Ортогональное разложение кратных стохастических интегралов Стратоновича Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N4, 2021 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal.spbu.ru/ e-mail: jodiff@mail.ru

Стохастические дифференциальные уравнения

Ортогональное разложение кратных стохастических интегралов Стратоновича

К. А. Рыбаков

Московский авиационный институт национальный исследовательский университет

e-mail: rkoffice@mail.ru

Аннотация. На основе свойств полиномов Эрмита, ортогональных относительно плотности вероятности нормального распределения, получено представление кратных стохастических интегралов Стратоновича по винеровским процессам в виде ортогональных рядов. Найдено представление кратных стохастических интегралов Стратоновича в виде суммы кратных стохастических интегралов Ито и математического ожидания интеграла Стратоновича, обобщающее известную формулу Ху-Мейера.

Ключевые слова: кратный стохастический интеграл Стратоновича, повторный стохастический интеграл Стратоновича, винеровский процесс, ортогональное разложение, формула Ху-Мейера.

1. Введение

Рассматривается задача представления кратных стохастических интегралов Стратоновича по винеровским процессам в виде ортогональных рядов, а также в виде суммы кратных стохастических интегралов Ито и константы (математического ожидания интеграла Стратоновича). Для ортогональных рядов базис выражается с помощью полиномов Эрмита векторного аргумента

с подстановкой случайного вектора, координаты которого независимы и имеют стандартное нормальное распределение, где ортогональность понимается в смысле скалярного произведения в пространстве гильбертовых случайных величин. В основе этого представления лежат результаты, полученные в том числе в статье [1]. В этой статье приведены некоторые фрагменты из [1] в необходимом для изложения новых результатов объеме.

Во многих публикациях, не связанных с вопросами моделирования и аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито для численного решения стохастических дифференциальных уравнений и систем, кратные и повторные стохастические интегралы Ито определяются относительно одного винеровского процесса [2,3,8] или одного пуассоновского процесса [3,4]. Кратные стохастические интегралы Стратоновича, как правило, определяются также относительно одного винеровского или пуассоновского процесса, при этом основные результаты сводятся к представлению интегралов Стратоновича в виде суммы интегралов Ито. Такие разложения называют формулами Ху-Мейера [5]. Они доказаны для кратных стохастических интегралов Стратоновича как относительно винеровского процесса [5-9], так и относительно пуассоновского процесса [10,11]. Аналогичные результаты получены для кратных стохастических интегралов Скорохода и Огавы [9]. Формула Ху - Мейера рассматривалась для кратных стохастических интегралов Стра-тоновича относительно процесса Леви [12].

Если обратиться к моделированию и аппроксимации повторных стохастических интегралов для численного решения стохастических дифференциальных уравнений и систем [13-20], то возникает необходимость рассматривать повторные стохастические интегралы Ито и Стратоновича, которые можно трактовать как частный случай кратных. Принципиальным является то, что такие интегралы должны определяться относительно всевозможных комбинаций из набора независимых винеровских процессов, число которых совпадает с кратностью интеграла. Повторный стохастический интеграл относительно одного винеровского процесса — это только один из возможных вариантов, общее число которых быстро растет с увеличением кратности интеграла.

Полученное в этой работе разложение кратных стохастических интегралов Стратоновича относительно всевозможных комбинаций из набора независимых винеровских процессов в сумму кратных стохастических интегралов Ито обобщает известную формулу Ху-Мейера. Оно сравнимо с основным результатом из [16-18], где повторные стохастические интегралы Ито относительно всевозможных комбинаций из набора независимых винеровских

процессов представлены в виде суммы повторных стохастических интегралов Стратоновича. Но здесь применяется другая методика доказательства, а в качестве определения кратного стохастического интеграла Стратоновича используется конструкция, введенная в [6] для варианта с одним вине-ровским процессом. Кроме того, кратные стохастические интегралы Стратоновича представляются в виде суммы ортогональных (некоррелированных) кратных стохастических интегралов Ито, а это позволяет получить простое соотношение для квадрата нормы (второго момента) интеграла Стратоновича, а также его математическое ожидание.

Как и для кратных и повторных стохастических интегралов Ито [1], представление кратных и повторных стохастических интегралов Стратоновича в виде ортогональных рядов обеспечивает простой метод точного вычисления среднеквадратической погрешности аппроксимации при переходе от ортогонального ряда к его частичной сумме (например, для спектрального представления это сделать сложнее [19-21]). Такой переход возникает при приближенном моделировании кратных и повторных стохастических интегралов Стратоновича при практической реализации численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений и систем, основанных на разложениях Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича (методы Г.Н. Мильш-тейна, П. Клоедена и Э. Платена, Д.Ф. Кузнецова) [13-15,18].

2. Основные определения и обозначения

Пусть Н = [0, к] С Е, где к > 0, Ь2(Нк) — пространство квадратично интегрируемых функций К(¿1,... ): Нк ^ Е, т.е.

в котором норма и скалярное произведение задаются следующим образом

(К (¿1,...,^ ...¿Гк.

[22]:

Здесь и далее вместо обычной формы записи К <Е Ь2(Нк), \\К||ь2(нй), Ь т (нк) используется более полная с указанием всех аргументов функ-

ции.

Тогда любая функция К(¿1,. . . ,1к) £ Ь2(Нк) представляется в виде ортогонального ряда:

то

К (¿1 ,...,гк ) = Фи^) •••Фк М),

=0

где {д(г, ¿)}°=0 — полная ортонормированная система функций в пространстве Ь2(Н), или базисная система, а С{1.лк — коэффициенты разложения функции К ):

Сч...гк = {д (М0 ...д (гк М),К ^ Ь2{дк) =

= д(г1,т1) ...д^к ,Тк )К (т1,...,тк )3т1 ..ЛТк. (1)

Jнk

Будем обозначать через С2 пространство гильбертовых случайных величин [23]:

£ ^^ Е£2 < то,

где Е означает математическое ожидание, с нормой и скалярным произведением

Шс* = {Е£2}1, (£,п)с* = Е£п.

Определим множество 3 = {31,... ,зк}, где £ {1,..., ; к, в

— заданные натуральные числа. Упорядоченный набор (]1.. .]к) будем обозначать 3* и рассматривать его как мультимножество — множество, которое может содержать одинаковые элементы, #(3, ,3*) — кратность элемента ] в мультимножестве 3*. Также будем использовать обозначение | • | для количества разных элементов множеств или всех элементов мультимножеств: 131 ^ к, 13*| = к. Введем отношение эквивалентности ~ для индексов из множества I = {г^^,..., гк}:

г\ ~ гт ^^ 31 = 3т, 1,т = 1,...,к, и обозначим через 1/~ множество всех классов эквивалентности I^:

1 = и ^ , 1Л П = 0 ,3т £ 3 : 3 = 3т. £

При конкретных значениях индексов г1,... ,%к из классов эквивалентности I^ будем получать множества I^ и мультимножества I*. Зависимость множеств Iу и мультимножеств I * от г1,...,%к не указывается для упрощения обозначений. Очевидно, что Ц < #(3,3*), Щ1 = #(3,3*).

Такое же отношение эквивалентности — введем для переменных из множества Т = {¿1,... ,Ьк} и обозначим через Т/— множество всех классов эквивалентности , ] Е J. Если определить множества N = {п: ]п = ]}, то !з = {ъп: п Е N} и Tj = {¿п: п Е N}, ] Е J. Далее будем использовать обозначения

Е и Е ■

(I/-) (т/-)

которые предполагают суммирование коэффициентов разложения и функций по всем перестановкам индексов и переменных в каждом классе эквивалентности Ij и Tj соответственно, ] Е J.

Определим функцию KJ*(¿1,... ,Ьк) с помощью симметризации:

К^(гъ...,гк) = (К(¿1,...,гк)>J* = к(*1,...,*к), (2)

^ (т/-)

где величина Ы^* равна числу слагаемых в правой части выражения (2):

М2* = П(#(^ *))'. (3)

jЕJ

Функция KJ* (¿1,... ,1к) Е Ь2(Нк) представляется в виде ортогонального ряда:

то

KJ* (гъ...,гк ) = Сп..лк я(к,Ь) ...д(1к М),

¿1, . . . ,«к=0

где коэффициенты разложения С,1х... ¿к выражаются через коэффициенты разложения С\1.Ак (зависимость С^г1..лк от для упрощения обозначений не указана) [1]:

СЧ...¿к = Ы2 ^^ СЧ...1к . (4)

Ы-Г* (I/-)

Функции вида (2) образуют линейное подпространство в Ь2(Нк), которое будем обозначать ь2jl...jk)(Нк), оператор (•>^ : Ь2(Нк) ^ ь2jl...jk)(Нк) является линейным ограниченным оператором, его норма равна единице. Если значения ]1,...,]к попарно различны, т.е. \3\ = к, то (•>.!* — это тождественный оператор.

3. Кратные стохастические интегралы Ито по винеров-ским процессам

Определим линейный оператор ставящий в соот-

ветствие функции K(tl,... ,tk) £ L2(Hk) кратный стохастический интеграл Ито по винеровским процессам (кратности k):

lhJl-Jk)K (ti,...,tk ) = i K (Ti,...,Tk )dWj1 (ti) ... dWjk (Tk), (5)

где jl,... ,jk = 1, . . . , s; Wl(t), ..., Ws(t) — независимые стандартные вине-ровские процессы.

Пусть {А}= — это разбиение отрезка H:

n

H = У Аг, А{' П Ai" = 0 Vi',i" £{1,...,n} : i' = i'',

i=i

где Ai — борелевские множества. Кроме того, x^(tl,-.. ,tk) — характеристическая функция множества П С Hk:

f 1, (ti,...,tk) £ п,

Xn(ti, ...,tk ) = <

{ 0, (ti,...,tk) £ П.

Введем обозначение S(Hk) для множества элементарных функций:

n

K (ti,...,tk)= Y aii-ik XAi1 x...xAik (ti,...,tk), a4,„ik £ E, ii, . . . ,ik=1

и обозначение S(Hk) С S(Hk) для множества специальных элементарных функций [2]:

n

K (tl,...,tk )= Y an-ik XAi1 x...xAik (tl ,...,tk ),

i1,...,ik=i

где ail..iik = 0, если среди значений il,... ,ik найдется два совпадающих: ii = im для l,m £ {1,... ,k}, l = m.

Кратный стохастический интеграл Ито от функции K(tl,... ,tk) £ S(Hk) определяется следующим образом [2,7,12,18]:

n

k K (ti,...,tk )= £ an...ik Wji (Aii)...Wj,k (Aik), (6)

i1,...,ik=i

где

гк [ 1, г Е дг,

Щ(дг) = хдг (т№(Т), хдг (г) = <

•/о [ о, г Е д<,

а для произвольной функции К(¿1,... ,гк) Е Ь2(Нк)

I^..'к )к (¿1, ...,гк) = 1.1.Ш. х^. 'к ]кт (¿1,... ,гк),

т^то

где последовательность функций Кт(Ь1,... ,Ьк) Е Б(Нк) сходится к функции К(¿1,... Дк) по норме пространства Ь2(Нк).

Утверждение 1. Пусть К(¿1,...,£к) Е Ь2(Нк), а К^(¿1,...,1к) = (К(¿1,...,1к)>J* Е Ь{2п..^к)(Нк) — соответствующая симметризованная функция (2). Тогда кратные стохастические интегралы Ито по винеров-ским процессам от функций К(¿1,. . . ,Ьк) и К,]*(¿1,... ,Ьк) совпадают:

Ц^К (¿1, ...,1к) = Ц1"* ^ К * (¿1,.. .,1к). (7)

Теорема 1. Пусть К(¿1,... Дк) Е Ь2(Нк). Тогда

1) кратный стохастический интеграл Ито по винеровским процессам от функции К(¿1,... ,Ьк) представляется в виде

то

!гл 1К (Ь,...,Ь )= Е С,1...,к *... * (кк(8)

¿1,..,к=0

где С11.^к — коэффициенты разложения (1) функции К(Ь1,...,Ьк) относительно базисной системы {q(i,t)}(TOL0 пространства Ь2(В), (¿^ — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, ц = 0,1, 2,... и I = 1, 2,..., к;

2) норма кратного стохастического интеграла Ито удовлетворяет соотношению

р^1"* )К (¿1, ...М) = ЫJ*\\(К (¿1,..., ¿к )>J* Н^ик) ^

^ ЫJ* НК (¿1,...,1к )\\Ыик), (9)

где величина ЫJ* определяется формулой (3).

Доказательства утверждения 1 и теоремы 1 приведено в [1].

З а м е ч а н и я 1.

1. В формуле (8) и далее знак * обозначает произведение Вика [25] для двух случайных величин £1 ,£2 £ С2:

м м

£1 = П Нт £2 = П Н]т ((т),

т=1 т=1

а именно

м

£1 * £2 = Н1т+]т ((т),

"т I Jm

т=1

где М ^ 1, - - - ,(м — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, гт,зт £ {0,1, 2,... }.

В приведенных формулах {Hi(x)}°=0 — полиномы Эрмита [24], ортогональные в пространстве Ь2(К; р(х)) с весом р(х) = е-х /\[2П:

^ ( Л^ „х-2и

Щ(х) =

,=0 V\(:г - 2у)\2

= х -а-х- + Ой^-4 - ■■■ + -^^О^тХ1-2^2^ (ю)

(') {i) О ^ А I I

где Щ-2, а]-4,..., > 0, [• ] — целая часть числа.

2. Множества случайных величин

У' = з{Jl■■■Jk) = {¿Г' *... * ф 'Х....^=о (11)

и

г сы * * с{]к' 1 то

37' = 3 {п...]к) = {

1Ц * ... * Ык =0

(12)

образуют соответственно ортогональный и ортонормированный базисы линейного подпространства С^1"^11) = )К(¿1,...,1к): К(¿1,...,1к) £ Ь2(Нк)} С С2, а линейный оператор ) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между линейными подпространствами Ь^1 к)(Нк) и с2 1... к). Важно отметить, что это множества различных элементов, т.е. все совпадающие элементы, которые отвечают разным значениям индексов г1,... ,%к, неразличимы.

3. Для линейного подпространства Ь)(Нк) можно определить норму \\К... ^к^Цл^к){Нк) = \\{К... М))з'\\ь2{нк)

и рассматривать его как множество классов эквивалентности: K (ti, ...,tk) - L(ti, ...,tk) ^ (K (ti,.. .,tk )J = (L(ti,.. .,tk )J . (13)

Все аксиомы нормы для || • ||(ji...jkвыполнены. Действительно, если X

L2 (H )

— линейное нормированное пространство с нормой || • ||X, а A: X ^ Y С X

— линейный оператор, где Y = {y = Ax,x Е X}, то норму в линейном подпространстве Y можно определить в виде НуНж = ||Ax||X.

Тогда для класса функций K(ti,. . . ,tk) Е L2(Hk)(ji ■■■jk) справедливо разложение (8), в правой части которого Ci1_ik — коэффициенты разложения (1) любой функции K(ti,... ,tk) из этого класса (элемента пространства L2(Hk)).

Кроме того, Lj ■jk }(Hk) естественно принять за область определения линейного оператора I^1 ■ ■ jk). Следовательно, линейный оператор I^1 ■jk) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между линейными пространствами Lj■jk}(Hk) и Lj■jk\

Если для линейного пространства L2jb■jk^(Hk) определить норму следующим образом:

HK (tb • • • ,tk ^¿Ui-jk )(Hk) = MJ* H(K (tb • • • ,tk ))J* ||L2(Hk )> то вместо формулы (9) получим

^■■■jk )K (ti, ...,tk )||L2 = H(K (ti,.. .,tk ) J |L2(Hk).

4. Кратные стохастические интегралы Стратоновича по винеровским процессам

Используя обозначения, введенные в предыдущем разделе, и ограничиваясь разбиением {A}=i отрезка H, при котором Ai = (0i-i,0i], где 00 = 0 и 0n = h, определим линейный оператор ■jk): L2(Hk) ^ L2, ставящий в соответствие функции K(ti,... ,tk) Е L2(Hk) кратный стохастический интеграл Стратоновича по винеровским процессам (кратности к):

Ij ■jk )K (ti, ...,tk) = / K (Ti, ...,Tk) о dWn (Ti) ° ... ° dWJk (Tk). (14)

J Hk

Кратным стохастическим интегралом Стратоновича от элементарной функции K(ti,... ,tk) Е S(Hk) назовем случайную величину

n

■jk )K (ti,...,tk )= Y, aii ■ ■ ■ ik Wji (Aii) ...Wjk (Aik). (15)

ii, ■ ■ ■ ,ik=i

Для измеримой функции K(ti,...,tk) определим кратный стохастический интеграл Стратоновича относительно разбиения {Ai}n=i как интеграл (15) от функции K^i}^(ti,...,tk) G S(Hk), полученной из K(ti,...,tk) с помощью усреднения [6,7,9]:

кши (ti,-..,tk) = msA I K (ri,-",Tk )dTl ■■■dTk ,

J Д

(th...,tk) G A = Ai! x ... x А1к,

где mes А — мера Лебега множества А С Hk. Будем обозначать такой интеграл ]K (ti,...,tk ).

Кратным стохастическим интегралом Стратоновича от функции K(ti,... ,tk) G L2(Hk) назовем среднеквадратический предел последовательности случайных величин IjnjkK(ti,... ,tk) при условии max mes Ai ^ 0

(n ^ то), если этот предел существует и не зависит от выбора возрастающей последовательности разбиений {А}П=1 отрезка H:

ij ■ ■ jk)K (ti, ...,tk ) = lAmIj j K (ti,.. .,tk ).

При к = 1 стохастические интегралы Ито и Стратоновича совпадают. А при к > 1 в отличие от кратного стохастического интеграла Ито для интеграла Стратоновича справедливо мультипликативное свойство [12]:

ihj ■j )k (t. .,tk )=ihlji)K1(t1]... rj )Kk (tk ) =

=ihii)K1(t1)... ihj ]Kk (tk ),

если K (t1,...,tk ) = K1(t1 )... Kk (tk ), но при этом кратный стохастический интеграл Стратоновича определен не для всех функций K(t1,... ,tk) G L2(Hk ).

Утверждение 2. Пусть K(t1,...,tk) G L2(Hk) — функция, для которой существует кратный интеграл Стратоновича, а Kj*(t1,... ,tk) = (K(t1,...,tk))j* G L■ jk)(Hk) — соответствующая симметризованная функция (2). Тогда кратные стохастические интегралы Стратоновича по винеровским процессам от функций K(t1,... ,tk) и Kj*(t1,... ,tk) совпадают:

Ij ■ ■ ■ jk)K (ti, ...,tk )= il(j1-jk ]Kj* (ti,.. .,tk ). (16)

Доказательство. Согласно определению (15) кратного стохастического интеграла Стратоновича

IhUl ■ ■ "к)ХАц X■ ■ xAik (ti, ...,tk )= Wj! (Ai! )... Wjk (Aik ),

причем любая перестановка переменных в классах эквивалентности Tj, j Е J, для характеристической функции \Ailх...XAik (ti,... ,tk) в левой части приведенного выражения не меняет его правую часть, так как при ti,tm Е Tj для l = m и некоторого j Е J имеем

^Ui^ ■ Jb ■ jm ■ ■ ■jk)^/ (. . . . \ _

1h XAii х ■ ■ ■xAil х■ ■ xAim X■ ■ ■ xAik (ti, . . . ,tl, . . . ,tm, ■ ■ ■ ,tk ) =

= Wji (Aii ) ■ ■ ■ Wji (Ail) ■ ■ ■ Wjm (Aim) ■ ■ ■ Wjk (Aik) = = Wji (Aii ) ■ ■ ■ Wji (Aim) ■ ■ ■ Wjm (Ail) ■ ■ ■ Wjk (Aik) =

( ji jl jm j k )

= 1h XAii x ■ ■ ■xAil x ■ ■ xAim X ■ ■ xAik (ti, ■ ■ ■ ,tm, ■ ■ ■ ,tl, ■ ■ ■ ,tk )■

Отсюда

Ih(ji ■j )(XAii X^ ■ XAik (ti, ■ ■ ■,tk ) J = Wji (Aii)... Wjk (Aik),

тогда по свойству линейности кратного стохастического интеграла Страто-новича получаем

jk)(K(ti,...,tk))j. = H^Y K (ti, ■ ■ ■ ,tk)

J (T/-)

= 1^.. * )К (¿1, ...,1к) УК (¿1, ...,1к) Е £(Нк),

поскольку суммирование ведется только по перестановкам переменных в классах эквивалентности Tj, ] Е 3, а величина Ы2* равна числу слагаемых.

Следовательно, для кратного стохастического интеграла Стратоновича от функции К(¿1,... ) Е Ь2(Нк) относительно разбиения {Д^}П=1 отрезка Н справедливо условие

х*Д^к )к (¿1, ...,1к) = х^ )(к (¿1,..., ¿к )>J*,

т.е. последовательности случайных величин

хд£>к(ь,...,ь) и I¡дj(к(tu...,tky)J,

совпадают (п ^ то). Отсюда получаем равенство (16). М

Далее введем новые обозначения. Пусть > — это множество всех подмножеств , представленных Vj неупорядоченными парами индексов из Ij,

Vj Е {0,..., [#(j,J*)/2j}, j Е J = {j(i),...,

и

(I/~ )(^(i) '■■■'"( I j I )) = I(V(i)) X x I(v( 1 J 1 ))

v / > j(i) ••• j( IJ I) '

Каждый элемент д множества (I/-)(V(1),■■■,V(|J|)) — это набор пар индексов из множества I, а д — множество индексов, образующих эти пары:

д= {(ili ,imi),..., (% ,im7)}, £ = {ili ,imi }, (17)

li,mi, ,mY Е {1,...,k}, y = V(i) + ... + vj |),

где количество элементов г^^^^^^)) = |(I/-)(V(1)'"'V(|J|))| этого множества зависит от V(i),..., V(|j|) и выражается через коэффициенты полиномов Эрмита (10):

jJ

_ I I ai-2Vj

(i) _ ai-2v _

i!

i=#(j,j*)' i-2v v!(i - 2v)!2V'

л(у1 >

так как для количества элементов множества можно записать

{Vj> i! (i - 2)! (i - 2(vj - 1))!

Ij 1 vj! 2!(i - 2)! 2!(i - 4)! "' 2!(i - 2vj)!

i=#(j,J *)

i!

(i)

_a

Vj !(i - 2Vj )! 2vj i-2vj

i=#(j,J *)

Будем обозначать I\ g множество индексов из I, которые не попали ни в одну пару из д. Аналогичным образом определим множества Tjj\

(T/^)^1)'-'^^ и T\w. Они отличаются от множеств j(I/~)Ы'-Л1Л)) и I\ g только тем, что образованы парами w переменных из Tj, j G J, т.е. обозначениями:

w = {(t^ ,tm1 )(tlY ,tmY )}, w = {tl1 ,tmi ,tmY}, (18)

li,mi, ...,1^ ,my G {1,... ,k}, y = ^(1) + • • • + VJ |),

Определим линейное подпространство С L2(Hk), образован-

ное функциями K(t1,... ,tk), коэффициенты разложения Cii...ik которых удовлетворяют условию

, ТО X 2

Е Е Cii. . . < то (19)

I\ê ^^'-'ih =0 111=lm1 '""4l=lmiJ

Уд G (I/~)Vl)'-vi Ji )\ Vj = 0,..., L#(j, J*)/2j Vj G J.

При фиксированных значениях V(1),..., V(\J\) число индексов в множестве 1\ д равно п = к — 27. Если п = 0, то в результате такой свертки коэффициентов разложения получается константа. Если п > 0, то с их помощью

нумеруются коэффициенты разложения функции из пространства Ь2(Нп), а именно интегрального следа

к (гъ...,гк ) = к (гъ...,гк) м', (20)

Ь' =Ь''

где Ь' = [Ь11 ... Ь1 }т, Ь'' = [ Ьт1 ... Ьт ]т, причем интеграл по множеству

к 7

нулевой меры в Нк следует понимать как

'т

где — объем единичного шара в Е [26]. Интегральный след

К... ,Ьк) — это функция п переменных из множества Т за исключением тех, которые являются координатами векторов Ь' и Ь'', т.е. переменные из множества Т\ет. Отметим, что

д(Ч,Ь1)... д (гк ,Ьк) е Ь?1-" ^Нк), ц,...,1к = 0,I, 2,...,

где {д(г, Ь)}°=° — полная ортонормированная система функций в пространстве Ь(Н).

Эти условия требуются для того, чтобы сформулировать и доказать основной результат. Однако, опираясь на утверждение 2, достаточно ограничиться симметризованными функциями, что позволяет записать приведенные выше условия более кратко.

Пусть функции К(Ь\,...Дк) соответствует симметризованная функция KJ*(Ь\,... ,Ьк) и — коэффициенты разложения этой симметризованной

функции (см. формулы (2) и (4)), удовлетворяющие условию, аналогичному (19), при всех допустимых значениях ,..., \), но только для одного элемента д е (¡-/—У"^'---который можно выбрать произвольно:

/ \2 Е Е ^ - - - и. . . . < (21)

1\ё ,- - - =° 111 ~1т1'- - - ,гч

д е (У-)^ ■ ■ ■ = 0,..., \_#(з, 3 * )/2\ е 3.

Соответствующий интегральный след обозначим

где величина 7 зависит от значений ..., \) и определяется после формул (17) и (18). Индексы у аргументов функции •) могут быть

выбраны иным способом, если это требуется (формально — это переменные из множества ).

Для таких интегральных следов определены кратные стохастические интегралы Ито

ХН К{"(1),-,"ш) (Ь1>. . . >ьк-2(у(1)+---+уш)), (22)

где „ ) — мультимножество, полученное из 3* после исключения эле-

ментов ,]т1,... ,]1 , соответствующих множеству переменных тй.

Определим норму для функции KJ*(Ь\,... ,Ьк):

[#(з{1)^)/2\ \#(зШ 3*)/2\

\\KJ* (ьи...,ьк ^ = Е И

и(1) =° iА )=°

х \\К{^1),-Л I а ))(Ь1, . . . ,Ьк-Щ1) + -+^ I А )))\\12 IА))), (23)

полагая

ХН iА i)) = IАI)) = С0П^,

\\К{^1) I А i ) )\\Ъ2 (Н0) = \К(»{1)-.,»{ i а i ))\

в формулах (22) и (23) при к — 2(и(х) + ... + \)) = 0. Далее будем использовать

обозначение Ь^1---")(Нк) для линейного пространства, которое определяется как пополнение множества симметризован-ных

функций KJ* (Ь1, ...,Ьк) е ь231---3к )(Нк) по норме (23). Нетрудно видеть, что если К (Ьь ... ,Ьк) е Ь2^1-"5к )(Нк), то KJ* (Ьи ... ,Ьк) е Ь^1-" )(Нк). Если значения ... ,]к попарно различны, т.е. \3\ = к, то )(Нк) совпадает

с Ь)(Нк).

Теорема 2. Пусть К (Ьъ ...,Ьк) е )(Нк). Тогда

1) кратный стохастический интеграл Стратоновича по винеровским процессам от функции К(Ь\,... ,Ьк) представляется в виде

ж

X*1 - --1к К (и,...Лк )= £ С...к ...ф \ (24)

.1, - - - ,.к =0

где С.1 .. . .к — коэффициенты разложения (1) функции К(Ь\,...,Ьк) относительно базисной системы {д(г,Ь)}ж=° пространства Ь2(Н), — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, г1 = 0,1, 2,... и I = 1, 2,..., к;

2) справедливо разложение

L#(j(!) ,J*)/2j [#(j(\j\),J *)/2j

-)k(tu...,tk)= E ••• E ^D, . . . ,jx

v(i)=0 v( \ j \ )=0

J *

X Xh{ (1)' ' ( \ J \ )} K(v(i),...,V(\ J\))(t1, . . . ,tk-2(v(i)+...+V(\ J \ ))) (25)

и

L#j(i),J*)/2j |_#(j i J i ),J*)№

\Th}jlj K (t1,...,tk )\\% = E ... E rim,..,,( , j ,>x

V(i) =0 V( | j| )=0

J* )

x \\Th (1)' ' ( 1 J 1 ) K(V(1),...,V( | J | )>(tl, . . . ,tk-2(v(i) + ...+V( IJI )))\l2 . (26)

Доказательство. Для кратного стохастического интеграла Стратоновича выполняется мультипликативное свойство [12]:

Th(jl-jk)q(ii,ti)... q(ik, tk) = TlUl)q(h,ti)... T'j)q(ik, tk) =

= Ijl)q(ii,ti)... Tj )q(ik ,tk) = j ... (j). (27)

Случайная величина Z(jl) • • • ) ^ L образована произведениями натуральных степеней независимых случайных величин:

j) zj) ^П (j))#(ij

ч

j £J iGlj

j ■■■tj ' = П1М ')#(!J;). (28)

а множество

x*J* = X*(ji"'jk) = fz(ji) z(jkHœ

X X iSii ■ ■ ■ zik }ii .-ik

5«1 • ^¡к }«1 ,...,гк =0

состоит из линейно независимых случайных величин (совпадающие элементы, отвечающие разным значениям индексов ц1,... ,Цк, считаются неразличимыми).

Если значения j1 ,...,jk попарно различны, т.е. \J\ = к, то множество X*J* совпадает с ортогональным базисом ZJ* и ортонормированным базисом ZJ* (см. формулы (11) и (12)). Кратные стохастические интегралы Ито и Стратоновича в этом случае равны:

jhji-jk K (ti,...,tk )= rh(ji-jk)K (ti ,...,tk ),

а разложения (8) и (24) идентичны.

Если среди значений ji,... ,jk есть совпадающие, то только часть элементов множества X *J* принадлежит ZJ*. Остальная часть может быть ортого-

( j i ) ( jk )

нализована — это множество элементов Zii ■ ■ - Zil , для которых есть хотя бы одно совпадение значений индексов в одном из мультимножеств I*, j G J.

Пусть

Ь-1

К (ь)(Ьи...,Ьк) = Е

д(г\,Ь\). ..д(гк ,Ьк),

тогда, используя выражение (27), для любого натурального Ь имеем

Ь-1

Х<^к) К (Ь)(ЬЪ ...,Ьк )= Гь(з1---Зк) ^ Сч..Лк д(Ч,Ьг). ..д(гк Л) =

.1, - - - ,.к=°

= £ с;н... .к ■-" ]а(г1,Ь1) ...д(гк )= £ С.1 . - .к С™ ...ф \ (29)

Любой полином Р(х), х е Е, можно разложить по полиномам Эрмита {И.(х)}°=° и максимальная степень полинома Эрмита в разложении совпадает со степенью полинома Р(х). В частности,

\./2\

х. = г

ЕЩ-2у (x) v!(i — 2v)!2V

V=0

= Нг(х) + af)_2Hl-2(x) + af)_AHl-4(x) + ... + a{.\2[:i/2Hi-2ii/2\ (x), (30) например,

x° = Ho(x), x1 = Hi (x),

x2 = H2 (x) + Ho (x), x3 = H3 (x) + 3Hi (x),

x4 = HA(x) + 6H2(x) + 3Ho(x), x5 = H5(x) + IOH3 (x) + 15Hi(x), ...,

где

H0(x) = 1, H1(x) = x,

H2(x) = x2 — 1, H3(x) = x3 — 3x,

H4(x) = x4 — 6x2 + 3, H5(x) = x5 — 10x3 + 15x, ...

Таким образом, ортогонализация неортогональной части множества случайных величин X*J сводится к разложению мономов

j ))# (ij

j J iGlj

по полиномам Эрмита векторного аргумента x с размерностями dim x = k,k — 2,k — 4,... ,k — 2[k/2\ на основе формулы (30). Степень этих полиномов совпадает с dim x. Для элементов (■j1)... ((jk) это означает разложение

„ j= (ji) J= (jk)

по ортогональным случайным величинам, включающим Q1 * ... * Qk .

nnx'])*(i

Множество ортогональных случайных величин Z * J* для представления кратного стохастического интеграла Стратоновича zh(ji'"jk)K(L\t1,...,tk) включает ортогональный базис ZJ и ортогональные базисы для представления кратных стохастических интегралов Ито, кратность которых меньше k: k — 2,k — 4, ■ ■ ■ ,k — 2[k/2j > 0. Все коэффициенты разложения кратного стохастического интеграла Стратоновича по этому базису выражаются через

коэффициенты разложения Cii-ik функции K(t1, ■ ■ ■ ,tk). Если его математи-

J*

ческое ожидание отлично от нуля, то множество Z J включает единицу, а соответствующим коэффициентом разложения кратного стохастического интеграла Стратоновича будет это математическое ожидание. Следовательно, J*

множество Z J можно определить в виде

L#(j(i),J*)/2j L#(j(\J\),J *)/2j * Z * J* = Z *(ji-jk) = y ■■■ U ZJ*v(i)"'"v( \ J \ )}, (31)

V(i)=0 V(\j\)=0

полагая Z0 = {1}.

Коэффициенты разложения кратного стохастического интеграла Стратоновича Ih(ji jk)K(L)(t1, ■ ■ ■ ,tk) относительно множества ортогональных слу-h J*

чайных величин Z {V(i)''"'V(\J\)} образовано свертками коэффициентов разложения Cii...ik :

L—1

У ^ Ск..Лк

=0 Hi =imi =imY

bli —0

каждая из которых связана с некоторым элементом д Е (I/1)> согласно (17), а их общее число равно |)> для каждого набо-

ра значений V(1),..., V(|J\). Такой свертке соответствует интегральный след К,... ), задаваемый формулой (20).

Коэффициенты разложения С^.^к^ не меняются при перестановке индексов в каждом классе эквивалентности , а функция К^(¿1,... ^к) не меняется при перестановке переменных в каждом классе эквивалентности Tj. Поэтому достаточно произвольно выбрать один элемент д Е (I/-)('и(1),...^(1-]' и записать коэффициенты разложения

Ь—1

г11 ,...,Н7 =0

кратного стохастического интеграла Стратоновича х*^1"^^К(^(Ь1,... ^к), соответствующие интегральному следу

г1)>К{^1),..^1)>(tl,... ,tk—2(v{l)+...+v{|J|))).

ili —imi ,---,ilY —im.j

В результате кратный стохастический интеграл Стратоновича представляется в виде суммы кратных стохастических интегралов Ито и своего математического ожидания. При этом кратные стохастические интегралы Ито соответствуют базисным системам из правой части формулы (31):

[#(3{1)^*)/2\ [#(3{\л )^*)/2\

Х*(л1л К (ь) (Ьи...,Ьк )= £ ... е i л ))Х

"(1)=° i л )=°

Х хь^'-Л| л | Р^i л i ))(ЬЬ . . . ,Ьк-2Ы + -+^(IлI))), (32)

где для и(1) = ... = \) = 0

XI. * К™ ,..,„< , л ,, = к)К ),

а остальные стохастические интегралы Ито имеют кратности меньше к: к - 2,к - 4,...,к - 2\к/2\ > 0.

Следовательно, линейный оператор Х^1 ) представляется в виде конечной суммы линейных операторов. Один из них — линейный оператор Х^1---Лк), а остальные операторы ставят в соответствие функции К(Ь)(Ь\,... ,Ьк) кратные стохастические интегралы Ито от интегральных следов вида (20).

Все кратные стохастические интегралы Ито в правой части соотношения (32) ортогональны в пространстве С2, так как они представляются ортогональными разложениями [1] по разным подмножествам множества 3* "Г, поэтому справедлива формула

1#(3(1),.Г)/2\ \#(з( I л),.Г )/2\

К (Ь)^...лк )\\1 = £ ... £ П)Х

"(1)=° "(I л )=°

Х \\ХЬ 'ЛО-Л | л Р ^1), ^ I л ))(ЬЪ .. .,Ьк-2Ы+.. .+„( I л )^\\12. (33)

С учетом соотношения (9), а именно

\ТТ{и(1)"'"и(iлi)) К(Ь) (Ь Ь )|| =

\Хн i л i )){Ь1,...,Ьк-21 пс* =

(Ь)

= i л ))I л ))(Ь1,.. .,Ьк-21 )\\ышк-*г) ^

^ i л ))(Ь1, . . .,Ьк-21 )\ь*( н^), 7 = и(1) + ... +

так как при ^ > 0

М2г = М%Т\ (1-р)! =Т](г - )! <М%,

и{н(1)'...'У(Iлi)) ^ х х г! .=#(л т*) ххч .=#(л т*) и

.=#№ *)

jеJ 4 У jеJ

.=#(зЗ *)

и с учетом определения нормы (23) имеем

)К ^(¿1,...^ )\к

L#(j(l),J*)/2J L#(j(|J|^J*)/2J

£

^(1)=0

Е г

V(|J |)=0

(^(1) |)>

х

х ■ ■ ■ "(И)>К(L)

к ^V(l),..,V(|.J|)>(tl, . . . ,tk—2(v(l)+...+v(|.J|)))Н£2

L#(j(l) ¿*)Щ L#(j(| J |),J *)/2J

^ Е ... ^ Г(^(1),..^(И)> х ^(1)=0

<

^ |)=0

.1 *

х \\ХкН1)'■ ■ ■ КЩ

(-и{1)...Ли|)>(tl, . . . —2(^(1) + ...+^|)))\^2

<

L#(j(l),J*)/2J L#(j(|J|),J*)/2J

<мт* Е ... Е г

^(1)=0

X

V(|J|)=

К

(L)

(Ь,... ,tk—2(v(l)+...+V(|J|)))

^ |))Л ^2(ик_2("(1)+■ ■ ■^(иР) =

ЫJ *\\К ^(¿1,...^ )\\ гМл

■ Зк)

(ик)

(34)

Равенство в формуле (34), т.е.

\\Г^к )К (L)(tl, ...^к )\\С2 = ЫJ*\\К (L)(tl,.. к )\и01 ■ Зк)

(ик)

достигается, если все интегральные следы в правой части соотношения (32) тождественно равны нулю.

Переходя к пределу при Ь ^ то в соотношении (34), получаем, что ли-

нейный оператор х

является ограниченным с нормой \х

=Ы

J *,

а из (29), (32) и (33) следует справедливость разложений (24) и (25), а также соотношения (26). М

Замечания 2.

1. Множество случайных величин (31) образует ортогональный базис линейного подпространства ) = {Х*кХ )К (¿1,... Дк): К (¿1,... Дк) Е Ь^к )(нк)} С С2. Соответствующий ортонормированный базис получается в результате нормировки (см. п. 2 замечаний 1).

2. Поскольку Е(2г = (—1)г#2г(0) = (2ц — 1)!!, из выражения (28) находим

2

П1М 1)*W;1

(j1) Л ^к

... ъгк \\^2

jЕJ гЕЬ

2

ППи(с(

3 еЛ Шз

(з) )#(г,1*)||2 _

I Со

ХШт^з) -

3еЛ Шз

Максимум нормы элементов из 3* л достигается при \1з \ _ 1 У] е J, т.е. на элементах вида

(31) Л(3к ) _ ТТ

^¿1 ' ' ' ^к Ц

Пк

зЛ *)

где ((3) — любая случайная величина из множества {С. }£=о, следовательно,

2

%1,...,%к 1 к 2

П

зЛ *)

з ел

Со

П

зЛ *)||2 _

А- П ) - 1)!!_ М2-

3. Теорема 2 дает ортогональное разложение кратных стохастических интегралов Стратоновича от симметризованных функций. Однако это не является принципиальным ограничением и связано с тем, что для симметризованных функций более кратко записываются необходимые условия, в частности норма (23), и результат — разложение кратного стохастического интеграла Стратоновича в сумму его математического ожидания и кратных стохастических интегралов Ито. Например, для кратности к _ 3 и ] _ ]2 _ ]3 при выборе функции К(г1,г2,г3) е ь2{пШ (Н3) возникает необходимость рассматривать три интегральных следа

'н

К (ЬМ^з) _ К (гхММ)^!,

н

н

К (ЬМ^з) _ К (имМЩи

н

н

или интегральный след

К(Ь^з) (&2 _ К

¿2=*3

н

/ (К (т, Т, г) + К (т, г, Т) + К (г, т, т)) ¿т. н

Для соответствующей симметризованной функции К л* (г1,г2,г3) _ {К(г1,г2,г3))л* е Ь^3133)(Н3) достаточно взять только один интегральный след относительно любой пары переменных из множества Т _ {г1,г2,г3}. В этом смысле симметризация эффективна, если хотя бы для одного класса эквивалентности 1з или Т3, ] е J, выполнено условие \1з\ _ \Тз\ > 2.

В общем случае вместо формулы (25) получаем

т" • "к К ) = = Е ••• Е хп"(1)' '''"( 1 " 1 " Е к{^...л),

где использованы обозначения (18) и (20), причем в сумме интегральных следов предполагается единое обозначение их переменных для каждого из слагаемых, например .. , £к-2(^(1)+...\ 3 \)). Соответствующим образом можно записать и соотношение для нормы кратного стохастического интеграла Стратоновича — аналог формулы (26):

1#0<1),-П/2\ тпт.г)/2\ г

= £ •■■ £ К"т....." £ ^

^(1)=0 "(\"\)=0 го£(Т/~)('(1)" '' '"(\"\)'

Доказательство проводится так же, но с переопределением пространства .. .к)(Нк) на основе другого выражения для нормы в этом пространстве.

4. Для линейного пространства ^^ ^к)(Нк) можно определить норму

\#(з{1),Г)/2\ \_#('( \ "\ ),Г)/2\

\\Kjt((ь...м)||Ь2Г(Л'Эк)(Ик) = Е ■■■ Е г(^(1), . . . V\ " )> х

^(1)=0 \ "\)=0

Х \\(К<^(1),. ..^\"\)>((Ь ■ ■ ■ ,Ч-2(*(1)+...\"\)))>х*\\Ь2(Нк~2("(1)+'''+"( \" \)))

вместо нормы (23) и рассматривать это пространство как множество классов эквивалентности (13) (см. п. 3 замечаний 1).

Тогда для класса функций К(¿1, ■ ■ ■ ,Ьк) € Ь^'1"")(Нк) справедливо разложение вида (24), в правой части которого Сг1..гк — коэффициенты разложения (1) любой функции К(¿1, ■ ■ ■ ,Ьк) из этого класса (элемента линейного подпространства Ь*^1.."к)(Нк)).

Действительно, пусть функция К(£1,...,£к) € Ь2(Нк) такая, что Кх*) = {К)>€ Ь2(п ..''к)(Нк) — соответствующая сим-метризованная функция (2). Согласно утверждению 2 и теореме 2 находим

то

х;"■ ■'к)к((1,...лк)=т;"1 ■."]кх,(11,...,гк)= Е с„.. . ф>■..>,

г1, . . . ,%к =0

где Сг1...к — коэффициенты разложения (1) функции Кл* (г1,... ,гк) относительно базисной системы {д(г,г)}°=0 пространства Ь2(Н), ) — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, %1 _ 0,1, 2,... и I _ 1, 2,..., к. Но из равенства (4) следует, что любые частичные суммы рядов

то то

Ее г (31) г (3к) и V4 С г (31) г (3к)

С%1...%к ^ / у е'1-1~Лк . . . Ык

%1,...,гк=0 г1 ,...,%к =0

совпадают, где Сг1..к — коэффициенты разложения (1) функции К(г1,... ,гк) относительно той же базисной системы, т.е.

то

Т^К)_ £ СЧ..ЯЛ3 ...ф\ (35)

%1,...,гк =0

Дополнительно отметим, что [}^31...3к)(Нк) целесообразно принять за область определения линейного оператора Т*31 "3к). Следовательно, линейный

Х*(31 ...зк)

* устанавливает взаимнооднозначное соответствие между линейными пространствами Ь^31.^(Н) и С*2{31"3к) _ {Т*(з1...3к]К(г1,...,гк) :

К(ги...,гк) е ь33к)(нк)} ^ С2.

Если для линейного пространства Ь^31."31*)(Нк) определить норму в виде

Жз{1),Л*)/2\ [#(з( i ] i ) ,Л*)/2\

\ь2{31-к (нк)- 1 л \ IJI))

1) =0 i J| )=0

\КЛ* (г1,...,гк)^1ьг(п...1к) (Нк) _ Мл*\ Е ... Е лХ

1

^ 2

2

х \\{К{и{1),...,и{i j i ))(г1,.. . ,гк-2(„(1)+...+„(IJI))))Л*\\Ь2(нк-2(Ч1)+-+ЧIJI)))

где

Мл *

~ _ _ {и(1)'-'и( i J|) >

гiJi)) _ IJI)) ~

П

Мл *

Л!

зел V3

г=#(зЛ *)'

то в дополнение к формуле (26) получим

\\ТНП ...3к К (гl, . . . , гк )\\Со _ \\{К (г1, . . .,гк )) Л * \\1)2;(01-0к )(Нк) .

5. В другом виде разложения (25) и (35) можно записать, опираясь на основной результат из [18]: представление кратного стохастического интеграла Ито в виде суммы кратных стохастических интегралов Стратоновича и

детерминированной величины. Для этого нужно в соотношениях, указанных в [1], формально поменять местами произведение Вика (см. п. 1 замечаний 1) и обычное произведение случайных величин, а все разности заменить на суммы.

Так, на основе соотношений

с^е" = с"1' * ' + Д12,

с^с^с?' = ' *'1 *' + Д12С"3) + Д1421+Д23с('1),

((''•С?)С?)С?) = " *" * > * ' + Д12' *' + Д1зсг"2) * ^> +

+ Д14с('2> * ' + Д23" * " + Д24C(?', * ' + ДмС'0 * Сг'2> +

+Д 12Д34 + Д13Д24 + Д14Д23, ■ ■ ■,

Д1т = ЛМт 6Ч гт , 1,т

имеем

то

Е Сг1г2Сг^'1)СгС2) = Е ¿2С;'1) * С'2) + Л'1'2 Е Сг1г1'

¿1,«2 =0 ¿1,42=0 ¿1=0

то то

ЕС г "г ('2)Г ('з) = V4 С ^ ('1) * Г ('2) ± г ('з) +

C¿1¿2¿3Чг1 Ч2 М3 = / ^ С«1 «2«зЧг1 * М2 * Ч3 + ¿1 ,¿2 ,¿3=0 ¿1 ,¿2,43=0

тотото

+ л- ■ С • • л('3) + Л- . С • . л('2) + Л- . С • . г('1)

+ иЛ32 / ; C¿1¿1¿3 Ч3 + иЛ33/ ; C¿1¿2¿1 Ч2 + Л3233 / ; C¿1¿2¿2 ^ , ¿1,¿3=0 ¿1,¿2=0 ¿1 ,¿2=0

тото

ЕС Г ('1)^ ('2)г ('3) Г ('') = V4 С ^ ('1) * ^ ('2) ± Г ('3 ) ± ^ ('') +

C¿1¿2¿3¿' ^¿1 ^¿2 ^¿3 Ы' = / ^ C¿1 ¿2¿3¿' ^¿1 * ^¿2 * ^¿3 * Ы' + ¿1 ,¿2 ,¿3^4=0 ¿1,¿2,¿3,¿'=0

тото

+ Л- ■ С- ■■ ■ Г('3), Г'') + Л- ■ С- ■■ ■ Г('2^ Л('') +

+ и'1'2 / ; C¿1¿1¿3¿' Ч3 * Ч' + и'1 '3 / ; C¿1¿2¿1¿' Ч2 * М' + ¿1,¿3,¿'=0 ¿1,¿2,¿'=0

ТО то

+ Л- ■ С- ■■ ■ Г('2) ^ Г('3) + Л- ■ С- ■■ ■ Г('1> * Г('') +

+ Л'1'' / У C¿1¿2¿3¿1 Ч2 * Ч3 + Л'2'3 / ; C¿1¿2¿2¿' ^ * Ч' + ¿1,¿2,¿3=0 ¿1,¿2,¿'=0

тото

+ Л- ■ С- ■■ ■ Г('1^ Л('3) + Л- ■ С- ■■ ■ Г('1^ Л('2) +

+ Л'2'' / ^ C¿1¿2¿3¿2 ^ * Ч3 + "'3'' / ^ C¿1¿2¿3¿3 ^ * М2 +

тотото

+ Л'1'2 Л'3'' ^^ C¿1¿1¿3¿3 + Л'1'3 Л'2'' ^^ C¿1¿2¿1¿2 + Л'1'' Л'2'3 ^^ C¿1¿2¿2¿1 , ■■■ ¿1 ,¿3=0 ¿1 ,¿2=0 ¿1 ,¿2=0

6. Если значения ]1,...,]к совпадают, т.е. |J| = 1, то соотношение (25) дает разложение Ху-Мейера для кратных стохастических интегралов Стра-тоновича [5-7,9,12].

Действительно, при условии \J\ = 1, или #(j,J*) = k, соотношение (25) записывается в форме

\k/2\ J*

!1{J1-Jk) K (ti, ...,tk )=Y r(v J KW . . .,tk-2v),

v=0

где

= (k) = k! r(v) = ak-2v = v!(k - 2v)!2v

и

K{o)(ti,... ,tk) = K (ti, ...,tk) или K{o)(ti, ...,tk) = Kj* (ti,.. .,tk),

K(i)(ti,...,tk~2)= Kj* (ti,... ,tk-i,tk-i)dtk-i,

J H

K{2)(ti,...,tk-4)= i KJ* (ti, . . . ,tk-3,tk-3,tk-i,tk-i)dtk-3dtk-i, ...

J H2

Если k — нечетное, то

K(\k/2\)(ti) = KJ* (ti ,t2,t2, . . . ,tk-3,tk-3,tk-i,tk-i)dt2 . . . dtk-3dtk-i,

JH\k/2\

а если k — четное, то

K(k/2) = Kj*(ti,ti,... ,tk-3,tk-3,tk-i,tk-i)dti... dtk-3,dtk-i = const.

Hk/2

Пример 1. Представить стохастический интеграл Стратоновича

lfi2)K (ti,t2,t:i)

кратности k = 3 в виде ортогонального разложения, K(ti,t2,t3) Е Ь*!(2122(H3).

В данном случае ji = j3 = 2 и j2 = 1, т.е. J = {1,2} и J* = (212). Множество индексов I = {ii,i2,i3} и множество переменных T = {ti,t2,t3} разобьем на классы эквивалентности:

I/- = {{М,,^М}, T/~ = {{2},{мм},

h I2 T T2

#(1,J*) = 1, #(2, J*) = 2, Mj* = 1!2! = 2.

Следовательно,

' «X = (^ f - Del1 + e =

e«=J = ъмф^СКФ)+ii=

, cfCcf = Hi, 11«™^), ii= i3,

и > (2) > (1)> (2),|2 = I 3' 11 или ц> (2) > (1)> (2^12 =1+9Л

^¿1 (¿2 ^¿3 \\£2 = ^ или ^¿1 ^¿2 ^з \\^2 = 1 +^¿3,

[1, ¿1 = ¿3,

"*(212) = "2(212) I I 2(1) = г^(2) с(1) с(2) с(1Ь то 2 = 2 и 2 = ^^¿1 * ^¿2 * ^¿3 'Цг J¿l,¿2,¿з=0'

г с(2^ сс(2) -^то

2*(212) =1 ^¿1 * ^¿2 *^з £.(1)1

I \А + Л¿1 ¿3 ] ¿l,¿2,¿3=0

(2) (1)

где (¿\ и — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, ¿1, ¿2 = 0,1, 2,...

В этих соотношениях использовано обозначение полиномов Эрмита {Н11,.,1к (х)}то 1к=0 векторного аргумента х = [ х1 ... хк ]т, которые образованы всевозможными произведениями полиномов Эрмита {Н^(х1)}то°=0, ...,

Н(хк)}то=0 [1].

Далее вместе с рядом (24) и разложением (25) (см. также п. 3 замечаний 2) записано представление кратного стохастического интеграла Ито в виде разложения по ортонормированному базису (12), которое как для общего случая, так и для ортогонального базиса 3(212) и интегралаХ/^К((1,(2,(3) приведено в [1].

Пусть C¿1¿2¿3 — коэффициенты разложения (1) функции К((1, 42, 43). Тогда

то

;(212)К (41,42,43)= Е C¿'i2¿з е =

¿1 ,¿2 ,¿3=0

тото

= V С - С(2^ ГГ(2) + V С - С (1) =

= ^^¿1 ¿2¿3 * Z¿2 * Z¿3 +2-^1 С1 ¿2¿1 >>¿1 =

¿1/2 ,¿3=0 ¿1,¿2=0

то то то с + с с(2) с(1)^(2) = У^ V""11 C¿1¿2¿3 + C¿3¿2¿1__>¿1 ^¿2 ^3__|

= ¿4^0- • НС(2)* С (1)* С (2)Н£ НС (2)* С (1)* С (2)Н£

¿1=0 I2=0 ¿3=1 \\^>¿1 М2 ^¿3 \\^2 \\Ь¿1 М 2 S¿з \\^2 тото

+ Е( ^2C¿ И 2¿J С 2 , ¿2 =0 ^ ¿1=0 '

то

(212)

Х;(212)К (41,42,43)\С2 =

V с - с(2и с(1Ч г(

1¿2¿3 Ы 1 * ц¿2 * Ы

¿1^ 2, ¿3=0

2

■ то то то П \ 2 то , то ч 2ч 2

У"^ У^ У^ (С ^ 2¿ 3 + С ¿3¿ 2 ¿ 1 ) + I I

(2К с(1). ,(2^,2 + l¿2¿l /

'¿1=0 ¿2=0 ¿3=¿ 1 \\ъ¿1 * м2 * М з \\£2 ¿2 =0 N1=0 7 у

или

Г™ К(11,12,13) _ Е С.1,2,3((XX

то

*(212)Кг г_ г_) ^ ^ С. . . Г(2)г(1)^(2)

пз

¿1,.2,гз=0

то то то то то

ЕЕЕ Ф * Ф * ф + £ (£ С,..) Ф _

г1=0 г2=0 г3=г1 г1%3 г2=0 ^г1=0 '

1 то (2) (1) (2) то то (1) 2 ^^ (Сч,2гз + С¿3,2,1) СгЛ * (¿1 * С3 + ^^ ( ^^ С,1г2г^ С2 ,

г 1 ,¿2,¿3=0 ¿2=0 ^¿1=0

то

|= (212)

К(К(г^МС _

(2) (1) (2) ¿3

^ С А2) А1)А'<

/ ; еlll2l3 ^ Ы2 Ы3

с

2

то то то 2 то то 2

(С¿11213 + еiзi2il)

1 + 6^« + 7 л 7 'еi1i2i1

_ I + еiзi2il) , / П

^¿1=0 ¿2=0 ¿3=п ч%3 ¿2=0 х,1=0 7 '

{1 то То , то ч 2ч 2

2 ^ у (Cili2iз + ^зИН) + ^ Д ^ ^ Cili2il ) Г .

¿ЬИ^^ ¿2=0 \¿1=0 ' >

Пример 2. Представить стохастический интеграл Стратоновича

Т*(1122)К Мммм)

кратности к _ 4 как сумму кратных стохастических интегралов Ито, а также в виде ортогонального разложения, К(г1,г2,г3,г4) е Ь2(1122)(Н4).

В данном случае ]1 _ ]2 _ 1 и ]3 _ ]4 _ 2, т.е. J _ {1, 2} и 3* _ (1122). Множество индексов I _ {Ц1,Ц2,Ц3,Ц4} и множество переменных Т _ {г1,г2,г3,г4} разобьем на классы эквивалентности:

I._ {{ММ,,, т/~ _ {{мм},{м}},

11 12 Т1 Т

#(1, Г) _ #(2, Г) _ 2, МЛ* _ 2!2! _ 4.

Симметризованная функция Кл*(г1,г2,г3,г4) согласно (2) имеет вид

Кл*(г1,г2ММ) _ М^ЕК(гъг2ММ) _

л* т/~

_ 1 (К (М1,г2,г3,г4) + К (г2,гъг3, г4) + К (гиг2, г4,г3) + К (г2, гиг^))

и пусть С— ее коэффициенты разложения (1). Кроме того, (Цз') — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, ц _0,1, 2,... и I _ 1, 2,3,4.

Так как

[#(1,Г)/2\ = [#(2, Г)/2\ =1 и к - 2([#(1,Г)/2\ + [#(2, Г)/2\) = 0,

следует записать три кратных стохастических интеграла Ито, которые соответствуют всем парам (^(1),^(2)) при и(1) = 0,1 и = 0,1 за исключением ^(1) = ^(2) = 1, а также константу, соответствующую значениям ^(1) = ^(2) = 1, — математическое ожидание кратного стохастического интеграла Стратоновича.

При ^(1) = ^(2) = 0 имеем стохастический интеграл Ито кратности к = 4:

41122)К (¿1,12, ¿3, ¿4) = 41122) KJ* (11, ¿2, ¿3, ¿4) ,

система ортогональных случайных величин для его представления — это 3(1122) = гс(1)* с(1)* с(2)* с(2Ьс». . . 0

Рассмотрим случай ^(1) = 1, ^(2) = 0: = (22). Определим функцию

К {1,0)^3,и) = KJ-(¿ь^,^,^) = ^- (¿1,^1, ¿3,^4)^1,

'ж

tl=t2 Jж

для которой получаем стохастический интеграл Ито кратности к = 2:

422)кт(гз,г4),

система ортогональных случайных величин для его представления — это 3(22) = {С(2) * С(2)}»,«4=о- В итоговом представлении этот интеграл будет с коэффициентом

Г(1, 0) = Щ-2

2! =1,

«=2 1! (2 - 2)! 2

а коэффициенты разложения функции К^10){Ь3, ¿4) вычисляются следующим образом:

г (1,о) = г = г

Г«3Ч = / V Г«1«2«3«4 . _. = / ^ г

ж__ «1«1«3«4 •

«1=«2

«1=о 1 2 «1=0

Далее случай ищ = 0, ^(2) = 1: ,1*0 1) = (11). Определим функцию

К (0,1)^1 ,¿2)= KJ - (¿1, ¿2, ¿3, ¿4) ^з = ^ - (¿1 ,¿2^3, ¿3)^3,

1-3=1-4 Jж

для нее записываем стохастический интеграл Ито кратности к = 2:

11п)кт(г1,г2),

система ортогональных случайных величин для его представления — это 3(11) _ {(^ * (Ц1}то,2=0. В итоговом представлении этот интеграл будет с коэффициентом

Г(0,1)

= a

(i)

i-2

2!

i=2 1!(2 - 2)!2

= 1,

а коэффициенты разложения функции K(q:1) (t1,t2) вычисляются по формуле

с (0'i) = v^ C

Cili2 = / V Cili2i3i4 i3=0

i3 = i4

EC

i1i2i3i3'

i3 =0

Наконец, случай V(1) = V(2) = 1: J*11) = 0- Определим константу

K(1,1) = Kj* (t1,t2,t3,ti)

Jh2

dt1dt3 = l KJ* (t1 ,t1,t3,t3)dt1dt3,

tl=t2 ,t3=t4 J H2

которая в итоговом представлении будет с коэффициентом

r11)

= a

(i)

i2

i=2

(i) ai-2

=1

i=2

и ее можно представить следующим образом:

с(1'1) = V с

с / ; Ci1i2i3i4

il,i3=0

il=i2,i3=i4

Е с,

ilili3i3

i'i,i'3=0

Следовательно, по теореме (2) имеем

rh(1122)K (иммм) = 4Ш2)к (tut2,t3, и) +

+ Ii22)K{h0)(t3,U)+ >Ki01)(t1,t2) + K(1,1),

(11)

где

K{h1) = с(=Ei;(1122)K (t1,t2,t3 ,t4).

Ортогональный базис Z* J* = Z*(1122 для представления кратных стохастических интегралов Стратоновича определяется в форме

Z*(1122) = Z(1122) у Z(22) и Z(11) и {1} =

= it(1h СW * С^ * С(2) С^ * С(2) СW * С^ н. .

ISil >i>2 ^i'3 Ч4 ' ъ-3 Ъ-4 ' ^ii Ы2 1 }il,i2,i3,i4=0'>

и ортогональное разложение интеграла х*11222K(t1,t2,t3,t4) имеет вид

Т

-Li

i1122)

00

h к(t1,t2,hM) = £ Cili2i3i4zf * С * С * С +

il,i2,i3,i4=0

+ Е да * е + £ со^» * е+г=

«3,«4=0 «1,«2=0

» » » » ^ г (1) г (1) г (2) г (2)

^ _4г«1«2»3«4__Ц * Ц * Ч * ^4 +

УС (1) * С (1) * С (2) * С (2)1к УС (1) * С (1) * С (2) * С (2)Н£ +

«1=0 г2= г 1г3=0 г4=13 уъ«1 М 2 М 3 11^2 уъ«1 ъ« 2 ъ« 3

» » 2г(1,0) Г(2) ^ Г(2)

+ «3«4__Ч3 * ^«4 +

+ ц>(2) (2)ц и.(2) с(2),, +

«3=0 «4=«3 «3 ъ«4 у^2 «3 4 у^2

» » 2г(0,1) .(1) г(1)

+ «1« 2__^ 1 * Ц «2 + г (1,1)

+ УС (1) * С(1)И£ УС (1) * С(1)И£ + г

«1=0 «2=« 1 уЪ«1 Ь« 2 М^2 «1 Ь« 2 М^2

с учетом результатов работы [1].

Пример 3. Представить стохастический интеграл Стратоновича

1*12112)К (¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5)

кратности к = 5 как сумму кратных стохастических интегралов Ито, а также в виде ортогонального разложения, К(¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5) Е 72112).

В данном случае ]1 = j3 = ]4 = 1 и j2 = j5 = 2, т.е. 7 = {1, 2} и 7 * = (12112). Множество индексов I = {¿1,¿2,¿3,¿4,¿5} и множество переменных Т = {¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5} разобьем на классы эквивалентности:

I/- = {{¿Ц,13, ¿4}, {¿2, ¿5}}, Т/~ = {{¿1, ¿3, ¿4}, {¿2Л}}, 11 12 Т1 Т2

#(1,7*) = 3, #(2,7*) = 2, М% = 3!2! = 12. Симметризованная функция KJ- (¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5) согласно (2) имеет вид

KJ- (¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5) = М^Е К(¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5) =

= ^ (К(¿1,^2,^3,^4,^5) + К(¿3,*2,*1,*4,*5) + К(¿4, ¿2, ¿3, ¿1, ¿б) +

+ К (¿1, ¿2, ¿4, ¿3, ¿5 ) + К (¿3, ¿2, ¿4, ¿1, ¿5) + К (¿4, ¿2, ¿1, ¿3, ¿5) + + К (¿1, ¿5, ¿3, ¿4, ¿2 ) + К (¿3, ¿5, ¿1, ¿4, ¿2) + К (¿4, ¿5, ¿3, ¿1, ¿2) + + К (¿1, ¿5, ¿4, ¿3, ¿2 ) + К (¿3, ¿5, ¿4 ,¿1,12) + К (¿4, ¿5, ¿1, ¿3, ¿2))

и пусть Г«^— ее коэффициенты разложения (1). Кроме того, С(л) — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, ц = 0,1, 2,... и I = 1, 2, 3,4, 5.

Поскольку [#(1,7*)/2\ = [#(2,7*)/2\ = 1, следует записать четыре кратных стохастических интеграла Ито, которые соответствуют всем парам (^(1), ^(2)) при У(1) =0, 1 и У(2) = 0,1.

Если ^(1) = ^(2) = 0, то получаем стохастический интеграл Ито кратности к = 5:

412Ш)К (¿1 ММ, ¿4 ,¿5) = I(¿2n2)KJ- (¿1 ММ, ¿4, ¿5) , система ортогональных случайных величин для его представления — это

з<12112> = {£>* е* сС>* с«2'}«_________

Рассмотрим случай ^(1) = 1, ^(2) = 0: 7*10) = (212). Определим функцию

К(1,0) (¿2, ¿4, ¿б) = / KJ- (¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5) = ^ - (¿1, ¿2 ,¿1,^4,^)^1,

ж

^1=^3 J Ж

для которой получаем стохастический интеграл Ито кратности к = 3:

1(122К(1,0) (¿2, ¿4, ¿5) ,

система ортогональных случайных величин для его представления — это 3( 212) = {^ * ((1) * Zг(2)}°»«4 «5=0. В итоговом представлении этот интеграл будет с коэффициентом

(«)

г(1,0) = а-2

3! =3,

«=3 1!(3 - 2)!2

а коэффициенты разложения функции К^100)(Ь2,14,15) вычисляются следующим образом:

(1,0)

г (1'0) = Г = Г

Гг2«4«5 / ; ггlг2гзг4г5 « =« / ^ Ггlг2гlг4г5 • «1=0 «1=«3 «1=0

Далее случай ^(1) = 0, ^(2) = 1: 7*0 1) = (111). Определим функцию К(0, 1) (¿1, ¿3, ¿4) = / KJ- (¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿б) ^2 = ^ - (¿1, ¿2 ,¿3^4,¿2)^2,

^2=^5 JЖ

для нее записываем стохастический интеграл Ито кратности к = 3:

1/^111)К(0 ,1) (¿1, ¿3, ¿4),

система ортогональных случайных величин для его представления — это 3(111) = {С(1) * С(1) * С^}»« ,«4=0. В итоговом представлении этот интеграл будет с коэффициентом

(«)

г (0,1) = а\-2

2! =1,

«=2 1!(2 - 2)!2

а коэффициенты разложения функции К{01)(г1,г3,г4) задаются формулой

то то

С{0,1) _ С _ С"

С,1 ¿3'4 _ / V еi1i2i3i4iь . _. _ / ; С'

/i1i2i3i4i2•

¿2=00 ¿2=00

Наконец, случай и(1) _ и(2) _ 1: 3*11) _ (1). Определим функцию

К{11)(г4)_ Кл* Ммммл)

н2

¿г1йг2 _

_ К л * (г^м^м)^^,

н2

для которой имеем стохастический интеграл Ито кратности к _ 1:

Ть) К{1,1)(г4),

система ортогональных случайных величин для его представления — это 3(1) _ {С(1)}то=0. В итоговом представлении такой интеграл будет с коэффициентом

(¿)

Г{1,1) _ 4-2

(¿) а—

¿=3

при этом коэффициенты разложения функции К{1,1)(г4) задаются формулой

_ 3,

¿=2

то то

С{М) _ с _ С1

_ / ; еi1i2i3i4iЬ . _. . _. _ / ; С'

/i1i2i1i^i2•

. . „ ¿1 ^зИ^В

¿1,'2=0 ¿1,'2=0

Пользуясь теоремой (2), можно сделать следующий вывод:

г*(12112)к(гиг2,г3,г4,г5) _ 412112)К^мммл) + зТ^Щщ(г2мл) +

+ 1£п)к{о1)(гъг3 ,г5) + 31^к{1А)(г4).

Ортогональный базис 3 л _ 3 12112) для представления кратных стохастических интегралов Стратоновича определяется выражением

3*«т* _ 3(12112 и 3(ад и 3 (ш> и 3 (ч _ {С(1) * ^ * * С(1) *

С(2)* С(1)* с(2) С(1)* С(1)* с(1) С(1)}то. • • ■ 0

М2 М4 ' М1 ^¿3 ^¿4 ' ^¿4 J i1,i2 ,i3,i4,i5=0 '

и ортогональное разложение интеграла т**(12112)к(г1,г2,г3,г4,г5) имеет вид

то

ъ^к (г1,г2,г3,г4,г5) _ £ ^li,iзi4i5 С<1> * С* Ф* (С* & +

il,i2,iз,i4 ,¿5=0

оо

оо

+ з V с м С (2) *С (1) *С (2) + V с{0,1) С (1) *С (1) *С (1) +

1 / у «2«4«5S«2 S«4 S«5 / v 3« S«3 S«4

« 2, «4,« 5=0 oo

«1, «3, «4 =0

+ з£ с<1 ^ =

« 4=0

oo oo oo oo oo

EEEEE

_1 2 3 4 5_ у

z (1) * z(2) (1) * z(1) (2)ik

S«1 S« 2 S«3 S« 4 S«5 11^2

X

Автор благодарит д.ф.-м.н., профессора Д.Ф. Кузнецова за обсуждение представленных в статье результатов и высказанные рекомендации, позволившие улучшить изложение.

Список литературы

[1] Рыбаков, К.А. Ортогональное разложение кратных стохастических интегралов Ито // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 2021. № 3. — С. 109-140.

[2] Ito, K. Multiple Wiener integral // Journal of the Mathematical Society of Japan. — 1951. Vol. 3. No. 1. — P. 157-169.

[3] Hida, T., Ikeda, N. Analysis on Hilbert space with reproducing kernel arising from multiple Wiener integral // Proc. 5th Berkeley Symp. on Math. Stat. and Prob. — 1967. Vol. II, part 1. — P. 117-143.

[4] Ogura, H. Orthogonal functionals of the Poisson process // IEEE Transactions on Information Theory. — 1972. Vol. 18. No. 4. — P. 473-481.

[5] Hu, Y.-Z., Meyer, P.-A. Sur les integrales multiples de Stratonovitch // Seminaire de probabilites. — 1988. T. 22. — P. 72-81.

[6] Solé, J.LL., Utzet, F. Stratonovich integral and trace // Stochastics and Stochastic Reports. — 1990. Vol. 29. No. 2. — P. 203-220.

[7] Budhiraja, A.S. Multiple stochastic integrals and Hilbert space valued traces with applications to asymptotic statistics and non-linear filtering / Ph.D. Diss., The University of North Carolina, Chapel Hill, 1994.

[8] Houdré, C., Pérez-Abreu, V. (eds.) Chaos Expansions, Multiple Wiener-Ito Integrals, and Their Applications. — CRC Press, 1994.

[9] Delgado, R. Multiple Ogawa, Stratonovich and Skorohod anticipating integrals // Stochastic Analysis and Applications. — 1998. Vol. 16. No. 5. — P. 859-872.

10] Solé, J.LL., Utzet, F. Integrale multiple de Stratonovich pour le processus de Poisson // Seminaire de probabilites. — 1991. T. 25. — P. 270-283.

11] Solé, J.LL., Utzet, F. Une note sur l'integrale multiple de Stratonovich pour le processus de Poisson // Seminaire de probabilites. — 1992. T. 26. — P. 410414.

12] Farré, M., Jolis, M., Utzet, F. Multiple Stratonovich integral and Hu-Meyer formula for Levy processes // The Annals of Probability. — 2010. Vol. 38. No. 6. — P. 2136-2169.

13] Milstein, G.N. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. — Kluwer Academic Publ., 1995.

14] Kloeden, P.E., Platen, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. — Springer-Verlag, 1995.

15] Аверина, Т.А. Статистическое моделирование решений стохастических дифференциальных уравнений и систем со случайной структурой. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2019.

16] Кузнецов, Д.Ф. К численному моделированию многомерных динамических систем при случайных возмущениях с порядками сильной сходимости 1.5 и 2.0 // Автоматика и телемеханика. — 2018. № 7. — С. 80-98.

17] Кузнецов, Д.Ф. К численному моделированию многомерных динамических систем при случайных возмущениях с порядком сильной сходимости 2.5 // Автоматика и телемеханика. — 2019. № 5. — С. 99-117.

[18] Kuznetsov, D.F. Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals: Method of Generalized Multiple Fourier Series. Application to Numerical Integration of Ito SDEs and Semilinear SPDEs // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 2021. № 4. — С. A.1-A.788.

[19] Rybakov, K.A. Application of Walsh series to represent Stratonovich iterated stochastic integrals // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. — 2020. Vol. 927. Id 012080.

[20] Rybakov, K.A. Using spectral form of mathematical description to represent Stratonovich iterated stochastic integrals // Smart Innovation, Systems and Technologies, vol. 217. — Springer, 2021. — P. 287-304.

[21] Rybakov, K.A. Spectral method of analysis and optimal estimation in linear stochastic systems // International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing. — 2020. Vol. 11. No. 3. Id 2050022.

[22] Балакришнан, А.В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.

[23] Гихман, И.И., Скороход, А.В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1977.

[24] Бейтмен, Г., Эрдейи, А. Высшие трансцендентные функции. Ч. II. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966.

[25] Добрушин, Р.Л., Минлос, Р.А. Полиномы от линейных случайных функций // Успехи математических наук. — 1977. Т. 32. № 2 (194). — С. 67-122.

[26] Бирман, М.Ш. Простая теорема вложения для ядер интегральных операторов следового класса в L2(Rm). Применение к формуле Фредгольма для следа // Алгебра и анализ. — 2015. Т. 27. № 2. — С. 211-217.

Orthogonal expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals

K. A. Rybakov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

e-mail: rkoffice@mail.ru

Abstract. Based on the properties of Hermite polynomials, which are orthogonal with respect to the probability density of the normal distribution, a representation of multiple Stratonovich stochastic integrals by Wiener processes in the form of orthogonal series is proposed. Multiple Stratonovich stochastic integrals is also represented as the sum of multiple Ito stochastic integrals and the mathematical expectation of the Stratonovich integral, i.e., the generalized Hu-Meyer formula is obtained.

Key words: multiple Stratonovich stochastic integral, iterated Stratonovich stochastic integral, Wiener process, orthogonal expansion, Hu-Meyer formula.