CC BY
5
УДК 514.75
Н. А. Елисеева
(Калининградский государственный технический университет)
ОСНАЩЕНИЕ В СМЫСЛЕ Э. БОРТОЛОТТИ М-ПОДРАССЛОЕНИЯ ПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Построено оснащение в смысле Э. Бортолотти оснащающего М-подрасслоения Л(П)-распределения. Найден охват, при котором оснащение Бортолотти гиперполосного распределения Л(М) равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа Н(М).
Ключевые слова: гиперполосное распределение, оснащение Картана, оснащение Бортолотти.
В работе используется следующая система индексов:
I, K = 0, п ; I, K = 1, п ; p, q, s, t = 1, г ; i, у, k = г +1, m; a,b,c = 1,т ; а,р,у,е = т + 1,п -1; ; ,д = {[,г;т + 1,п -1).
Пару распределений соответственно г -мерных плоскостей Л (Л -распределение) и т -мерных плоскостей М (М-распределение) проективного пространства Рп с отношением
инцидентности X еЛс М (1 < г < т < п -1) их соответствующих элементов в каждом центре X назовем т -полосным распределением П, в котором Л -распределение назовем базисным, а М-распределение — оснащающим распределением. П-распределение, оснащенное полем гиперплоскостей Н, назовем Л(П)-распределением [1].
Определение. М-подрасслоение назовем оснащенным в смысле Э. Бортолотти [2], если каждому центру А0 подмно-
гообразия М поставлена в соответствие гиперплоскость Бп1 (А0), не проходящая через точку А0.
Гиперплоскость Бп-1(А0) задается уравнением:
у0+¿0ха+л0хп - х0 = 0.
Компоненты полей объектов {у°}, {р°а}, {у°, ла,//}, определяющих гиперплоскость Бп-1(А0), удовлетворяют уравнениям:
= УКюК, Ул°а +< = л>К, (1)
т-70 0 а 0 а , 0 0 К
VЛ„ -ЛаЮ п -УаЮ а + Юп = Л„КЮ0 .
Охват Л°а = М"0, где
ма =- -1 Лааа , УМ°а +К = М0к®К , т
равносилен тому, что оснащающая гиперплоскость Бп-1(А0) проходит через первую ось Кёнигса [3] 8п-т-2(А0) подмногообразия М.
ёв/ _ ёв/ ёв/
Обозначим V,0 =-Л0Х, м К =Л»М0у, У°п = //. Используя инволютивное преобразование J : юК [1], получим, что система уравнений (1) равносильна следующей:
м - м:ю: + мап юаа+ю = м^к, у - V ю+уъпШ:+юа=УЮ ,
1—0 , —0 /—0 —п\ , —Ь—0 , Т7а— 0 , —0 —0 —К ёУп + Уп(ю0 - Ю) +УьЮЬ + мп Юа + Юп = УпКЮ0 .
Функции м К, УК , У К имеют следующие строения:
(2)
м а=лм, м а=л^ма - ма лп лпса),
мрпп = ма ла:л:(лпсал"тла:-лпсп)+ла(ма - мал^у,
50
у = ,,0 у0 = № - \ас\" №
у па г1па ' "иа Ипа п саг1 па '
V«0« = №п - ККп№1 - л;\аа №1 - \ас\пса№1);
у = -ЛУ1, у = -ЛЧ - улрл\, у = -ЛУ1 - клрл; - улплпт - у:ЛплРп.
Из уравнений (2) заключаем, что оснащение в смысле Э. Бортолотти распределения Л(М) (М-подрасслоения Л(П)-распределения) полем гиперплоскостей Вп-1 определяет поле
плоскостей 8п-т-1(Д,) размерности т , оснащающих в смыс-
ле Э. Картана двойственное подмногообразие Н(М) в Рп . Это поле задается полями объектов {Упа}, {Упа, Мп/7,Уп0} и {у0}.
Поле плоскостей 8п-т-1(Д,) определяется неоднозначно потому, что квазитензор у,
у + У,0®;0 - ужа + щ0 = у°вкшК, (3)
двойственный квазитензору У,
Уу°0 +ф°0 =у()к®К,
можно охватить не единственным образом. В частности, уравнениям (3) удовлетворяют компоненты квазитензора
М0 = л;м;, (4)
при этом
м;а=лпоМ1, м0а=лпоо(м;а - м; лаплпЪа),
м°0„ = м;аласлпоо(лпСалпЕплап - лпсп) + лпоо(м;п -м;,л"тл*).
Так как охват у, = м, определяет поле первой оси Кенигса [£0] = 8п-т-2(Д) е Еп-т-1(Д) М-подрасслоения, то по двой-
ственности охват (4) определяет поле (т +1) -мерной инвариантной плоскости Ят+1, содержащей в каждом центре А0 текущий элемент базисного М-подрасслоения: мт ^ Ят+1. Плоскость Ят+1(А0) , по аналогии с плоскостью Яп-т-2(А0), назовем второй осью Кёнигса [4] М-подрасслоения в его центре А0.
Плоскость Картана Яп-т-1 двойственного подмногообра-
зия ^(М) при охвате (4) есть т -мерная плоскость Ят (А0), содержащаяся во второй оси Кёнигса Ят+1(А0) , а именно
Ят (А0) = Бп-1 (А0) ^ Ят+1(А0), при этом плоскости Ят (А0) и
мт (А0 ), принадлежащие второй оси Кёнигса Ят+1 (А0 ) , пересекаются по нормали второго рода Ят-1(А0) . Таким образом, справедлива [4]
Теорема. При охвате (4) оснащение в смысле Э. Бортолот-ти гиперполосного распределения Н(М) полем гиперплоскостей Бп-1 равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственно-
го образа ^(М) полем т -мерных плоскостей Ят, принадлежащих полю вторых осей Кёнигса распределения Н(М).
Отметим, что оснащение М-подрасслоения в смысле Э. Бортолотти влечет за собой его оснащение полем нормалей второго рода . И обратно: если на М-подрасслоении задано поле нормалей второго рода у°а, то такое оснащение подмногообразия М определяет его оснащение в смысле Э. Бортолотти, ибо в качестве одного из возможных охватов функции л/ можно взять
йв/ 1 I А
т
л/=-льа у, -УаЧ0)+мама,
при таком охвате функции Лп0 оснащающую гиперплоскость Бп-1(А0) назовем гиперплоскостью Кёнигса [4] нормали .
Список литературы
1. Елисеева Н. А. Н(П)-распределения проективного пространства. Калининград, 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН, № 206-В2002.
2. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alla geometria metrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1933. Vol. 3. P. 81—89.
3. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. 1975. Т. 7. С. 117—151.
4. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: монография. 2-е изд. Чебоксары, 1994.
N. Eliseeva
THE EQUIPMENTS IN E. BORTOLOTTI'S SENSE OF M-SUBBUNDLES OF STRIP DISTRIBUTION
For M-subbundles of Н(П)-distribution the equipments in E. Bortolotti's sense are constructed.
УДК 514.756.2
Т. В. Зверева
(Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары)
О ПРОСТРАНСТВЕ КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ НА КАСАТЕЛЬНО ОСНАЩЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА
Получено пространство конформной связности Ст т без кручения, индуцируемое касательным оснащением полем т -сфер [Ра ] многомерной поверхности Ут конформного пространства Сп.
Ключевые слова: конформное пространство, оснащение поверхности, связность.
