CC BY
39
№ 4 2007
РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МАШИН
620.16: 539.376
ОСАДКА КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В УСЛОВИЯХ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
Д-р фт.-мат. наук, проф. Л.М.Л0К01ЦЕ11КО, д-р техн. наук, проф. В.А.ДЕМИИ.
бакалавр В.В.НОСОВ
Исследована осадка кругового цилиндра .жесткими штампами в условиях установившейся папу чести. При решении задачи использовалась дробно-степенная связь иитенсивностеи напряжении и скоростей ползучести. Предложены две программы нагружен и я и рассмотрены полученные результаты.
Slump ofthe circulai' sha/ï hy rigid stamps in conciliions oj"sleacly-staie creep is examined. In (lie solution of/ask a fractional-seclale link of stress inlensify and raie oj Creep \\-as used. Two programs ofloading were put forward with the analysis oj ohtained resuifs.
Технологические процессы обработки металлов обычно реализуются при комнатной температуре. При расчетах этих процессов, как правило, используются модели жестко иде-альнопластического тела или жестконластического тела с упрочнением. Если необходимо уменьшить сопротивление металлов необратимому деформированию, технологические процессы проводятся в условиях горячей обработки металлов. В этих случаях, несмотря на сравнительно небольшое время деформирования, существенное значение имеет вязкость материала, поэтому расчеты таких процессов следует проводить на основе уравнений теории ползучести. В данном направлении известны классические результаты многих исследователей (Г. Генки, А. А. Ильюшин, А. Ю. Ишлинский, H. Н. Малинин, А. А. Поздеев, О. В. Соснин).
Нами рассматривается задача об осадке круговых цилиндров в условиях установившейся ползучести без учета образования «бочки». При этом предполагается, что мгновенные деформации малы по сравнению с деформациями ползучести, поэтому учитываются только деформации ползучести р...
В [1—3] приведено решение H.II. Малинина об осадке круглого цилиндра при степенном законе установившейся ползучести или при учете упрочнения материала. В отличие от [1—3], ниже рассмотрено решение этой задачи для случая дробно-степенного закона установившейся ползучести [4], которое затем используется для сравнительного анализа эффективности различных программ нагружения.
Рассматривается осесимметричное деформирование круглого цилиндра радиуса R{) и высоты 2Н{) при продольном сжатии в условиях установившейся ползучести (рис. 1 ). Это сжатие цилиндра осуществляется двумя жёсткими плитами, движущимися навстречу друг другу с относительной скоростью 2w (величина w может быть постоянной величиной или функцией времени /).
В решении использованы: гипотеза плоских сечений, условие несжимаемости и предположение о независимости напряжений и деформаций от продольной координаты. Расположим начало координат в середине оси цилиндра и введем в рассмотрение радиаль-
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 05-01 -000226) и INTAS (проект № 03-5 I -6046).
№4
2007
шгшп
т
I
г
I
-к
у/У/УУ/Л
Рис. I
ную координату г и осевую (продольную) координату г. Из условия поперечной симметрии напряженно-деформированное состояние исследуется только в половине цилиндра (при О < г < Н(]). Проекции скоростей произвольной точки цилиндра на оси г и - обозначим соответственно и(() и -и'(/). Логарифмическая деформация ползучести вдоль оси цилиндра р__ и скорость осевой деформации р._ имеют следующий вид:
Р-, =
\Нп
Н м'
(1)
здесь и ниже точка означает производную по времени /, 2Н — высота цилиндра при произвольном значении I.
Скорости радиальной и поперечной деформации* ползучести в осесиммстричной задаче определяются следующими кинематическими соотношениями:
Рп =
ди
дг
Р ев
и г
(2)
Из условия несжимаемости при учете (2) получим
ди И И> Ргг + Рм + Р* = —+ — 77 - О, от г Н
откуда
и / \ СЫ уу1
— (ги ) = г--\-и- — --р г.
дгу } дг н --
ИТ
(3)
Из (1) следует, что скорость осевой деформации р:: не зависит от г. В связи с этим интегрирование (3) приводит к следующему выражению:
иг С(1) и =-+ ——.
2 Н г
Из граничного условия и = 0 при г = 0 следует, что С(7) = 0, в этом случае и = м>г!(2Н). В результате выражения для проекций скоростей деформаций ползучести принимают следующий вид:
№4
2007
си И' и И' И'
Соотношения (4) подтверждают, что условие несжимаемости выполняется. Интенсивность скоростей деформаций ползучести в общем случае равна
^ I---------
Ри (Р, - Ак) У (/>ш) " Р.: У + ( А, - Ру, + 6 (/>* + /4 + Аг )
Сдвиговые деформации равны нулю (Д.0 = р{).. =0 вследствие осссиммстричности задачи, а Дг -0 — из-за предположения об отсутствии образования «бочки»), поэтому с учетом (4) получаем
Ри = ^ \1 (Р,г У + Рп Рт + (/>оо )2 " 77 " ' (5 )
Компоненты тензора скоростей ползучести связаны с компонен тами тензора напряжений гипотезой пропорциональности девиаторов напряжений я., и скоростей деформаций ползучести р..
р =2^ -—^-(а. -стб. ), (6)
гдест,,— интенсивность напряжений, 8/У— символ Кронекера, а - (ст;г +ст00 •+■ ст . . )/3— среднее напряжение. Из (6) при учете равенства рп. = Дю
^ =сг00- (7)
Интенсивность напряжений в общем случае равна
^¡{Ргг - О00 )2 + (а00 - ^ )2 + (^ - )2 + 6 (й + ^ + 4 )
Из условия оссвой симметричности задачи следует, что тг0 = т_0 = 0 , а из гипотезы плоских сечений: т... = 0. В связи с этим, а также в связи с равенством напряжений а/7. и а(Ю, интенсивность напряжений будет равна
g = а
,, - СУ= = Gr, + g, S ('% 1 ) = » (8)
naegfa 0 > 0 — абсолютная величина давления штампа на днища цилиндра.
Вырежем из цилиндра, находящегося в деформированном состоянии, тонкостенную цилиндрическую оболочку — радиусы г и (г + с/г). Затем вырежем из нее элемент оболочки, который ограничен двумя осевыми сечениями, пересекающимися под малым углом dср. Высота рассматриваемого элемента равна высоте сжимаемого цилиндра 2H (рис. 2). Обозначим интенсивность сил трения на торцах цилиндра вследствие давления штампа через с/. При условии равновесия сумма проекций на ось г всех сил, действующих на поверхность полосы, равна нулю
-(2Hrdq>)an. + (г + dr)dy • 2H (a;r + darr )- 2 (rdtpdr)q - 2 (2IJdr)am ^ = 0.
При составлении этого уравнения равновесия вследствие малости угла d<p использовано приближенное равенство sin (0,5¿/cp)~ 0,5¿/cp. С учетом равенства радиальной и поперечной компонент тензора напряжений получаем
№4
?007
Кг+^гг)
Рис. 2
Из(8)следует
dv,r = д
dr Н' dan = dau d£ dr'
(9)
(10)
с/г с/г
Из (5) очевидно, что интенсивность скоростей деформаций ползучести ри постоянна во всем объеме цилиндра, величина ри зависит только от времени. Рассмотрим дробно-степенную зависимость интенсивности скоростей ползучести от интенсивности напряжений [4]
Ри
СУ„
о
В (11) постоянная величина /0 имеет размерность времени, a аЛ характеризует условный предел кратковременной прочности при соответствующей температуре. Из (11) следует, что стн —также постоянная величина во всем объеме цилиндра, зависящая только от времени. Преобразуя (11) с учетом соотношения (5), получим выражение для интенсивности напряжений
ст.,
су,
1 +
Н
Kwto
Л1 :„)
(12)
Ниже рассмотрены два варианта решения задачи при различных предположениях о связи интенсивности сил трения с{ с максимальным касательным или нормальным напряжениями.
№4
2007
Связь интенсивности сил трения с максимальным касательным напряжением.
Пусть интенсивность сил трения на торцах цилиндра q пропорциональна величине
максимального касательного напряжения, х = const — коэффициент пропорциональности: q -Хг„1ах • Используя (7) и (8), получаем
Я ХТ,шх = ^ (°тах - су ,ni„) = *(а,., - а ..)=
1 2
ХР„
(13)
Преобразование выражения (13) с учетом (7)—(10) приводит к такому соотношению
Ч _ . _ 4Г
так как
di-
ll 2/7 ¿/г с/у 0 . В результате получаем
dg ,
dr 2/7 '
Интегрирование (14) приводит к следующему уравнению
14)
(15)
2/7(0
Так как нормальное радиальное напряжение а)г на поверхности цилиндра (/• = К) тождественно равно нулю, то согласно (8),
(16)
2/7(0
Исключив B(t) из (15) и (16), получаем следующее выражение для давления штампа g(r, 0
xW) v '
Г (г, t) = o„(t)
(17)
2/7(0 27/(0,
Модуль силы давления штампа на торцы цилиндра определяется следующим уравнением
Л(0
Р(() = 2к \girjydr. (18)
О
В дальнейшем под понятиями «сжимающая сила» или «сила давления» будет подразумеваться модуль этой силы. Введем безразмерные переменные
Н„
Р
1
V
kR()-ah
V
Н =
а.
Н
И
о
- tо w =-W
И,
(19)
/„ к R(;n()ah <Jh
где V— энергия деформирования. Подставляя (17) в (1 8), при учете условия несжимаемости HR1 = Я(|/?02 и безразмерных переменных (19) получаем
н
«X
г1'5
(20)
№4
2007
При учете (12), (20) основные определяющие выражения принимают следующий вид:
'т
Р =
4-
К WJ
F, (Я),
н'= Н
Р
(21)
I I
/7(7) = 1 - \wcfT, V - jPdH.
Рассмотрим два варианта осадки цилиндра:
1) скорость осадки цилиндра w(t) = const - w0 постоянна, в этом случас
-I
//(7) = l-v, P(t) = (woy
2) сжимающая сила P(t ) = const = Рп постоянна, в этом случае
1+ 1' 'н} 1 /п
(22)
I
= 1
р..
с!Н. w = H
т
я
(23)
V = P„{\-H(t)l
Уравнения (22) и (23) позволяют связать зависящие от времени скорость сближения плит штампа, высоту цилиндра и сжимающую силу при каждой из этих двух программ нагру-жения. Представляет интерес оценить эффективность осаживания цилиндров. С этой целью проведено исследование осадки цилиндра на одну и ту_же величину П - Я,) за одно и то же время (т.е. осадка от Я(/ = 0)= 1 до Я(/ = ty) = Я,) при п-1. Для сравнения результатов был использован энергетический критерий. Вычисления показали, что энергия деформирования Vx, затрачиваемая на осадку цилиндра по программе (22), меньше, чем энергия деформирования V2, накопленная при выполнении программы (23). Эта разница ( V2 — Vx) возрастает с увеличением отношения а.
Связь интенсивности сил трения с нормальным напряжением. Пусть интенсивность сил трения на торцах цилиндра q пропорциональна величине нормального напряжения, ¡1 = const — коэффициент пропорциональности (коэффициент трения)
Ч = № ■
(24)
Эта зависимость имеет название закона трения Кулона. Из соотношений (9), (10) получим
4 = = 6/8 с/г'
i/a" п так как —- = 0 .
dr
С учетом (24) находим
Н dr
dr Н
№4
2007
Интегрирование этого уравнения и учет граничного условия на поверхности цилиндра г = Я (равенство нулю нормального радиального напряжения) приводит к следующему выражению для давления штампа £ (/; Г):
;(/\0 = сг„ ехр
H(i)
(25)
Модуль силы давления штампа P(t) на торцы цилиндра определяем ил уравнений (1 8) и (25)
Р(1) = 2я ¡"{П g(rj)rdr
JK„
= 2по,
1 +
L
Я
V и;/(>
V М У
ехр
' IV
V И У
II
R
(26)
Вводя безразмерные переменные (19), получаем
2//-
жо
? ? ¿ГЦ"
(я
v
ех
р ^41 (Я ) 5 a\i (Н )' 5 -;
(27)
Рассмотрим два вида нагружения цилиндра при осадке: 1) скорость сближения плит штампа постоянна; w = const = w;0, в этом случае
Н = 1 -vy,
P{t)
'н_ Y1 "г
1 + v%J
wn
Р(Я):
н2
ехр (ацИ "-1 при р>0
(28)
I
р(/7)=/Г' при ц = О, V(t)=\PdH
2) сжимающая сила постоянна: Р - const = Ри, в этом случае
w = Н
[3 (Я)
ч-/7
V 1
, Я
< 1 = 1 - jwcfT; К - J/V/7 - ^(1 - /7).
(29)
На рис. 3 приведены результаты применения дробного закона установившейся ползучести при описании осадки на величину (l - //,) за одно и то же время /,. В этих вычислениях использованы одни и те же значения следующих параметров: а = 4, ц =^053, /7 = 7, //, =0,8, ^ = 100. При этом на рис. 3 кривая / характеризует зависимость P(t ) при постоянной скорости w{] ~ 0, 002, кривая 2 —- зависимость w(t) при постоянной сжимающей силе Р{) = 0,6. На рис. 4 приведены зависимости^ ), полученные при тех же условиях (К, соответствует программе нагружения (28), V2 —программе (29)). Согласно рис. 4 превышение V2 над V] составляет 6,4 %.
2007
№
Рис. 3
Рис. 4
Выводь^—ч
Получена связь между зависящими от времени скоростью сближения плит штампа, высотой цилиндра и сжимающей силой. Проведены вычисления всех основных параметров при двух программах нагружения: при постоянной скорости сближения оснований цилиндра и при постоянной сжимающей силе. Вычисления показали, что энергия деформации, затрачиваемая на осадку цилиндра при постоянной скорости сближения оснований цилиндра, меньше, чем при постоянной сжимающей силе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Малин и и 11. II. Приближенные решения некоторых технологических задач // Известия вузов. Машиностроение. 1977.........№ 12. - - С. 119—-122.
2. М а л и н и и II. И. Тех н оло гиче с к ие задач и ш теги ч но ст и и пол зу ч е ст и.. — М.: В ы с шая ш кол а, 1979. — 119 с.
3. М а л и н и н Н. Н, Ползучесть в обработке металлов. — М.: Машиностроение, 1986. — 216 с.
4. Ш е с т е р и к о в С". А., К) м а ш е в а М. А. Конкретизация уравнения состояния в теории ползучести Н Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1984. — № 1. — С. 86—91.
