Разложение повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанное на обобщенных кратных рядах Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 4 (2019). С. 50-78.

УДК 519.2

РАЗЛОЖЕНИЕ ПОВТОРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ СТРАТОНОВИЧА, ОСНОВАННОЕ НА ОБОБЩЕННЫХ КРАТНЫХ РЯДАХ ФУРЬЕ

Д.Ф. КУЗНЕЦОВ

Аннотация. Посвящена разложению повторных стохастических интегралов Страто-новича кратностей 1-4 на основе метода обобщенных кратных рядов Фурье. Доказана среднеквадратическая сходимость полученных разложений для случая полиномов Лежандра, а также для случая тригонометрических функций. Рассмотренные разложения содержат только одну операцию предельного перехода в отличие от существующих аналогов. Это свойство очень удобно для среднеквадратической аппроксимации повторных стохастических интегралов. Хорошо известно, что перспективный подход к численному решению стохастических дифференциальных уравнений И то, которые являются адекватными математическими моделями динамических систем различной физической природы под влиянием случайных возмущений, это подход, основанный на стохастических аналогах формулы Тейлора для решения этих уравнений. Рассмотренные в статье повторные стохастические интегралы Стратоновича являются частью так называемого разложения Тейлора-Стратоновича, которое является одной из версий упомянутых стохастических аналогов формулы Тейлора. Поэтому результаты статьи могут быть применены к построению сильных численных методов порядков сходимости 1.0, 1.5 и 2.0 для стохастических дифференциальных уравнений Ито. Рассмотренный в статье метод обобщенных кратных рядов Фурье не приводит к разбиению интервала интегрирования повторных стохастических интегралов Стратоновича. Эта особенность существенна из-за малости указанного интервала интегрирования, так как этот интервал играет роль шага интегрирования в численных методах для стохастических дифференциальных уравнений Ито.

Ключевые слова: повторный стохастический интеграл Стратоновича, кратный ряд Фурье, полином Лежандра, разложение, среднеквадратическая сходимость.

Mathematics Subject Classification: 60Н05

1. Введение

Пусть задано фиксированное вероятностное пространство (П, F, P), неубывающая совокупность а-адгебр {Ft,i £ [0,Т]} на нем и Ft-измеримый при всех t £ [0,Т] га-мерный стандартный винеровекий процесс ft с независимыми компонентами г = 1,..., га, причем процесс f+д — f при всex t > 0, А > 0 не зависит от событий а-адгебры Ft. Будем считать, что а-адгебрa F является полной относительно меры P, а а-адгебрa F0 — содержит все события вероятности ноль.

D.F. Kuznetsov, Expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals based on

generalized multiple fourier series.

©Кузнецов д.Ф. 2019. Поступила 1 сентября 2018 г.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) Ито

t t

xt = x0 + J a(xr ,т )dr + J B(xT ,т )dfT, x0 = x(0,w), ш G П, (1)

0 0

где xr, r G [0,T] — n-мерный случайный процесс, являющийся сильным решением СДУ Ито (1); второй интеграл в правой части (1) понимается как стохастический интеграл Ито; a : sRn х [0,Т] ^ sRn, В : sRn х [0,Т] ^ s^nxm _ неслу4ацнь1е функции, для которых существует правая часть (1) и которые удовлетворяют стандартным условиям существования и единственности сильного решения xr, т G [0,Т] СДУ fco (1) [1]; x0 и fr — f0 (г > 0) считаются независимыми, причем x0 — n-мерная Е0-измеримая случайная величина, для которой M{|x0|2} < то; M — оператор математического ожидания.

Известно [2]-[4], что одним из перспективных подходов к численному интегрированию СДУ Ито является подход, основанный на стохастических аналогах формулы Тейлора для решений данных уравнений. Этот подход использует конечную дискретизацию временной переменной и предполагает численное моделирование решения СДУ Ито в дискретные моменты времени с помощью стохастических аналогов формулы Тейлора,

Важнейшей отличительной особенностью стохастических аналогов формулы Тейлора |2| 1111 для решений СДУ Ито является присутствие в них, так называемых, повторных стохастических интегралов (ПСИ) Ито или Стратоновича, которые являются функционалами сложной структуры относительно компонент векторного винеровского процесса,

В одной из наиболее общих форм записи в данной статье указанные ПСИ Ито и Стратоновича имеют соответственно следующий вид:

т t2

J [^ь = у фк (tk) ...J ^ (tl)dw^ )... (2)

t t

*T *t2

л^ь = j фк (tk) ...J ^i^wf >... (з)

t t

где ) (l = 1,..., к) — непрерывные на промежутке [t, T] неслучайные функцнп; wr —

, -I „ \г) п(г) ■ " (0)

случайный вектор cm + 1 компонентой в ида: w" = tr пр и г = 1,...,га и w" = т; величины г1,..., принимают значения 0, 1,...,га; frl) (i = 1,...,га) — независимые стандартные винеровекие процессы; к — кратность ПСИ, В (2) и (3), а также в дальнейшем для простоты записи вместо Jи J*[ф(к"1]г^'^'гк пишем J[гф(fc)и J*[^(fc)]T,t соответственно.

Отметим, что классические стохастические аналоги формулы Тейлора (так называемые разложения Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича) [2]-[6] содержат соответственно ПСИ Ито и Стратоновича вида (2) и (3) при ф1(т), ..., фк(т) = 1 и i1,...,ik = 0,1,... ,m.

Преобразованные аналоги упомянутых разложений (так называемые унифицированные разложения Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича) [7], [8] содержат соответственно ПСИ Ито и Стратоновича вида (2) и (3) при г^(т) = (t — т)qi, т G [t,T] и ii = 1,... ,m; qi = 0,1, 2 ...; l = 1,...,к.

Ввиду сказанного выше, системы ПСИ Ито и Стратоновича играют исключительно важную роль при решении проблемы численного интегрирования СДУ Ито,

На первый взгляд может показаться, что ПСИ можно аппроксимировать повторными интегральными суммами. Однако, такой подход подразумевает дробление промежутка интегрирования [t, Т] ПСИ (его длина Т — t и без того является достаточно малой величиной, поскольку играет роль шага интегрирования в численных методах для СДУ Ито),

что ведет, как показывают численные эксперименты [9], к неприемлемо большим вычислительным затратам,

В [3] предложено использовать сходящиеся в ереднеквадратичееком смысле тригонометрические разложения Фурье для винеровских процессов, по которым строится ПСИ, В [3] данным методом получены разложения ПСИ Ито вида (2) при к = 2 и ф1(т),ф2(т) = 1; г1,г2 = 0,1,... ,т.

Попытка развития этой идеи для ПСИ Стратоновича вида (3) при к = 3 и ф1(т),ф2(т),Фз(т) = 1; 4,^2,Ч = 0,1,... ,т была предпринята в [2], [10],

В [11] был предложен более общий метод среднеквадратической аппроксимации ПСИ Стратоновича вида (3), основанный на обобщенных повторных рядах Фурье, который позволяет использовать полные ортонормированные системы полиномов Лежандра и тригонометрических функций в пространстве Ь2(\Ъ,Т\) (метод [3], в силу своих особенностей, допускает применение только тригонометрических базисных функций).

Методы, использующие ряды Фурье и предложенные в [2]-[4], [10], [11], оказались существенно более эффективными для среднеквадратической аппроксимации ПСИ Стратоновича и Ито, нежели методы, основанные на интегральных суммах [9], Однако, методы Фурье, рассмотренные в [2]-[4], [10], [11], приводят к повторным рядам из стандартных гауссовских случайных величин (операция предельного перехода выполняются итеративно), в противоположность кратным рядам (операция предельного перехода выполняется один раз). Это обстоятельство является существенным и накладывает ряд ограничений на применение методов [2]-[4], [10], [11] к ПСИ вида (2) и (3) кратности 3 и выше (здесь имеется ввиду не менее, чем трехкратное интегрирование по винеровеким процессам в ПСИ).

В [9] предложен метод среднеквадратической аппроксимации ПСИ Ито вида (2) (далее теорема 1), основанный на кратных (не повторных) обобщенных рядах Фурье по различным полным ортонормированным системам базисных функций в пространстве Ь2([1,Т]к), В результате, в указанном методе операция предельного перехода выполняется только один раз, что ведет к корректному выбору длин последовательностей стандартных гауссовских случайных величин, необходимых для построения аппроксимаций ПСИ Ито, Кроме того, метод Фурье [9] дает новые возможности для оценки и точного вычисления ередне-квадратических погрешностей аппроксимаций ПСИ Ито,

Настоящая статья посвящена адаптации метода Фурье [9] разложения ПСИ Ито вида (2) применительно к ПСИ Стратоновича вида (3), В работе (далее теоремы 2-4) показывается, что разложения ПСИ Стратоновича вида (3), полученные с помощью метода [9], оказываются существенно проще (без дополнительных и довольно сложных добавочных членов) своих аналогов, изначально полученных в [9] для ПСИ Ито вида (2),

2. Формулировка основных результатов Приведем формулировку метода Фурье [9],

Пусть {ф^ (ж)}°=0 — полная ортонормированная система функций в пространстве £2([£,Т]), а ф1(т),..., фк(т) — непрерывные на промежутке \Ъ,Т] неслучайные функции. Введем в рассмотрение следующую функцию

К (¿ь...,4) = ФЛЬ) ...фк (4 )1{*1<...<*к>; и,...,1к е [1,Т]; к > 2 (4)

и К(¿1) = ф1(Ь1); ¿1 е [ф,Т], где 1{4} — индикатор множества А.

Функция К (ti,... ,tk) кусочно-непрерывна в гиперкубе [t, Т]к, поэтому кратный ряд Фурье функции К (t1,... ,tk) G L2([t, Т]к) в гиперкубе [t, Т]к сходится в смысле среднего квад-ратичеекого, т.е.:

// Р1 Рк к ч 2

К (ti, ...,tk) - £ ... £ С3к...31 П Фл (ti) dti... dtk = 0, (5) [i;T]k V ¿=0 fcb t\ /

где

Слк ...31 = f К (ti,...,tk) I] фп (ti)dti ...dtk (6)

^ i—1

[i,T]k 1—1

и имеет место равенство Парсеваля:

Р1 Р к

/ К 2(h ,...,tk )dti ...dtk = lim £ ... £ (C3k...3i )2 .

I Рл Рь—ЫхП < * < *

Р1 ,...,Рк

[t T ]

к 3i—0 л к—о

Рассмотрим разбиение {т3}ы=0 промежутка такое, что

t = т0 < ... < ты = Т, Аы = тах Атз —> ^и N —>■ оо, Атз = тз+1 — тз. (7)

0<3<Ы-1

Теорема 1. [9] Пусть {фз (ж)}°=0 — полная ортонормированная система непрерывных функций в пространстве Ь2(\Ъ,Т ]), а фг(т); г = 1, 2,... ,к — непрерывные на промежутке [Ь,Т] функции. Тогда ПСИ Ито 7[ф>(к")]т^ вида (2) разлагается в сходящийся в среднеквад-ратическом смысле кратный ряд

Р1 Рк /к

Р1 Рк / k

j [ф( k)]T,t = и.т £... £ с3к...лJ П е-

31—0 л к—0 vi—i

il) '31

Шп. £ Фп (771 )Аш(;;' ...^ (^ ^, (8)

(г 1,...,г к )еСк

где 1.1.т. — предел в среднеквадратическом смысле,

Ск = Нк\Ьк, Нк = {(11,..., 1к) : /1,...,/к = 0, 1,...,^ - 1},

Ьк = {(/1,. ..,1к) : /1,. . . , 1к = 0, 1,...,М — 1; 19 = 1Г (д = г); 0, г = 1,. . . , к},

т

С? = / Фз

— независимые стандартные гауссовские случайные величины при различных г или ] (если г = 0), Аw^) = w(¡)+1 — w(¡) (г = 0, 1,..., т), {тз}Ы=0 _ разбиение промежутка \ф, Т], удовлетворяющее условию (7).

Нетрудно показать, что частные случаи (8) при к = 1,..., 4 запишутся в виде:

J[^(i)b = l.i.m. Cin), (9)

1=0

Р1 Р2

J^(2)ь=pJÄ £ £ сз'2л (c3;1)c322) -1* 1—2—о} 1{л—з2^, (ю)

31—0 32—0

Р1 Р3 /

j[^(3)Ь = £... £cw с3:1)с322)С333)-

Р1,...,Р3 ------' \ J1 J2 J3

—0 —0

- 1{г1=г2=0> 1{л=ЫС]33) - 1{í2=íз=0}1{j2=jз}(jгl1 - =*з=0} ^л^з}^^ , (И)

Р1 Р4 / 4

7 (4)]т, = П.т. £ ... £ Си..,\ Д

71=0 74 = 0 М=1

г (ч)

3 77 -

-< 1 Л ( гз)^( »4) 1 -) л ( ¿2^( ч)

-1 {¿1=^2=0} 1{^1=^2}Ц^з ^74 - =гз=0}1{]1=зз}^]2 ^34 -

-I -I ^^^^ 1 Л >(»1^(г4)

-1{г1=г4=0}1{л=.?4}472 Чз - "Ч^ =*з=0} -Чл^зЬл ^4 -

-1{г2=Ч =0}1{^2=^4}ЧЛ Цз - Х{гз=^4=0} 1 Оз =4}V,! +

+ 1{г1=г2=0}1{^1=^2}1{гз=г4=0}1{^з=^4} + 1{п=*з=0} 1{л=л} 1{г2=Ч=0} 1{л=л} +

+ !{г1 =г4=0}1{Л=^4}1{г2=гз=0}1{^2=^з^ . (12)

Сформулируем основные результаты настоящей работы (теоремы 2-4), которые показывают, что аналоги разложений (10)—(12), полученные для ПСИ Стратоновича вида (3), оказываются существенно проще, нежели разложения (10)—(12).

Теорема 2. Пусть {ф^(ж)}°=0 — полная ортонормированная система полиномов Ле-жандра, или систем,а, тригонометрических функций в пространстве Ь2(\Ъ,Т\). Пусть, кроме того, функция ф2(т) — непрерывно дифференцируема на отрезке \Ь,Т], а функция ф1(т) — дважды, непрерывно дифференцируема, на, этом, отрезке. Тогда, для ПСИ Стратоновича

3 *[^(2)] т,г 2 кратности вида, (3) при 11,12 = 1,...,т справедливо следующее, сходящееся, в среднеквадратическом смысле, разложение

Р1 .Рп^ж ' ' ' ' -'1

Р1 Р2

32

31 =0 32 =0

где сохранен смысл обозначений теорем,ы, 1.

Теорема 3. Пусть {ф^(ж)}°=0 — полная, ортонормированная си,стем,а, полиномов Ле-жандра, или, си,стем,а, тригонометрических функций в пространстве Ь2(\Ъ,Т\). Пусть, кроме того, функция ф2(в) — непрерывно дифференцируема на отрезке \Ъ,Т], а функции ф1(з),ф3(в) — дважды, непрерывно дифференцируем,ы, на, этом, отрезке. Тогда, для ПСИ Стратоновича ■1*[ф(3'1]т.г 3 кратности вида (3) при г1,г2,г3 = I,... ,т справедливо следующее, сходящееся, в среднеквадратическом смысле, разложение

^(3)Ь = £ ч™^<й2)с|з), (13)

где сохранен смысл обозначений теорем,ы, 1.

Теорема 4. Пусть {ф^ (ж)}°=0 — полная, ортонормированная систем,а, полиномов Ле-жандра, или, систем,а, тригонометрических функций в пространстве Ь2(\Ъ,Т\). Пусть, кроме того, ф1(в), ..., ф4(в) = 1. Тогда для ПСИ Стратоновича 7*[^(4)]т,4 4 кратности вида, (3) при %1,... ,г4 = 0,1,... ,т справедливо следующее, сходящееся в среднеквадратическом смысле, разложение

^(4) Ь = £ Си3зз2 31 ((4, (14)

31.32.Л .34 =0

где сохранен смысл обозначений теорем,ы, 1.

3. Доказательство теоремы 2

В соответствии со стандартной связью стохастических интегралов Стратоновича и Ито [2] с вероятностью 1 (далее св. 1):

т

Г[ф{2)]т,г = 3[^(2)Ь + 21{г!=г2=0} У Ф1 (15)

Согласно (10), (15) теорема 2 будет доказана, если мы покажем, что

т

1 Г те

2 Ы^Ь= £ спп. (16)

Рассмотрим функцию

К *(^) = к (¿1,^) + 2 !{* 1=2} ^Ш^), (17)

где € [¿,Т], а X(¿^ ¿2) имеет вид (4) при к = 2.

Разложим функцию К¿2) по переменной ¿1 (¿2 фиксировано) в ряд Фурье па интервале (¿,Т) :

те

К= £ с*(*2)&1 (¿1) (Ь = *, ¿1 = т), (18)

л =0

где

Т 12

СК (¿2) = У ^*(^1,^2)0Л (¿1^1 = ^(¿2) У ^(¿1 )0Л (¿1)^*1-

Равенство (18) выполняется в каждой точке интервала (¿,Т) по перемен ной ¿1 (¿2 фиксировано) согласно кусочной гладкости функции К * (^2) по перемен ной ^ [12] [14]. Отметим также, что согласно хорошо известным свойствам рядов Фурье [12]—[14], ряд (18) сходится при ¿1 = ¿, ¿1 = Т. При получении (18) мы также использовали тот факт [12]-[14], что правая часть (18) сходится при ¿1 = ¿2 (точка конечного разрыва функции К*(^,£2)) к величине

1 (К * (¿2 - 0,*2) + К * (¿2 + 0^)) = 1 ^1(^2)^2(^2) = К * (12,12).

Функция С31 (¿2) является непрерывно дифференцируемой. Разложим ее в ряд Фурье на интервале (¿,Т):

те

(^2) = £ &3231Ф32

(¿2) (¿2 = I, ¿2 = Т), (19)

32=0

где С3231 имеет гад (6) при к = 2, а равенство (19) выполненяетея в любой точке интервала (Ь,Т) (правая часть (19) сходится при ¿2 = ¿, ¿2 = Т) [12]—[14], Подставим (19) в (18):

те те

К *(^) = ££ С32Л Ф

1 (Ь)Фз2^ъ^ € {Ъ,т)2. (20)

31=0 32=0

Нетрудно видеть, что, полагая ¿1 = ¿2 в (20), мы получим:

1 тете

1 ^1(^1)^2(^1) = £ £ С3231Ф31 (¿1)^32 (ь). (21)

31=0 32=0

1 2

С помощью (21) мы формально можем записать: т т

, „тете

^(¿1)^1)^1 = ^ ЦС32П Ф ¿1 (^1)Фз2

{ Л =0 ¿2=0

т

те те „

= ^ X] / ^¿1 0Л ^¥¿2 =

Л =0 ¿2=0

т

Р Р2 т

12

Ит Цт V ТСпп / Фп (и)Фз2 ^¿П =

Р1 ^те Р2^те ^—' ^—' /

л=п " ^

Р Р2

Ит Ит X Х^л !{л=72}

Л=0 ¿2=0 {

ш1п{р1.Р2} те

Ит 1т V С^л = У] . (22)

Р! ^те Р2^те ' * ' *

Л=0 ¿2=0 ' л =0 Л =0

Далее, через С,К,С0,К0,С1,К1,... договоримся обозначать постоянные. Поясним переход от первой ко второй строке в (22) (дальнейшие рассуждения в (22) следуют из ортонормированноети функций ф^(з) па промежутке \Ъ,Т\). Имеем:

Р1 ^те р2^те

где

т т

/те Р1 г.

=0 =0

т т

<У |^)СР1(¿1 )| ^ < |СР1(¿1)| ¿11,

<

(23)

•?=р+1 *

Рассмотрим случай полиномов Лежандра, Тогда

те ^

¿1=Р1 + 1

^ (¿1)1=2

1

(24)

где

, , т — г т + г . . ( т + А 2 и(у) = у + , = (5 —2~)

2 а ' 2 ' 2 )Т — г1 ^

а {Р^(з)}°=0 — полная ортонормированная система полиномов Лежандра в пространстве

М-1,1] )=

На протяжении настоящей статьи для рационального д полагаем

т х

def [ ¿в т , ч def [ ¿у „ , , def 1

Ъ &Т) =

Д(Х) =

(1 — г2^))9' У (1 — у2у (1 — г2(х)У

4 -1

Из (24) и формулы [12]

^(х) — ^(х) = ф + ад (я); = 1, 2, . . . ,

где штрих означает производную по х, следует, что

|^Р1 (¿1)1=2

те Г Т -1

X (Рл+1(^(^1)) — ^л-1(^1))) ^1) — — X

= Р +1

= Р +1

х(11)

< С0

т - г

+——

х { (Р31+1(у) - Р31-1Ш МШ)(1у}рь (г(ь)) 1

те

£ (Рп+1(г(Ь))^(г(Ь)) - Р31-1(г(Ь))Р31 (г(Ь))) 1

£ {М№1+2(^1)) - Р31 №))) -

3 1=Р1 + 1 оо

31=Р1+1

1 \ Т -I

(Р31 (г(¿1)) - Рп-2(г(ьЩ - х

2Л - 1

х(11)

(я^Гз (Р31+2(^) - Р31 (У)) - 2]~1 (Р31 (У) - ^1-2М)) х

-1

х^'Ну))^}^ (^1))

где Ф1, — производные фу нкции ф1(з) то перемен ной и(у). Из (27) и оценки для полиномов Лежандра [12]

К

\рп(у)\ < ^-о\Пл, у € (-1,1), ГС € N

v/ГСП(1 - у2)1/4'

при € (Ь,Т) получим:

\СР1 (^)\ <С0

11ш £ (Рь+1(г(¿1))Р,1 (^1)) - Р31-М^))Р31 (г(Ь)))

п—Уоо *-*

31=Р1 + 1

+

+ С1 £ 1 (/1/2(^)+ /1/4(^(*1))/1/4(*1)) <

31 =Р1 + 1

< С0

11ш (Рп+Ми))Рп(г(и)) - Рр1 (г(Ь1))Рр1+1(г(Ь)))

+

те 1 /11 \ + С1 £ "12 (.М^) + С^М) < Сэ 11ш - + - /х/2(*1> +

те

+ С<1 £ -2 {МЬ) + С2/1/4(*1)) <

31=Р1 + 1 ^

< с4( 1 + £ 72) /1/2(^1) + £ 4 ЫЬ))

ууР1 3-,=Р-, +1 31/ 31=Р1+1 ]1 '

1) <

31=Р1 + 1

К

< ~ (/1/2(^1) + /1/4(^1))

где мы использовали неравенство:

^^ 1 [ йх 1 £ ^ < -Ч = -.

12 I X2 р1

1= Р1+1 1 Р1 1

(27)

(28)

(29)

Из (23) и (29) следует, что

т т

те Р

=0 =0

(/1/2(1) + /1/4(1)) ^ 0

при р1 ^ то. Таким образом,

2 ,

т

т

т

^ 1)^2^ 1 = (г 1)фп (г 1 )(И 1

=0

т

тете

(31)

= Е / ^ (* ^ (* 1)^ 1 = Х / Т.С12пФп (* 1)Фп (* 1)^ 1

=0 =0 2=0

т

те те те

= X X / ^л^л (* 1)0л (* 1)^ 1 = X ^

=0 2=0 =0

В (31) мы использовали тот факт, что ряд Фурье-Лежандра

те

X СппФп1)

2=0

гладкой функции С^ (£ 1) сходится равномерно к этой функции на любом отрезке [¿+е, Т—е] У £ > 0, сходится к этой функции в каждой точке интервала (£, Т) и сходится к С^ (£ + 0) и С^ (Т — 0) при = Ь и ¿1 =Т соответственно [12], [14], Соотношение (16) доказано для случая полиномов Лежандра,

Пусть теперь {ф^ (ж)}°=0 — полная ортонормированная система тригонометрических функций в пространстве Ь2([Ь,Т]), Имеем

т т

г. те Р1 „

/ Х^л (* (* 1)^ 1 — X / Сл (* 1)0л (* 1)^ 1

{ Л=0 Л=0

т те ч

/ X ^^л (Ь) 1Мв)ФЛ (¿0*

{ Л=Р1 + 1

т

И)^* ( ь 1) у

I I П I ( 2*31 (« — ¿ь • 2^1 (* 1 — *) ^

^ 1) -——-^ ЯП-1-;-+

¿1

+ / ^l(s)cos

в — ¿) 1 — I)

т-г

-¿в cos

т-г

)

& 1

Т — *

ГЛ т/ 1 • 1 — ¿)

' ( Ф^т^ 1) —«п—^—+

^ Л=Р1 + 1 ^

Ь(г 1) X Цш 1) — 1 —

Л=Р1 + 1 ^ ^

т-г

2

- / 1(г 1 - г)

т-г

т-г

) 2^1 ( в - I) 2ъП(11 - I)

- I сов——-:—ф1(з)ав сов

т-г

т-г

¿ь 1

<

т

<С1

= а

Мь) £

£ 3'1=Р1 + 1

т

1 . ^ 1 - I) ——-—--

31 т

<И1

+^

1

те1

£ — ОйШ

1

2^1 (11 - I)

т-г

<и1

+^, 1

(32)

31 =Р1 + 1 I

где последний шаг следует из равномерной сходимости (по признаку Дирихле-Абеля) ряда [131

^ 1 . 2тт л(11 - г)

1=1

1

т-г

Из (32) получим

т г1

1

/ £ мь)Ф31 (* 1Н ФШь(*)<№

{ 31=Р1 + 1 {

<

<Сэ

тек

= Р +1 1

т

1 [ф2 (Т) - ф2 (Ь) - сов

2^1(^- г) ,

Ф2(8)(!8

)

+ Ъ < к.

1 1

(33)

1 = Р1 +1 1

Дальнейшее рассмотрение данного случая аналогично доказательству соотношения (16) для случая полиномов Лежандра, Теорема 2 доказана.

4. Доказательство теоремы 3

Сначала рассмотрим случай полиномов Лежандра, Из формулы (11) при р1 = р2 = рэ = р и стандартных соотношений между стохастическими интегралами Ито и Стратоновича [2] следует, что теорема 3 верна, если:

Р Р 1 т

^ Е Е С333131 С3з3) = 1 I Фэ (8) I ф2(8 Ш* 1^1 ЯЫ, (34)

31=0 33=0

Р Р

т

ЕЕ^333331 сГ = 11мз)мз) 1м*^¿г^,

Р^-те

31=0 33 =0

1.ьт. £ £ С^ С^32) = 0.

Р^-те ' ^ ' ^ ■'3

31=0 33=0

Докажем (34), По теореме 1 при к = 1 (см, также (9)):

Т 8

2/ Фэ(8) [ ф2(э Ша 1^1 М8г3) = ££ЛС

(* 3)

3 ,

33=0

(35)

где

т 8

Сз = Фзз (8)фз(8) ф2(81)^1(51 1(18.

Далее имеем:

Кр р 1 Р \ 2

ЕЕ 4з) — 1 Её* с<зз)

=0 з=0 2 з=0

КР ( Р 1 ~ ^ ( )\2 ^ Р / Р 1 „ \ 2

X (^Х ^'зл л — ^ С ^ | = X X Сззпп — ^

М ^ X ^злл — ^з С ^ I ^злл — ^ Ь'з=0 \/1=0 ' ' > Л=0 V =0

Р . Р т 8

"фз^фх (в) ^(в 1)Фп (в 1) 'ф1(в2)фп («2)^2^ф —

^з=0 ХЛ =0 Ч { {

т ^ 2

— 2/^З^Фэз У 1)^2(5=

Р т ^ р 81

¿(/(^У 1)0 ( ^ 1) J Ф1(в2)Фп («2)^2 —

з=0 =0

— 1)^2(51)^1^ . (37)

Положив ¿1 = ¿2 = в (18), получим, что для любого 51 € (£,Т):

те 7 1

=0 2

Из (37) и (38) следует, что

т « «1

Р т

Р те 2

ЕР = Х / («) / X ^1)0 Л( 51М 52)0Л (82(181(18 . (39)

Л=°М { Л=Р+1 { 1

Из (39) и (29) получим

р т 2

Ер <С1 £(/ №з (я)| рР (/1/2(Ф))+ /1/4(ф)))ж) <

т т

I¿(/^(.)|л)2 < ^^Е ¡Ф1 мл = ^-0

Р 7 р л =0^ р

при р — то. Равенство (34) доказано. Докажем (35), По формуле Ито:

т « т т

2 I фз(з)ф2(з) I ф1(81)3^(18 = 1 У ^ 1) У С. В. 1.

4 4 4 «1

По теореме 1 при к =1 (ем, также (9)):

Ц ФМ I Фз(81)^2(81^8= 1ит. С^,

* 8 Р те Л=0

где

т т

С*п = I Мз)Фп (8) I Фз(81)М$ 1 № 1(18. (40)

Имеем:

Р Р 1 Р

ЕР=м{(£Е^,сг — 1 Ее-сг)}

2

=0 з=0 =0

=м{ (е (¿^—ЫсН2}=Е (¿^л—\с*л2, (41)

=0 з=0 2 =0 з=0 2

т 8 81

Сззззп ^У Фз^фуз 1 (5^л (2^ =

т т т

= У «2)0л (^^ 1)0^з (51) У ^1^2. (42)

2

Из (40)-(42) находим:

р т т р т

ер = Е(7 ( «Л ГV 1)0^з 1) ! Фз^ф^з (8)(18 —

71=0 V " 4 7з =0 "

1 XX2

— 1)^2(5. (43)

Покажем, что для всех ^ € (£,Т) выполнено равенство:

т

те 1

^^ ^ Фз^Фзз (8)(18 = 2Ф2(81)фз(81). (44)

^з=0 81

Обозначим

К* (г 1, ¿2) = ^ 1)^з( ¿2)1{ 41<2} + 2 !{* 1=2}^ 1^з(* 1); ¿1, 12 € [* ,Т].

Разложим функцию К*(Ь 1, ¿2) по перемен ной ¿2 (¿1 фиксировано) в ряд Фурье-Лежандра на интервале (£ ,Т) :

т

те

К\(г 1, 12 ) = (* 1) / ^(Ю&з (Ю^&з (* 2) (¿2 = *, ¿2 = Т). (45)

^з=0 {

1 = 2 = 1 Из (43) и (44) получим

т т т

Р те 2

ЕР = Х( / ^Л (52) / X ^ 1)0^з 0 / 2) . (46)

Л=0М 82 ^'з=Р+1 81 У

Используя метод вывода оценки (29), получим для дважды непрерывно дифференцируемой функции фэ(8) следующее неравенство:

т

те Г С

Ё ф]3 (81) I Фэ(8)ф33 Шз

3= +1

<- {¡1/2(81) + ¡1/4(31)) , (47)

1

где 51 € (Ь,Т), Дальнейшее доказательство (35) аналогично выводу (34), Докажем (36), Имеем

Р Р \ 2ч Р / Р \ 2

к=м тете^сг = тете^о ■ ^

1=0 3=0 3=0 1=0

Те 81

С313331 = ! фэ(в)ф31 ^ У ф2(в 1 )ф33 (в 1) У ф1(в2)ф31 (2dsф =

Т 81 Т

= У ф2(в 1)ф33 (в 1) ! ф1(в2)ф31 (2^ фэ(в)ф31 ^¿в(181. (49)

Подставим (49) в (48):

Р / Т Р 81 Т \2

К = Е (У ^ 1)033(Я 1) / Ф1 (0)Ф31 (в)М \ М*)Ф,1 (*№(181) . (50)

33=0М 31=0{ { У

Пусть К (Ь1, Ь2) = ф1(Ь 1)1{ 41< ¿2}; Ь1, Ь2 € , Т]. Разложим функцию К(Ь 1, Ь2) попеременной (¿2 фиксировано) в ряд Фурье-Лежандра па интервале (Ь, Т) :

те ¿2

К(г 1,¿2) = те ^1(8)Ф31 Ш8 Фп(* 1) (* 1 = (51)

1 =0

Используя (51), получим:

Р 81 Т Т р 81

£ / Ф1(д)Ф31 те [ фэ(з)ф31 Ш8 = [ фэ(8)( 5^031 (в) I ФМФь (в)йв\й8

31=0{ I 81 31 =0 { /

Т -те 81

тете

Фэ(з)[ £031 (в) Ф1(в)Ф31 те- £ 031 (8) ф1(д)ф31 (в)йв\й8 =

81 Ч31 =0 { 31=Р+1 У

Т Т 81

/Л ^О л

^э(я)^1(в)1{8<31}(18- фэ(8) £ Фп (8) Ф1(°)Фп (^^¿8 = 81 81 31=Р+1 I

Т 81

/те 1

Мз) те 031 (в)! Ф1Ш1 тей8. (52)

81 31=Р+1 {

Подставим (52) в (50):

Р / Т Т те \ 2

К = те{] Ф2(81)033 (а 1) ¡Фэ(8) те Ф31 (а)] М0)Ф31 ^Шзйз1) =

33=0 \ 81 31 =Р+1 I

Р / N— 1 Т„ те U ч 2

lim (и?) / Фз(S) X Ф*(SW ^iWiiWMdsAu?

i=0VN —to J* ii=+i j j

ul 1

Р / N — 1 те Т л ч 2

= ХЦ™ E^2(u?)Фл(U?) X Ф*(*)Фк(s)ds hiWh(в)МАи) , (53)

¿3=0 V ^те ?=0 Л=Р+1 u* t 7

где t = u0 < u1 < ... < un = T; Au? = u?+1 — u? ; u? — точка минимума функции (1 — (z( s))2)-a (0 < a < 1) на интервале [u?,u?+1]; max Au? ^ 0 при N ^ то;

0<?<N—1

/ = 0,1,... ,N — 1. Последний шаг в (53) сделан на основании равномерной сходимости ряда Фурье-Лежандра функции K(s,u?) па отрезке [u? + e,T — е] V е > 0 (K(s,u?) = 0 призе [u?,T])[12], [14]/ Далее имеем

X --- ^ (ж)

М^Фп (s)ds =-^—1- Ph(y)^(u(y))dy =

1

Ут-t ( 2^2пГГ V

( Ph+1(z(x)) — Pi 1—1(z(x)))^1(x) —

z (x)

T

2

1

(( Pn+1(y) — Pn—1(y))^(u(y))dyy (54)

где х € (£,Т); ]1 > р+ 1; г(х) ъ и(у) определяются равенствами (25); — производная функции ^(з) по переменной и(у).

Отметим, что в (54) мы использовали известное свойство полиномов Лежандра: Р,+1(—1) = — Р3 (—1); ^ = 0, 1, 2, ...и (26). Из (28) и (54) находим

х

' Ф1 (»)Фз1

<С (/1/4(x) + C1) ; x е (t,T). (55)

Аналогично (55) и учитывая, что Р^(1) = 1; ] = 0, 1, 2,... получим для интеграла (подобного тому, что стоит в левой части (55), но с пределами интегрирования х и Т) оценку вида (55).

Объединяя оценку (55) и ее аналог для интеграла с пределами интегрирования х иТ, получим:

Т

•ф^фн (s)ds I ф3(¿ОФл (s)ds'

< (/1/2(x) + Kj ; x е (t,T). (56)

1

X

Оценим правую часть (53), используя (56)

Р / N — 1 те 1 ^ 2

72

Р / N — 1 те ч

Е'Р < С ^ Um X 1Ф^з (u? )1 £ -2 (/1/2 (u?) + K1) Au?

j3=^N^те ?=0 Л=Р+1'71 У

С Р / N—1 ч

< Нт Е(/з/4(u?) + Kj1/4(u?)) Au?

f=0VN^те fo 7 )

С р / \:

< с^^Ит {Js/4(t,T) + K1Jl/4(t,T))\ Р n=0\N^те /

Ci

р

, t ) + kiji/4(t, t ))2

Ci(T — t)2p , ^ г С2

¿3=0 \2„

4р2

(/s/4(l)+Ki/i/4(l42 < — ^ 0

(57)

при р ^ то, Соотношение (36) доказано. Теорема 3 доказана для случая полиномов Лежандра,

Перейдем теперь к рассмотрению доказательства теоремы 3 для случая тригонометрических функций. Аналогично неравенству (33) получим:

т т

»те „

£ ^2(SХ)Флз (Si) ^з(8)фзз (8)dsdsi

h=P+i t

2

<

Ki p

Ер <K

р T S QQ

/ ^ ^2(Si^ii (si) J 1pi(32)фл (S2)dS2dSi ds^j

j 3=0 yt t j i=p+i

(58)

K

P / n —i к те x

ХД^^Е Y1 ^2(Sl)фл (siW Фi(S2^h (S2)dS2(iSi

n„=o\ 1—0 1, =р+1 ^

3=0

1=0 ^ л=р+1 N i

Au

K

лЧ lim N]Ti ^aJ 2 < K2 (T — t)2 < C ^ 0

^те ' P I p2 ^ p

3=0 =0 3=0

(59)

при p со; t = u0 < ui < ... < uN = T; Aui = u+i — u; u* E \ui,ui+i]; max Aui —>■ 0

+ 4 0<1<N —i

при Ж ^ то; I = 0,1,... ,N — 1.

Аналогично, используя (58) и (46), получим, что Е'р ^ 0 при р ^ то. Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае справедлива оценка:

т

Ы$)фл (S)dS / фз(8)фп (S)dS

K

<K, л = ° i

(60)

Используя (53) и (60), имеем:

P / N—i те T U ч

Е'Р < Ki ^^rn те Е / (^ / ^ (^ Au)

i-0VN-те t0 л=P+iU* { /

2

<

P N— i те 2 P

те lim те те < K те(т—¿)2 <с ^ 0

¿0VN^те P+Wl2 / ^ ¿0 Р

< K2

2 K2 P

3=0

3=0 =0 1= Р+

при р ^ то; смысл других обозначений такой же, как в (59), Теорема 3 доказана для тригонометрического случая. Теорема 3 доказана.

X

5. Доказательство теоремы 4

Из (12) следует, что

£ сзшппс!:0<Й2)с-3з)с]44) = з[ф(4)]т,+

. 2. з. 4=0

1-1 Л(» з»4) | л Л( ¿2»4) | л Л( ¿2^3 ) | л Л(Ч ¿4) |

+ 1{п=2=0}Л1 + 1{п=з=0}Л2 + 1{п=4=0}Лз + 1{г2=з=0}Л4 +

( з) ( 2)

+ 1{ г 2=4=0} Л5 + 1{ г 3=4=0} Л6 — 1{г 1= 2=0} 1{г 3=4=0}Б1 —

— 1{г1=гз=0}1{г2=4=0}^2 — 1{п=г4=0} 1{»2=з =0}Б3, (61)

где 7 [ф(4)]т.4 имеет вид (2) при ф1(в),..., ф4(в) = 1 и г1,..., г4 = 0,1,... ,т;

Р

Л('з'4) = ]\т Х^ Г - ■ ■ )

Л1 = „^ и343з313^4

р^те

¿4.¿3 ^ 1=0

Р

Л2 = и343з323з ^2 ^4 ,

¿4.Зз .¿2=0

Р

Лз = ^те и343з3234 ^¿2 ^¿з , ¿4. ¿з .¿2=0

Р

Л4 = и343з3зп 41 ^¿4 ,

4. з. =0 Р

Л5 = и343з343141 ^¿3 ,

4. з. =0

Р

Л6 = 1-1-т. > ^¿3¿3¿2¿l (¿1 (¿2 , р^-те ' ^ •У1 •у2

з. 2. =0

Р Р

Б1 = Ит > С^л ¿1, Б2 = Нт C'¿з¿4¿з¿4,

р^-те ' ^ р^те •'—'

¿1. ¿4=0 ¿4. ¿3=0

Р

Бз = Ит > ^¿4¿з¿з¿4.

р^те •'—'

4. з=0

=2

(см, (10)), соотношение (16), равенство Парсеваля и формулу Ито, получим

Р т 8 81 2

Л(/4) = 1.1т. £ Ч фн (8)1 Фз (81)П фп (з 2)^ 2) ^Ж]33) С]44) =

Р^те Л.Л.Л=0 { { Ч /

Р т 8 Р 2

= ^ Е 1 / 0^4 (я) / Фзз (* 1) ±(1фз, (8 2^2) ¿8138 С]33) С]44)

„ те Л.Л=0 ^ ^ Л=0/ /

Р т 8 те 81 2

= Е 1 Фз4 (8) Фзз 1Л (81 — ^ — £ ( Фп (82)3вЛ ЫзФ

„ те ¿4. ¿3=0 { { Л=Р+Л-[ ' '

( з) ( 4) х ^ ¿3 ^ ¿4

Р 1 Т Г

1 I ■ ' * ' ■ ' — - - - ^Ы^ А (¿34)

= ^ Е 2 ф34(*) ф33(81)(81 - № <Й3)<Й4) - д(1

Р те 34,33=0 { {

Т 8

=21 /( я 1 -г) ^ ^)+

Р Т 8

+ 11{гз=4=0} ^ Е / 033 (8) Фп (8Ж51 - - А?3г4) =

Т 81 Т

1II I ^ 2^8?^4) + 41{*з=4=0} /(я 1 - 1 - А-- С В. 1, (62)

где

А13г4) = ^ те ^ ^ 33,34 =0

Р

а3433 = 2

Т

1

Ф]4 (8) Фп (81) £ ( / (32)с1^) (63)

* { 31=Р+Л{ У

Рассмотрим А22ч):

Р Т 8 п 8

^ = 1Л.т. V (1

2 Р^те , V 2

А2 = Е \2 Ф34(8)[ Фь1)(^И Ф32-

Р те 34,33,32=Л { / {

Т 8 81 2

- ^ Ф34 ! Ф32 (81)^ Фп ( йвф-

Т 8 8 2

1 2 ( 2) ( 4)

Ф34 ! Ф32(^(У Фгз (8¿8эds^ с322)0

2 4 2 э 3 1 1 э 2 4

4 4 83

Р Т 8

= Е \2 Ф34 (8)(8 - V Ф32 (8

Р те 34,32=Л ^

Т 8

-^ Ф34 (*0 У ф]2 (Э 1)(81 - ^ -

Т 8

- 21 ф34 (*)! ф32 (8э)(8+ г - с]44)-

- а22м) + а1 2м) + А32м) = -А22м) + а1 2м) + аэ2м) С в. 1, (64)

где

Р

а22М) = 1л.т. у ^ 3 с(г2)с(г4), аэ2М) = 1л.т. у ^ 3 с(г2)с(г4),

2 Р ... / у 3432^32 '34 ' 3 Р ... / у 3432^32 '34 '

34,32=0 34,32 =0

т

1

^¿2 = 2 / (в) Е (/ (8У ^¿2 О^К^

4 ,?3=р+1 4 4

т

С^ = ^ Фз4 ^¿2 (^ (/ Фзз ^^з^.

4 4 ,?3=р+1 83

Рассмотрим л5* 1гз):

Р т т т т

Л5пгз) = 1л.т. £ / фн (^з) / 0^4(з2) / Ф33(51) / 0?41^2^зX

( 1 з) 5

Р те

л..?3 .л =0^ 83 ;2 81

( 1) ( з) = х ^ л ^ 33 =

т т 8 81

Р

( 1) ( з)

з

Е У ^31 (5з ^ Фп (в) J Фзз (81) J Ф]4 ^¿въЗв д^С

л.ла1=0 4 83 83 83

Р т т 2 т

= Е / Ф31(^Д Ф34 Фзз —

р те л.л.Л=/ /з У /з

т т 8 2

— ^ Ф31 (^У Фзз ^^ Фз4 ^^з —

* 83 83

т т т 2

—2/ф1 ы /фзыЦ ф*(8№1^) с(г1)с];з) =

4 83 82

Р т т

= Е (2 / (^з)(Т — Фзз Шя —

Р те з. 1=0 з

т т т т

— ^ Ф31 (^ У Фзз (8)(8 — С^з-^ Фп (Ф33 («2)(Т — <£з)

4 83 4 83

— д41гз) + д5г 1гз) + д?1гз) = — д41гз) + аб1гз) + да1гз) с в. 1, (65)

где

Д41,3) = ^ £ <5*СГС'33). Д51,3) = 5: еРз,1с':0С!:з)

Л. ¿1=0 ¿3 .¿1=0

т оо т 2 т

4зл = 1 / Ф31(5з) Е (/ Фз*У Фзз (s)dsdsз,

т т

1

ерзл = 2 У Фз1(^У Фзз (*0 (У Фз4(в 1)^1) ^з,

з 4= Р+1 з

Д61гз) = 1Дт. £ сГ

з. 1=0

!Р. =-'3331 2

Т Т _ Т

1 г- г- те

Ф31 (вэ) ! Фп (32) те (/ ^34 ^

3Р

2

4 83 34=Р+1 82

Т ^ Т

1 о те

2

4 34=Р+1 82

Кроме того,

Фп (з2) те (/ ^34 (51)с^^ J Фл (■1э)(1зэds2.

Р

Л^ + д(»2»з) = , . (Г- - ■ + Г- ■ ■ )

А3 + А5 = у ; / у (°34333234 + °34333432) 432 ^З

4, , 2=0

Р Т 8 81 81

р^те X I Ф-34 / 03з (81) I 032 (82) I ф]4 (Sэ)dsэ^2^ С(з)

34,33,32=0

Т 81 81 Т

Р

( 2) ( )

р^те X У ^ (81 ^ $32 (Ф34 (Ьэ(182 ! Ф34 ^(¡в¿в1 С;22)С

М,33,32=0 4 4 4 81

Т 81 Т Т

р^те те (/ ^ (в 1) / ^32 (в2) / Ф34 (^ 034 ^^(¡З2ds 1 34,33,32=0 ^t 4 4 81

Т 81 Т х 2

( 2) ( )

- Ф33 (* 1) Ф32 (82И / 034 (¿0^ ^ 1 022)С) =

^ (1 в^в

2

4 4 81

р Т 81 Р Т 2

= 1л.т. £ / Фп(51) / 032 (я2М(г - ж)-те /

03'4 (Зэ \dS2dS1X

3з,32=0 4 ^ 4 34=0 81 / /

X <Й2)Йз) = 2Аб2гз) с в. 1.

Поэтому

лэ 2г з) = 2а6 2г з) - а5 2г з) = а4 2г з) - а5 2г з) + а6 2г з) с в. 1. (66)

А4 1 4) :

Т

Р Т

А?1Ч) = 1Л.т. те / 034 (5) / 031 («эМ 033 («2П Фь (эl)dsФ2dsX

4

р^те

3 4,33,п=0\ 4 ^ 82

( 1) ( 4) х 31 34

р Т 8 Р 8 2

^те те 1/ ^ 031 (яэ) те/ ФЬ (82)^2) Лаэ^^^)

3'4,л=0 г г 33=0 83

Р Т 8

^ те 2 / ^ ^ / ^ (*э^ - 5э)^э^сС1)С3(44) - А?1г4)

Р те 34,31=0 4 4

Т 8

= 21 /( 8 - "э)^ ^4)+

8

1 Р т 8

+ 11{г1=4=0} 11т X ф]4 № Фп( 5з)(5 — Sз)ds з^ — дзп г4) = р^те л=0</ {

т 82 81 ^ те т 8

¿/У/ ^ ^ ^^ + 11=г4=0Н Е/ ^ — ^4 («) / Фз4 (8 з)^з^ —

4=0

т 8

— Е / Фз4 (в) (5з — ^0,4 (Sз)dsзds 1 — Д

4=0

( 4)

з

т 82 8

^ 1 — дзп*4) с в. 1. (67)

Рассмотрим Л6Пг2) :

Р т т т т

Лб1 г2) = 1р1т. X I Фп (яз) / 0,2 (я2) I Фзз (а 1) / Фзз Ш*^1^2^з4г1)С]22)

з. 2. =0

з 2 1 з 2

\ 2

^ зС С^С

т т т

Р 1 т т Р т 2

^ Е Ц Фп (*з)/ 0,2 (я2) Фзз (^ ¿8фзсГ <й2)

^2) _ д(Пг2)

Л.,2=0 4 83 ^3=0 82

Р т т

^ Е \ [фь (8з) /0Л (Я2)(Т — 82)^2^з№ С]22) — Д6"г2)

Р те Л.Л=0 { 83

Р т 82

^ Е 1 / ^(*2)(т—^) [Фп(*з)Жз^2с(г1)с];2) — Д

Р те л.л=0 ^ {

т 82

= Ц(Т —8 2)1 ^) ^822)+

т 82

+ 11{г1=2=0} Е [ Ф32 (^2)(Т — в2) [ Ф32 (з^2 — ^^ 2 2=0

т 81 82 т

1 [ [ [ , 1• ^ [(Т-я„Ы*„ -А(*^2)

2 У У У 8 82 4

1 + - 1{г 1=2=0} (Т — ^2 — Д61г2) С В. 1. (68)

Перейдем к рассмотрению В1,В2,Вз :

р т 8 81 2

В1 = Дп! Е 0^4 (5) У Фз4 (5Фз1 («2=

1. 4=0

т

Р 1 т 8 Р

= 1{тУ2ъ Ф 34 / 0,4 1)(я 1 — Ит V аР4^4 =

р^те *—' 2 I I р^те *—'

4=0 4=0

Т

1

¡( 81- ^81- те ар434. (б9)

Р

4- — .......а

4=0

Далее

Р / 1 Т -83

В2 = Д™ те / 033 ( 8Э 034 ^ У 033 (з 1)^1^э-

4, 3=0

Т 81 82 2

- ^ 033 ^ 1) J 033 ( Ф]4 ( вЭ)(^

Т 81 81 2

- ^ 033 1) J Фг3 (8) (У 034 (¿2)^2^ ^^^ =

Р Т 83 Р

= ^2! ф33(^)(в э - г) ф33(в 1)(ЬЭ - Ьр333 -

33=0 ^ { 33=0

Р Т 81 Р

- X 1 033 1М (^2 - ^033 («2^¿2^1 + Нт £ ар333 -

33=0 4 4 33=0

Р Т 81 Р

" X 1 033 1М 033 (в)(в 1 - * + * - ^+ ^ X Ср333 = 33 =0 4 4 Р те33=0

Р

= 11ш аР + 11ш Р 11ш Р .

р^те ^ 3333 р^те ^ 3333 р^те ^ 3333' 33=0 33 =0 33=0

Кроме того,

Р

В2 +Вэ = 1™ те (С]3]4]3]4 +^33343433 ) =

р^те '

4, 3=0

Т 8 81 81

Р

Д™ X I 033 (в) / 034 0 / 034 2) I 033 (8э)Лвэ(182(181(18 =

34,33=0 4 4 4 4

Р Т 81 81 Т

'Д™ те / ^34 ^ 1) / ^34 (в2) / ф33 (8э)й8эй82 ! 033 =

34,33=0 4 4 4 81

р Т 81 Т Т

Д™ те (/ 034 1) J 034 (033 (^2^Ф33 ^¿вЖэЖ1-

4, 3=0 1

Т 81 Т 2

0341) У 034(^(У 033 ^э^^ =

4 4 81

Т 81

^ 034(51 )(Т - ^ / 034(8э)(1зэ(181-

4=0

т

те р 1 р р

Р Р

4 4

Е / ^ (S i)(T - ^ / ^ (S 3)d + 2 Ит £ f^ = 2 /;

Поэтому

¿4=0 ^ ^ ¿4=0 ¿4=0

Бэ = 2 lim V ff. - lim V ар , - lim V с^ + lim V tf.. (71)

р^те ¿3f3 р^те •Ш3 р^те ¿3f3 р^те •Ш3 4

¿3=0 ¿3=0 ¿3=0 ¿3=0

После подстановки соотношений (62)-(71) в (61) получим

р

lim V^ Г- ■ • • /^V^V^V^

р^™ Z^ ^34333231 S71 Sj2 Sj3 Sj4

где

р^те

¿1. ¿2. ¿3. ¿4=0

т 8 81

= ^ [ф(4)]т.4 + 2 1{<1=2*>}//2^81з) 6^4) +

т 82 8 т 8 82

+ 11{г2=з=0}// / ^^824) + 11{гз =4=0}// / ^

т 8

+ 11^=2=0} 1{гз=4=0} ^ / ^ 2^1 + Д = [ф(4)]т.* + ЙСВ. 1, (72)

Д = — 1{г 1= 2=0}Д1 + 1{г 1= 3=0} Д2 + Д1 + Дз ^ +

( 2 з) ( 2 з) ( 2 з) ( 1 4)

+ 1{г 1=4=0} ^Д4 — Д5 + Д6 ) — 1{г2=з=0}Дз +

( 1 з) ( 1 з) ( 1 з) ( 1 2)

+ 1{*2=4=0} ^ —Д4 + Д5 + Д6 ) — 1{гз=4=0}Д6 +

Р

+ 1{г 1=2=0} 1{гз=4=0} Е арзЛ —

¿3=0

Р Р

Цг 1=3=0} 1{г2=4=0} '

¿3 =0 ¿3=0 ¿3=0

— 1{г 1=4=0} 1{¿2=¿3=0} Х

, Р Р Р Р ч

Х (2 лиге £ ^3—Е <>з- 1пте Е <5*+«т Е О • Р»)

4 ¿3=0 ¿3=0 ¿3=0 ¿3=0 7

Из (72) и (73) следует, что теорема 4 будет доказана, если

Д ^ = 0 с в. 1 и^] аРз,з — 0, £ 6„з,з — 0, £ ^ — 0, £ .^з — 0 (74)

з=0 з=0 з=0 з=0

при р — то, где к = 1, 2,..., 6; г,^ = 0, 1,...,га.

Рассмотрим случай полиномов Лежандра, Докажем, что Д^зч) = 0 с в, 1, Имеем:

Г/ р \ 2^ р ^3-1 /

м Е -„4,з<Йз)Й4) = ЕЕ 2«Р3,з+

¿3^4=0 7 ^ ¿3 =0 ¿3=0 4

р р р

I li^^^ \ li^^ / ^ . _ li^^ / I_

V р^те ^—' ¿3-'3 р^те ^—' ¿3-'3 р^те ^—' ¿3-'3 j

=0 =0 =0

("Рс;)2 + 4+ +3 те ("Ри)' =

у 3 ' =0

р \ 2 Р 3'-1 2 Р 2

те+ тете(<лтеы &=*т (75)

33=0 7 3' =0 33=0 3'=0

Р \ 2

м{ ( ^ ^33С(3)С3440 | = те (ар43з)2 (¿Э = ^ ¿э = 0, ^4 = 0), (76)

^33,34=0 7 У 33,34 =0

(Т - ^ ^ (ар4^) при гэ = 0, г4 = 0

К Р (' ) (' Л2]. 34=0

Хпар43з(33 Се44 ) ] = < (Т - г) р (ар0 3 }4 = 0, гэ = 0 . ^

к (Т - г)2 (а0ю)2 при гэ = г4 = 0

э = 4 = 0

(т - ¿)2Л/(2]4ПХ2]3Т11

ар433 = ' " ' ^ ' х

1 у те у1 2

х/ Р34 (у)! Рзз (Ш) те (2^1 + 1)(/ р31 Ы^) Лу«¡у =

х

X

-1 -1 31=р+1 -1

= (Г - ¿)2У(2,74 + 1)(2^э + 1) 32

1 1 /р33(У1) те 2^+1^1+1(У1) -р31-1(у 1))2/Р34(у)йуйу1 =

-1 31=Р+1 У1 _ 1

= / р33Ы (р34-1(ш) - Ръ-иЫ) х

4 -1 1

х X 2-+г(^31+1(У 1) -В31-1(У1))2^1 04 = 0),

31=Р+1

( Р^, I 1 (1 /1 ) — Р^ 1(7/1 ))2

2л + 1

а3433 =32 х

1

х Р33(У1)(1 - Ш) £ 2—-т(Г31+1(ш) -Гл-1(Ш))2^1 04 = 0).

-1 31 =р+1 -71 +

Из (28) и оценки |Р34—1 (у) - Р34+1 ((У")I < 2, у € [-1,1] получим

00 1

Iар4331 < ^ те -2 /э/4(1) < (34 = 0), (78)

^ 4 31=р+1 -]1

°° 1 ^ °° 1 Г |ар,331 < с те з < -1, |аР01 < ^ те111/2(1) < -т. ^

31=Р+1]1 Р 31=Р+1]1 Р

Принимая во внимание (75)-(79), запишем:

Р \2^/ Р \ 2 р , , 2

КР / Р \ 2 Р 2

те аРр433С333)С344М = аР0 + те^зззз) + те(ар0,33 + 03,0) +

3, 4=0 3=1 3=1 3 3

1

„ "'3-1 о / „ / \ 2 \ /1 1 „ 1\2

+ Е Е (<* + «53*) + <Е /з + М2 <4 1 + р Е ^

¿3=1 ¿3=1 Ъ'3=14 7 7 4 р,з=^'уз/

+— + х V"!-1 — (— + —\2 <К (1 + 1 / — V + — + — V - < р '¿¿р2 ^v < Чр рУ Л р р ~=1]з <

2 ■ Р

<*», 1 + 2+^+ ^ ^ < ^ + уз <1пр+1> — 0

/1 2 \2 К1 Кз{

р + -р + — + ^ 1 ■ / / - ■ \р ур) р р \ ^ х ) р р

при р — то (гз = г4 = 0),

Аналогичный результат для случаев (76), (77) также следует из оценок (78), (79), Поэтому

Д(1зм) = 0 с. в. 1. (80)

Нетрудно видеть, что формулы

Д22м) = 0, Д4пгз) = 0, Д6пгз) = 0 с. в. 1 (81)

могут быть получены аналогично доказательству соотношения (80), Более того, из оценок (78), (79) получим

Е <3,3 = (82)

33=0

Аналогично выводу (82), найдем

¿^з = 0 ,1™ Ея* = 0 (83)

з=0 з=0

Дз 2 4) :

дз^ = д4^ + д6^ — д7^ = — д7^ с_ в_ (84)

где

Д72*4) = 1л.т. V др1(?2)),

7 Р 4 2 2 4

¿2. ¿4=0

т 8 т т

$4.72 = I ^4 (8) I Фз2 (81) Е ф]1 (ф]1 (

* * Л=Р+1 81

т т 8 т

= Е / 0^4 (Ю / Фз1 ($2 Ф32 (51П 0¿l (2^51^. (85)

л=р+Ч 8 * 81

Равенство (85) следует из оценки:

1

I р к ^те 1 С 71/2(^ л /

1 <к(1—^ < 7.

Заметим, что

оо т т 2

^¿4 = Е 2(/ 0,4 ^¿1 ^2)^2^ , (86)

2

Л =р+( \ 8

Т Т Т Т

3Р4 2 + 3Р2 4 =

X / 034 (*0 / 031 О2^^ / 032 ^ / 031 (52)6?^ (87)

31=р+ч 8 { 8

и, кроме того, при < р

р = (Т - ¿)2у(2,74 + 1)(2л + 1) ^ 1

^432 16 ^ 271 + 1

31=р+1 ^

1 у1

х/ Р34 (у 1НР31 -1(ш) -Р31+1(У 1))/ Р32 (у) (Р31-1(у) -Рл+1(у))^^1. -1 -1 В силу ортонормироваппоети полиномов Лежапдра получим

пр + пр = (т - ^у^+1)(2]2+1) ^ 1 „

У3432 + У3234 1 6 ^2 Ь +1

31=Р+1 -71

1 1

х/ Р34(У1)(Р31-1(У 1) -Р31+1(У 1))^/ Р32(у) (Р31-1(у) -Рзl+l(y))dy = -1 -1

1 о

<Г - ')2(2"+1) 1 ^ I1 А = Л =Р

16-рр(кти ■0иначе

1

(Т - ¿)2 I 1 при ]2 = ]4 = р

{

4(2р + 3)(2р+1) |0 иначе

(Т - Ь)2 I 1 при ]4 = р

р = 1 / р + р \ =_(т ^)2_ I

У3434 = 2 ^93432 + 93234' = 8(2V + 3)(2V +1) |

8(2р + 3)(2р +1) 10 иначе

2= 4

Из (75), (88) и (89) получим:

( / Р / Р \ 2 Р 33-1 2

4( те сг^см}=(те+ тете(^3+^ +

^ 32,34 =0 7 } Ъз=0 7 3'=0 33=0

+2 те (« 3' )2 < V + Г - 0

3 '=0 4

8(2р + 3)(2р + 1) / \8(2р + 3)(2р + 1)

(88) (89)

при р — ж (г2 = г4 = 0).

Рассмотрим теперь случай г2 = г4, г2 = 0, г4 = 0. Нетрудно видеть, что

Т 8

9Р432 = / 034 / 032 0 1 , = J Хр(8, Я1)034 (з)ф32 (8^(¡в^в

* * $ ,Т ]2

является коэффициентом Фурье двойного ряда Фурье-Лежандра функции

Кр(8, 81) = 1{п<8}РР(3, 81), (90)

где

Т Т

Рр,п(8, 81) = те^ I Ф31 (82^82 I Ф31 (82)й82, ^Р,те(в, 81) = ГР(8, 81)

1 = Р+1 1 8

Равенство Парееваля в данном случае имеет вид:

Р1 т 8

ри_т Е ыи)2 = / (к„(8, з())2^ = 1 ¡(гР(8,з())2^ 1^. (91)

¿4Л2=0 .т]2 4 4

Из (28) получим:

т 1

I Фп (0)М =1 V2nTI I

81 ( 1)

Рп (У)Лу

/гр _ I 7у-

у 1Рп-1(Ф 1)) — Рь+М* 1))1 < -/1/4(я 1), Я1 € (г,т). (92)

Используя (30) и (92), имеем

( Рр(з, 81))2 < ^/1/2(8)/1/2(81); в, 81 € (*,Т). (93)

Из (93) следует, что , з()| < К/р в области И£ = {(^, з() : 5 € [£ + е,Т — е], € [ф + е, 5 ]}, где е > 0 — достаточно малое фиксированное число. Тогда имеем равномерную сходимость

^-1.р(з, 81) — ^-1(з, 81) (94)

на множестве И£ при р — то. В силу непрерывности левой части (94) мы получим непрерывность предельной функции в правой части (94) на множестве И£. Используя этот факт и (93), получим:

т 8 т — £ 8

У У ( , 51))2^ = Ит у У (^р(5, 51))2^1^<

Т—£ 8 т 8

< -¿ДтУ У1/2(5 ) J У1/2(Я 1)^1^ = —У У1/2(Я^ / 1 /2(31 Я=

+ +

1

= с<г - "2 [ /1/2'^ (95)

4р2 У (1 — у2)1Г2аУ< р2 .

— 1

Из (95) и (91) имеем:

Р Р1 те „

0 < Е («Р.*)2 < рйте I: («Р.*)2 = Е («Р.*)2 < § — 0 (ее)

¿2.¿4=0 ¿2 .¿4=0 ¿2 .¿4=0

— то 2 = 4, 2 = 0, 4 = 0

Нетрудно получить аналогичный результат и для случаев г2 = 0, г4 = 0; г4 = 0, г2 = 0 и г2 = 0, г4 = 0. Тогда Д/4) = 0 и Д/4) = 0 с в. 1. Рассмотрим Д51гз):

Д51гз) = Д?1гз) + Д61гз) — Д81гз) с. В. 1,

где

т т

Д8"3) = Е ^ Кп = I Фп(*з) I Фзз(^Р(3з, 3^33.

з. 1=0

8з

Аналогично предыдущим рассуждениям мы получим, что Д81гз) = 0 с в, 1, Здесь мы используем функцию Кр(в, ва) = 1{33<3}РР(ва, в) и соотношение

ЬРЫ1 = ! Кр(з, в3)ф31 (8Ъ)фн(в^вс1в3 (г 1 = г3, н = 0, г3 = 0).

[* Т ]2

В случае = г3 = 0 мы используем для и ИР^ 1 + правые части формул (86) и (87) соответственно, в которых следует заменить ^ на и ]2 на ]а соответственно. Покажем, что

р

Р—о ЕС. = 0- <97)

33=0

Имеем

^РзЗ 3 = fjsj з + ^РзЗз — S'Psj 3-Аналогично второму равенству в (83) получим

З

lim X <£ , = 0-

З

р—^оо

33=0

Из (89) следует, что

З

(Т — ¿)2

0 < Иш V дР , < Иш ——(—У-т = 0,

- < 8(2р + 3)(2р+1) '

т.е. (97) выполнено. Равенства (74) доказаны для случая полиномов Лежандра, Рассмотрим тригонометрический случай. Согласно (63):

Т 81 „ т

1 г- оо / 1 х 2

aL3 = 21 фз(s^ X (/(si)ds4 I Ф34(s)dsds 1-

t 3l=P+^t 7 S1

Кроме того,

81 т

/j^ i* Т ^ ф3 (S2)dS2 < —0 (j = 0), J Ms^s = T-_L,

t 81

— .о°. 1 — — K*\< — X j2 < — (j4 = 0), ioS^i < ^- (99)

31=P+1jl Pj 4 P

Из (75)-(77) и (99) получим, что д1гзг4) = 0 с в. 1. Аналогично Д2*2г4) = 0, Д4пгз) = 0, Д(г 1гз) = 0 св.1 и

P P P

lim X <73 = 0, lim X ЬРзп = 0, lim X Д» = 0-

P— P— P—

=0 =0 =0

Рассмотрим Д32м)- В этом случае при г2 = г4 = 0 мы будем использовать (84)-(87), Имеем:

LМ ]ф„= ^^ т /Ф'4(S) - C0s^) dS

1

jl J [Фз4 (*) (-«in

где j1 > р+1, j4 = 0, 1,... ,р.В силу ортонормированности тригонометрических функций, получим:

т т

I j / i / \ 7 , V2(T — t) I 1 или ^и 74 = 0 . ^ /„„„ч

Фм(s) Фп (s2)ds2ds = ; . ; 11 Р j4 ; Л >Р + 1. (100)

J J 2-j 1 0 иначе

t s ^

Из (100) и (85) - (87) следует, что

(T — t)2 I 1 ми 0 при j2 = j4 = 0

' 2-2 72 0 иначе

V (T — t)2 (

i=p+i J1 k

V (T — ¿)2 i

■1=P+1 J1 k

p \ (T — t)2 J 1 ИЛИ 0 при J4 = 0 /1ПОч

9P* = 0 ИНаЧС ~K1/P. (102)

Jl=P+1 J1 1

Из (101), (102) и (75) получим Д^= 0 и Д3= 0 с в, 1 (г2 = г4 = 0). Аналогично полиномиальному случаю Д72М^ = 0 и Д^2М^ = 0 с в, 1 (г2 = г4, ^ 2 = 0, г4 = 0). Те же аргументы доказывают, что гз) = 0 с в, 1,

Принимая во внимание (98) и соотношения

р р

Иш У^ /р3 ,3 = Иш У^ с£3 ,3 =0,

р^оо ^-' р^оо ^-'

¿3=0 ¿3=0

которые следуют из оценок: |/¿¿-1 + |1 < К\/Р3, |/001 + Ир0| < К\/р, мы получим:

р р р К

limV ср3 ,3 = - lim У £р3 , 0 < lim У др3 ■ < lim К = 0.

р—^оо z—' •/3"'3 р—^оо z—' J3J3 р—^оо z—' •/3"'3 р—^оо р

¿3=0 ¿3=0 ¿3=0

Таким образом, приходим к (97) для тригонометрического случая. Соотношения (74) доказаны для тригонометрического случая. Теорема 4 доказана,

6. Заключение

Полученные в работе результаты (теоремы 2-4) могут быть применены к реализации сильных [2], [4] численных методов порядков точности 1,0 (метод Милынтейна [3]), 1,5 и 2,0 для СДУ Ито вида (1) (случай многомерного винеровского процесса и функции В(x, t), допускающей зависимость не только от t, но и от x), основанных на разложении Тейлора-Стратоновпча [2], [6], [8]. Следует также отметить, что набор ПСИ Стратонови-ча кратностей 1-4 вида (3), используемый при построении указанных численных методов, универсален как для явных одношаговых численных методов, так и для их неявных, многошаговых и конечно-разностных (типа Рунге-Кутта) модификаций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. К.: Наукова думка, 1982, 612 с.

2. P.E. Kloeden, Е. Platen Numerical solution of stochastic differential equations. Berlin: SpringerVerlag, 1992.

3. Милынтейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Уральск, ун-та, 1988, 225 с.

4. G.N. Milstein, M.Y. Tretvakov Stochastic numerics for mathematical physics. Berlin: SpringerVerlag, 2004.

5. E. Platen, W. Wagner On a Taylor formula for a class of Ito processes // Probab. Math. Statist. 1982. No. 3. P. 37-51.

6. P.E. Kloeden, Е. Platen The Stratonovich and Ito-Taylor expansions // Math. Nachr. 1991. V. 151. P. 33-50.

7. Кульчицкий О.Ю., Кузнецов Д.Ф. Унифицированное разложение Тейлора-Ито // Зап. науч. сем. ПОМП им. В.А.'Стеклова. 1997. Т. 244. С. 186-204.

8. Кузнецов Д.Ф. Новые представления разложения Тейлора,-Стратоновича // Зап. науч. сем. ПОМИ им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 278. С. 141-158.

9. Кузнецов Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. 2. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2006, 764 с.

10. P.E. Kloeden, Е. Platen, I.W. Wright The approximation of multiple stochastic integrals // Stoch. Anal. Appl. 1992. V. 10. No. 4. P. 431-441.

11. Кузнецов Д.Ф. Новые представления, явных одношаговых численных методов для стохастических дифференциальных уравнений со скачкообразной компонентой // Жур. вычис. матем. матем. физ. 2001. Т. 41. № 6. С. 922-937.

12. E.WT. Hobson The theory of spherical and ellipsoidal harmonics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1931.

13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа,. II. М.: Наука, 1973, 448 с.

14. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 2005, 480 с.

Дмитрий Феликсович Кузнецов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Политехническая ул., 29, 195251, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]