Ортогональное разложение кратных стохастических интегралов Ито Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 3, 2021 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal.spbu.ru/ e-mail: [email protected]

Стохастические дифференциальные уравнения

Ортогональное разложение кратных стохастических интегралов Ито

К. А. Рыбаков

Московский авиационный институт национальный исследовательский университет

e-mail: [email protected]

Аннотация. На основе свойств полиномов Эрмита, ортогональных относительно плотности вероятности нормального распределения, и полиномов Шарлье, ортогональных относительно пуассоновского распределения, получено представление кратных стохастических интегралов Ито по винеровским и пуассоновским процессам в виде ортогональных рядов. Ключевые слова: кратный стохастический интеграл Ито, повторный стохастический интеграл Ито, винеровский процесс, пуассоновский процесс, ортогональное разложение.

1. Введение

В статье получено представление кратных стохастических интегралов Ито по винеровским и пуассоновским процессам в виде ортогональных рядов, где в качестве базиса выбираются специальные полиномы, зависящие от случайных величин, а ортогональность понимается в смысле скалярного произведения в пространстве гильбертовых случайных величин. Для интегралов по винеровским процессам это полиномы Эрмита и случайные величины, имеющие нормальное распределение, а для интегралов по пуассоновским процес-

сам это полиномы Шарлье и случайные величины, имеющие центрированное пуассоновское распределение.

В публикациях, как правило, кратные стохастические интегралы Ито определяются относительно одного винеровского процесса. Здесь важно упомянуть работы К. Ито [1], Т. Хиды и Н. Икеды [2], а также ряд работ, в которых устанавливается связь между разными типами кратных стохастических интегралов [3-6] — формулы типа Ху-Мейера. Однако, если в качестве приложения брать численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений и систем, то возникает необходимость в повторных стохастических интегралах Ито, которые можно рассматривать как частный случай кратных. С содержательной точки зрения такие интегралы должны определяться относительно всевозможных комбинаций из набора независимых ви-неровских процессов, где два предельных варианта: интеграл относительно одного винеровского процесса и интеграл относительно независимых вине-ровских процессов, число которых совпадает с кратностью интеграла [7-12].

Моделирование повторных стохастических интегралов Ито требуется для практической реализации численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений и систем с высокими порядками сильной сходимости, основанных на разложении решения в ряд Тейлора-Ито. Наряду с ними также используются повторные интегралы Стратоновича. Их моделирование необходимо для практической реализации численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений, но основанных на разложении решения в ряд Тейлора-Стратоновича.

В этой связи следует отметить метод, предложенный Г.Н. Мильштей-ном [7]. Он имеет порядок сильной сходимости 1.0 и требует моделирования повторных стохастических интегралов кратности 1 - 2. Идеи Г.Н. Мильштей-на были реализованы в работах П. Клоедена и Э. Платена для численных методов с порядком сильной сходимости 1.5 [8]. Для методов с таким порядком сходимости нужно моделировать повторные стохастические интегралы кратности 1 - 3. В обоих случаях использовались тригонометрические функции в качестве базисной системы для представления винеровского процесса. Универсальный подход был предложен Д.Ф. Кузнецовым для численных методов с произвольным порядком сильной сходимости, предполагающих моделирование повторных стохастических интегралов произвольной кратности к = 1, 2,3,..., базисная система может быть также произвольной [12].

Стоит отметить представление повторных стохастических интегралов на основе спектральной формы математического описания. Такое представление предполагает применение спектрального метода решения стохастических

дифференциальных уравнений, т.е. выражение коэффициентов разложения случайных процессов, соответствующих этим повторным стохастическим интегралам, по некоторой базисной системе. В статье [13] рассмотрены повторные стохастические интегралы кратности 1-2, в работе [14] — повторные стохастические интегралы Стратоновича произвольной кратности с выбором произвольной базисной системы, а в [15] эти результаты конкретизированы для функций Уолша. Переход к представлению повторных стохастических интегралов Ито возможен на основе известных соотношений, связывающих стохастические дифференциальные уравнения Ито и Стратоновича.

Для повторных стохастических интегралов Ито по винеровским процессам предложенное в статье ортогональное разложение эквивалентно представлению из работ [10-12], но отличается от него формой записи и методикой доказательства. Ортогональное разложение кратных стохастических интегралов Ито по пуассоновским процессам можно трактовать как конкретный пример представления стохастических интегралов по центрированным пуассоновским мерам [12].

Ортогональное разложение кратных стохастических интегралов Ито, а в частном случае повторных стохастических интегралов Ито обеспечивает простой метод точного вычисления среднеквадратической погрешности аппроксимации при переходе от ортогонального ряда к его частичной сумме, что неизбежно при приближенном моделировании таких интегралов.

2. Основные определения и обозначения

Пусть Н = [0, к] С Е, где к > 0, ь2(нк) — пространство квадратично интегрируемых функций к(¿1,... ): Нк ^ Е, т.е.

в котором норма и скалярное произведение задаются следующим образом

(К (¿1,...,^ ..Атк.

Тогда любая функция к(¿1,... ) € ь2(нк) представляется в виде ор-

[16]:

£ еС2 ^^ Е£2 < то,

тогонального ряда:

то

к (и ) = Ф^Ь) •••Фк М),

=0

где {д(г, £)}°=0 — полная ортонормированная система функций в пространстве Ь2(Н), или базисная система, а С{1.лк — коэффициенты разложения функции К ):

Сч.. . ^ = (д (М0 ...д (гк М),К ^ Ь2{дк) =

= д(г\,т\) •••д(%к ,Тк )К (т1,...,тк )3п ..ЛТк • (1)

Jнk

Будем обозначать через С2 пространство гильбертовых случайных величин [17]:

2

где Е означает математическое ожидание, с нормой и скалярным произведением

№\ь = {Е£2}1, (С,п)с2 = Е£п.

Определим множество 3 = {]\,... ,зк}, где £ {1,..., , к, в

— заданные натуральные числа. Упорядоченный набор (3.. .]к) будем обозначать 3* и рассматривать его как мультимножество — множество, которое может содержать одинаковые элементы, #(3, ,3*) — кратность элемента ] в мультимножестве 3*. Также будем использовать обозначение | • | для мощности множеств или мультимножеств: 131 ^ к, 13*| = к. Введем отношение эквивалентности ~ для индексов из множества I = {г\, . . . , %к}:

г\ ~ гт ^^ 31 = 3т, 1,т = 1,...,к, и обозначим через 1/~ множество всех классов эквивалентности I^:

1 = и ^ , П = 0 ,3т £ 3 : 3 = 2т. №

При конкретных значениях индексов .. ,%к из классов эквивалентности I^ будем получать множества I^ и мультимножества I*. Зависимость множеств Iу и мультимножеств I* от г\,...,1к не указывается для упрощения обозначений. Очевидно, что |^| ^ #3,3*), II*I = #3,3*).

Такое же отношение эквивалентности ~ введем для переменных из множества Т = {1\,... ,Ьк} и обозначим через Т/~ множество всех классов эквивалентности , 3 £ 3. Если определить множества Nj = {п: ]п = 3}, то 1з = {гп: п £ N} и Tj = {Ьп: п £ N}, 3 £ 3.

Далее будем использовать обозначения

£ и £ •

(I/-) (т/-)

которые предполагают суммирование коэффициентов разложения и функций по всем перестановкам индексов и переменных в каждом классе эквивалентности Iу и соответственно, ] € J.

Определим функцию KJ*(¿1,... ,Ьк) с помощью симметризации:

1

К,т*(¿1,...,1к) = {К(¿1,...,1к)).т* = К(^■■■Л),

(т/-)

И}*

(2)

где величина И}* равна числу слагаемых в правой части выражения (2):

и} . = П(#о.з *))" €

(3)

Для функции KJ*(¿1,...,1к) € Ь2(Нк) справедлива следующая оценка нормы:

1 е к(¿1,...,1к)

|KJ* . . . ^к )\\ь2(Нк)

И

J *

(т/-)

<

Ь2(Мк)

<

1

И*

У^ \\К{¿1,... М)\\ь2(нк) = \\К{¿1,... М)\\ь2(нк),

(4)

(т/-)

она представляется в виде ортогонального ряда:

оо

К* (гъ...,гк )= Е Сп..лк я(ч^1) ...д(1к М),

¿1, . . . ,«к=0

где коэффициенты разложения С^...¿к выражаются через коэффициенты разложения С\1.Ак (зависимость С1..лк от 3* для упрощения обозначений не указана):

Сп..Лк = {д(чМ). ..д (%к М )К * (¿1,.. .М))

Ь2(Мк)

1

= ( д(М1) ...д(1к К (¿1

V ^ (т/-)

Е к (¿1,...,гк))

Ь2(Мк)

М?

1 Е...д(1к,1к),К))Ь2(Ик) = Иъ ЕСи-лк. (5)

J *

(I/-)

J *

(I/-)

Функции вида (2) образуют линейное подпространство в L2(Hk), которое будем обозначать L(2!1'"jk ^(Hk), оператор (•)j*: L2(Hk) ^ L(2!1'"jk ^(Hk) является линейным ограниченным оператором, его норма равна единице. Если значения ji,...,jk попарно различны, т.е. \J\ = к, то (•)J* — это тождественный оператор.

3. Кратные стохастические интегралы Ито по винеров-ским процессам

Определим линейный оператор }: L2(Hk) ^ ¿2, ставящий в соот-

ветствие функции K(ti,... ,tk) £ L2(Hk) кратный стохастический интеграл Ито по винеровским процессам (кратности к):

Ij■jk)K(ti,...,tk) = / K(Ti,...,Tk)dWn(ti) ...dWJk(Tk), (6)

J Hk

где ji,... ,jk = 1,..., s; Wi(t), ..., Ws(t) — независимые стандартные вине-ровские процессы.

Пусть {А}= — это разбиение отрезка H:

n

H = У Аг, А{' П Ai" = 0 Vif,i" £{1,...,n} : i' = i'',

i=i

где Ai — борелевские множества. Кроме того, x^(ti,-.. ,tk) — характеристическая функция множества П С Hk:

( 1, (ti,...,tk) £ П,

Xn(ti,---,tk) = [

[ о, (ti,...,tk) £ п.

Обозначим через S(Hk) множество специальных элементарных функций вида

n

K (ti,...,tk )= aH-■ ■ ik XAii x. . -xAik (ti ,...,tk ),

H, ■ ■ ■ ,ik = 1

где ail■ ■ ■ ik = 0, если среди значений ii,... ,ik найдется два совпадающих: ii = im для l,m £ {1,... ,к}, l = m. Множество S(Hk) плотно в L2(Hk) [1]. Тогда для функции K(ti,...,tk) £ S(Hk) кратный стохастический интеграл Ито определяется следующим образом [1,4,6,12]:

n

■ ■j k K (ti,...,tk )= £ aii^ ■ ■ ik Wji (Aii) ■■■W3k (Aik), (7)

ii, ,ik=i

где

%h I 1, t е Ai, Wj(Аг) = / XAi (t)dWj (т), хд, (t) =

o, te A{.

Кратным стохастическим интегралом Ито от функции K(ti,...,tk) е L2(Hk) называется случайная величина

xhj1-jk K (ti, ...,tk) = l.i.m. ]Km (ti,.. .,tk),

m^tt

где последовательность специальных элементарных функций Km(t1,...,tk) сходится к функции K(ti,... ,tk):

lim \\K (ti, ...,tk) - Km(ti, . . . , tk )yL2(Hk) = 0, Km(ti, ...,tk) e S (Hk).

m^tt '

Утверждение 1. Пусть K(ti,...,tk) e L2(Hk), а Kj*(ti,...,tk) = (K(ti,...,tk))j* e )(Hk) — соответствующая симметризованная

функция (2). Тогда кратные стохастические интегралы Ито по винеров-ским процессам от функций K(ti,. . . ,tk) и Kj*(ti,... ,tk) совпадают:

lhj1-jk)K (ti, ...,tk) = lhn-Jk ]Kj* (ti,.. .,tk). (8)

Доказательство. Пусть значения ii,... ,ik попарно различны. Согласно определению (7) кратного стохастического интеграла Ито

jjk\дч х...хдч (ti, ...,tk) = Wh (Aj1)... Wjk (Aik).

Нетрудно видеть, что любая перестановка переменных в классах эквивалентности Tj, j е J, для характеристической функции Хд^х...хд, (tb... ,tk) в левой части приведенного выражения не меняет его правую часть. Действительно, пусть ti ,tm е Tj для l = m и некоторого j е J. Тогда

^Ъ1 jl jm jk\дн х.. ,хди х.. .хд,т х.. .хДik (ti,...,tl, . . . ,tm, . . . ,tk ) =

= Wji (Ail)... Wjt (Ail)... Wjm (Aim)... Wjk (Aik) = = Wji (Ail)... Wjt (Aim)... Wjm (Ail)... WJk (Aik) =

_ n-(j1...jl...jm...jk ) (. I I .4

= 1h Хд,1 х...хд1, х ...х д%т х...хд,ik (ti, . . . , tm, . . . ,tl,.. . ,tk )

и

Ц1^) (хд,1 х...хдгк (ti,.. .,tk ))j* = Wji (Ail)... Wjk (Aik).

"Н \А ^¿1 х...х£-,.гк

Следовательно, учитывая свойство линейности кратного стохастического интеграла Ито и то, что в интегральной сумме (7) учитываются только те

слагаемые, для которых значения гг,... ,гк попарно различны, получаем

Ц1-*\КЪ. = Х^) £ к) =

^ (Т/~)

= хЦ1-■ )к(¿ь...,гк) УК(^...,гк) е ^(нк),

так как суммирование ведется только по перестановкам переменных в классах эквивалентности , ] е ■■, а величина М2. равна числу слагаемых.

Если последовательность функций Кт(1г,... ,1к) е Б(Нк) сходится к функции К (¿1,...^к) е Ь2(Нк), то последовательность {Кт(1г,... ,1к е Б(Нк) сходится к функции К,}*(¿г,... ,гк) е Ь^1 ---]к)(Нк) и

Ы.ш. Х^1--]к ]Кт(гг, ...Л) = 1.1.Ш. Ц1"-]к) {Кт (¿г,.. .,1к ,

т.е. получаем равенство (8). М

Пусть {Нг(х)}°=0 — полиномы Эрмита [18]:

лг

Н(х) = (—1)гвx2/2 ^ е-х2/2, х е Е, и первые полиномы Эрмита имеют вид

Н0(х) = 1, Нг(х) = х, Н2(х) = х2 - 1,

Н3(х) = х3 — 3х, Н4(х) = х4 — 6х2 + 3, ...

Они ортогональны в пространстве Ь2(Е; р(х)) с весом р(х) = в х /2/V2п: р(х)Нг(х)Н3 (х)Лх = г! 8гз, г] = 0,1, 2,..., (9)

./ж

т.е. относительно плотности вероятности р(х) стандартного нормального распределения, — символ Кронекера:

Ьг3 =

1, г = 3, 0, г = ].

Полином Эрмита Нг(х) представляется в виде

Н () •! х2 (—1)^хг—22г/

Нг(х) = г!

V=0

V !(г — 2^ )!21

= хг — а«^2 + а(г—4хг—4 — ... + (—1)^4—2^2]х^, (10)

(г) (г) (г)

(г) (г) (г)

где аг—2, аг—4,..., > 0, [• ] — целая часть числа.

Важные для дальнейшего изложения свойства полиномов Эрмита состоят в следующем. Пусть ( — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение (с нулевым средним и единичной дисперсией). Тогда из (9) получаем

ЕИг(( ) = ¿¿о, ЕЯ}(С ) = \\Щ(( )\\% = г!, г = 0,1, 2,...,

( ч 2 (11)

ЕИг(( )И (С) = (И(С ),И (()) £2 = г! 5ц, г,3 = 0,1, 2,...

Введем коммутативную бинарную операцию * для двух случайных величин £ь£2 € С2 вида

м м

£1 = П Ит(Zm), & = П И3т (Сш)

т=1 ш=1

следующим образом (произведение Вика [19]):

м

£1 * £2 = П Ит+3т (Ст) ,

т=1

где И ^ 1, Съ ... ,(м — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, гт,]т € {0,1, 2,... }. В частности,

С = И1(С), С * С = И}(С) = С2 -1,

(12)

С * С * С = Иэ(0 = С3 - 3С С * С * С * С = И4(0 = С4 - 6С2 + 3, ... Теорема 1. Пусть К(¿1,... ,гк) € Ь2 (Нк). Тогда

1) кратный стохастический интеграл Ито по винеровским процессам от функции К(¿1,... ,Ьк) представляется в виде

ж

1К (¿и...,ьк )= £ сн..Лк С«1' *... * с(Г', (13)

¿1,...,«к=0

где С11.^к — коэффициенты разложения (1) функции К(Ь1,...,Ьк) относительно базисной системы {д(г^)}ж=0 пространства Ь2(Н) с}^ — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, %1 = 0,1, 2,... и I = 1, 2,...,к;

2) норма кратного стохастического интеграла Ито удовлетворяет соотношению

РН1"^)к(¿1,...,гк)\ \£2 = ИJ*\\\к(¿1,...,¿к))J*\\ЫШк) ^

^ \\К(¿1,...,1к)\\ь2(ик), (14)

где величина ИJ* определяется формулой (3).

Доказательство. Пользуясь независимостью винеровских процессов Wj (¿), ] е ■■, и результатом из [1], можем записать

Ц1-'"^(ггЛ) ...д^кЛ) = / я(ч,Г1) ...я(гк,Тк(п) ...dWjk(тк) =

тп )

п]я#(

ППН#,,ц)(С^) = ' *... *

(15)

'ез геь

где #(г,1*) — кратность элемента г в мультимножестве I*.

Случайная величина (р1) * ... * ((к) е С2 образована произведения-

ми независимых и центрированных случайных величин вида (12), поэтому

г1 * * гк

Е(р1) * ... * (рк) = 0. Следовательно, множество

З = ) = (СЫ * * С('кЧю • П

^ ^ 1Л %1 • • • Ык }гъ...,%к =0

(16)

состоит из попарно ортогональных случайных величин. Согласно (11) получаем

\С* ('к)\\2

• • • Чгк \\L-2

2

(17)

и множество

'еЗ %е1з

= 3 ('1---'к) =

'еЗ ге1]

33 = 3

сы * * с('к)

г1 * * гк

гк

14 * ... * Чк \\£-2) г1.---.гк =0

(18)

г1 гк

состоит из ортонормированных случайных величин, где норма определяется соотношением (17), причем в множествах (16) и (18) все совпадающие элементы, которые отвечают разным значениям индексов гг,...,гк, считаются неразличимыми.

Пусть

ь—г

К (ь)(гг,...Дк) = £ я(%гМ). ..я(гк М),

г1,...,гк=0

тогда, используя выражение (15), для любого натурального Ь имеем

ь—г

Хп.' )К (ь)(£г, ...Л) = Х^к) Е С^ Я(гг ,¿1). ..я(гк Л) =

г1.....гк=0

2

оо

= £ С^Ц^)д(г 1 л)...фк,г„)= £ Сн„.чЛ *... * Л. (19)

¿1,...,гк =0 ¿1,.../к =0

Если значения ]1,...,]к попарно различны, т.е. \3\ = к, то оператор хН^1...^к) ставит в соответствие каждому элементу д(г1, ¿1).. .д(гк^к) элемент *... *(Лк) = с}^ ... С^ с сохранением нормы и скалярного произведения. В частности при г1,... ,гк < Ь получаем

( 1) ( к)

КГ ... СГ\\с* = \\д(г1 ,¿1)... д(гкЛ)\\Ь2(жк) = 1,

г ь-1 ^ 2

1хь)кЫ(г1,...,гк)\£ = \К)\\ы*к) = Е Си (20)

'¿1,...,1к =0

и

(л)

Е(СЛ'° ^^)К(ь)(*1,...,*к) = Сгь.,к.

((л ) ...ф), )К (Ь)(11,...,1к)) с

Л)

'¿1 ' ">гк

Если среди значений ]1,...,]к есть совпадающие, т.е. \3\ < к, то опе-

Х(?1___Лк)

Н ставит в соответствие множеству элементов, полученных из д(г1,¿1) ■■■q(гk,Ьк) с помощью всех перестановок индексов в каждом классе эквивалентности 1Л-, ] € 3, один элемент С,Л * ... * , поскольку такая перестановка индексов не меняет этот элемент (см. также утверждение 1). Норма и скалярное произведение в общем случае не сохраняется.

Величина \\(Л * ... * С^'к)\£2 равна числу одинаковых коэффициентов разложения Сг1...гк при всех перестановках индексов в каждом классе эквивалентности 1л, поскольку число одинаковых коэффициентов разложения при всех перестановках индексов только в классе эквивалентности 1л равно

П #(г,1')\,

а при всех перестановках индексов в каждом классе эквивалентности 1л-, ] € 3, получаем правую часть формулы (17). Таким образом, при г1,... ,гк < Ь можно записать

(Л *... *Л, 1л1 л)к(ь)(¿1.....¿к))

2

Е( (Л) * ... * С? ^^ )К (ь)(*1,...,*к)

ЕС ■ и (Л1^ * С (Лк )1|2 = У^ С .

С%1..Лк Н^ * ... * Ык \\£2 = С11-Лк,

(п) , (Лк)\\2 ^ •• - ^ N£2

14 * ... * Ч \\£2 (I/-) (I/-)

1

или

( сы* ( ) N

*... * ечс,,1-1 Ко=

= ^ ¿Г) ^^,

\\^>¿1 * • • • * Цгк \\^2 (I/-)

где суммирование ведется по всем перестановкам индексов в каждом классе эквивалентности I-, ] е ■.

Отсюда получаем разложение интеграла х'1'

..л > к (ь)(г

г,... ,Ьк) по орто-

нормированным случайным величинам (18):

ТЛ" Кь (ги. ,.,ьк) = £ о^к' *... * с,(Г) =

г1,...,гк=0

Ь) (ь) ( 1 \ ^ (л) * * С ('к)

Е^ _1_С 1 Ч * ... * Ч

*Сик)\\г ¿^0г1"Лк)\ 1^1)* *Сик)\\г , 1%) 1;(|/|) 4\\Ч * ... * ^гк \\^2 (I/-) 7 \\Ц * ... * Ч \\^2

причем для каждой суммы по индексам из класса эквивалентности I' = {г(г),г(2),...,г(|1^|)} суммирование осуществляется следующим образом:

(ь) (ь) ь—г ь—г ь—г

Е = Е = Е Е ... £ ■ (21)

^ г(1)<г(2)<...<г(|1^ |) г(1)=0 г(2)=г(1) г (11 ^ |)=г(|1^-1-1)

либо иначе, но чтобы из каждого набора значений индексов I*, ] е ■ = {](г),... |)}, выбиралась только одна из перестановок.

Следовательно,

рЦ1') К (ь)(гг,...,1к )\г2 =

Г (ь) (ь) 1 ( 2 Ч Е... Е — ^(Е ог1-) [ , (22)

^ 11^ '1) * * С к)

15(1) М) ^ г1 4гк \\^2 (1/-)

а формула (20) — это частный случай формулы (22) при попарно различных значениях ]г,... ,]к:

■ = {3г,...,]к}, ■* = (]г ...]к), Ij(l) = {iг}, Ij(k) = {гк },

\ \ с»"''1) * ... * с(кк = 1, Е 0г1...гк = 0г1...гк .

(I/-)

Переходя к сумме по г\,... = 0,1, 2,..., нужно учесть, что в формуле (22) все величины вида

Е = ...гн ,

(I/-)

где Ог1..гк — это коэффициенты разложения (5) симметризованной функции {К(¿1,... ,1к))J*, учитываются ¿3* раз, тогда

рр-^К^...^)\\ь = {-¿г £ (Е С,,. .)2|' =

^ -Т* г1,...,г*=0 Ч(1/~) У '

Ь-1 / ч 2ч 1 ^ Ь-1 - 1

-i^ Е M<^1 \= J Е -

= Mj*\\Kf?(tu...,tk )yb2(Hk). (23)

С учетом оценки (4) находим

2 I __1 2

)K(L)(tb... ,tk)\\L2 ^ Mj*\\K(L)(tb ... ,tk)|

L2(Hk)

и, переходя к пределу при L ^ сю в соотношении (23), получаем, что линейный оператор Xfj1"^jk) является ограниченным с нормой \\I<(j1"jk)\ = MJ*, а из

(19) следует справедливость разложения (13) и соотношения (14). М

Замечания 1.

1. Всевозможные произведения полиномов Эрмита {Hi1 (^1)}^=^ ..., {Hlk (xk)}С°=0 образуют ортогональную систему функций векторного аргумента x = [ x1 ... xk ]T в пространстве L2(Rk; g(x)) с весом g(x) = p(x1)... p(xk)

[20], а именно полиномы Эрмита {Hll(x)}^ lk=0. Правая часть формулы (15) — это значение такого полинома Hi1. ik (x) с аргументом x = [ ... ((jk) ]T при условии l1 + ... + lk = dim x = k, где индексы l1,... ,lk — степени полинома по координатам x1, . . . , xk соответственно — определяются элементами мультимножеств I*, j E J, а часть индексов может быть нулевой, при этом

Kij * ... * Cj \\l2 = \\Hl1-h (x)\\L2(Rk;e(x)).

Если определить отношение эквивалентности — для индексов из множества Ь = {11,...,1к} и обозначить через Ь/— множество всех классов эквивалентности , ] Е J, т.е. = {1п: п Е }, то значения индексов в них определяются следующим образом. Если #(1,1*) = 1, то соответствующий индекс из класса эквивалентности Ь ^ полагаем равным единице, если

#(г, I-) > 1, т.е. среди элементов I* есть совпадающие, то в соответствующем подмножестве индексов в Ь- любой из индексов полагается равным #(г, I'), а остальные — равными нулю. Отметим, что множества I, Т и Ь, а также их разбиения на классы эквивалентности отличаются только обозначениями и соответствие между ними понимается именно с этой точки зрения.

Записывая каждый такой полином Эрмита в развернутом виде как сумму мономов, из формулы (13) можно получить представление стохастических интегралов Ито из [12]. Действительно,

сл-1) * сл'2) = Сл)с(л'2) - д12

г1 * г2 г1 г2 г2

г1 г2 г1 г2

сл-1) * с'2) * С(лз) = СЫС(л)С(лз) - Дг2С(лз) - ДгзС'2) - Д23С(л1)

>»1 ^>«2 '»3 '»1 '»2 '»3 ' г3 ' »2 ' »1 '

С Л^ * С ('2 ) * С ('3) С Л'4) = С ('1)С ('2)С ('3) С ('4) — Д С Л)С ('4) — Д С ('2)С '4) —

— Дг4с (л-2)с л'з) — Д23С ЫС '4) — Д24С ЫС ' — Д34С л)((л) +

г4> г2 Ь»з "23Ь г1 Ь»4 '24Ь г1 Ь»з '34Ь »1 Ь»2 1

+ Д

г2Д34 + Дг3Д24 + Дг4Д23, ...,

Д1т = °г ,гт , 1,т =1,...,k,

тогда [12]

тою ю

ЕС ■ Г * Г ('2) = С ■ Г ('1)Г('2) _Ь- ■ •

Сг 1г2 ^г 1 * Цг2 = ог 1г2 1 Ц»2 °ЛЛ2/_^ о» 1»1 ,

»1, г 2 =0 г1,г 2=0 »1=0

ю

Еп АлК Ал) + /^'з)_ ^^ г1 Л'1) Л'2) Л'з)

о» 1»2»зчг 1 * цг2 * ы3 = ог 1»2»зЫ 1 ц»2 Ц»з

г 1, г 2 ,»з=0 г1,г 2, г 3=0

ююю

■ V г ■ г(л) - ■ V о • г('2)_. V о- • • ^('1)

°'1'2 / ; г» 1»1»зЧз °'лз / ; ог1»2»1 ^г2 °'2'З / ^ о» 1г2г 2Чг1 , »1, г з=0 г 1, »2=0 г1,г 2=0

оо оо

ЕС Г (л'1) * /* (л2) ± Г л'з) ± л ('4) = V4 о Г ('1) /* 2) ^л) Г(

ог 1г 2»з»4Ч» 1 * Чг2 * Цг3 * Ы4 = / ^ ог 1»2»з»4ч» 1 ц»2 Цг3 ц». г 1, »2, »3,» 4=0 »1,г 2,» 3, »4=0

юю

(-3) /■ ('4) . V"4 С. . Л('2)^('4)

4

»1, »3,» 4=0 »1,» 2, »4=0

юю

('2)^ (''з) , V"4 С. . Л ('4)

4

»1, »2, »3=0 »1,» 2, »4=0

юю

л1)Ллз) ? ^^ п Лл'ОлЫ

— Ь V4 о Г('3)^('4) _Ь о ^('2)^( —

°'Л2 / ^ г» 1»1»3» 4 ^г 3 ^г4 °-1Лз / ^ г» 1»2»1»4

»1, »3,» 4=0 »1,» 2, »4=0

юю

— г ■ ■ Г('2)Г(''з) _х. . V ^ . . л( -

°'1'4 / ^ г» 1» 2»3»1 Ч» 2 Ц »3 °'2'3 / ; г» 1г 2» 2» 4 Ч» 1 Ц».

° о ^(л'з) _° О /*('1)Г('2) +

°Л2'4 / ^ о» 1» 2»3» 2 Ч» 1 Ц»3 °Л3'4 / ^ о» 1» 2» 3» 3Ч» 1 Ц» 2 +

»1, »2, »3=0 »1,» 2, »3=0

ююю

о 1 2 2 1

+ Ьjзj4 о» 1»1г 3» 3 + Ьjljз °—2Л4 о» 1» 2 »1 г 2 + Ьjlj4 ^'з ^^ о

»1, г 3=0 »1,»2=0 »1,г 2=0

Для получения таких формул в общем случае нужно представить случайную величину * ... * в виде линейной комбинации произведения

... ) и всевозможных произведений элементов, выбранных из множества {С(17'1),..., )}, причем выбираются к-2, к—4,..., к— 2_к/2\ элементов, т.е. к—2и элементов при V = 1,..., \_к/2\. Если к — четное, то в этой линейной комбинации появится единица, соответствующая значению V = к/2. Коэффициенты линейной комбинации состоят из произведений величин Д/т, где индексы 1,т соответствуют всевозможным упорядоченным парам индексов (ч,3/) = (гт,3т), для которых случайные величины ) и (¡^ отсутствуют в соответствующем произведении, и коэффициента (—1)^.

Введем отношение эквивалентности — для значений индексов из множества I* = (ч1... гк):

Ч — Чт ^^ Ч = Чт и 31 = 3т, 1,т = 1,...,к,

и обозначим через I*/— множество всех классов эквивалентности Iгде в = 1,..., S, S ^ к — число таких классов эквивалентности.

Число комбинаций выбора vs неупорядоченных пар (г/,гт) из множества I* при условии \1*\ ^ 2, а они дают коэффициент Д/т = 1 в представлении случайной величины * ... * ), совпадает с коэффициентом полинома Эрмита (10) при г = \Ц\:

1 г! (г — 2)! (г — 2(^ — 1))!

V*! 2!(г — 2)! 2!(г — 4)! 2!(г — 2^)! г=\1*\

г! .(г)

аг—2^8

г=\1*\

vs!(i — 2vs)!2l

Число комбинаций выбора V8 таких пар из всех множеств I* определяется произведением коэффициентов полиномов Эрмита (10) степеней \Ц\:

Б

(г)

п

в=1

а

г — 2v.

г=\1

которые возникают при построении полиномов Эрмита {Н/1./к(х)}^3 /к =0 векторного аргумента. Это произведение записано в выражении (15).

2. Множества случайных величин (16) и (18) образуют соответственно ортогональный и ортонормированный базисы линейного подпространства с21-3к) = {хЦ1-2к )К (¿1,...,^): К (и,...,¿к) Е Ь'(Нк)} с С2, а линейный

Х- ( 71 ••• 7к)

^ устанавливает взаимнооднозначное соответствие между линейными подпространствами ) и с'1."'1*). Важно отметить, что это

множества различных элементов, т.е. все совпадающие элементы, которые отвечают разным значениям индексов г1,... ,гк, неразличимы.

3. Максимум нормы элементов ортогонального базиса (16) достигается при \I' \ = 1 У] Е J, т.е. на элементах вида

с'1' *... * с'1 = П *) (с и>.

' ЕJ

где С(7) — любая случайная величина из множества {Ср')}^=0. Используя (11), находим

2

тах * ... * ф )\2, =

г1,...,гк

П \\н' *)

' ЕJ

2

jЕJ

Пш* *))! = ¿2*.

¿2 2

' ЕJ

4. Разложение кратного стохастического интеграла Ито (6) по ортонор-мированному базису (18) имеет вид

I'' )К (Ь,...,1к ) =

Ч1 * ... * Цгк \\^2 (I/—)

Ы

' * ... * с

5«1

£ ••• £

^ . . . ^ НГ('1) * ±Г('к)\\г П^ * ±С('к)\\г 1^-(1) \) ^ ¿1 *•••* Ык N¿2 \\Ч ¿1 *•••* ^гк N¿2

('к)

гк

* • • • * цгк \\^2

с (]1К * с') г1 гк

гк

(24)

причем для каждой суммы по индексам из класса эквивалентности I' = {ч(1), г(2),..., г(\1^\)} суммирование осуществляется следующим образом (см. формулу (21)):

оо оо

Е= Е =£ Е ■■■ I: ■ (25)

^ г(1)<г(2)<...<г(\1^-\) г(1)=0 г(2)=г(1) г(\Х^\) =г(\ \-1)

либо иначе, но чтобы из каждого набора значений индексов I*, ] Е 3 = {3(1),..., \)}, выбиралась только одна из перестановок.

Тогда норма интеграла К7'1.'К(¿1,... ,Ьк) выражается формулой

|Ц(-А)К (¿1.....¿к )\к =

...

1

1^(1) 1^(И) 1^1 * ... * ^к \\£2 Ч(1/—)

Сг1...гк

2ч 1

2

£..£ —з^—ту- (26)

1^(1) ^1) \\^»1 * ... * к и^

5. Пространство ь2Л1"Лк)(Нк) можно переопределить и рассматривать его как множество классов эквивалентности:

К (¿г,...,¿к) - Ь(*г,...,*к) ^ (К (¿г,...,¿к ))з = (Ь(гг,...,1к ))з, определяя норму

\\К... М)\\ьй1---:к)(Ик) = \\(К^г,... ^к))з*\ь2(нк).

Его можно считать областью определения линейного оператора хЛ1"'). Тогда для класса функций К(£г,...,£к) е Ь2(Нк)(л1"Лк) справедливо разложение (13), в правой части которого о»1..лк — коэффициенты разложения (1) любой функции К(¿г,... ,1к) из этого класса (элемента пространства Ь2(Нк)).

Пример 1. Представить стохастические интегралы Ито

Х^К (¿г,*2,*3), 4212) К (¿г,*2,*3) и Х^п) К (¿г, ¿2 ,¿3)

кратности к = 3 в виде ряда (13) и ортогонального разложения (24), где К (¿г,¿2,13) е Ь2(Н3).

Начнем с интеграла Х(г23)К(¿г,¿2,^3). В данном случае ]г = 1, ]2 = 2 и ]3 = 3, т.е. ■ = {1, 2,3} и ■* = (123). Множество индексов I = {гг,г2,г3} и множество переменных Т = {¿г,¿2^3} разобьем на классы эквивалентности:

I/- = {{г} {2} , Т/~ = {{г} {2}, {М),

11 12 1з Т Т2 тз

#(1, ■*) = #(2, ■*) = #(3, ■*) = 1, Ы% = 1! 1! 1! = 1.

При заданных значениях гг,г2,г3 получаем !г = I* = {гг}, I2 = I* = {г2}, Ь = 13* = Ы.

На основе соотношений (15) и (17) (см. также п. 1 замечаний 1) получаем

С (г) * СИ * С (3) = С (г]С (3) = Я (С (г) С (2) С (3))

|С« * с(2) * С(3)\\г =1,

I4)»! Ь»2 Ъ»3 \\^2 '

следовательно, формулы (16) и (18) определяют ортонормированный базис:

12(123) = 3(123) = гл(г) (■ (2) (■ (3)| ю. . = и(гЬ(2Ь(3)| ю. . 1 1 {Ч»»1 Ч»2 }»1,г2,»з=0 {Ч»»1 Ч>»2 Ч»З }»1,г2,»З=0"

2

Функция К3*(¿г, ¿2, ¿3) совпадает с функцией К(¿г, ¿2, ¿3) и далее для представления интеграла 1^[г23)К(¿г, ¿2, ¿3) не рассматривается.

Пусть ог1»2»3 — коэффициенты разложения функции К(¿г, ¿2, ¿3), а £(г), (3) 1 2

и ц — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, гг,г2,г3 = 0,1, 2,... Тогда находим представление кратного стохастического интеграла Ито 1^[г23)К(¿г,^2,^3) в виде ряда (13), который и является ортогональным разложением (24):

юю

Т^К(^,¿3)= £ о»1!2»3* С? * С = £ о,1,2»зССС

г1,»2,гз=0 г1,»2,гз=0

Далее применим формулы (14) и (26) для нормы интеграла Х^ К (¿г,*2,*3):

Г ю 12

ЦХ^К(¿г^^к = { Е о2»2»Л = \\К(¿г, ¿2М^у

г1,»2,гз=0

Перейдем к интегралу х[212)К(¿г, ¿2, ¿3). В данном случае ]г = j3 = 2 и j2 = 1, т.е. ■ = {1, 2} и ■* = (212). Множество индексов I = {гг,г2,г3} и множество переменных Т = {¿г,¿2,¿3} разобьем на классы эквивалентности:

I/- = {{£,,Т/- = {{к},,

11 12 Т1 Т2

#(1, ■*) = 1, #(2, ■*) = 2, Ы% = 1!2! = 2.

При заданных значениях гг,г2,г3 получаем !г = I* = {г2}, а также I2 = {4,13} при гг = %3 и ^ = {гг} при гг = ¿3, I* = (ггг3).

На основе соотношений (15) и (17) (см. также п. 1 замечаний 1) получаем

,(2) >(г) >(2) = Я (г(2) .(г) .(2)) . = . >(2) >(г) >(2) = ) ^»1 2 Ч = Яг,г,г(Ч»1 , Ч ,Ч»з ), гг = ^^

С!' * * = ^ Я^М" = Я^Ж^'а, «г = «3,

* е * с®!!!, = { ь г =г3, или \\<£> * ^ * = 1 + °.1»з,

2, гг = г3,

следовательно, ортогональный и ортонормированный базисы (16) и (18) имеют вид

3(2г2) = с(1)* С(2)1ю. . 0

{ »1 * »2 * »3 }»1,»2,»3=0

Л Г с (2)* С -(1)* С (2) (С(2)* с(1)* с (2)1

£(212) = I ^г 1 * ^г2 * ^¿з I = \ ^г 1 * ^2 * ^(З I

^ \С(2) * Сг.!) * Сг32) \\С2> ¿К2,¿З =0 I V1 + ^ 1(З > ¿1,г2,г3=0

Симметризованная функция KJ* (¿1, ¿2, ¿з) согласно (2) определяется следующим образом:

К* (¿1, ¿2, ¿з) = ¿Г Е К (¿1 ,¿2,^3) = 1 (К (*1,*2,*з)+ К (¿3,^2,^1)).

J* (Т/—)

Пусть Сг 1(2(з и (7г 1(2(з — коэффициенты разложения функций К(¿1, ¿2, ¿3) и KJ* (¿1, ¿2, ¿з) соответственно:

с(1( 2 г з + сг з( 2г1

У

^ ^¿1(2(з ' (3( 2г1 • • • _ Л 1 О

С^ 2(з = ---, Ч,г2, гз = 0, 1, 2, ...,

(2) (1)

и Сг1 и ц — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, г1,г2 = 0,1,2,... Тогда получаем представление кратного стохастического интеграла Ито 1((212) К(¿1, ¿2, ¿з) в виде ряда (13) и ортогонального разложения (24):

то

КГ К (^2Дз)= £ С^з е * С^ * е =

(1,(2,(з=0

то то то С. . ■ + С- ■ ■ с(2) * с(1) * с(2)

^гт ¿3 ' ¿з(2(1 ^Н ^г2 ^¿3

ЕЕЕ

г~0'-=0 ^ \\С(2) * С(1) * С(2)^ \1С* С(1) * С(2)^

¿1=0 г2 =0 ¿з=г 1 \\Ь¿1 ' Ьг 2 ' Ьг3 N¿2 \\ъг1 ' ъг2 ' Ьг3 N¿2

ТО ТО ТО 1/^1

= у^ Сг 1(2(з + Сз(2 ¿1 {(2) £(1) £(2)

/ V / V / у 1 + ^ г г ъг 1 ъг2 ^¿3 .

¿1=0 г2 =0 ¿з=г 1 ¿1(з

Аналогичные представления для интеграла Ито 1^(212)К(¿1, ¿2, ¿з) могут быть записаны с помощью коэффициентов разложения Сг 1г2г3:

то

ктк(¿1, ¿2, ¿з) = ^^ С,_(2.зс® * d!1 * С(3

¿1, г 2, ¿3=0

то то то пп Г(2) ± Г(1) ± Г(2)

у^ у^ у^ _2сг 1(2(з__^г 1 * ^г2 * ^¿3

\\С(2) * с (1) * с \\с(2) * с (1) * с (2)^

¿1=0 г2 =0 ¿з=г 1 \\Ь¿1 * Ьг 2 * Ьг3 \\^2 \\Ьг1 * Ьг 2 * Ьг3 \\^2

то то то

ГГГ 2Сг 1г 2г 3 С С С (2)

/ у / у / у 1 + ^г г ь(1 ^¿2 Ьг 3 •

¿1=0 г2 =0 ¿з=г 1 ¿1(з

Переходя к форме записи из [12], получаем

4212)К (¿г,*2,*3)

оо

^ о >(2) >(г) >(2) _ ^ о Г(

/ ^ о»1»2гзЧг1 Ч»2 Чз / ^ о»1г2»1 Ц».

оо

(г)

»1»2»1 »2

»1 ,»2 ,»3 =0

»1,»2=0

Далее применим формулы (14) и (26) для нормы интеграла

4212) К (¿г,*2,*3):

оо оо оо

Х^К (шш = ЕЕЕ

»1=0 »2=0 »з=г1

(ог1г2»з + огзг2»1 ) 1 + Ьгlгз

2Л 2

оо

2 Е о

■ »1 ,»2 ,»3=0

2

= л/2 \\Кз*(íг,í2,íз)|ь2(ж3)•

Все приведенные разложения справедливы и для кратного стохастического интеграла Ито Х((21^К3* (¿г, ¿2, ¿3), так как х[212)К(¿г, ¿2, ¿3) = Х(2г2)К3* (¿г, ¿2, ¿3) (см. утверждение 1).

Наконец, рассмотрим интеграл Х(ггг)К(£г,£2,£3). Здесь jг = j2 = j3 = 1, т.е. ■ = {1} и ■* = (111). Множество индексов I = {гг,г2,г3} и множество переменных Т = {£г,£2,£3} совпадают с классами эквивалентности, т.е. фактор-множества состоят из одного элемента:

I/- = {гг,г2,г3}, Т/- = {¿г, ¿2,^3},

11 Т1

#(!,■ *) = 3,

М2* = 3! = 6.

При заданных значениях гг,г2,г3 получаем Iг = {гг,г2,г3} при попарно различных гг,г2,г3, Iг = {гг,г3} при гг = г2 = г3, !г = {гг,г2} при гг = г3 = г2, Iг = {гг,г2} при гг = г2 = г3, Iг = {гг} при гЛ = г2 = г3, ^ = (ггг2г3).

Соотношения (15) и (17) (см. также п. 1 замечаний 1) позволяют записать

с(1) * с(1) * с(1) = ^>»1 ^>»2

=

(г) (г) (г) (г) (г) (г)

С/ С2 Сз = Яг,г,г(Сг/, С2 \Сгз ), гг,г2, г3 попарно различны, Я^«' = Я2,oд(c!:1,C<;),Cг,з1,), гг = г, = г3,

Я2(C<l11)C^ = Я^СсМ), гг = г3 = »2,

С»(1)Я2(С11)) = Яl,2,o(C<:1,C(11,CÍ1,), гг = г2 = г3,

гг = г2 = г3,

ЩС^ = Яз,o,o(C¡1l),Cг2:l1, С,»з1) ),

1С« * * =

1>(1 >¿2 '¿3 11 ¿2

1, г1 , г2, гз попарно различны,

= < 2, г1 = г2 = гз или г1 = гз = г2 или г1 = г2 = гз, ^6, г1 = Р2 = гз,

или

\\СгС11) * СгС21) * С(31)\^2 = 1 + * 1г 2 + * 1(з + *2г 3 + 2* 1г 2*2(3,

следовательно, ортогональный и ортонормированный базисы (16) и (18) имеют вид

3(111) = {С (1) * С (1) * С (1)Г • • 0,

^ 1Л¿1 Чг 2 Ч(з } г1,г2,гЗ=05

Г Га)* ГГ(1)

2(111) _ ) ^¿1 ^¿2 ^¿3

\с а)* с (1) * г Г • • 0

14 1 * Ы2 * Ч (з \\L2)(1, ( 2, ( 3=0

с (1) * с (1) * с (1)

>¿1 >¿2 '¿3

I \/1+*(1(2+*(1(3+*(2(3+"2^(1(2*2(з ) ¿1, г2,¿3=0 Симметризованная функция KJ* (¿1, ¿2, ¿з) согласно (2) имеет вид

KJ* (¿1, ¿2, ¿з) = К(¿1, ¿2, ¿з) = 6 (К(¿1, ¿2, ¿з) + К(¿2, ¿1, ¿з) +

^ (Т/—)

+ К (¿з, ¿2, ¿1) + К (¿1, ¿з ,¿2) + К (¿2, ¿з, ¿1) + К (¿з, ¿1, ¿2^ .

Пусть С( 1(2(з и Сг 1(2(з — коэффициенты разложения функций К(¿1, ¿2, ¿з) и KJ* (¿1, ¿2, ¿з) соответственно:

Сг 1г 2 г з + Сг 2 г 1 г 3 + С(з(2(1 + С( 1(3, 2 + С( 2(3(1 + С(з(1(2

С=

^г1г 2г 3

6

г1, г2, гз = 0, 1, 2, . . . ,

(1)

а ^ — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, г1 = 0,1, 2,... Тогда имеем представление кратного стохастического интеграла Ито Ц111 К(¿1 ,^2,^з) в виде ряда (13) и ортогонального разложения (24):

то

1гк(¿ь^зН £ с,„2 (з¿1> * е * С^ =

¿1, ¿2, ¿3=0

то то то

\ Л \ Л \ Л с( 1(2(3 + с¿2(1(3 + с( 3 (2(1 + с( 1(3( 2 + С¿2(3(1 + С¿3(1(2

= ^^^ ^ х

¿1=0 ( 2= г 1(3=(2 ¿1 ^г 2 ^ (3 \ \ ¿2

ТО

то

с(1) * с(1) * с(1)

Ъ». ^>»2 ^»3

к(1) * с(1) *

\\Чг1 * ъ»2 * Ч»з \\^2 оо оо оо

ЕЕЕ

о» 1» 2» з + о» 2»1г з + огзг 2»1 + о» 1» з» 2 + о» 2» з»1 + о'г з»1г 2

X

» =0» = » » = г 1 + Ьг 1»2 + Ьг 1» з + Ьг2»з + 2Ьг 1»2Ьг2»з

X е * £ * е

Аналогичные представления для интеграла Ито Х^112 К(¿г, ¿2, ¿3) могут быть записаны с помощью коэффициентов разложения оо».»2»з:

ю

^К(^3)= £ о.г2»зС!15 * С * С =

1, 2, 3=0

ю ю ю 6(0.. с(г) * с(г) * с(г)

1 2 3 1 * 2 * 3

ЕЕЕ

-0 ^ ^ ||С(1) * с(1) * С(1)11г 11С(1) * с(1) * С(1^£

»1=0 »2 = г 1» 3 = г2 \\^>»1 ^г 2 3 \\^2 \\Ь»1 Ь»2 Ь»з \\^2

оо оо оо

= V V V _бо» 1»2»3_ С (1) * с (1) * с (г)

1 2 1 з 2 з 1 2 2 з

»1=0 » 2=» 1 »з=»2

Если использовать форму записи из [12], то

ю

хгк(il,í2,iз)^ о».г 2»зсг'сгсг5

1, 2, з=0

ююю

(г) (г) (г)

V о ■ • Л(г) - V о ■ Г(г) - V о ■ Г(г)

/ ^ о» 1»1»зЧ»з / ^ о» 1» 2»1 Ы2 / ^ о» 1»2»2Ч». . »1, »3=0 »1 ,»2=0 »1, г 2=0

В заключительной части воспользуемся формулами (14) и (26) для нормы интеграла Ито х[Ш)К(¿г, ¿2, ¿3): (ггг)

К (¿г, ¿2, ¿3)\^2 =

ю ю ю (о. . . + о . . + о . . + о . + о + о • )2 "I 2 1 2 з 2 1 з з 2 1 1 з 2 2 з 1 з 1 2

ЕЕЕ

•»1=0 г 2= г 1 »з=г2 1 + Ьг.»2 + Ьг.» 3 + Ьг2» з + 2Ьг 1» 2 Ьг2»з

ю ^ 2

6 Е огкгз = >/б \\Кз*(¿г,¿2,¿3)\\ь2(Н3).

1, 2, з=0

Как и для интеграла Х^212)К(¿г, ¿2, ¿3), все приведенные разложения справедливы для кратного стохастического интеграла Ито ХК,* (¿г,£2, ¿3), так как Х[ггг)К(¿г, ¿2, ¿3) = Х^^К,*(¿г, ¿2, ¿3) (см. утверждение 1).

4. Кратные стохастические интегралы Ито по пуассо-новским процессам

Определим линейный оператор ставящий в соот-

ветствие функции К(¿1,. . . ,гк) Е Ь2 (Нк) кратный стохастический интеграл Ито по центрированным пуассоновским процессам (кратности к):

Л?1' )К (¿1-----¿к ) = / К (т1,...,тк )< (Т1) ..Л' (Тк), (27)

,/жк

где ]1,... ,]к = 1,..., в; Р10(^), ..., Р°(г) — независимые центрированные пуас-соновские процессы интенсивности Л > 0.

Этот интеграл, как и кратный стохастический интеграл Ито по винеров-ским процессам, сначала определяется для специальных элементарных функций, а именно для функции К(¿1,. . . ,гк) Е Б(Нк) имеем [6,12]

п

К )= £ ач..Л1 Р? (Д.!)(Дч), (28)

г1,...,гк=1

где

Г н

Р'(Д() = I ХАг (т)'),

./о

а все остальные обозначения введены в предыдущем разделе.

Для функций К(г1,... ,гк) Е Ь2(Нк) кратный стохастический интеграл Ито по центрированным пуассоновским процессам определяется с помощью предельного перехода:

Л?1' )К (¿1, ...,1к) = П.т. Л?1' )Кт(^1, ...Дк),

т^то

где последовательность специальных элементарных функций Кт(г1,... ,гк) сходится к функции К(¿1,... ,Ьк):

11т \\К (¿1, ...,1к) — Кт(*1,. .., гк )\\Ь2(Нк) = 0, Кт(*1, ...Л) Е Б (Нк).

т^то 4 '

Утверждение 2. Пусть К(t1,...,tk) Е Ь2(Нк), а К^(г1,...,гк) = {К(г1,...,гкЕ ь'1"')(Нк) — соответствующая симметризованная функция (2). Тогда кратные стохастические интегралы Ито по центрированным пуассоновским процессам от функций К(г1,... ,гк) и К,]* (г1,... ,гк) совпадают:

лС1' К (¿1, ...,гк) = Л71' ^ К * (г1,.. .,гк). (29)

Доказательство аналогично доказательству утверждения 1. Пусть ^(п)}°=0 — полиномы Шарлье [18]:

Si(n) = Ц+Х-г(\), п = -Л, -Л + 1, -Л + 2,...,

которые определяются через полиномы Лагерра Ьа(х). Первые полиномы Шарлье имеют вид

50 (п

51 (п

52 (п

53 (п

54 (п

= 1, = п,

= п2 — п — Л,

= п3 - 3п2 + (2 - 3Л)п + 2Л, = п4 - 6п3 + (11 - 6Л)п2 + (14Л - 6)п + 3Л2 - 6Л,

Они ортогональны в пространстве квадратично суммируемых последовательностей с весом р(п) = е-ЛЛп+Л/Г(п + Л + 1):

оо

Е р(п - Л)Si(n - Л)SJ(п - Л) = ХИЬ,, = 0,1,2,..., (30)

п=0

т.е. относительно центрированного пуассоновского распределения с параметром Л, Ь, — символ Кронекера, Г(^) — гамма-функция.

Важные для дальнейшего изложения свойства полиномов Шарлье состоят в следующем. Пусть п — случайная величина, имеющая центрированное пуассоновское распределение параметром Л (с нулевым средним и дисперсией Л). Тогда из (30) получаем

^г(ц) = Ь«ь ES2(n) = = ЛЧ I = 0,1,2,...,

ESi(n)SJ(п)= (ЗДЛ(п))^ = Л^!, I,] =0,1, 2,... 1 ;

Введем коммутативную бинарную операцию * для двух случайных величин £ь£2 € С2 вида

м м

¿1 = П ^ ¿2 = П Sjm (Пт)

т=1 т=1

следующим образом (это также произведение Вика [19]):

м

* ¿2 =

£1 * ¿2 = П (Пт) ,

т I Jm '

т=1

где М ^ 1, п1, ■ ■ ■, Пм — независимые случайные величины, имеющие центрированное пуассоновское распределение с параметром Л; гт,]т € {0,1, 2,... }.

Например,

П = Sl(n),

п * п = Б(п) = п2 — п — Л,

п * п * п = Бз(п) = пз — 3п2 + (2 — 3Л)п + 2Л, (32)

П * п * п * п = (п) = п4 — 6пз + (11 — 6Л)п2 + + (14Л — 6)п + 3Л2 — 6Л, ...

Теорема 2. Пусть К(г1,...,гк) Е Ь2(Нк). Тогда

л \ ^ ^

1) кратный стохастический интеграл по центрированным пуассонов-ским процессам от функции К (г1,... ,гк) представляется в виде

то

Л'1'>К(¿1.....¿к)= £ СЧ:.Ч' *... *'. (33)

г1,...,гк=0

где С(1..,(к — коэффициенты разложения (1) функции К(г1,...,гк) относительно базисной системы {q(i,t)}(TO=0 пространства Ь2(Н), п' — независимые случайные величины, имеющие центрированное пуассоновское распределение с параметром Л, г/ = 0,1, 2,... и I = 1, 2,... ,к;

2) норма кратного стохастического интеграла Ито удовлетворяет соотношению

\\''к)к(¿1,...,гк)\\с2 = ^\kMJ*\\{К(г1,...,¿к))J*\\ЫШк) ^

^^/^kMJ*\\К (¿1,...^ )\\ь2(щ.к), (34)

где величина MJ* определяется формулой (3).

Доказательство. Пользуясь независимостью центрированных пуассонов-

0

'

ских процессов Р?^), ] Е 3, и результатом из [2], можем записать

Л'1..' ^(Н, ¿1)... д(гк л) = я(ч,Т1)... я (г к ,тк )^Р7°1 (Т1)... Р (тк) =

,/жк

П/ Пфп,Тп)ЗР' (Тп)

' 7 (,' п}

) ¿ЕЩ

ПП^М^Н п!'1) *... * пк), (35)

jЕJ Шз

где #(гД*) — кратность элемента г в мультимножестве I*.

Случайная величина п*1 * ... * п*) € С2 образована произведениями независимых и центрированных случайных величин вида (32), поэтому Еп^ * ... * п*) = 0. Таким образом, множество

Чк

(36)

состоит из попарно ортогональных случайных величин. Согласно (31) получаем

2

1п ы *...*п: )Иг =

ПП ^¡«^(пР')|Ц = Л'ПП#(1,г*)!

и множество

= 0 :'1":к) =

0 ■ = 0

пС1>* ...*п(:к 2

(37)

п(:1) *...*п(:к) 11^2' ч--¿к=о

(38)

состоит из ортонормированных случайных величин, где норма определяется соотношением (37).

Дальнейшие рассуждения повторяют доказательство теоремы 1, но с учетом множителя Лк. В частности, при ъ1,... < Ь имеем

С *-*п1к Л1"* К (Ь)(к,...Лк))

2

=Е(п(:1) *...*пк ■:к к (ь)(*ь...^)

1

ЕС ■ 11 п 1 ^ *п(:к =

■ С,1 ■ ■ ■4 ИпИ ^ И£2 =

1^1 * ...*^к И^2 (I/-)

Лк (') (' ) к

-(-г п:к),|2 Е Ci 1 ■ ■ ■ ik Ы 1 *... *п(: Иь = Ci 1 ■ ■ ■ *,

\пц *...*п1 к \\С2 (I/-) (I/-)

или

п(:1) *...*п(:) ¡С *...*п(:к)Иг2

, К (Ь) (11,...,1к)

2

Лк

* * 4%к 11^2 (I/-)

^ ^ СП■ ■ ■ ik ,

где

Ь-1

К (Ь)(^1,...,^к) = Е

■ ■ ik

я(чМ). ..я (%к м)

Н, ■ ■ ■ Ак =0

оо

и

Ь-1

к <«(¿1,. ..м )= £ С(1..л п;'1' *... * п'\

(1,...,(к =0

(39)

а — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, г/ = 0,1, 2,... и I = 1, 2,... ,к.

Тогда разложение стохастического интеграла Л'1')К,...^к) по ортонормированным случайным величинам (38) имеет вид

'к) К ^(¿1,...^ ) = Ь) Ь) / Лк

= XI... X ,|„('1К . ..('к)и X С(1...(к

('1)

пЦ * ... * п

('к)

гк

з(1)

Г/(1 ^ • • * Ч(к \ \ ¿2 (I/ — )

('к)

п,1 * ... * п,к \\Ь

гк

поэтому

|''к )К (Ь)(tl,...,tk )\к = Г (Ь) (Ь) Л2к ^Е-Е Л

м-, I

з(1) ±зш ■ (Ь) (Ь)

Е-Е

п,(jl1 *... * п')\:с2 -(1/—)

С(1...(к

2ч 1

Л

к

С * ('к ч

Ъ(1 • • • чк \\£2 (I/—)

С(1 ...(к

2ч 1

гк

3(1) 3(\А) = л/\к MJ *\\К{Ь ] (tl,...,tk )\ь2(нк).

Далее, при переходе к пределу при Ь -

(40)

то в соотношении (40) по-( ' 1 ... ' к )

лучаем, что линейный оператор является ограниченным с нормой

( ' 1 ... ' к )

= \fЛkMJ*, а из (39) следует справедливость разложения (33) и

\\Л

соотношения (34). М Замечания 2.

1. Множества случайных величин (36) и (38) образуют соответственно

ортогональный и ортонормированный базисы линейного подпространства

£2'1"'к) = {Л'1' )К (¿1,...^): К (¿1,..., ¿к) Е Ь2(Нк)} с ¿2, а линейный ( ' 1 ... ' к )

оператор устанавливает взаимнооднозначное соответствие между ли

('1')(Нк) и С2

•('1...'к)

нейными подпространствами Ь2

2. Максимум нормы элементов ортогонального базиса (36) достигается при \Ij\ = 1 У] Е 3, т.е. на элементах вида

' * ... *пкк) = ПБ*"*)

гк

jЕJ

2

где п(:) — любая случайная величина из множества {п(:)}^=0. Используя (31), находим

2

П \\S#UJ*)

jJ

12 L2

j J к

¿2

АкП * ))! = Дк J.

j J

3. Разложение кратного стохастического интеграла Ито (27) по ортонор-мированному базису (38) имеет вид

J^1Jk)K(ti,... ,tk) =

-(j'i-.-jk) E - E

Ij(1) Ij(\J |)

E - E

Л

к

\'lli 'Ilk \ \ L2 (I/~)

E C%1-lk^

n(j1) ^ * n(jk) 'll1 * • • • * 11

lk

(j1)

nil *...*n

(jk) II lk \\L2

Л MJ Ci b..ik

nj 1 ) *...*n!jk)

,ln(j 1 ^ * n(jk)llf lln(j 1 ^ *n(jk) Ij(1) Ij(|J|) W'11 * • • • * 4ik \\L2 \\4i1 * ••• * n

(41)

lk ii£2

причем для каждой суммы по индексам из класса эквивалентности I, суммирование осуществляется по формуле (25), ] € J.

Тогда норма интеграла )К(¿1,... ,Ьк) выражается формулой

J

( j 1 ... j k )

K (ti,...,tk )\\l2 =

...

Л

2к

Ij(1)

Ij(\j \)

In(j1) *...*nj]\\2r vît) Г/и 'Ilk \\L2 (I/~)

E Cn-lk^j j

E...E (ЛкM%Cl1...lk)2 I2

j)

(jk) 2

(42)

Ij(1)

T \\W * . . . * n \\ r

Ijjl) II Il1 Ilk IIL2

Отдельного примера в этом разделе не приводится, однако допустимо сослаться на пример 1. Если интенсивность Л пуассоновских процессов равна единице, то полученные в упомянутом примере результаты можно перенести на стохастические интегралы Ито J123^K(tl,t2,t3), J^122 K(tl,t2,t3) и

J111)K(tl,t2,t3) кратности k = 3, заменив случайные величины Z^, Z^2 и

Л3) / 12

Q (независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное

3 \ (1) (2) (3) /

распределение) на случайные величины п(1 , nl2 и nl3 (независимые случайные величины, имеющие центрированное пуассоновское распределение с параметром Л = 1).

5. Повторные стохастические интегралы Ито

Все приведенные выше формулы справедливы для повторных стохастических интегралов Ито, так как для них выполнено соотношение

рН />тз />Т2

... / К(Т1 ,...,Тк(Т1) ...dWjk(тк) =

,/0 ,/0 ,/0

= / К(т1,...,тк )Шк (т1) ...dWjk (тк), ,/нк

где

Г К (¿1,..., ¿к), ¿1 < ..^¿к, К^...^) = <

0 в остальных случаях.

Применяя симметризацию (2) к функции К^]^,... ^к) Е Ь2(Нк), имеем ортогональное разложение функции KJ* (¿1,... ):

к.1*(tl,...,tk) = ¿(¿^...^к),

х* (Т/—)

поскольку функции в правой части формулы имеют непересекающиеся носители и их попарные скалярные произведения в пространстве Ь2(Нк) равны нулю. Следовательно,

\\kJ* ^1, . . к )\\2Ь2{Нк) = ЛГ \\Kfa, . . к 'Ш2 (Н),

•7* (Т/—)

а так как нормы всех слагаемых одинаковы и их количество MJ*, получаем равенство \\K(tl,... ^к)\\ь2(н) = MJ*\\Kj-*(¿1,... ^к)\\ь2(н).

Это означает, что для повторных стохастических интегралов Ито выполняется свойство изометрии:

Г то 12

' ^1,..^ )\\* = \\K(tl,...,tk )\ь2(Нк) = { Е ,

г1,...,гк=0

где

С(1...(к = (q(il,tl) ...д(гк ^к ^Я^ъ.^Л ^ Ь2(нк) =

= Ф1,т1)... я(гк ,тк )К(ти...,тк тк = ( Нк ( (

гН гтз пТ2

= ... / я(г1,т1) ...д(гк ,тк)К(т1,... тк.

,/0 ,/0 ,/0

Повторные стохастические интегралы Ито могут рассматриваться как соответствующие кратные стохастические интегралы при переходе от функции ^(¿1,... Дк) к симметризованной функции KJ* (¿1,... Дк).

Автор благодарит д.ф.-м.н., профессора Д.Ф. Кузнецова за обсуждение представленных в статье результатов и высказанные рекомендации, позволившие улучшить изложение.

Список литературы

[1] Ito, K. Multiple Wiener integral // Journal of the Mathematical Society of Japan. — 1951. Vol. 3. No. 1. — P. 157-169.

[2] Hida, T., Ikeda, N. Analysis on Hilbert space with reproducing kernel arising from multiple Wiener integral // Proc. 5th Berkeley Symp. on Math. Stat. and Prob. — 1967. Vol. II, part 1. — P. 117-143.

[3] Hu, Y.-Z., Meyer, P.-A. Sur les integrales multiples de Stratonovitch // Seminaire de probabilites. — 1988. T. 22. — P. 72-81.

[4] Budhiraja, A.S. Multiple stochastic integrals and Hilbert space valued traces with applications to asymptotic statistics and non-linear filtering / Ph.D. Diss., The University of North Carolina, Chapel Hill, 1994.

[5] Delgado, R. Multiple Ogawa, Stratonovich and Skorohod anticipating integrals // Stochastic Analysis and Applications. — 1998. Vol. 16. No. 5. — P. 859-872.

[6] Farre, M., Jolis, M., Utzet, F. Multiple Stratonovich integral and Hu-Meyer formula for Levy processes // The Annals of Probability. — 2010. Vol. 38. No. 6. — P. 2136-2169.

[7] Milstein, G.N. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. — Kluwer Academic Publ., 1995.

[8] Kloeden, P.E., Platen, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. — Springer-Verlag, 1995.

[9] Аверина, Т.А. Статистическое моделирование решений стохастических дифференциальных уравнений и систем со случайной структурой. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2019.

[10] Кузнецов, Д.Ф. К численному моделированию многомерных динамических систем при случайных возмущениях с порядками сильной сходимости 1.5 и 2.0 // Автоматика и телемеханика. — 2018. № 7. — С. 80-98.

[11] Кузнецов, Д.Ф. К численному моделированию многомерных динамических систем при случайных возмущениях с порядком сильной сходимости 2.5 // Автоматика и телемеханика. — 2019. № 5. — С. 99-117.

[12] Kuznetsov, D.F. Strong approximation of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series. Application to numerical solution of Ito SDEs and semilinear SPDEs // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 2020. № 4. — С. A.1-A.606.

[13] Рыбаков, К.А. Применение спектральной формы математического описания для представления повторных стохастических интегралов // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 2019. № 4. — С. 1-31.

[14] Rybakov, K.A. Using spectral form of mathematical description to represent Stratonovich iterated stochastic integrals / Innovation, Systems and Technologies, vol. 217. — Springer, 2021. — P. 287-304.

[15] Rybakov, K.A. Application of Walsh series to represent Stratonovich iterated stochastic integrals // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. — 2020. Vol. 927. Id 012080.

[16] Балакришнан, А.В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.

[17] Гихман, И.И., Скороход, А.В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1977.

[18] Бейтмен, Г., Эрдейи, А. Высшие трансцендентные функции. Ч. II. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966.

[19] Добрушин, Р.Л., Минлос, Р.А. Полиномы от линейных случайных функций // Успехи математических наук. — 1977. Т. 32. № 2 (194). — С. 67-122.

[20] Пугачев, В.С., Синицын, И.Н. Теория стохастических систем. — М.: Логос, 2004.

Orthogonal expansion of multiple Ito stochastic integrals

K.A. Rybakov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

e-mail: [email protected]

Abstract. Based on the properties of Hermite polynomials, which are orthogonal with respect to the probability density of the normal distribution, and Charlier polynomials, which are orthogonal with respect to the Poisson distribution, a representation of multiple Ito stochastic integrals by Wiener and Poisson processes in the form of orthogonal series is proposed.

Key words: multiple Ito stochastic integral, iterated Itô stochastic integral, Wiener process, Poisson process, orthogonal expansion.