CC BY
2
УДК: 311.14, 530.145
Соловьёв А. С.
Россия, г. Ростов-на-Дону
ОСНОВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО В ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ СТАТИСТИКИ
Аннотация: предлагается теория построения индексов статистики на основе оценки действия в фазовом пространстве при волновой интерпретации состояния наблюдаемой на примере индекса Ласпейреса.
Ключевые слова: основное метрическое тождество, статистические индексы, структурные сдвиги, функция потребления, состояние, наблюдение.
Soloviev A. S.
Russia, Rostov-on-don
A BASIC METRIC IDENTITY IN THE THEORY OF INDEX
STATISTICS
Abstract: we propose a theory for constructing statistical indices based on the evaluation of the action in phase space with the wave interpretation of the state of the observed on the example of the Laspeyres index.
Keywords: basic metric identity, average values, measure, quality, quantity.
Толкование используемых в практике экономического и социального анализа индексов статистики приводит к ряду глубоких и принципиальных выводов [1, с. 15], в частности таких, как понятия состояния объекта (наблюдаемой) на основе потенциальной возможности и информации, когда во взаимные отношения вступает наблюдаемая и наблюдатель, посредством которых появляются относительно наблюдателя описание состояния наблюдаемой, т.е. информация об объекте наблюдения и потенциальная возможность наблюдателя как существенный элемент описания, а не как признак неполноты знаний.
Индекс - это обобщающий показатель отношения двух различных состояний xi и x2 наблюдаемой из некоторого множества её допустимых состояний X по некоторому общему для них качеству, выступает в роли оценки их относительной динамики. Его понятие опирается на принцип суперпозиции состояний, так, что если данные состояния достоверно наблюдаются, то допустимо наблюдать и состояние x = с1x1 + C2X2 (с1, с2 -действительные постоянные), который в физической теории положен в основу построения квантовой механики [2].
Трудность построения индексов статистики состоит в том, что любое состояние наблюдаемой - суть качественно р определённое количество д, которое представляется в обычной форме, например, "тысяча и одна ночь", "десять рублей" и т.п. В последнем случае описание состояния носит экономическое содержание и часто воспринимается как цена р услуг, представленных количеством д, где цена выступает в роли оператора, действующего на количественную характеристику,
х = щ. (1)
Формула (1) подкупает билинейной структурой и воспринимается как обычное действительное число. Поэтому, если это состояние рассматривается в качестве состояния некоторого объекта в текущий момент времени состояние которого в момент времени ¿0 определялось величиной
Хо = рдо, (2)
то состояние (1) относительно его прошлого состояния (2) оцениваем относительным показателем (например, индексом Ласпейреса)
1ч=^ = к (3)
л0
и считаем, что состояние объекта улучшилось (ухудшилось) в к раз
х = кх0. (4)
Следует отметить, что величина д определяется количественной последовательностью определённой товарной группы, которую рассматриваем как вектор конечномерного действительного пространства Q с Кп. Но в представлении (3) форма (1) определяет скалярную величину и рассматривается как скалярное произведение. Данный факт отметим обозначением
х = р*д. (5)
Здесь р* будет элементом пространства цен Р, которое также является пространством действительных чисел, Р с Кп, но является сопряжённым пространству состояний товарных последовательностей Q, т.е. Р* = Q, Q* = Р. Поэтому выражение (5) становится мерой в евклидовом пространстве Еп.
Множители в (5) являются векторами. Известно, что векторы характеризуют количество определённого качества. Поэтому при переходе из состояния х0 в состояние х следует учитывать качественное изменение, что скалярная величина (5) не отражает, а, следовательно, не учитывает данных особенностей и их отношении
г(х) = рЦ. (6)
Р*Ч0 v }
Формы (1) и (5) отражают разные свойства бинарного отношения (д, р). Если форма (5) даёт скалярную оценку состояния на бинарном отношении (д, р), то форма (1) определяет состояние объекта как функцию (например, потребительскую функцию) на множестве бинарных отношений
х = х(д, р) = Х(д1, д2, ..., дп, р1, р2, • • •, рп). (7)
При этом, согласно экономическому смыслу, цена отвечает импульсу продаж и в форме (1) первый множитель можно рассматривать как оператор импульса продаж p Е P: Q ^ X, где X - пространство состояний объекта. Следовательно, функция (7) описывает динамику состояния в фазовом пространстве Q xP.
"В течение многих десятилетий эксперты в области теории индексов исследуют и обсуждают достоинства и недостатки различных формул индексов цен и количеств с точки зрения аксиоматической теории И. Фишера и экономической теории А. Конюса [3, 4]. Цель этих дискуссий и исследований состоит в определении такой формулы индекса, которая обеспечивает наибольшую точность измерения динамики экономических процессов" [5]. Поскольку и цена, и товар являются качественно определёнными количествами, то данные обсуждения возможны только при определённом консенсусе, так как произведение (1) в определении (7) характеризует количество определённого качества, а их сравнения, как качественно различных величин, как в форме произведения, так и в форме отношения, возможно только в определённых границах качественного подобия с заданной погрешностью.
Запишем состояние (1) в виде упорядоченной пары чисел процедуры Кэли-Диксона
х = (a, b) = a + inb = ||х||^(х), (8)
где введены обозначения:
a = p*q, b = inb = pAq, \n\ = 1, (9)
¥(x) = ein^x\ щ(х) = arcrtg (b/a), b = \pxq\. (10)
Если на множестве состояний X определить функционал
Ъ(х) = х2 = х*х = (a,b)(a, b), ( а, b) = (a,—b), (11)
и для его реальной части ввести обозначение
c2 = D(x) = Re(S(x)) = p2q2 = o2(x), (12)
то приходим к основному метрическому тождеству [6, формула (11)]
a2 + b2 = c2. (13)
Из (13) находим меру для линейной оценки связи бинарного соответствия представления состояния (7) в фазовом пространстве Re x = а = Vс2 — b2 = с cos -ф. (14)
При этом a = c, исходя из экономического смысла, только в случае, когда p = kq, т.е. в случае пропорциональности цен объёмам продаж. Отсюда находим индекс продаж в форме Ласпейреса
. ^ ч Rex а |о| cosф ,,
La(x) =-= — = ^-—. (15)
4 Rex0 а0 |q0| cos^0
Естественно, что этот индекс не единственный и даже его можно модифицировать. Модифицированный индекс построим по формуле LJx) =Re- = -^~ Re еКп(хЖх)-п(Х0Жх0)) q6)
Вводя обозначение для результирующего вектора
(19)
т(х,х0)<р(х,х0) = п(х)-ф(х) — п(х0)-ф(х0), \т\ = 1, (17) будем иметь
Х,(х)=^С05^ (18)
Здесь п(х) и п(х0) градиенты к интегральным поверхностям потребительских возможностей в векторном поле X в соответствующих точках х0 и х. В случае, если данные векторы сонаправлены, то выражение (18) принимает вид
м
\Чо\
Предположим, что состояние х0 служит базисом сравнения при не убывании объёмов продаж > \^0\. Здесь возможны два случая:
• Состояние х0 служит целью спроса, т.е. неуклонного повышения качества продукции. Тогда из (15) и (19) следуют неравенства
£я(х) < 1ч(х) < Ач(х), Ая(х) = \q\f\qo\. (20)
• Состояние х0 служит базисом развивающейся экономической системы. Тогда из (15) и (19) получаем
1ч(х) <£ч(х) < Ая(х). (21)
Последнее согласуется с эффектом Гершенкрона.
Использованные источники:
1. Фок В.А. Начала квантовой механики //М., 2007.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, т.3 //М., Наука, 1989.
3. Кёвеш П. Теория индексов и практика экономического анализа //М., Финансы и статистика, 1990.
4. Ершов Э.Б. Ситуационная теория индексов цен и количеств. М.: РИОР, 2011.
5. Иванов Ю.Н. О некоторых базовых положениях теории цен //Вопросы статистики, 2018, Т. 25, №7, с. 23-30.
6. Соловьёв А.С. Основное метрическое тождество на бинарных соответствиях в алгебре Клиффорда //"Экономика и социум", №10(77), 2020.
