МОДЕЛИРОВАНИЕ БАНКОВСКИХ ВКЛАДОВ С ПОМОЩЬЮ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-986 Р.И. Магомедов

Моделирование банковских вкладов с помощью стохастических дифференциальных

уравнений

Дагестанский государственный университет; Neocorpor@ya. ru

В статье составлена примерная математическая модель банковского вклада с учетом случайного процесса. В результате получено стохастическое дифференциальное уравнение, которое можно решать с помощью интеграла ИТО, сводя случайный процесс «белого шума» к банковскому движению.

Ключевые слова: математическая модель, стохастическое дифференциальное уравнение, интеграл Ито, банковские вклады.

In the article the provisional mathematical model of the bank contribution is composed with regard to the stochastic process. As a result the stochastic differential equation is obtained which can be solved with the help of integral Ito, reducing the stochastic process "of white noise" to a bank motion.

Keywords: mathematical model, stochastic differential equalization, integral Ito, bank holdings.

Количество банковских вкладов и их величина постоянно меняются. Вклады в общем случае носят дискретный характер, но для их моделирования будем придерживаться принципа сплошных сред.

Предположим, что определенный банк накопил к моменту времени t определенное количество вкладов х(0, выраженное в рублях. При построении модели эту функцию будем считать

г dx(t) ^

непрерывно изменяющейся и дифференцируемой во времени, т. е. xt =——. Производная

dt

означает скорость изменения банковских вкладов.

Геометрически это может быть представлено так: если на числовой оси изображать вклад каждого вкладчика в виде точки, то получим пространство денежных вкладов N, а с течением времени из-за изменения процентных ставок и размера вкладов эта точка будет перемещаться по пространству денежных вкладов со скоростью xtt .

Предположим, что эта скорость выражена в виде некоторой функции F(x, t), зависящей от двух переменных:

x't = F (x(t ), t ). (1)

В результате получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (1), которое описывает динамику изменения банковского вклада, в котором F(x, t) - заданная функция, а х(0 - неизвестная функция.

Если определить значение неизвестной функции в начальный момент времени t = 0, то получим начальное условие

x(t ) t=о = хо • (2)

Таким образом, имеем задачу Коши (1)-(2) для обыкновенного дифференциального уравнения [1]. Вид функции F(x, t) будет зависеть от размера вклада и поведения самого вкладчика.

Функцию F(x, t) можно представить в виде

F = Д-R, (Д >0 R > 0), (3)

где Д^, t) - функция, определяющая размер вносимых в банк вкладов, а R(x, t) - снимаемых со счета банка. Если R = 0 и Д >0, то функция %(t) возрастает. Если R > 0 и Д = 0, то функция %(t) убывает, т. е. банк кредитует вкладчика, естественно, под свой определенный процент.

Рассмотрим примерный подход построения функции F(x,t). Вначале определим доходы банка в виде вклада

Д = Д0 - Д1, (4)

где До - первоначальная суммарная величина для открытия банком счета вкладчика. В этом случае Д0 = const. Если в течение ближайшего времени вкладчик вносит на этот счет определенную сумму, то

Д1 = ДхС). (5)

Доход вкладчика, начисляемый банком в зависимости от процентной ставки на вклад

Д1 = a х x(t)в (x, x0), (6)

где a =- - процентная ставка банка на данный период, в(x, x0) - в - функция,

100%

x0 - минимальная сумма вклада, на которую можно начислять процентную ставку. Подставив значения Д0 и Д1 из равенств (5) и (6) в (4), получим суммарный доход

Д = Д0(t) + a х хфв(x,X0). (7)

Теперь определим снимаемую со счета вкладчика сумму R, которую будем называть расходами банка

R = R0 + R1 + R2. (8)

Расшифруем структуру банковского вклада. R0 - выплата через банк коммунальных и других услуг вкладчика, Ri - необходимые повседневные расходы, снимаемые со счета банка вкладчиком для поддержания своего благосостояния и благосостояния семьи. Эту расходную часть можно оформить как функцию расходов в виде

x

Ri = С-в (x, У0), (9)

x + Ух

где Сх - коэффициент расходов вкладчика за месяц в зависимости от необходимой суммы, выраженной в рублях. При х = у1 имеем R1 = Сх/2 . Если в(xx,y1) = 1 y > x, то вкладчик начинает жить за счет кредита от банка, если такая возможность предоставляется банком.

R2 - расходы вкладчика на товары роскоши. Если через zx - обозначить сумму самого дешевого элитарного товара, то R2 можно представить в виде функции

x — z

R2 = С2 --^-- в (x, Zi), (10)

(x - zi) + (Z2 - zi)

где z 2 - цена среднего элитарного товара.

Подставив значения R0, Rx и R2 из равенств (9) и (10) в равенство (8), получим функцию расходов

R(t) = R0(t) + С1^—~ в (x, у 0) + С x(t) - Z1-- в (x(t), y). (11)

x(t) - У1 (x(t) - Z1) + (Z2 - Z1)

Для обеспечения дифференцируемости функций заменим ступенчатую в - функцию гладкой функцией в(x,x0) . Следовательно, при подстановке значенийДи R в (1) получим

^ = Д 0« + a х жв (х, Х0) - R0 (t) - в (x, У0) - С2--x-Zr-7 в(х' Z1). (12)

dt x + y1 (x1 - z1) + (z 2 - z1)

Так как мировая экономика постоянно подвержена неизбежной инфляции, величины

a, x0, y0, y13 z13 z2, С1з С2, входящие в это уравнение, изменяются во времени, т. е. являются

динамическими функциями.

В реальной жизни с вкладчиком может случиться всякое: выигрыш в лотерею, победа в конкурсе, наследство, авария и т. д. В результате вкладчик может увеличить свой вклад в банке или наоборот изъять его.

Для математического описания процесса непредвиденных вкладов введем случайную величину X(t), означающую случайный вклад вкладчика в момент времени t, X(t + At) - случай-

ный размер вклада к моменту времени г+Дг. Тогда величина йХ = X(г + Дг) - X(г) означает случайный вклад за промежуток времени Дг .

Если йХ > 0, то вклад вносится в банк, если с1Х < 0, то вклад снимается со счета банка.

Величина ёХ(г) называется стохастическим дифференциалом случайного процесса Х(,?) [2].

Если величину йХ(г) добавить к уравнению (1), получим

йх = ¥(X, г)йг + йХ, (13)

которое является стохастическим дифференциальным уравнением.

В общем виде уравнение (13) можно представить как

йх = ¥(х,г)йг + О(х,г)йХ, О > 0, (14)

в котором ¥ (х, г), О(х, г) - неслучайные функции, а Х - марковский стохастический процесс, где Х(,?) понимается как реализованная случайная величина, принимающая в момент времени 1 конкретное значение Х(,?) = у.

Х - стохастический процесс, определяющий в каждый момент времени 1 случайную величину Х(,?) с плотностью вероятностей

Р = Р(У,£;х,?) -¥<£ <г <¥; -¥<у <¥; -¥<х <¥; (15)

со свойством | хр(у, £; X, г)йх = 1

для любого £ < г и - ¥ < у < ¥, где у - значение случайной величины Х^) в предыдущий момент времени £; х означает значение случайной величины Х(,?), которое она примет в последующий момент времени г. Поэтому функцию (15) называют условной плотностью вероятностей стохастического процесса Х(,?). [1].

Если рассматривать процесс, в котором случайная величина Х(,?), имеющая значение у в момент времени £, попадает на отрезок [а, в] в момент времени г, то вероятность того, что вкладчик, имея в банке в момент времени £ случайный вклад у (руб.), ко времени г будет иметь накопления в пределах отрезка [а, в], будет определяться выражением

в

Р[а,в] ={ Р (у, £; х г)йх.

а

Функция (15), достаточно гладкая, зависящая от четырех переменных, удовлетворяющая следующему равенству:

¥

р (у, £; х, г) = | Х = р (у, £; )р(; х, г^ , (16)

-¥

называется условием Маркова-Колмогорова-Чепмена при выполнении равенств

| р (у, ?; х, г + Дг)йх = 01 (Дг),

|у-х| >е

| (х - у)р (у, г; х, г + Дг )йх = с( у, г) Дг + 02 (Дг), (21)

|у - х| <е

|(х - у)2р(у, г; х, г + Дг)йх = в(у, г)Дг + 03 (Дг),

у-х| <е

>2 .

где 0; (Дг) ® 0 при Дг ® 0, в(у, 1) > 0, с(у, 1), в(у, 1) е С2 (-¥ < у, г < ¥), т. е. дважды

непрерывно дифференцируемые функции [3].

В случае, когда величины с, в - постоянные, переходная функция плотности вероятностей марковского стохастического процесса определяется выражением

р(у,£;*,,) = Р2)

где Д = д/ 2в(г - £), в > 0 -¥< с <¥ [2].

Если с = 0 и в = 1, то стохастический процесс Х(1) называется винеровским;

Если Д = 8л/2 и с = 0, тоХ(г) подчиняется нормальному закону [1].

Если равенство (14) записать в конечных разностях

х(г + М) - х(г) = ¥(х(г), 0М + в(х(г), ^(Х(г + М) - X(г))

и отожествить х(,) = 0(х(г), /); X (г) = 6(х(/), г) .у, тогда у =_х__и

0(х, г)

х(г + М) = ¥ (х(0, г)Дг + а( х(г), г )(Х (г + ДО.

Это соотношение можно использовать для численного определения величины х(1)

Если разбить временной интервал на элементарные временные отрезки Дti , то

+1 = + Дг,, г0 = 0, хг = x(ti), X(гг ) = , , то получится разностная схема

х+1 = ¥ (х, г )Дг, + 0( х, гг) , (23)

где определяется плотностью вероятностей

( х ^

р (г) = р (у, г; г, г, + ) = р г , г..; г, г, + .

I хг, гг 0

Используя начальное условие (2) и разностную схему (23), можно определить приближенное значение величины х(г) в момент времени г = гг, тем самым находя одну из возможных траекторий случайной величины х(1)

Аналитически стохастические дифференциальные уравнения можно решать с помощью стохастического интеграла Ито [4]

Если в уравнении, которое мы рассматриваем, допускается, что коэффициенты дифференциального уравнения могут быть случайными величинами, то такие уравнения считаются стохастическими дифференциальными уравнениями. Если через Р(г) обозначить величину случайного вклада в банк в момент времени г, то можно предположить, что она удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

ЛР

— = (а + а," шум")Р . (24)

Л

В этом случае необходимо подобрать функцию Х(г), определяющую вариацию «шума» и основанную на наблюдениях где £ £ г . Другими словами, необходимо выделить «шум» из наблюдений оптимальным образом.

Для этого обозначим через X(г, ¥) = Хг (ю) случайную величину при каждом фиксированном г е Т = [0, ¥], ю еО, где О - заданное множество элементарных событий, причем ю ® Xt (ю) . С другой стороны, фиксируя ю е О, получаем функцию г ® Xt (ю), которая называется траекторией процесса Хг. Таким образом, случайный процесс можно рассматривать как функцию двух переменных (г, ю) ® X(г, ю) из Т х О в И", заданную на измеримом вероятностном пространстве (О, ¥, Р), где ¥ - семейство подмножеств множества О, образующее О - алгебру ¥ ® [0,1], Р - функция, означающая вероятностную меру на конечномерном измеримом пространстве (О, ¥).

Разумным математическим описанием «шума» в стохастическом дифференциальном уравне-

лх

нии — = в(1;, Х4) + О (г; Xt) «шум» является отыскание какого-либо случайного процесса Ж

Лг

Тогда уравнение (24) можно переписать в виде Лх

— = в(1,Х1) + О (г; X, Ж, (25)

Лг

в предположении того, что обладает свойствами:

1) г1 Ф г2 ^ и независимы;

2) Процесс (Ж } является стационарным, т. е. совместные распределения величин ¡V г 1 + г Ж г, + г } не зависят от г;

3) М [Ж( ] = 0 для всех 1.

Тогда можно воспринимать как некоторый обобщенный случайный процесс, называемый процессом «белого шума».

Таким процессом с непрерывными траекториями является броуновское движение Б1 [4]. Если считать = ёБ1, то уравнение (25) можно записать в следующем виде:

ёх1 = в(х, х1 )ёг+5 (г, Х{) = ёБ1. (26)

Так как Х( - процесс Ито, это равенство примет вид

ёХ1 = ийг + уёБ1 (27)

Как и интеграл Римана, интеграл Ито трудно вычислять по определению. Для вычисления интеграла Ито существует формула Ито, определяемая следующей теоремой.

Теорема (формула Ито). Пусть Хг - процесс Ито, задаваемый дифференциалом

ёХ1 = иёг + уёВ1, (28)

и §(1, х) е С2 ([0, ю)х Я). Тогда У( = g(г, Х() снова есть процесс Ито и

= МЛ) (г, хг )ёг + (г, X >Х + 2 (г, X)(ёХ,)2,

дг дх 2 дх

где (ёХг )2 = (ёХг )(ёХг) вычисляется по следующим правилам:

ёг • ёг = ёгёБ1 = ёБё = 0; (29)

ёБ(ёБ( = ёг

Доказательство этой теоремы (формулы Ито) рассматривается в [4]. Рассмотрим несколько примеров вычисления интеграла Ито.

1

Пример 1. Вычислить I = | Б(ёБ(.

0

Решение. Пусть Х1 = Б1 и §(1, х) = 2х2. Тогда У( = g(г,Бг) = 2Б^

По формуле Ито имеем:

ёУ = —ёг + —ёБг + 1 д 2 g

(ёВ, )2 = Б,ёБ, +1 (ёВ, )2 = Б,ёБ, +1 ёг.

дг дх 1 2 дх24 г/ ' ' 2К " 2

1 2 ^ 1 2 ^ 1 С другой стороны, ёУ1 = ё2Б г, поэтому 2Б г I = БtёБt + 2ёг.

Проинтегрируем обе части этого равенства по промежутку [0, 1] и получим

1 2 г 1

— Б г = | БЖ +- г,

2 J г г 2

0 ^

Г 1 2 1

откуда I БгёБг = — Б г--г.

0 2 2

г

Пример 2. Вычислить

0

Решение. Пусть = Б1 и £(г, х) = гх. Тогда Уг = g(г, Бг) = Б. По формуле Ито получим ё(1В4) = Б(ёг + гёБ( Проинтегрируем это равенство по промежутку [0, 1) и получим

г г х

1Б( = | Б^ +1 sёBs или | зБ( = гБ( -1 Б^.

0 0 0 0

Пример 3. Решить однородное стохастическое уравнение первого порядка в общем виде йХ = Р^ХсПГ + g(x)XdBt.

¿х

Решение. Данное уравнение запишем в виде — = р(у)сХ + g(х)СВ1.

X

Полагаем Уу = 1п |х| . Тогда по формуле Ито имеем

с 1п|х| = 1СХ+1 (- гт g \Г)Х\Г)СГ=1 сх - су или Х = с 1п1Х + ^ Су.

X 2 \ х 0 X 2

Заменим левую часть этого равенства: р(у)Су + g(у)СВу = С 1п|х| + 2 g2 (У)СУ. Проинтегрировав обе части этого равенства, получим:

44 14 17' 2()I ' 1

Iр^^ + |g(t)dBt = 1п|Х + -1gили X = сехр-|Цр(8)-ds + |g(s)dBs !■. о о 2о |д о 2 0 о ]

Пример 4. Решить уравнение dX = Су + 2В ДВ.

4 1 у

Решение. В примере 1 был найден интеграл IвdB =1 В2 Поэтому решение имеет вид

J у у 2 у 2 о .

х=у+< 2 Ву- У )=В2 *

Пример 5. Решить уравнение dX = + 2еВу + еВу СВ( . Решение имеет вид Х = 2+4+ еВу .

Литература

1. Королюк В.С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. -М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

2. Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике. - М.: Едиториал УРСС, 2оо4.

3. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. - М.: Наука, 1997.

4. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения: пер. с анг. - М.: Мир, 2оо3.

Поступила в редакцию 13 января 2012 г.