Н. О некоторых базовых положениях теории цен //Вопросы статистики, 2018, Т. 25, №7, с. 23-30.
