CC BY
42
УДК 539.3
ОСЕВОЕ СЖАТИЕ ОРЕБРЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Т. В. Бурнышева
В статье рассматривается задача расчетно-теоретического анализа напряжений в оребренных обо-лочечных конструкциях с учетом обшивки. Предложена двухуровневая математическая модель, основанная на аналитическом решении идеализированной задачи и получении поправок путем полного дискретного моделирования оребрения конструкции и обшивки. Практическая значимость полученных результатов заключается в построении методики расчета напряжений в конструкциях типа ферм, состоящих из коротких стержней из композиционных материалов.
The problem of settlement and theoretical analysis of background stress in the ribbed shell structures with the presence of plating. We propose a two-level mathematical model based on analytical solution of the idealized problem and obtaining the amendments by the full discrete simulation finned construction. The practical significance of the results is to construct a methodology for calculating the stresses in structures such as trusses, consisting of short rods of composite materials.
Ключевые слова: ферменные конструкции, композиционные материалы, фоновые напряжения, напряженно-деформированное состояние, концентрация напряжений, дискретная модель.
Статическое деформирование композиционных оребренных конструкций с регулярной системой спиральных и кольцевых ребер наиболее точно описывается моделями, учитывающими дискретность системы ребер. В работах [1, 2] рассматривалось однородное напряженное состояние оребренных структур без обшивки; в [2] полученные численные результаты подтверждены данными экспериментальных измерений, в [3] получены аппроксимирующие аналитические оценки напряжений и деформаций и поправочные коэффициенты. Однако наличие обшивки, даже весьма тонкой, существенно изменяет напряженно-деформированное состояние ребер сетчатой оболочки. В настоящей статье оце-
нивается степень влияния обшивки на напряженно-деформированное состояние системы ребер и конструкций в целом.
Учет жесткости обшивки в безмоментном приближении: аналитические результаты
Для получения аналитических оценок напряжений и деформаций оребренной оболочки с обшивкой рассмотрим структурный элемент оребренной оболочки, состоящий из отрезка спирального ребра, половины отрезка кольцевого ребра и прямоугольника обшивки (рис. 1).
I >
H
<----->
Рис. 1. Структурный элемент сетчатой оболочки
<h
Энергия деформации растяжения-сжатия ребер в безмоментном приближении может быть найдена интегрированием работы продольных сил в сечениях ребер по их длине. Поскольку каждое ребро примыкает к двум соседним треугольникам, будем включать в энергию деформации ячейки работу продольной силы только в половине сечения ребра. Тогда энергия деформации ячейки
1
W3M = Wr
2
где Wс - энергия деформации спирального ребра,
Wк - энергия деформации кольцевого ребра,
Wобш - энергия деформации обшивки.
Выразим каждую из составляющих энергии деформации ребер через осевую деформацию оболочки:
Wс= 1ж2*2. =
=lEF1
c c 2
f
4
cos a
1 --
cosa-( Esu + sin a cos a)
3 =
F)c+sm a+Eucosa
tg 2a
s
(1)
n
W = lEF- s2 =
к к к 2 к
EFl sin a
cos a
•( Esк
(3)
+ sin a cos a I
— 3 —
Fк + sin a + Eк cosa
v /
При плоском напряженном состоянии напряжения в обшивке:
Энергию деформации ортотропной обшивки найдем, учитывая, что ее деформации вдоль образующей и окружности постоянны по ячейке и равны деформациям ячейки Ss и 2к соответственно, а деформация сдвига отсутствует:
ТТЛ / 4 7 lc cos a •
Кбш = (°sSs + °к2к )h--------------------------------. (4)
as =
а к =
Esssk+vs EкSк 1 - vsкvкs vus EsSs + EкSк 1 -vsкvкs
(5)
(6)
Условия минимума потенциальной энергии структурной ячейки в этом случае принимают вид:
дП
д2
дП
ds
= EFclc
sin a cos a + cos a) +
( Es si
4 (Езк si
sin a cos a + sin2 a cos2 a
N
+ I cos a — = 0, c 2
к
(e зк sin a cos a + sin 2 a cos 2 a)+
)-
+s„ (Ек sin a cos a + sin4 a + sin a • F ) \ = 0,
к \ зк к t I
(7)
(8)
где обозначено:
— E h • l
Es ' ‘
(1 -v v ) EF
^ хк кз ' c
E к =■
E h • l
Ек =
(1 -v v ) EF
v зк кз' c
v Eh•
v E h •I
(1 -v v ) EF (1 -v v ) EF
v як кз / c V зк кз s c
- EF F K =—к
EF
(9)
Из уравнения (8) получаем:
cosa
S =
(Ек + sin a cos a)
F + sin a + E cos a
Подставляя в уравнение (7), находим:
(e зк + sin a cos a)2
cos a+Es sina-
Fк + sin3 a + Eк cosa
или после приведения к общему знаменателю:
sinacosa
N
2EF„
(10)
(11)
^ ^cos3 a + Es sin a\F к + sin3 a + E к cosa)-sin a cos a
(Fs
+ sin a cos a
Fк + sin3 a + Eк cosa
N
2EF„
Отсюда находится осевая деформация:
є = -
N
Fк + sin3 а+Ек cos а
2EFc (cos«+EsкSІnа)(F + &т3а+Е cos««-sinaкCosa(E + sinаcosа)
(І3)
Далее, используя физический закон, получим остальные деформации и напряжения. Соответствующие выражения приведены в таблице 1.
Рассмотрим изгибные напряжения в спиральных ребрах, которые могут быть выражены через угол поворота сечения:
0 = ^тасОБа, (14)
что дает верхнюю оценку прогиба:
w = О
кривизны:
/2 /
і2/ 3l
■ + ■
l; h
І
l,
і
•o =
61 - 12l
l2
__изг
=
(І5)
О (іб)
121 6
V "I2 +1" у
V с С У
и добавочных изгибных напряжений в ребрах:
ЕВ I -21
—с— — 60. (17)
Однако эта оценка не учитывает влияние обшивки на моментные эффекты и поэтому является за-
вышенной. Напряжение, обусловленное изгибом кольцевого ребра:
2акll _ 2Ек2lC sin2 a
—, (18)
изг
<г„ =
Rh,
Rh.
также представляет собой верхнюю оценку.
Следует обратить внимание, что окружные напряжения в обшивке зависят от соотношения окружных и осевых деформаций, которое, в свою очередь, существенно зависит от угла между спиральными ребрами. Поскольку знаки этих деформаций различны, окружное напряжение в обшивке может обращаться в нуль и даже менять знак при изменении угла между ребрами.
Учитывая приближенность формул 17-18, для практических расчетов, в них необходимо ввести поправочные коэффициенты, которые в дальнейшем будут определены численно.
Полученные аналитические оценки напряжений в оребренной структуре с учетом обшивки приведены в таблице 1.
Таблица 1
Сводка аналитических результатов
Безразмерные параметры конструкции
lh • h cos«=— , вта = — l l cc Функции угла между спиральными ребрами и образующей
E _ Esh • lc (1 -vsкvкs )EFc Безразмерные комплексы, характеризующие жесткость
E _ E^ • lc E к (І - v'якуus )EFc
v _ vmsEsh • lc vsкЕкh • lc E sк _ (І - v v ) EF (І - v v )EF V ^к vs* c V ^к c
- efk F к _ — EFc
Деформации
N Fк + sin3a + Eк cos а Осевая деформация оребренной структуры
2EFc cos3« + Es sinа^j^Fк + sin3» + Eк cos а - s^^osa^ESK + sinаcosаJ2
cos«- Esк + smacosa« Деформация растяжения кольцевого ребра
°к — 3 — Fк + sin а + Eк cos«
Продолжение таблицы 1
Деформация сжатия спирального ребра
в = (е5 - єк)єіпасоєа Угол поворота опорного сечения спирального ребра
Напряжения
2 2 5 ус = Ес (є3 соє а + єк єіп а) ■ кс Напряжение в спиральном ребре
ук = Е кєк ■ к К Напряжение в кольцевом ребре
ЕВ / - 21 изг У = с с ■— 6(е -є ^іпасоєа-к 2 /2 с с Максимальное напряжение изгиба в спиральных ребрах
г* т-г »2 • 2 изг 2Екєк1с єіп а іМЗГ У к = ■ ктг к КНк к Максимальное напряжение изгиба в кольцевых ребрах
_ Е8є8 +VSк Екєк і^обш У = 1-і/ і/ '^ 1 /эк ^^кл Продольные напряжения в обшивке
У 'кл Е8Є8 + ЕкЄк к обш Ук = ■ кг 1 —V V эк кэ Окружные напряжения в обшивке
Влияние угла между спиральными ребрами и отношения площадей поперечных сечений кольцевых и спиральных ребер
Для изучения влияния обшивки на напряженно-деформированное состояние ребер оребренной оболочки был проведен полный факторный вычислительный эксперимент, в котором варьируемыми факторами являлись угол между спиральным ребром и образующей а и отношение площадей поперечного сечения кольцевого и спирального ре- где
шивки и радиус оболочки, отнесенные к полудлине кольцевого ребра, составляли
% = 0,05 и
ширины сечения кольцевого ребра Вк при фиксированной ширине спирального ребра Вс.
В качестве функции отклика в факторном эксперименте рассчитывался безразмерный поправочный коэффициент:
к =
(19)
— Г бер Г к = —.
Гс
Рассматривалась цилиндрическая оболочка оребренной структуры с приложенной к верхней кромке сжимающей силой. Расчетная модель содержала 128 пар спиральных ребер. Интенсивность нагрузки на одну пару спиральных ребер бралась из
N
условия оп = ------- = 1. Толщина однослойной об-
0 2Г
= 20,8 соответственно, что обеспечивало ма/ ^к
лость влияния кривизны оболочки на напряженное состояние. Обшивка, спиральные и кольцевые ребра изготовлены из одного и того же материала со следующими физико-механическими характеристиками: Е1 = Е2 = Е3 = 30000 МПа, 012 = 013 = 023 = 5000 МПа, V = 0,2.
Варьирование а производилось за счет изменения высоты элементарной ячейки Ьк при фиксированной ширине Ьк. Варьирование безразмерного
Счис - напряжения, рассчитанные численно,
<Утеор - напряжения, вычисленные аналитически.
При расчете средних напряжений в спиральных и кольцевых ребрах в качестве расчетных точек выбирались центры средних поперечных сечений элементов ребер: точка 5, сечение 2 (рис. 2). Для оценки изгибных напряжений дополнительно использовались значения напряжений, рассчитанные в точках 6 и 8 этого же сечения, а также сечения
1, что позволяло получить распределение напряжений как по длине, так и по сечению ребра [1].
Результаты факторного эксперимента представлены в виде графиков зависимости поправочных коэффициентов к" (верхний индекс указывает номер точки в сечении соответственно рисунку 2) от параметров конструкции. Коэффициенты к5 для средних напряжений в спиральных и кольцевых ребрах в зависимости от соотношения размеров ячейки представлены на рисунке 3.
комплекса
производилось за счет изменения
5 6
<-
/
1 2
а) б)
Рис. 2. Схема расчетных точек балки: а) в поперечном сечении, б) в продольном сечении
а)
Рис. 3. Поправочные коэффициенты для у : а) спиральные ребра, б) кольцевые ребра
Отношение
В;
кТ : 1 - 0,1875; 2 - 0,125;
Ти
3 -0,0625.
Если отношение высоты к ширине ячейки со-
ь,
ставляет два и более (— > 2), поправочные коэф-Ьк
фициенты для Ух в спиральных ребрах отличаются от единицы менее чем на 0,016, независимо от ши-
ь,
рины кольцевых ребер. При — > 3 отклонение по-
Ьк
правочного коэффициента от единицы составляет менее 0,004.
Поправочные коэффициенты для Ух в кольцевых ребрах зависят от угла между спиральным ребром и образующей и от отношения площадей сечений кольцевого и спирального ребер. Как видно из
ь,
рисунка 2б, при 2 < — < 6 отклонение поправоч-ьк
ных коэффициентов от единицы не превосходит 4,5 %.
На рисунке 4 представлены поправочные коэффициенты для осевых и окружных напряжений в обшивке. При высоте ячейки, превышающей её ши-
4
рину втрое и более (— > 3), поправочные коэффи-Ьк
циенты для осевых напряжений Ух отличаются от
ь,
единицы не более чем на 1 %, а при — = 2 - на
ьк
6 %. Поправочные коэффициенты для окружных напряжений Уг в обшивке в большей степени зависят от изменения —— и ¥ к (рис. 4б).
Ьк в /
Отношение у— : 1 - 0,1875; 2 - 0,125;
/ —к
3 - 0,0625.
При проведении полного факторного вычислительного эксперимента рассчитывались также поправочные коэффициенты для изгибающих напряжений в кольцевых и спиральных ребрах модели. Напряжения от изгиба относительно оси большей жесткости (из плоскости сетки) и относительно оси меньшей жесткости (в касательной к оболочке плоскости) поперечного сечения в точке соединения ребер определялись с учетом расположения сечений и вида интерполяционных функций по длине конечного элемента, по формулам:
7 8
9
1
3
2
4
-(У38 У2 ),
Уизг _ 6 5 / 6 6 \
У = у + 3 (уз У2 ),
(20)
(21)
соответственно, где нижний индекс указывает на номер поперечного сечения конечного элемента,
верхний - на точку в сечении в соответствии с рисунком 2.
Графики рассчитанных поправочных коэффициентов напряжений изгиба в ребрах в плоскостях большей и меньшей жесткости представлены на рисунке 5.
а)
Рис. 4. Поправочные коэффициенты для напряжений в обшивке: а) осевые напряжения Ов
б) окружные напряжения О(
Рис. 5. Поправочные коэффициенты для: а) напряжений изгиба спиральных ребер в нормальной плоскости, б) напряжений изгиба кольцевых ребер в касательной плоскости
в /
Отношение у— : 1 - 0,1875; 2 - 0,125;
/ —к
3 - 0,0625.
Как видно из рисунка 5а, поправочные коэффициенты для напряжений изгиба спиральных ребер в нормальной плоскости мало отличаются от единичного значения (менее чем на 0,05) при соотношении
—— > 4 (т. е. высота ячейки в четыре раза больше —к
её ширины). При
—К <
4 коэффициенты уменьша-
—
ются, при —— = 2 достигают значения 0,81 и 0,9 —к
при отношении ширины кольцевого ребра к его длине 0,125 и 0,0625 соответственно.
Поправочные коэффициенты для напряжений изгиба по ширине в поперечном сечении спиральных ребер мало подвержены влиянию изменения угла между спиральным ребром и образующей и изменения отношения площадей кольцевого и спирального
ребер отличаются от значения к'^3 = 1 по абсолютной величине менее чем на 0,05 (рис. 5б).
Выводы
Получены упрощенные аналитические оценки напряжений в оребренной оболочке с обшивкой в безмоментном приближении и вычислены поправочные коэффициенты, учитывающие изгиб ореб-рееной структуры.
Показано, что окружные напряжения в обшивке зависят от соотношения окружных и осевых деформаций, которое, в свою очередь, существенно зависит от угла между спиральными ребрами. Изменяя угол между ребрами, можно уменьшить окружные напряжения в обшивке до нуля и даже изменить их знак.
Литература
1. Бурнышева, Т. В. Исследование концентрации напряжений в окрестности вырезов сетчатых оболочек из полимерных композиционных материалов [Текст] / Т. В. Бурнышева, В. О. Каледин, Е. В. Решетникова // Инновационные недра Кузбасса. ГГ-технологии: сб. науч. тр. - Кемерово: ИНТ, 2007. -С. 273 - 275.
2. Васильев, В. В. Исследование влияния формы ячейки на напряженное состояние композитной сетчатой конструкции при локальном нагружении [Текст] / В. В. Васильев, М. В. Никитин, А. Ф. Разин
// Вопросы оборонной техники. Сер. 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. - М.: НТЦ «Информтехника». - 2008. - Вып. 1(138) - 2(139). - 90 с.
3. Каледин, В. О. Математическое моделирование статики сетчатой оболочки с учетом концентрации напряжений [Текст] / В. О. Каледин, Ю. В. Аникина, Т. В. Бурнышева, Е. В. Решетникова // Вестник ТГУ. - 2006. - № 19. - С. 233 - 237.
4. Бурнышева, Т. В. Дискретное моделирование напряжений в сетчатых оболочках [Текст] / Т. В. Бурнышева, В. О. Каледин, Е. В. Решетникова // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. тр. 8-й Всероссийской науч. конф. В 2-х т. - Новокузнецк: НФИ КемГУ. - 2006. - Т. 2. - С. 16 - 19.
5. Спиридонов, А. А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов [Текст] / А. А. Спиридонов. - М.: Машиностроение, 1981. - 184 с.
Рецензент - В. И. Базайкин, ГОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный университет».
