МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
Научная статья
УДК 517.95+519.21
ББК 22.161.62+22.171.5
Ш 96
DOI: 10.53598/2410-3225-2022-1-296-11-30
Об устойчивости в целом по вероятности решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, возмущенных белым шумом. II*
(Рецензирована)
1 2
Магомет Мишаустович Шумафов , Тимур Аскербиевич Панеш ,
Мухаммед Ареф Хаваджа3
1, 2 3 Адыгейский государственный университет, Майкоп, Россия
Аннотация. В работе рассматриваются нелинейные автономные дифференциальные уравнения второго порядка, возмущенные белым шумом. Она является продолжением предыдущей статьи и представляет собой вторую часть работы авторов. В первой части статьи были даны предварительные сведения из теории вероятностей и теории случайных процессов. Здесь, во второй части, дается конструкция стохастических интегралов Ито и Стратонови-ча, устанавливается связь между ними, приводятся их основные свойства, получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом по вероятности решений стохастических уравнений Ито второго порядка. Кроме этого, даны вероятностные оценки пребывания случайной траектории в ограниченной области фазовой плоскости. В качестве примера рассматривается гармонический осциллятор, возмущенный белым шумом.
Ключевые слова: случайный процесс, винеровский процесс, белый шум, стохастический интеграл Ито, стохастический интеграл Стратоновича, стохастическое дифференциальное уравнение, асимптотическая устойчивость в целом по вероятности, функция Ляпунова, гармонический осциллятор
Original Research Paper
On the stochastic stability in the large of solutions of the nonlinear second-order differential equations perturbed by white noise. II
12
Magomet M. Shumafov , Timur A. Panesh ,
3
Mukhammed A. Khavadzha
1, 2 3 Adyghe State University, Maikop, Russia
* Продолжение. № 4 (291) 2021 [1].
Abstract. This paper is a continuation of the previous paper and presents the second part of the authors' work. In the work, nonlinear autonomous second-order differential equations with random right-hand sides of the type of white noise are considered. In the first parts of the work, we present some mathematical preliminaries from probability theory and stochastic processes. Here, in the second part, we give a construction of stochastic Ito's and Stratonovich's integrals, the connection between them is established, and their basic properties are presented. In the work, sufficient conditions for stochastic asymptotic stability in the large of solutions of the second-order Ito's stochastic differential equations are obtained. The probabilistic estimations of the remaining of a random trajectory in a bounded region of the phase plane are given. As an example, harmonic oscillator perturbed by white noise random process is considered.
Keywords: stochastic process, Wiener process, white noise, stochastic Ito's integral, stochastic Stratonovich's integral, stochastic differential equation, stochastic asymptotic stability in the large, Lyapunov function, harmonic oscillator
Настоящая статья является продолжением предыдущей статьи [1]. В [1] в разделе 2 («Предварительные сведения из стохастического анализа и теории стохастической устойчивости») для удобства читателя были приведены основные понятия из теории вероятностей и случайных процессов. Здесь ниже мы напомним конструкцию стохастических интегралов Ито и Стратоновича, на основе которых в дальнейшем дается определение решения соответствующих стохастических дифференциальных уравнений. Подробное изложение теории стохастических интегралов Ито и Стратоновича можно найти, например, в книгах [2, гл. 2-4], [3, гл. 1], [4, гл. 4], [5, гл. 4], [6, гл. 8], [7, гл. 5], [8, гл. 12] (см. также оригинальные статьи [9] и [10]). Ниже во всей работе мы сохраняем общую нумерацию пунктов и продолжаем ее.
2.3. Стохастические интегралы
В теории стохастических дифференциальных уравнений основным инструментом для построения решения уравнения является понятие стохастического интеграла.
Конструкция стохастического интеграла состоит (как и в детерминистическом случае) из двух шагов: 1) сначала определяется интеграл для простых (кусочно-постоянных) процессов fn = fn{{, с) ; 2) затем определение интеграла распространяется на более широкий класс процессов f = f {t, с) с помощью предельного перехода: интеграл J fpidt) по заданной стохастической мере ¡u{dt) определяется как предел
J fn^{dt), где fn ^ f (в смысле сходимости или по вероятности, или в среднем, или в среднем квадратическом).
2.3.1. Интеграл от случайной функции
Определим сначала интеграл от случайного процесса f{t, с) по отрезку
b
[a, b\ a WL (по обычной мере на прямой ju(dt) = dt): J/(f, co)dt.
a
Пусть (ilj F, F) - вероятностное пространство и f(t,co), t s[a, b], cog Q,-вещественнозначный случайный процесс, определенный на отрезке [a, b\ a ERL. Предположим, что Mf {t, с)2 < да для всех t е [a, b]. Случайный процесс f {t, с) , t е [a, b], есть функция от t, значение которой в каждый момент времени t является случайной величиной f {{) = f {{, с) , с efi .
Случайную величину f {t, с) , йёП (при фиксированном t), можно рассматривать как элемент полного нормированного линейного пространства
£г=£г01Ш С нормой llf=М£(о))2 =j^)2p(í/®)<oo, - есть
Q
гильбертово пространство числовых случайных величин со скалярным произведением
<^2):= М<^2; элементы пространства - это классы эквивалентных между собой суммируемых в квадрате случайных величин). Расстояние между двумя элементами (случайными величинами) ^е^* и t/eJ^* определяется по формуле:
( \1/2 рЫ = llí-?IL* =(m^)-r(c)]2)V2 = ( J[(c) -r(c)]2 P(dc) .
Vü У
Величина | \ — ífll^a =У^{со)~ r¡{co^ называется средним квадратическим уклонением случайных величин 4 и r¡ друг от друга. Сходимость в смысле метрики пространства называется сходимостью в среднем квадратичном. Предел в
смысле сходимости в среднем квадратичном обозначается 1. i. m. (Например, если
\Z ) — при t rs, то пишут r = l. i. m t)). Можно доказать, что винеровский
процесс w((), t > 0, непрерывен в среднеквадратическом, но не дифференцируем в среднеквадратическом. Далее, сумма квадратов приращений винеровского процесса, соответствующая разбиению a = t0 < t1 <... < tn = b отрезка
[a, b], сходится к b - a в
среднем квадратическом при max(tk+1 -tk)r 0 :
n-l 2
1.;.п1. Z(M (O- w (O) =b - a, max(tk+i- tk).
k=0
b
Определим интеграл J f (t, c)dt сначала для кусочно-постоянных (ступенчатых)
a
случайных функций fn(t, c) , t e [a, b], принимающих лишь конечное число отличных от нуля значений (со)ена непересекающихся полуинтервалах [/,., /,. , )а [a, /?]:
fn(м c)=4(c) пРи t ti); fn (t,c)=%i(c) пРи t e[t^ t2); • •• ;
fn ((,c) =%n-1 W при t e[tn-1, tn) ,
где a = t0 < t1 < t2 <... < tn-1 < tn = b . Для таких случайных функций fn(t, c) естественным образом определяется интеграл:
b n—1
l[/n M = J fn(t, c)dt := (c)(tk+1 - tk).
a k=0
Пусть теперь f (t, c) , t e[a, b], - произвольная вещественнозначная случайная функция (случайный процесс) со значениями в пространстве JC2 (П.ШО, Ддя которой существует последовательность кусочно-постоянных функций fn(t, c), аппроксимирующая функцию f (t, c) в том смысле, что
lirnjlfn(t,c) - f (t, c)| 2dt = 0.
a
(Здесь ||-||: = ||-Ц^е - норма в пространстве 1£"'(П,Шк).)
В этом случае интеграл от случайной функции f (t, c), t e[a, b], по отрезку
[ a, b] определяют как предел в среднем квадратичном последовательности случайных
b
величин J fn {t, (o)dt:
a
b b l[f ]{с) = J f {t, с dt: = l. n-m. J fn {t, с) dt.
a a
При этом саму функцию fit, со), /е[а, называют интегрируемой в
Указанный выше предел l[f ]{с) существует, поскольку последовательность
b
интегралов J fn {t, a)dt, как нетрудно проверить, является фундаментальной в про-
a
странстве (£}, 1Ю.
В случае, когда случайная функция f {t, с), t е [a, b], непрерывна по t в сред-неквадратическом: l. i. m. f {t, с) = f {s, с), t, s е [a, b], то есть
t—s \ J \ J
Llm^l/G. " /i>iOf)IUE = 0,
можно показать ([7, с. 245], [11, с. 63]), что для функции f{t, с) существует аппроксимирующая в J** последовательность ступенчатых функций
fn {t, с) = f {, с) , t e[tk, tk+1) (k = 0,1,...,n -1) такая, что последовательность
Sn [f ](®) = E f {tk, с {tk+1 - tk)
k=0
сходится в при п —> оо . В этом случае интеграл | /'(/, )б// можно определить как
a
предел в смысле сходимости в X' интегральных сумм Римана:
ь п-1
\ f (t, со)<И = 1л. т.X f (, с)(^ -О,
a п ^ к=0
где 8п := тах((+1 - tk) , я = t0 < t1 <... < tn-1 < tn = Ь - разбиение отрезка [я, Ь] на час-
кк
тичные отрезки точками t0, t2, ... , tn.
Ь
Отметим, что в данном случае при определении интеграла | f (t, с) значение
а
случайной функции f (t, с) в интегральной сумме Римана можно брать не только в крайней левой точке отрезка [[, tk+1 ], но и в произвольной точке тк е [[, tк+1 ].
Ь
Замечание 1. Данное выше определение интеграла |f(t, с) dt относится к про-
а
странству Совершенно аналогично можно дать определение этого интегра-
ла с заменой пространства ¿'(ЦК) на = с нормой
II? II'= < 00 является полным нормированным линейным пространством,
но не гильбертовым пространством). Так как != .-С1 (непрерывное вложение в ]), то интеграл, определенный в X', одновременно служит и интегралом в .
Замечание 2. Укажем еще один класс /f (t, с), t е [a, b]} (кроме непрерывных в случайных функций t ^ f (t, с), для которых существуют аппроксимирующие последовательности /„(/, со). Рассмотрим множество JVT* = JVf *([ft, Ю всех
случайных функций (случайных процессов) f (t, с), t e[a, b], со значениями в
ъ
(Д Ж) таких, что |||f(t, < оо (||-||: = | "Н^в). Последнее условие, в силу извест-
a
b
ной из анализа теоремы Фубини, эквивалентно условию м| f (t, с)2dt < да, поскольку
a
b b b i Л ^ b Л b
|||f ((, с)| 2dt = |Mf ((, с)2dt = || | f ((, с)2P(dc) dt =| | f ((, с)2dt P(dc) = м|f ((, с)2dt.
a a a V^ / ^ V a у a
Если в jVf2 определить норму
' != /; ..-■ ::-=M|f((, с)2 dt,
a
то Jtf* становится полным нормированным линейным пространством (то есть банаховым пространством), метрика в котором определяется обычным образом:
p{f,g) = \\f-3\\^
Можно показать (см., например, [2, с. 45, 46], [3, с. 20, 21]), что для любой случайной функции f £ Ж*' ([ft, Ь]; Шь) существует аппроксимирующая последовательность {/n((, с), t е [a, b]} ступенчатых функций fn (t, с) такая, что p(fn, f ) ^ 0 при n ^ да, то есть
b
limMf[/n (,с)-f (t, с)]2 dt = 0.
н^да * a
Следовательно, для функций класса J IK) существует интеграл
b
| f ((, сЦ/t.
a
2.3.2. Стохастический интеграл от неслучайной функции
Обратимся теперь к определению стохастического интеграла, когда интегрирование ведется по стохастической мере /и(dt), заданной с помощью винеровского процесса w (t), 0 < t <+да: /j(dt) = dw (t). (Из определения винеровского процесса
w (t), t > 0, следует, что || w(f) — |||а = М (w (t) - w (s)f =t-s, или символически ЦгЛу(i)||~ = , где I'l = |Г 11.^2 - норма в пространстве L* (£1,1К)).
b
Определим стохастический интеграл | f (t) dw (t) относительно винеровского
a
процесса w (t) для неслучайных функций f (t), t e[a, b], из пространства
b
; л- , то есть удовлетворяющих условию | f (t)2 dt <да . Как и выше, опре-
a
делим интеграл сначала для ступенчатых функций.
Для ступенчатой функции
fn (() = с0 при t ^ t1), fn (() = с1 при t е[t1, ^ X fn = Сп-1 при t ^п-^ tn) ,
где ск се К (к = 0,1,..., п-1), а = /П < <(2 <... < !п 1 < !п = Ъ, положим
ЧЛ ](с) = 1/. (О ^^ (0: = 2 Си ( (^+1) - ^ ) .
а к=0
(Здесь w (t) = w (, с) - винеровский процесс.)
Возьмем теперь произвольную неслучайную функцию f Е £? П&ЬЬ Е}, для
которой имеется последовательность ступенчатых функций /п (¿), t е[а, Ь], аппроксимирующая функцию / (() в том смысле, что
1"4 ( () - л ()) 2 dt = 0,
п^ВД * а
то есть в смысле сходимости в пространстве Щ). Для каждой функции
такая последовательность существует, поскольку множество всех ступенчатых функций на отрезке [а, Ь] всюду плотно в Ш-
Нетрудно проверить, что соответствующая последовательность интегралов (слу-
ъ
чайных величин) фундаментальна в пространстве £>* (П., К) и, следо-
а
вательно, сходится в Е), так как пространство ( Ё} полно.
Случайную величину
Ч/](с) = 1/ (0 ^ (0: = 1.1т. 1/п (0 dw (О
а а
называют стохастическим интегралом от неслучайной функции /(t), t е [а, Ь], относительно винеровского процесса w (t) = w(t, с).
В случае, когда функция /, t е[а, Ь], непрерывна на отрезке [а, Ь], можно показать, что существует аппроксимирующая последовательность ступенчатых функций {/„(')}: ./„(') —» /(/) (и —» оо) в , такая, что последовательность интегральных сумм Римана-Стилтьеса
^ [/](с) = 1 /(к)(w(ч- w(ч))
к=0
сходится в (Й, 1Ю при п —» 00 .
В качестве аппроксимирующей последовательности ступенчатых функций выступают функции
л ()=1; / ы х\к, к+1(,
к=0
где X [к ¡к г) - характеристическая функция полуинтервала [^, tk+1).
Ь
В этом случае стохастический интеграл 1 / (t)dw (() можно определить как пре-
а
дел в смысле сходимости в интегральных сумм Римана-Стилтьеса:
} / (/) ^ (Г): = 1ллп. X / (^) ( +1) - м (О),
а ^ к=0
где 8п = тах((+1 - гк), а = г0 < ^ < г2 <... < гп = Ь - разбиение отрезка [а, Ь]
точками
' ••• ' ^n •
Определенный выше стохастический интеграл | / (г) ^ (г) известен как инте-
а
грал Пэли-Винера (Ра1еу-Мепег, 1934).
2.3.3. Стохастический интеграл Ито
Осталось определить понятие стохастического интеграла для случайных функций /(г) = /((, о), г е [а, Ь]. Сделаем следующие предположения.
Пусть на вероятностном пространстве (Ц,Р) задано возрастающее семейство <т-алгебр из У, то есть ^ с Г для всех 0<5</<оо. Семейст-
в0 называют фильтрацией или потоком событий: каждую из сг-алгебр ^
можно интерпретировать как совокупность событий до соответствующего момента времени г включительно.
Пусть м(г) = м(г, о), г > 0, - вещественнозначный винеровский процесс, согласованный с семейством то есть для каждого фиксированного / > 0 случайная величина и'(/, <у) , измерима относительно сг-алгебры Пусть далее для любого Ё > О приращение + процесса при каждом /г > 0 не зависит от <т-алгебры Т^. Независимость случайной величины и'(/ + И) - и'(/) (при фиксированных £ И Й) от сг-алгебры 'Т*. означает, что сг-алгебра независима от сг -алгебры
+ й.) - :=
а[м>^ + Ь)-м>^)-,Ь>0} = а{{со:м>^ + Ь, со)-со) е В}, Л > 0, П
порожденной при любом фиксированном г > 0 и каждом И > 0 случайной величиной м(г + И) - м(г), то есть порожденной событиями вида {о : м (г + И) - м(г) е В},
В £ где В = {В} — сг-алгебра борелевских множеств В с: [о, оо). В свою очередь, независимость сг-алгебр Т1. и ^(^(Е -Ь Й) — №(,£)) означает независимость любых событий А1 и А2 С I к) №(£;)).
Отметим, что в качестве сг-алгебры 17-+ выше можно взять сг-алгебру ■^"■»Мй яле- =<т 0 £ 5 £}, порожденную самим винеровским процессом
м;(/,гг>) или любую сг-алгебру, содержащую ■ . В слу-
чае := ^¡у семейство ^, называют естественной фильтра-
цией, порожденной процессом {м(1:)|г >0. Понятно, что {"^О^ >0 будет винеровским процессом также и по отношению к естественной фильтрации ^ ^
зъ £ есть наименьшая из всех сг-алгебр, относительно которой каждая
случайная величина w(s,a) измерима при фиксированном s е[0, t].)
Ясно, что предположение относительно независимости приращений w{t + H)-w{t^ процесса от <т-алгебры !Ft будет выполнено, если потребовать
независимость сг-алгебры ,'F£ от сг-алгебры
+ ОД-wCO) },
порожденной случайным процессом w {t + h) - w {t), h > 0.
в интуитивных терминах ,;yi, fi - это предыстория винеровского процесса до момента t включительно, а '-^¡г- ~~ эт0 будущее винеровского процесса по-
сле момента t .
Предположение относительно процесса w {t) означает, что для него выполняется так называемое марковское свойство относительно семейства сг -алгебр : для каждого t > 0 случайная величина w {t) «зависит только от событий из а -алгебры .-.», а приращения («будущее») w{t + h)-w{t), h > 0, после момента t не зависят от 'J-£, то есть «прошлое не влияет на будущее».
Семейство {ff}^^ сг-алгебр удовлетворяющее описанным выше свойствам (фильтрации, согласованности и независимости сг-алгебр и ¡taf), называют не упреждающим по отношению к винеровскому процессу w {t), t > 0 .
При сделанных выше предположениях стохастический интеграл
b
l[f ]M = J f {t, с dw W
a
определяется для класса случайных функций fit, со) (/ е \а, /)]), f{t, <у) е ,£* (ill., К) Vt e[a, b] таких, что :
1) f {t, с) , t e[a, b], сеО, рассматриваемая как функция f : с) — f {t, с) от двух переменных t и со , измерима по (/, со) относительно сг -алгебры Ъ- ¡К *J~, где Ъ - множество всех борелевских подмножеств отрезка [a, b] (на самом деле, достаточно потребовать более слабое условие - прогрессивную измеримость случайной функции fit, со) относительно семейства [J^} сг -алгебр 'J~t: для любого t g [a, b\ функция /: [a,/]xQ^-IFi измерима по (.v, со), a<s<t, cog CI, относительно сг-алгебры t]) K'J-z, где !B([ft, f]) - множество всех борелевских подмножеств отрезка [a, t ]);
2) f {t, с) при каждом t e[a, b] измерима (как функция от со еО) относительно сг-алгебры С :J- из потока З^д (такая случайная функция называется
) -согласованной или не упреждающей относительно потока событий } ^ ) (грубо говоря, это значит, что события, порожденные процессом f {t, с), t е[a, b], в момент t, связаны только с событиями потока на интервале времени до t
включительно и не связаны с «будущими» событиями, то есть с событиями после момента времени t );
3) |||/(/1, < со (||-|| = || "||¿а - норма в пространстве (П.,
а
Ь
(Это условие по теореме Фубини эквивалентно условию м1 /((, с)2dt .)
а
Класс всех случайных функций {/(/, <у)}, /е[а, / : [а,б]—(П.Е), удовлетворяющих условиям 1)-3), обозначим через или ко-
ротко П4).
Можно показать, что если ввести в * ([й, й], К} норму по формуле
Ь
Г" "-:: = М1 /(, с)2 dt,
а
то * ([й, £)], К} превращается в полное нормированное линейное пространство (при этом две функции /, / е * ([й, Й], К} отождествляются, если " _ : . . - = ; в этом случае / и / считаются эквивалентными или равными:
Если в Х'С^Й]; определить скалярное произведение по формуле
Ь Ь Ь
(/, я) := 1м(/(, с)(, с) = м1 /(, с)(, с) = 11 /(, с)(, с) p(dс) ,
a Q
то Ш становится гильбертовым пространством L1 ([a, ¿]xQ, 2> Ж "F,
mesxР) интегрируемых с квадратом функций /: [a,ô]xQ—»ffiL от двух переменных t, со , где S - система борелевских множеств на отрезке [a, b], а mes - мера на [a, b].
Определим сначала стохастический интеграл l[f ](œ) для ступенчатых случайных функций из Ж2([с£1Й] , К}:
fn((œ)= £(œ) пРи te[tk, О^[ab\, k = o,i,... , n-1,
каждую из которых можно представить в форме
fn (t, œ) = 4 (œ )х0 (t)+4 (œ )xi(t)+... + 4-1 (œ kn-i(t), где kk (() - характеристическая функция полуинтервала [tk, tkXk (() = 1 при t e[tk, tk+1) и Xk(() = 0 при t ^[tk, tk+1). Здесь a < t0 < t1 <... < tn = b - разбиение отрезка [a,б]. При этом каждая из случайных величин (fijIFï) в силу условия 2) определения ЛГ! измерима относительно соответствующей сг-алгебры то есть ступенчатые функции fn(t, со) являются . -согласованными (неупреждающими) случайными функциями.
Для ступенчатой случайной функции /„ eJVf* ([it,IFï) стохастический интеграл относительно винеровского процесса w(t) определяется аналогично случаю, когда fn - неслучайная функция (см. выше п. 2.3.2):
![fn ](œ) = Î fn (t, œ) dw (t) : = £ £ (œ) (w (tk- w (tk) ) .
a k=0
При этом случайная величина I[/„ ] g ( О , Щ ).
Пусть теперь f ((, с) , t е [a, b] - произвольная случайная функция из пространства ЖНЫМ]; Ft).
Можно доказать (см., например, [2, с. 45, 46], [3, с. 20, 21]), что для любой случайной функции /„ Ж) существует последовательность {/„(', со)} (a<t<b)
ступенчатых функций ./„(', со) такая, что — f Ц.;^2 ~~^ Q при п —» х, то есть
b
lim m | ( (t, с) - f (t ,с))2 dt = 0.
и.да ^ a
Аппроксимирующая последовательность /f (t, с)} строится в три шага:
1) Для f ((, с) существует последовательность /gn (t, с)} ограниченных функций g„{f,(o) из ЖК), сходящаяся в М* к f(t,co)\
(n .да). В качестве gn((, с) можно взять «срезанные» функции: gn ((, с) = f (t, с), если - n < fn ((, с) < n ; gn((, с) =-n, если f (t, с)<-и ; gn(t, с) = n, если f ((, с) > n ;
2) Для любой ограниченной функции g е М1' (jg,, <у)| < С = const) существует последовательность {/?n(i, <э)} ограниченных непрерывных функций Ал ёХ', сходящаяся в Ж* к <у): — Q г —► 0 при и.оо;
3)Для любой ограниченной и непрерывной функции /zg iVf* существует последовательность {/„(¿, ®)} ступенчатых функций /и ejfcf*, сходящаяся в Ж*' к
: 1^1-/11^= 0 при и ->оо.
Нетрудно доказать, что последовательность соответствующих интегралов (слу-
ъ
чайных величин из Ш)) ^fn(t,a>)dt является фундаментальной в гильбертовом
a
пространстве Z2 ( ft, Щ). Следовательно, последовательность случайных величин J f„(t, co)dw(t) сходится в (i2,IR) к некоторому пределу (случайной величине из
a
^ ■). Можно показать, что этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности ступенчатых случайных функций fn (t, с) (a < t < b), его и принимают за определение стохастического интеграла Ито от случайной функции f (t, с) относительно винеровского процесса w(t).
Изложенное выше приводит к следующему определению стохастического интеграла Ито.
Стохастическим интегралом Ито от случайной функции (случайного процесса) / g ЛГ2([ft, Ь],, К), /: [a, b\ Э t —» / {t, a) g (fl, К} по винеровскому процессу w(/), t> 0, на отрезке \а, h\ называется случайная величина i[/]g опре-
деляемая по формуле:
i[f ]: = l. i. m.i[fn],
и.да
то есть
b b
\f(t,m)dw(t): = ]im\fn(t,co)dw(t) (lim в
a a
где {/п } есть последовательность ступенчатых функций такая, что
- ■ .■.--■■' при п ^вд ,
то есть
о
limMf(/n(t,а>)- f (t, а>))2dt = 0.
Замечание 3. Можно доказать ([7, с. 259], [11, с. 63]), что для неупреждающей непрерывной по / в среднеквадратическом (то есть по норме пространства £г (Д К}) случайной функции /(t, с) , t е[а, Ь], существует стохастический интеграл Ито. При этом интеграл Ито есть среднеквадратический предел интегральных сумм Римана-Стилтьеса:
Ч/](®) = 1 / (t, с ^ (t): = 1.}.тп. X / (к, с ((tk+l) - w (tk)) ,
а п ^ к =0
где 5п = тах(к+1 -tk) , а = t0 <t1 <... <tn = Ь - разбиение отрезка [а, Ь] точками tk
к
(к = 0,1, ... , п -1) .
Здесь в качестве аппроксимирующей последовательности ступенчатых функций выступают функции вида
и-1
к=0
где х [гк ;) - характеристическая функция полуинтервала [^, tk+1).
Такой вид аппроксимирующих ступенчатых функций существует также, если вместо непрерывности в среднеквадратическом функции / потребовать непрерывность /((, с) для почти всех со .
Замечание 4. Стохастический интеграл Ито можно определить (см., например, [4, с. 63, 64], [6, с. 451]) и для более широкого класса случайных функций /((, с) , чем
класс Ж ; Ж). А именно: этот класс (обозначим его ([й, Й];; Ж)) функ-
11нй определяется так же, как и Ж** условиями 1) и 2), а условие 3)
Ь Ь
1||/(, с)| 2 dt = м1 /(t, с)2 dt < вд заменяется на более слабое условие:
а а
Ь 2 Г ь 2 1
1 / (t, с)2 dt < вд для почти всех йёП , то есть Р^ с : 1 / ((, с)2 dt < вд1 = 1.
а I а J
(Это условие выполняется, например, если функция / (t, с) непрерывна по t для почти всех .) Построение соответствующего интеграла Ито осуществляется по той же схеме, что и для функций / е М : сначала интеграл определяется для ступенчатых функций /п ((, со) , а затем это определение с помощью предельного перехода (в смысле сходимости по вероятности) распространяется для всех функций / ((, с) из
класса ;Рг([й, Й], Ж):
ъ ъ
= для /еУ1 К)
Последнее (Р-Нт) означает, что последовательность интегралов (случайных ве-
п^да
Ь
личин) |/п (, о) сходится по вероятности к некоторому пределу - случайной величи-
а
Ъ
не, которая принимается за определение интеграла Ито | /(г, со )с/1 для функции / е Т".
а
Здесь {/ ((, о))- последовательность ступенчатых функций /п (г, о) такова, что
Ь
|(/п (, о)-/(,о))2Ж . 0 (п .да)
а
по вероятности.
(Последовательность случайных величин (о) сходится по вероятности к
случайной величине <^(о), если для любого в > 0 Нтр{о : (о) -^(о) > в) = 0).
Ь
Определенный выше стохастический интеграл Ито 1[/](о) = |/(г, о)Жм(г)
а
( / е Ж 1 ([й, Ь]., К)) обладает многими важными свойствами, среди которых отметим следующие:
Г. М(1[/](©)) = 0
2М[С1/1+С2/2Х®) = С11|/1](ю)+С21|/2](Ю)(П.В.) У/^/^Ж2, с^еК;
ь Г ь Л
3°. м(1[/](о))2 = м|/(, о)2Ж = |м/(, о)Жг .
а V а )
Свойство 2° есть свойство линейности интеграла Ито. Свойство 3° можно переписать так: || I [/] Ц^г = 11/И^ге- Из последнего равенства следует, что отображение I: Ж* С [а, Ь] J1Е) —* (£1, Ж) пространства Ж* случайных функций /'(/, со), б], в пространство случайных величин является изометрическим, то есть
сохраняет расстояние между элементами пространства Ж *.
Стохастический интеграл Ито с переменным верхним пределом определяют аналогично соответствующему понятию из классического анализа:
Ч/К'. ®): =//(*> а<1<Ъ, /еМ-'ОаНЮ-
а
По определению полагают I/ ](а, о) = 0. (Интеграл I/ ](г, о) называют еще неопределенным интегралом Ито.)
Интеграл I[/](/, ¿э), есть случайный процесс, ^-согласованный с по-
током событий {{рр }, то есть случайная функция I [/](/, со) при каждом
г е [а, Ь] измерима относительно сг -алгебры ']-+ (то есть I[/ ](/, со) - неупреждающая функция).
Из определения стохастического интеграла вытекает, что он определен (как элемент пространства Хг(Й,В}) с точностью до вероятностной меры нуль, то есть до событий вероятности нуль. Поэтому интеграл как функция верхнего предела определен с точностью до стохастической эквивалентности. Известно ([6, с. 220]), что для любого процесса , о) , г еТ (где Т = [а, Ь] или Т = [а, +да)), существует сепарабельная
версия (модификация). Поэтому всегда можно выбрать сепарабельную версию интеграла с переменным верхним пределом 1[/с), t е[а, Ъ].
Можно доказать ([3, с. 24], [4, с. 80, 81], [6, с. 457]), что интеграл 1[/ с), t е[а, Ъ], с переменным верхним пределом, как сепарабельный процесс, имеет непрерывную версию, то есть для интеграла 1[/с) существует стохастически эквивалентный ему непрерывный по t случайный процесс !/[/ ](/, со), I е \а, Ь\: для почти всех со е Г2 траектории [/](/, со) непрерывны по I и для любого / е [а, Ь]
имеет место соотношение:
р{® : ? [./К', ю) = ю)} = 1
Отметим еще одно важное свойство интеграла Ито с переменным верхним пределом.
í
4°. Случайная функция 1[/](, со) = 1 / ( со) сЫ* (у) является мартингалом.
а
Случайная функция со), /еТсК, определенная на вероятностном пространстве Са^РХ называется мартингалом относительно потока Т) су; с т< Г), если:
a) случайная функция со) согласована с семейством сг -алгебр } (то есть со) при любом I е Т измерима относительно сг -алгебры );
b) со) < оо У/еТ;
c) для любых ^Т, 5 < /, со)\Т£) = ¿¿(я, со) для почти всех со е Г2, где М(<^(/, <у) | ^) есть условное математическое ожидание со) относительно сг -алгебры
Винеровский процесс w((, с) , ? > 0, является простейшим примером мартингала относительно семейства порожденных им сг -алгебр } = сг{и1 (з, со), 0 < 5 < .
í
Отметим, что стохастические интегралы 1 / (, со) сЫ* (), определенные для класса
а
функций &], К], для которых р|<э е Г2:|/(7, а>)сЫ/{^) < оо| = 1 (см. замеча-
ние 4), уже, вообще говоря, не будут мартингалами.
Замечание 5. Определение стохастического интеграла Ито можно распространить и на многомерный случай. Пусть w(^ = (w1 (^, ... , wm (t) ) (( > 0) - т -мерный винеровский процесс, определенный на вероятностном пространстве Р) и со-
гласованный с потоком событий }, ?*{. с у-. (Здесь Т обозначает операцию транспонирования.) Пусть, далее, Ж1* ; К?х >у>) - класс всех матричнозначных
измеримых по (/, со) и ('?%=} -согласованных случайных функций / = (/г(^ ©)), t е[а, Ъ] ( = 1,... , п; г = 1, ... , т) таких, что
м|| f (t) |2 dt
< ю .
Здесь обозначает евклидову норму п х т -матрицы.
(Класс Ж**1 можно охарактеризовать и как множество всех матричных функций / = ((, о)) таких, что каждая вещественная случайная функция /г (, о) принадлежит классу ([й-, Й]К}, то есть удовлетворяет трем условиям 1)-3), при которых выше определен одномерный (числовой) стохастический интеграл Ито.)
Тогда стохастический интеграл Ито от матричной функции / е ЛГ а ([й, Ь] ь определяется по следующей формуле:
{ т Ь \
X | /г (, о) Жмг (г)
b b Г fli f ^ J im Г dw1 ^
J f (t, a) dw (t): = J
a a v fn1 fnm J v dwm J
X | /пг (, о) амг (г)
ч г=1 а
то есть интеграл |/от матричной функции / еЗ^Г* ([й, Ь]; 1Е'лХ'?г) по
а
векторному винеровскому процессу м(г) = (м1 (г), ... , м?т (г)) есть пх1 -матрица, / -я
т Ь
компонента которого равна X I /г (г, о)дмг (г) . В частности, если т = 1, то есть
Г=1 а
/ - векторнозначная функция, / : [а, —» Ш/1, / = (/х ,...,/„ )Т, то
I/1 ( о)
Ь а
I / (г, о) Жм = :
а Ь
I/„ (г, о)
V а у
где м (г) = м1 (г) - одномерный винеровский процесс.
г
Стохастический интеграл | / (г, о) Жм (г) от случайной функции по винеров-
а
скому процессу был определен впервые японским математиком Киоси Ито [9]. 2.3.4. Стохастический интеграл Стратоновича
Пусть м (г), г > 0, - стандартный винеровский процесс. Как было выше отмечено, если /(, о) , г е [а, Ь], есть неупреждающая непрерывная в среднем квадратиче-
ском случайная функция со значениями в (£2, К}, то стохастический интеграл Ито
Ь
| / (г, о) Жм (г) можно определить как предел в среднем квадратическом интегральных
а
п—1
сумм Римана-Стилтьеса X / (к, о) (м (гк+1) - м (гк) ) при 5п = тах((+1 - гк) . 0, то
к=0 к
есть при измельчении отрезка [а, Ь]. Оказывается, что этот предел интегральных сумм существенно зависит от того, в какой точке отрезка [гк, 1к+1 ] вычисляется значение по-
дынтегральной функции / ((, с) : если бы значение / (^ с) вычислялось не в крайней левой точке tk отрезка [[, tk+1 ], а в какой-то другой точке тк полуинтервала (1к, tk+1 ], то значение соответствующего предела интегральных сумм (и, следовательно, интеграла), вообще говоря, изменилось бы.
т
Рассмотрим соответствующий пример: стохастический интеграл 1 w(t) Сн*(t)
0
от винеровского процесса н (t) = н (t, с), ? > 0, по винеровскому процессу н (t) на отрезке [0, т], где Т - положительное число.
Пусть Я := {0 = t0 < t1 <... < tn = Т} - разбиение отрезка [0, т]. Параметризуем отрезки [[, tk+1 ] (( = 0, 1, ... , п -1) с помощью параметра X:тk (X) = (1 -X)tk +Xtk+1, 0 < X < 1. Составим интегральную сумму Римана-Стилтьеса:
^ (X) = X н (tk (X) ) (н (tk+l) - н (tk) ) , (Тк (X) е [tk, tk+l ]).
к=0
Пусть X - любое фиксированное число из отрезка [0,1]. Тогда, используя свойства винеровского процесса w(t) и определение стохастического интеграла, можно доказать, что ([4, с. 60], [5, с. 62]):
1. 1. ш.Б. (XX = + ÍX-1 ]т,
^ 2 ^ 2) '
то есть
( 1т\2 , , N V
lim М
Sn(X)--(х- -Лт] = 0, 8п = max(t,+i -tj.
2 l 2
V v х У
Отсюда видно, что предел интегральной суммы Бп (X) зависит от X и, следовательно, от выбора промежуточных точек тк (X) на отрезках [^, ^+1 ].
т
Стохастический интеграл Ито 1 н ({) Сн* (t) соответствует выбору X = 0, то
0
есть выбору точки тк (0) = tk - крайней левой точки отрезка [^, tk+1 ]. Таким образом,
У-П^п (0) = н(т)72-т/2,
п
то есть
\2
т w (Т)2 Т
| w (t) dw (t) =——--- (интеграл Ито от w(t) ).
0 2 2
Если X = 2, то есть тк (1 | = tk - срединная точка [tk, tk+1 ], то
(11 w(Т)2 , ,2 ,
lim Sn I — | = —. Значение w (Т) /2 называется стохастическим интегралом Стра-
5n V 2 у 2
тоновича от винеровского процесса w (t) по винеровскому процессу на отрезке [0, Т]
т
и обозначается J w (t) о dw (t) .
Таким образом,
т П-1 (<к + -к+1 V, (- ) Н (-) ) = н (т) 2
1 н(-)осн(0: = 1л.т.Xн1(н(+1)-н(/к))
0 °п 10 к=0 V 2 )
где 5п=шах((к+1- -к) , то есть
к
т Н (т)2
1 н (-) о Сн (-) = —(интеграл Стратоновича от н (-) ). 0 2
т
Оказывается, что ([5, с. 120]) в определении интеграла 1 н (-) о сн* (-) вместо
0
( -к + -к+1 1 Н (-к) + Н (-к+1) н I _к—к+; I можно взять и —-—-----, то есть
V 2 ) 2
1 н (-) о СН (-): = 1Л_ш.Х «ЪЬНЬ+й ( (-к+,) - н ()) = .
0 ^ к=1 2 2
Можно показать, что при замене отрезка [0, т] на [а, Ъ] будем иметь соответственно:
/тчГ Н (Ъ)2 - Н (а)2 Ъ - а А
(1)1 н (-) н (-) = -^---(0 < а < Ъ),
о
(S) J w (t) о dw (t) = (w(b)2 -w(a)2) )2.
В общем случае конструкция интеграла Стратоновича аналогична вышеописанной. Пусть /((, с) , - е[а, Ъ], - случайная функция со значениями в пространстве
случайных величин Пусть А = [а = in < <... < 1п 1 < 1п = Ъ\ - некоторое
разбиение отрезка [а, Ъ] на частичные отрезки [-к, -к+; ]. Выберем на каждом из отрезков [к, -к+1] пр°изв°льную точку тк (x)е[-k, -к+1 ], тк (x)=(l -X)-k +X-k+l, 0 <X< ; и составим интегральную сумму Римана-Стилтьеса:
§п [/](с, X) = ХХ;/(тк (X) , с) (н(-к+1)-н(-к)) , Xе[0,l].
к=0
Если существует предел 1. 1. ш.8п [/](с, X) в среднем квадратическом инте-
8п 10
гральных сумм Бп[/](с, X) при измельчении разбиения А (5п 1 0) отрезка [а, Ъ], то
этот предел (зависящий, вообще говоря, от X) называется стохастическим X-интегралом [11, с. 65].
При X = 0, то есть тк (0) = -к (левая концевая точка), получаем стохастический интеграл Ито:
(1)1/(-, с)^(-): = 11.1*.X/(-к, с(н(-к+1)-н(-к)) .
5n -0 к=0
Если X = 2, то есть тк (1/2) = (-к + -к+;)/2 (срединная точка), то соответствую-
щий интеграл называется стохастическим интегралом Стратоновича.
Таким образом, стохастическим интегралом Стратоновича (см. [2, с. 59], [10]) от случайной функции /((, с) , - е[а, Ъ], по винеровскому процессу н (-), - > 0, на от-
резке [а, Ь] называется предел (если он существует) в среднеквадратическом интегральных сумм Римана-Стилтьеса 8п [/](о, 1/2) при 8п . 0, 8п = тах((к+1 - гк):
j f (t, a)odw(t): = l._i. mm.Ц f f ^^^, a l(w(t^)-w(tk)) (Стратонович).
5nm0 k=0
Можно доказать ([2, с. 59], [11, с. 65]), что если подынтегральная функция /о) непрерывна по г в среднеквадратическом или непрерывна по г при почти всех о , то указанный выше предел 1[/](о) существует, и, следовательно, существует интеграл Стратоновича. (И вообще, тогда существует стохастический Я -интеграл при любом Я е [0, 1].)
Отметим, что интеграл Стратоновича определяют еще несколько иначе, чем определение, данное выше. А именно, при составлении интегральной суммы 8п [/ ](о) вме-
сто значения /к ^ к+1 о) функции / в срединной точке отрезка [[, гк+1 ] берут
/ ((, о) + / (гк+1, о) г./ ч \п
значение ——— 2 —- срединную точку «отрезка» [/ (гк, о), / (к+1, о)] с концами в точках /(/,., со) и со) пространства случайных величин (Й, М.). Тогда стохастический интеграл Стратоновича от функции / (г, о) определяется по формуле:
(8)]/(г, о) оЖм(г): = 1л. т.X-1 /(гк, (гк+1, о ((-(О)
snm0 k=0
при условии, что среднеквадратический предел 1. 1. т существует при
5n=mюí(tk+l-tk)^0.
Если со), t <а\а, Ь\, - случайная функция со значениями в ¿'(П.М), а /), 1ёЕ, / е [а, - неслучайная функция класса С'; (непрерывно дифференцируемая по х) и непрерывная по г, то стохастический интеграл Стратоновича от сложной функции р(х((, о), г) по винеровскому процессу м (г) на отрезке [а, Ь] определяется по следующей формуле ([4, с. 170], [5, с. 122], ([10]):
(8)|р (х (г, о) , г) о Жм (г) : = IР Г^&о^!^, )- (О)
snm0 k=0
при условии, что среднеквадратический предел 1. 1. т. существует для всех последовательностей разбиения А отрезка [а, Ь] при 8п . 0 . Этот предел существует, например, если х((, со) есть винеровский процесс, х(г, со) = , со), и выполняется усло-
Ь Ь
вие м| Р (м (г, о), г) Жг <да (или эквивалентное условие |МР ( (г, о), г) Жх <да).
а а
Интеграл в смысле Ито от сложной функции р(х(/, о), г) определяется через интегральные суммы Римана-Стилтьеса по обычной формуле:
(1)}р (х (, о, г) (г): = И. 1П. XX; Р (х (гк, о^ гк) ( (гк+1) - м (гк) )
а п ^ к=0
(при условии, что существует предел 1. \. т. в 1Е)).
Замечание 6. Определение стохастического интеграла Стратоновича распространяется на многомерный случай аналогично многомерному интегралу Ито (см. замечание 5).
2.3.5. Связь между интегралами Ито и Стратоновича
Можно доказать ([2, с. 60]), что если случайная функция f (t, ®), t e[a, b], изменяется «гладко» по t, то интегралы Ито и Стратоновича этой функции совпадают. Точнее: предположим, что для некоторых чисел К > 0 и s > 0 выполняется неравенство:
М| f (s,®) - f (t,®)2 <К| s -1|1+e, s, t e[a, b].
Тогда
\f(t,œ)dw(t)=\\mfjf(zk,c0)(w(tk+l)-w(tk)) (lim в ГЧДК))
при любом выборе точки тк е [[, tk+1 ]. Здесь предел «lim» - в смысле сходимости в пространстве случайных величин <^(®) с М|^(®) < œ .
Поскольку из М<^(®)2 < œ следует М|^(®) < œ, то также имеем
Jf (t, ®) dw () = Li. in. jj f (Тк, ®) (w (k+i) - w (tk) )
a д"10 к=0
при любом выборе тк е [[k, tk+1 ]. В частности
b b (I)J f (t, ®) dw (t) =(S) J f (t, ®) О dw (t) .
a a
Приведем теперь связь между интегралами Ито и Стратоновича от случайной функции F(x(, ®), t), где числовая неслучайная функция F(x, t) непрерывна по t и
имеет непрерывную производную по je r, a x(t, ®) - числовая случайная функция.
Предположим, что существуют определенные выше интегралы Ито
bb
J F (x (t, ®), t) dw (t) и Стратоновича J F (x (t, ®) , t) о dw (t).
aa
Тогда связь между стохастическим и интегралами Ито и Стратоновича выражается равенством ([4, с. 170], [10]):
b b 1 ъ ^f
(S)J F (x (t, ®), t) о dw (t) = (I)J F (x (t, ®), t) dw (t) + - J-(x (t, ®), t) • F (x (t, ®) , t) dt. (*)
a a a
В частности, если функция F (x, t) не зависит от x: F (x, t) = F (t), то интегралы Ито и Стратоновича совпадают.
Приведем многомерное обобщение числового равенства (*).
Пусть F(х, /) = (^(х,t\..., Fn(x,t)) , x g
И™, t&[a,b], - векторнозначная неслучайная функция: F: x [a, ô]—» , х(/, ®) - векторная случайная функция со значениями в EL" : х : [a, b\x Q —» IFii;, w(t) = w(t,co) - одномерный (числовой) вине-ровский процесс. Предположим, что функция F ( x, t) имеет непрерывные частные производные по x = (x1, ... , xn ) и непрерывна по t. Предположим также, что сущест-
вуют стохастические интегралы Ито и Стратоновича от векторнозначной случайной функции F (x (t, d), t) . Тогда связь между интегралами Ито и Стратоновича дается векторным равенством ([4, с. 170], [10]):
b b i b ^77
j F (x (t, d( , t) о dw (t) = j F (x (t, (, t) dw (t) + - j—(x (t, d( , t) • F (x (t, ( , t) dt, (**)
a a a
где dFj dx = (dFi/dx^j ^ - матрица Якоби вектор-функции F . (Равенство (**) формально совпадает с числовым равенством (*).)
Пусть теперь F(x, i) = {F1{x,t),...,F"'{x,t)) , xeffi11, 1 e b\, - матрично-
значная функция: F : HS:M x[а, б]—» DS'EX:t?r, где F'(x,t) (r = l,...,m) - вектор-столбцы матрицы F(x, /) , <y) - векторная случайная функция: х : [a, ¿]х Q. R",
w(tj = w(t, ( = (w1 (t,(, ... , wm (t, d()T - m-мерный винеровский процесс. Тогда при тех же предположениях, что и выше, используя определения стохастических интегралов Ито и Стратоновича от матричной функции F (x, tj :
b b m
(I)jF(x(t, d) , tj dw(tj = j XFr (x(t, d) , tj dwr (tj,
a a r=1
b b m
(S) j F (x(t, d) , t) о dw (t) = j X Fr (x (t, d) , t) о dwr (t) ,
a a r=1
с учетом векторного равенства (**), получим соотношение:
Г Г 1 m QFr
j F (x (t, a), t) о dw (t) = j F (x (t, t) dw (t) + - X -(((t, t) • Fr (x (t, d) , t) dt,
a a 2 r=1 dx
выражающее связь между интегралами Ито и Стратоновича в случае, когда F (x, t) -матрица-функция. В последнем равенстве dFrjdx = (dFrijdxД ^ - матрица Якоби вектор-функции Fr = (F{,..., F^ )T .
Замечание 7. Исчисление, построенное на интеграле Стратоновича, имеет ряд преимуществ по сравнению с интегралом Ито. Интеграл Стратоновича удовлетворяет ([2, с. 57], [4, с 171], [10]) многим формальным правилам интегрирования обычных интегралов из курса математического анализа (например, интегрированию по частям, замене переменных); его выбор ведет к обычному правилу дифференцирования сложных функций. Напротив, интеграл Ито, вообще говоря, не удовлетворяет этим правилам интегрирования из анализа. Однако при выборе интеграла Стратоновича теряются некоторые преимущества интеграла Ито, например:
1) Простые формулы:
b f b у b
Mj f (t, (dw(t) = 0, m|J f (t, (dw(t) =Mjf (t, ( dw(t);
a V a J a
t
2) Свойство случайной функции l(t, d) = j f (t, d) dw (t) быть мартингалом.
a
Продолжение следует. To be continued.
Примечания
1. Шумафов М.М., Панеш Т. А., Хаваджа М.А. Об устойчивости в целом по вероятности решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, возмущенных белым шумом. I // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. 2021. Вып. 4 (291). С. 11-23. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. Москва: Мир, 2003. 407 с.
3. Mao X. Stochastic Differential Equations and Applications. 2nd ed. Chichester, UK: Horwood Publishing Limited, 2007. 422 p.
4. Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. New York: John Wiley and Sons, 1974. 228 p.
5. Evans L.C. Introduction to Stochastic Differential Equations. Version 1.2. University of California, Berkeley, Berkeley. 2002. 139 p.
6. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. Москва: Наука, 1965. 656 с.
7. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. Москва: Наука, 1985. 320 с.
8. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. Москва: Наука, 1975. 320 с
9. Ito K. Stochastic integral // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1944. Vol. 20, No. 8. P. 519-524.
10. Стратонович Р. Л. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика. 1964. Т. 1. С. 3-12.
11. Лекции по случайным процессам / А.В. Гасников, Э.А. Горбунов, С. А. Гуз [и др.]. Москва: МФТИ, 2019. 266 с.
References
1. Shumafov M.M., Panesh T.A., Khavadzha M.A. On the stochastic stability in the large of solutions of the nonlinear second-order differential equations perturbed by white noise. I // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser.: Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2021. Iss. 4 (291). P. 11-23. URL: http://vestnik.adygnet.ru. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Oksendal B. Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer, 2007. 332 p.
3. Mao X. Stochastic Differential Equations and Applications. 2nd ed. Chichester, UK: Horwood Publishing Limited, 2007. 422 p.
4. Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. New York: John Wiley and Sons, 1974. 228 p.
5. Evans L.C. Introduction to Stochastic Differential Equations. Version 1.2. Berkeley: University of California, 2002. 139 p.
6. Gikhman I.I., Skorokhod A.V. Introduction to the Theory of Random Processes. Philadelphia: Saunders, 1969. 516 p.
7. Rozanov Yu.A. Probability Theory, Random Processes and Mathematical Statistics. Dordrecht: Springer Science and Business Media, 1995. 259 p.
8. Wentzel A.D. The course of the theory of random processes. Moscow: Nauka, 1975. 320 p.
9. Ito K. Stochastic integral // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1944. Vol. 20, No. 8. P. 519-524.
10.Stratonovich R.L. A new representation of stochastic integrals and equations // Bulletin of
Moscow University. Ser.: Mathematics, Mechanics. 1964. Vol. 1. P. 3-12.
11.Lectures notes on stochastic processes / A.V. Gasnikov, E.A. Gorbunov, S.A. Guz [et. al.]. Moscow: MFTI, 2019. 266 p.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
The authors declare no conflicts of interests.
Статья поступила в редакцию 11.02.2022; одобрена после рецензирования 10.03.2022; принята к публикации 11.03.2022.
The article was submitted 11.02.2022; approved after reviewing 10.03.2022; accepted for publication 11.03.2022.
© М.М. Шумафов, Т.А. Панеш, М.А. Хаваджа, 2022