ORTA ÜMUMTƏHSİL SƏVİYYƏSİNDƏ RİYAZİYYAT FƏNNİ ÜZRƏ “ÖLÇMƏLƏR” MƏZMUN XƏTTİ ELEMENTLƏRİNİN MƏXSUSİ XÜSUSİYYƏTLƏRİNİN İNTERPRETASİYASI Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ORTA ÜMUMT9HSÍL SaVÍYYaSÍNDa RÍYAZÍYYAT F9NNÍ ÜZR9 "ÔLÇM9L9R"

M9ZMUN X9TTÍ ELEMENTL9RÍNÍN M9XSUSÍ XÜSUSÍYY9TL9RÍNÍN

ÍNTERPRETASÍYASI

FÍR9DUN NADÍR OGLU ÍBRAHÍMOV

ADPU-nun §aki filiali, pedaqoji elmlar doktoru, professor https: //orcid org/0000-0002-0775-1048

NURAN9 B9HRAM QIZI C9BRAYILOVA

ADPU-nun §aki filiali, ba§ müallim, dissertant https://orcid.org/0000-0002-3490-6201

Xülasa. Mdqalddd orta ümumtdhsil sdviyydsindd riyaziyyat fdnninin "Olçmalar" mazmun xdttinin "Kamiyyatlar" va "Olçû vahidlari va alatlari" kimi iki alt mazmun xatlari fdrqldndirilir, bu mazmunxatlarinin a§agi va sonraki siniflarda hadaflarigostarilir va "kamiyyatlar", "olçû vahidlari" anlayiçlarinin interpretasiyasi taqdim olunur.

!§da orta ümumtahsil maktablarinda kamiyyatlarin tadrisi prosesinin hazirliq, kamiyyatlarin qiymatlarinin bilavasita olçma aparmadan hesablanmasi metodlarinin va kamiyyatlarin olçûlmasinin formal-mantiqi asaslarinin oyradilmasi marhalalarinin movcudluguna, kamiyyatlari riyazi üsullarla oyranmak ûçûn onlarin adadlara xas olan xassalarinin a§kar edilmasinin zaruriliyina diqqat yonaldilir. Gostarilir ki, ümumtahsil maktabinda tahsilalanlarin ekvivalentlik münasibatlarini manimsamasi va kamiyyatlarin müqayisasini adadlarin müqayisasina, kamiyyatlar üzarinda amallari isa adadlar üzarinda uygun amallara gatirmaya imkan verir. §agirdlar riyaziyyatin tadrisiprosesi üzra müsbat skalyar kamiyyatlar ûçûn va onlar üzarinda amallara nazaran odanilan aksiomlarin tam sistemini manimsamiç olmali va bunlardan faydalanmaq bacariqlarinin subyektina çevrilmalidirlar.

Maqalada çoxillik pedaqoji tacrübaya va toplanmiç tadqiqat materiallari üzra ümumila§malara istinad olunaraq çagirdlarin riyaziyyatin tadrisi boyu müsbat skalyar kamiyyatlarla bagli manimsadiklari bilik va bacariqlarin bu fann üzra gozlanilan naticalarin komponentina çevrilmasinin vacibliyi vurgulanir. Hamçinin iddia olunur ki, müsbat skalyar kamiyyatlarla bagli çagirdlarin manimsadiklari bilik va bacariqlarin bu fann üzra gozlanilan naticalarin komponentina çevrilmasi mazmun xatlari arasinda hamin xatlarin ehtiva olundugu sistemin emercent tabiatina uygun dialektik vahdat sayasinda real hala gala bilir.

Açar sôzfor. Kamiyyat; vektorial, skalyar, tenzor kamiyyatlar; bircins kamiyyatlar; kamiyyatlarin o^ülmasi, miqdar; o^ü vahidlari; olçma alatlari; o^ü sistemlari; uzunluq; saha.

Tadqiqat movzusunun aktualligi. §agirdlarin riyaziyyatin tadrisi boyu müsbat skalyar kamiyyatlarla bagli manimsadiklari bilik va bacariqlarin bu fann üzra gozlanilan naticalarin komponentina çevrilmasinda çatiçmazliqlarin movcudlugu danilmazdir. Bunun mühüm sabablari sirasinda §agirdlarin riyaziyyatin tadrisi prosesi arzinda müsbat skalyar kamiyyatlar üzarinda amallara nazaran odanilan aksiomlarin tam sistemini manimsamamasi, onlarin bu sistemdan faydalanmaq bacariqlarinin subyektina çevrilmalarinin zaruriliyinin talab kimi qar§iya qoyulmamasi, mazmun xatlari arasinda hamin xatlarin ehtiva olundugu sistemin emercent tabiatina uygun dialektik vahdati sayasinda bu vacib keyfiyyatin real hala gala bilmasinin nazar-noqtasi olaraq farqlandirilmamasi da vardir. Sozügedan çatiçmazligi çartlandiran sabablarin aradan gotürülmasi zarurati va bu aspektdan nazariyyada "boçlugun" movcudlugu "Orta ümumtahsil saviyyasinda riyaziyyat fanni üzra "Olçmalar" mazmun xatti elementlarinin maxsusi xüsusiyyatlarinin interpretasiyasi" movzusunda tadqiqatin aktualligini iddia etmaya asas verir.

Tadqiqat materiallari üzra ümumila§malarin interpretasiyasi. Malumdur ki, "Olçmalar" riyaziyyat fanni üzra ümumi talim naticalarinin reallaçdirilmasini tamin etmak ^ün müayyan edilan mazmunun zaruri hesab olunan hissasidir. Bu ozünda "kamiyyatlar" va "o^ü vahidlari va alatlari" kimi iki alt mazmun xatlarini ehtiva edir. Bu mazmun xatti a§agi siniflarda §agirdlarda sada o^ü

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

alatlarindan (masalan, xatke§dan) istifada etmak vardi§larinin yaranmasina xidmat edir [2]. Sonraki siniflarda isa bucaqlarin, sahalarin, hacmlarin öl9ülmasi, müvafiq 0I9Ü vahidlarindan istifada edilmasi, 0I9Ü vahidlari arasindaki alaqalarin ba§a dü§ülmasi, bunlarin masalalarin halli ü9ün tatbiqi tamin olunur. §agird:

öl9maya mana vermak ü9ün vahidlardan, öl9ü sistemlari va alatlardan istifada edir;

müvafiq üsullardan va düsturlardan istifada etmakla nalarin va neca öl9ülabilan olmasini müayyanla§dirir;

öl9malarda xatalarin mümkünlüyünü ba§a dü§ür va onlarin qiymatini müayyanla§dirir, taqribi öl9malar aparir [13-14].

Kamiyyat anlayi§i ümumtahsil maktablari üzra bir ne9a fannin (riyaziyyat, fizika, kimya va s.) asas anlayi§lardan biridir. Buna baxmayaraq, talim prosesinda kamiyyat anlayi§indan düzgün istifada olunmur: "kamiyyat" va "miqdar" anlayi§i bir 90X hallarda qari§dirilir [4; 354]. Elmi manbalarda bunun asas sabablari kimi a§agidakilar göstarilir: a) kamiyyat sirf riyazi anlayi§ deyildir; b) kamiyyat anlayi§inin daxil edilmasi va istifada olunmasi metodik adabiyyatda kifayat qadar aydin §arh edilmami§dir [3; 308-309].

Bizim qanaatimiza göra, ümumtahsil maktablarinda kamiyyatlarin tadrisi prosesinda a§agidaki marhalalar farqlandirilmalidir:

a) hazirliq marhalasi;

b) kamiyyatlarin qiymatlarinin bilavasita öl9ma aparmadan hesablanmasi metodlarinin öyradilmasi marhalasi;

c) kamiyyatlarin öl9ülmasinin formal-mantiqi asaslarinin öyradilmasi marhalasi

Birinci marhalada uzunlugun, kütlanin, temperaturun va s. bilavasita öl9ülmasi haqqinda ilk tasavvürlar formala§dirilir va inki§af etdirilir. Bu marhalada "adli adad" termini i§ladilir, onlar üzarinda toplama, 9ixma amallari aparmaq qaydalari öyranilir, sada öl9ü vahidlari daxil edilir. Hazirliq marhalasinda "adli adadlarin" natural adada vurulmasi qaydalari da öyranilir. Bu marhalada öl9ma prosesinin formal-mantiqi asaslari ara§dirilmir. Kamiyyatlarin öyranilmasi prosesinda bu marhala ibtidai maktabin yuxari siniflarini ahata edir. Kamiyyatin öyranilmasinin ikinci marhalasinda par9anin uzunlugu, fiqurun sahasi anlayi§lari daxil edilir, bilavasita öl9ma aparmadan kamiyyatlarin qiymatlarinin hesablanmasi metodlari öyranilir [4; 313-321].

Kamiyyatin öl9ülmasi prosesini kamiyyatlar 9oxlugunun müsbat adadlar 9oxluguna inikasi kimi tasvir etmak olar. Har bir §agirdin adadlarin man§ayi haqqinda aydin tasavvürü olmalidir. Ümumtahsil makktablarinin yuxari sinif §agirdlarinin kamiyyatlarin öl9ülmasi haqqinda aydin tasavvürü va uygun bacariqlari olmalidir. Kamiyyatlarin öl9ülmasi prosesi iki marhaladan ibaratdir:

1) eyni növdan olan kamiyyatlar 9oxlugundan etalonun se9ilmasi;

2) verilan kamiyyatin öl9ü vahidi ila müqayisa olunmasi [10; 196-198];

Riyaziyyatin tadrisi ila ma§gul olan pedaqoqlara aydindir ki, kamiyyat anlayi§inin har bir konkret növü (cinsi) fiziki, handasi va digar obyektlarin müayyan müqayisasi ila bagli oldugundan, ümumi kamiyyat anlayi§i daha konkret kamiyyatlar olan uzunluq, saha, hacm, kütla va s. kamiyyatlarin bilavasita ümumila§masidir. Mahz uzunluqlarin, sahalarin, hacmlarin, kütlanin, temperaturun va s. öl9ülmasi kamiyyatin xarakterik xassasina müayyan adadin (miqdar xarakteristikasinin) qar§i qoyulmasi üsullarinin riyazi konstruksiyalarindandir. Ger9akliyin dayi§ma proseslarinin elmi izahini vermak ü9ün onlarin müayyan xassalarini bilmak lazimdir. Bela xassalara vaxt, sürat, kütla va bu kimi konkret xassalari aid etmak olar. Kamiyyat haqqinda bu malumatlar yetarli deyil. Ham da bunlari da bilmak vacibdir:

1) Kamiyyat, a§ya va hadisalarin müayyan xassasidir;

2) Kamiyyat a§ya va hadisalarin ela xassasidir ki, bu xassa hamin a§yalari müqayisa etmaya imkan verir;

3) Kamiyyat ela xassadir ki, o, a§ya va hadisalari iki ekvivalent olmayan, yani müxtalif ekvivalentlik siniflarindan olan iki a§yadan hansinin bu xassaya daha 9ox daracada malik olmasini tayin etmaya imkan verir (Masalan, uzunluq xassasi iki eyni olmayan par9adan hansinin daha uzun oldugunu tayin etmaya imkan verir) [4; 354-355].

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

Ümumitahsil alan tahsilalanlar bilmalidir. Kamiyyatlar iki qrupa bölünür:

1) bircins kamiyyatlar; müayyan 9oxlugun obyektlarinin a§ya va hadisalarin eyni xassalarini ifada edan kamiyyatlara bircins kamiyyatlar deyilir;

2) bircins olmayan kamiyyatlar; müayyan 9oxlugun obyektlarinin müxtalif xassalarini ifada edan kamiyyatlara isa bircins olmayan kamiyyatlar deyilir (Masalan, uzunluq va saha bircins olmayan kamiyyatlardir).

Kamiyyatlari riyazi üsullarla öyranmak ü9ün onlarin adadlara xas olan xassalara malik oldugunu a§kar etmak lazimdir. Bu, ham da kamiyyatlar ü9ün miqdar xarakteristikasi tayin etmak ü9ün zaruridir. Kamiyyatlarin adadlar ü9ün dogru olan a§agidaki xassalarini göstarmak olar, hansi ki, §agirdlar bilmalidirlar:

1) ixtiyari iki bircins kamiyyat müqayisa olunandir;

2) iki eynicinsli kamiyyati toplamaq olar va toplamanin naticasi hamin cinsdan olan kamiyyat

verir;

3) Kamiyyati haqiqi adada vurmaq olar, naticada hamin cinsdan olan kamiyyat alinir;

4) iki eynicinsli kamiyyati 9ixmaq olar va bu zaman farq cam vasitasila tayin olunur. (Yani a va Ъ kamiyyatlarinin farqi ela с kamiyyatidir ki, а = b + с münasibati dogru olsun);

5) iki eynicinsli kamiyyatin birini digarina bölmak olar, bu zaman qismat vurma amali vasitasila tayin edilir. (Yani a va b kamiyyatlarinin qismati ela manfi olmayan d haqiqi adadina deyilir ki, a = b • d barabarliyi ödanilsin. Bu halda d adadini a va b kamiyyatlarinin nisbati da adlandirirlar va d kimi yazirlar)

Müallim §agirdlari a§agidakilari dark etmaya yönalda bilar: Kamiyyat öl9üla bilan va öl9manin naticasini adadla ifada etmak mümkün olan obyektdir. Öl9üla bilmak kamiyyatlar ü9ün miqdar xarakteristikasi tayin etmayin mühüm vasitasidir. Kamiyyati öl9mak bu kamiyyati öl9ü vahidi qabul edilmi§ hamin cinsdan kamiyyatla müqayisa etmak demakdir. Kamiyyatlari müqayisa etmakla onlarin barabar oldugunu va ya barabar olmadigini bilavasita tayin etmak olar. Müqayisa prosesi baxilan kamiyyatin cinsindan asilidir. Bu proses uzunluqlar ü9ün bir, sahalar ü9ün digar, kütlalar ü9ün isa tam ba§qa xaraktera malikdir. Lakin öl9ma prosesinin xarakterindan asili olmayaraq kamiyyatlarin öl9ülmasi naticasinda se9ilmi§ öl9ü vahidinda müayyan adadi qiymat alinir. а kamiyyati va e öl9ü vahidi verildikda, a kamiyyatinin öl9ülmasi naticasinda ela d haqiqi adadi tapilir ki, a = d • e olsun. Bu d adadi a kamiyyatinin e vahidinda adadi qiymati adlanir va simvolik olaraq d = me(a) kimi yazilir [4; 355].

Kamiyyatlarin öl9ülmasi onlarin müqayisasini adadlarin müqayisasina, kamiyyatlar üzarinda amallari isa adadlar üzarinda uygun amallara gatirmaya imkan verir. Bu prosesda a§agidaki ekvivalentlik münasibatlarini qeyd etmak faydali olur:

a va b kamiyyatlari e vahidi vasitasi ila öl9üldükda, onda a va b kamiyyatlari arasindaki münasibatlar onlarin adadi qiymatlari arasindaki münasibatlara ekvivalentdir: (a = b)

^ (me(a) = me(b)); (а < b^me(a) < me(b)) (а > b^me(a) > me(b)).

2. a va b kamiyyatlari e vahidi ila öl9üldükda, onda a + b caminin adadi qiymatini tapmaq ü9ün a va b kamiyyatlarinin adadi qiymatlarini toplamaq kifayatdir, yani

(a + b = c) ^ (me(a + b) = me(a) + me(b)).

3. a va b kamiyyatlari ü9ün b = x • a va x ixtiyari haqiqi adad olsun. a kamiyyati e vahidinda öl9üldükda, onda b kamiyyatinin e vahidinda adadi qiymatini tapmaq ü9ün x adadini me(a) adadina vurmaq kifayatdir, yani

(b = x • a) (me(b) = x • me(a)) [11-12; 15]

Kamiyyat tiplari skalyar, vektorial va tenzor kamiyyatlar kimi ayird edilir: Intuitiv tasavvürlara asaslandiqda skalyar kamiyyati yalniz adadi qiymati ila tamamila tayin oluna bilan kamiyyat kimi xarakteriza etmak olar. Uzunluq, saha, hacm, kütla va s. skalyar kamiyyata tipik misal ola bilar. Skalyar kamiyyatlarin ciddi tarifini vermak ü9ün aksiomatik üsuldan istifada olunur [10; 198].

Tutaq ki, M 9oxlugu a xassasina malik olan a§yalar (hadisalar) 9oxlugudur va M 9oxlugunun müayyan elemenlari ü9ün toplama amali tayin olunmu§dur (masalan, iki kamiyyatin kütlalarinin toplanmasi). Ham9inin tutaq ki, M 9oxlugunda "etalon" adlanan e e M fiksa edilmi§ element se9ilmi§dir va a xassasina nazaran ekvivalentlik binar münasibati tayin edilmi§dir.

Tarif. R+ müsbat haqiqi adadlar 9oxlugu va M a xassasina malik olan a§yalar (hadisalar)

m

9oxlugu olsun. A§agidaki aksiomlari ödayan M ^ R+ inikasi varsa, onda a xassasi skalyar kamiyyat adlanir: 1) me(e) = 1; 2) a va b M 9oxlugunun elemenlari olduqda va a xassasina nazaran ekvivalent olduqda, onda me(a) = me (b) ; 3) M 9oxlugunun a va b elemenlari ü9ün toplama amali mümkündürsa, yani a + b = с olarsa, me(a) + me(b) = me(c). Bu halda m inikasi a kamiyyatinin öl9üsü adlanir.

§agirdlar riyaziyyatin tadrisi boyu müsbat skalyar kamiyyatlar ü9ün va onlar üzarinda

amallara nazaran ödanilan aksiomlarin tam sistemini manimsami§ olmali va bunlardan faydalanmaq

bacariqlarinin subyektina 9evrilmalidirlar. Onlar bilmalidirlar ki, M obyektlar 9oxlugudur va onun

har bir elementinin malik oldugu a xassasi skalyar kamiyyatdirsa, onda M 9oxlugunda a§agidaki

xassalar ödanilir: 1)ixtiyari a e M, b e M ü9ün a = b, a < b va a > b münasibatlarinin biri va yalniz

biri dogrudur ; 2)a < b va b < с olduqda a < с olur, a e M; 3)ixtiyari a e M va b e M elementlari

ü9ün birqiymatli tayin olunan a + b = с amali var; 4)a + b = b + a barabarliyi dogrudur; 5) a +

(b + c) = (a + b) + с barabarliyi dogrudur; 6)a + b > a, yani skalyar kamiyyatlar ü9ün toplama

monotonluq xassasina malikdir; 7) a > b olarsa, bir va yalniz bir e M kamiyyati var ki, b + с = a

ödanilir (9ixmanin mümkünlüyü); 8)ixtiyari a e M va ixtiyari n e N ü9ün ela ixtiyari b e M var ki,

b = n^ a olur. (bölmanin mümkünlüyü). 9)ixtiyari a e M va b e M elementlari ü9ün ela n e N var

ki, a < n^ b (Arximed aksiomu); 10)Tutaq ki, at e M (i = 1,2, ■■■,n) aricilligi a1 < a2 < — <

an < ■•• xassasina, fy e A (i = 1,2, — ,n, — ) ardicilligi bx < b2 < ■•• < bn < ■•• xassasina malikdir

va ixtiyari i e N, je N ü9ün щ < fy ödanilir va ixtiyari г > 0 göra ela N(e) var ki, n > N §artini

ödayan bütün nömralar ü9ün lan — bnl < e olur. Onda ixtiyari i e N, j e N ü9ün at < с < b¡ §artini

ödayan yegana с e M elementi var [4; 356-357].

£oxillik pedaqoji tacrübamiz va toplami§ oldugumuz tadqiqat materiallari üzra apardigimiz

ümumila§malar bizi bela qanaata gatirir ki, §agirdlarin riyaziyyatin tadrisi boyu müsbat skalyar

kamiyyatlarla bagli manimsadiklari bilik va bacariqlari bu fann üzra gözlanilan naticalarin

komponentina 9evrilmalidir. Fikrimiza par9anin uzunlugu, fiqurun sahasi va onlarin öl9ülmasi ila

bagli hadaflanan bilik va bacariqlari nazar-nöqtasi se9makla ayanilik gatirak.

§agirdlar bilmalidirlar ki, par9anin uzunlugu har bir verilmi§ par9a ü9ün a§agidaki §artlari

ödayan müsbat kamiyyata deyilir: 1) barabar par9alarin uzunluqlari barabardir; 2) par9a sonlu sayda

par9alardan ta§kil olunmu§sa, onda onun uzunlugu ta§kiledici par9alarin uzunluqlari camina

barabardir. Onlar par9anin uzunlugunun öl9ülmasi prosesini manimsamalidirlar, yani onlara

a§agidaki addimlar ardicilligi balli olmalidir:

Par9alar 9oxlugunun har hansi e par9asini se9ib, e-ni uzunluq vahidi qabul edirlar. a

par9asinin ba§langic nöqtasindan ba§layaraq onun üzarinda e par9asina barabar ardicil par9alar

ayirirlar va bu prosesi mümkün olan qadar davam etdirirlar. Ogar e par9asina barabar par9alar n dafa

ayrildiqdan sonra sonuncu ayrilmi§ par9anin uc nöqtasi ila üst-üsta dü§ürsa, bu halda deyirlar ki, a

par9asinin uzunlugunun qiymati n adadina barabardir va bunu a = n e kimi yazirlar. Ogar e par9asi

i

a üzarinda tam adad dafa yerla§dikdan sonra e-dan ki9ik bir a1 < e qalirsa, onda e1 = —e par9asini

öl9ü vahidi qabul edib a1 par9asini eyni qayda ila öl9mak lazim galir. Bu halda e1 par9asi a1 üzarinda n1 dafa yerla§irsa, onda

a = n, n1e olur va a-nin uzunlugunun qiymati n,n1 sonlu onluq kasrina barabar olur. e1

1

par9asi a1 üzarinda n1 dafa yerla§dikda va yeni a2 < e1 qaligi qaldiqda e2 = — e par9asini öl9ü

vahidi götürüb a2 par9asini öl9ürlar. Bu öl9ma prosesi (qaligin alinmasi prosesi) sonsuz davam etdikda a par9asinin uzunlugunun qiymati sonsuz onluq kasrla ifada olunur. ixtiyari halda verilmi§ öl9ü vahidinda istanilan par9anin uzunlugunun qiymati müsbat haqiqi adadla ifada olunur.

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

Mülahizanin tarsi da dogrudur. Yani n1 ,n2 ■•• müsbat haqiqi adadi verilmi§sa, onda onun müayyan daqiqlikla onluq yaxinlaçmasini götürüb, bu adadin yaziliçina uygun parçani qurduqda, uzunlugunun adadi qiymati n ,n1n2 ■•• kasrina barabar parça alinir [5-9].

Çagirdin bu prosesla bagli qanaati bela olmalidir: Seçilmi§ ölçü vahidinda ixtiyari parçanin uzunlugu müsbat haqiqi adadla ifada olunur va tarsina, har bir müsbat haqiqi adad ^ün uzunlugu bu adadla ifada olunan parça var. Parçanin uzunlugunun digar xassalarindan da §agirdlar xabardar olmalidirlar, daha dogrusu faaliyyatlarinin naticasi kimi bu xassalarin mövcudlugu qanaatina galmalidirlar :

1. iki barabar parçanin uzunlaqlarinin adadi qiymatlari da barabardir va tarsina, iki parçanin

uzunluqlarinin adadi qiymatlari barabardirsa, bu parçalarin özlari da barabardir (a = b)^(me (a ) = me (b ))

2. Verilmi§ parça bir neça parçalarin camindan taçkil olunmuçsa, onda onun uzunlugunun adadi qiymati toplananlarin uzunluqlarinin adadi qiymatlarinin camina barabardir va tarsina, parçanin uzunlugunun adadi qiymati bir neça parçanin uzunluqlarinin adadi qiymatlarinin camina barabardirsa, onda bu parçanin özü da hamin parçalarin camina barabardir:

(с = а + b) ^ (me(c) = me(a) + me(b)).

3. a müsbat haqiqi adad olduqda , a va b parçalarinin uzunluqlari b = a • a münasibatini ödadikda va a parçalarinin uzunlugu e vahidi ila ö^üldükda, e vahidinda b parçasinin uzunlugunun adadi qiymatini tapmaq ^ün a adadini a parçasinin uzunlugunun adadi qiymatina vurmaq kifayatdir. Yani,

(b = a + a) ^ (me(b) = a • me(a))

4. Uzunluq ö^ü vahidini ondan к dafa böyük (к dafa kiçik) olan yeni ö^ü vahidi ila avaz etdikda ö^ülan parçanin uzunlugunun adadi qiymati da к dafa kiçilir (k dafa böyüyür) [4; 357-358].

Parçalarin uzunluqlarinin sözügedan xassalarinin çagirdlar tarafindan axz edilmasi onlarin praktik faaliyyati ^ün (parçalarin uzunluqlarinin müqayisa edilmasini, hamçinin parçalarin uzunluqlarinin caminin, farqinin, adada hasilinin va nisbatinin tapilmasini onlarin uygun adadi qiymatlari olan adadlar üzarinda amallara gatirmak baximindan) ahamiyyatlidir.

Sadalanan bu xassalardan açagidaki xassalari xüsusi hal kimi §agirdlarin anlaya bilmasi faydalidir:

(a> b) ^ (me(a) > me(b)); (c = a — b) ^ (me(c) = me(a) — me(b)) ;

(a = a:b) ^ (me(a):me(b)).

Bütün bu bilik va bacariqlarinin formalaçmasi ^ün parçalarin ö^ülmasina, verilmiç uzunluqda qurulmasina, parçalarin uzunluqlarinin müqayisa edilmasina, onlar üzarinda amallarin icra edilmasina aid sistemli praktik çaliçmalardan istifada olunmalidir.

Çagirdlarin saha anlayiçi onlarin maiçati ila six bagli oldugundan sahalari ölçmak, onlari müqayisa etmak va bu kimi digar masalalarin halli ila bagli talabatlarin subyekti qisminda qalirlar. Ona göra da saha anlayiçini ciddi elmi asaslarla çagirdlar manimsamazdan önca, "böyük torpaq parçasinin sahasi da böyükdür", hamçinin, "manzilin sahasi ayri-ayri otaqlarin sahalarindan taçkil olunmuçdur" kimi mülahizalari öz imkanlari çarçivasinda ba§a dü§a bilirlar. Saha haqqinda maiçat (güzaran) xarakterli mülahizalardan " handasa " va "kamiyyatlar" mazmun xatlarinin elementi olan saha (fiqurlarin sahasi) ila bagli anlayiçin tadris prosesina gatirilmasi ^ün ilkin asas olaraq faydalanmaq mümkündür. Maxsusi olaraq vurgulanmalidir ki, riyaziyyat fanninin tadrisi prosesinda sözügedan har iki mazmun xatinin digar ^ mazmun xatti ila da dialektik alaqasi diqqat markazinda saxlanilmalidir. Bela bir dialektika tamin olunmadan kamiyyatlar va onlarin ö^ülmasi ila bagli bilik va bacariqlar riyaziyyat fanni üzra gözlanilan naticalarin komponentina çevrila bilmaz.

Qeyd edak ki, handasi fiqurlar müxtalif quruluçlara malik oldugundan, onlarin sahalarindan daniçarkan (müvafiq alt standarti reallaçdirarkan) xüsusi sinif fiqurlari ayirmaq lazim galir [4; 360-3б1].

ixtiyari F fiquru F1,F2, — ,Fn fiqurlarindan taçkil oluna bilar. F fiqurunun n sayda F-v F2,-,Fn fiqurlarindan taçkil olunmasi o demakdir ki, F fiquru taçkiledici fiqurlarin birlaçmasidir va

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

ixtiyari iki ta§kiledici fiqurun ortaq elementi yoxdur. Bu mülahizaya dayanaraq fiqurun sahasini bela anlamaq olar: fiqurun sahasi har bir fiqur ü9ün a§agidaki §artlari ödayan manfi olmayan kamiyyatdir: 1) Barabar fiqurlarin sahalari da barabardir; 2) Fiqur sonlu sayda fiqurlardan ta§kil olunmu§sa, onda onun sahasi bu fiqurlarin sahalari camina barabardir. Bu mülahizalari par9anin uzunlugunun tarifi ila qar§ila§dirdiqda, bela qanaat hasil olur ki, sahani da uzunlugun malik oldugu xassalarla xarakteriza etmak mümkündür. Lakin saha va uzunluq kamiyyatlari müxtalif 9oxluqlar üzarinda (uzunluq par9alar 9oxlugunda, saha isa müstavi fiqurlar 9oxlugunda) tayin olunmu§lar [5-9].

§agirdlar saha anlayi§inin mahiyyatini a9an prinsiplardan xabardar olmalidirlar (burada maxsusi olaraq vurgulayaq ki, bütün bu söylanilanlar hacm anlayi§ina da aiddir va hamin anlayi§la bagli "Öl9malar" mazmun xatti elementlarinin tadrisi xüsisiyyatlarinin §arhi üzra materialin daxilinda yox, "Handasa" mazmun xatti üzra elementlarin sistema gatirilmasi va tadrisi xüsusiyyatlari bölmasinda interpretasiya verilmasini lazim bilirik, qanaatimiz beladir). Bu prinsiplar handasanin elmi kursunda a§agidaki kimi ifada edilmi§dir:

Har bir müstavi fiqurun sahasi manfi olmayan adadlardir;

Ortaq daxili nöqtalari olmayan bir ne9a fiqurdan düzaldilmi§ fiqurun sahasi hamin fiqurlarin sahalari camina barabardir;

Barabar fiqurlarin sahalari barabardir;

Vahid kvadratin sahasina 1 adadi uygun galir [ 3; 309-313].

Tarif 1. Xatti öl9üsü (tarafinin uzunlugu) vahida barabar olan kvadrata vahid kvadrat deyilir.

Burada onu da qeyd edak ki, müsbatlik, additivlik, invariantliq, nizamliliq xassalarindan ba§qa saha hesablamalari ila ma§gul olan riyaziyyat9ilar monotonluq xassasi adlanan xassadan da (fiqurun hissasinin sahasi bütöv fiqurun sahasini a§mir) istifada edirlar. Halbuki monotonluq xassasi birinci va ikinci xassalardan natica kimi 9ixir.

F fiqurunun sahasini öl9ma prosesinin mahiyyatini par9alarin uzunlugunun öl9ülmasi timsalinda, analogiyada anlamaq (anlatmaq) olar, ba§qa sözla, sahalarin öl9ülmasi prosesi par9alarin öl9ülmasi sxemi ila icra olunur (Bu, hacmlarin öl9ülmasina da transformasiya olunur). Bela ki, sahalarin öl9ülmasinin ilkin §arti öl9ü vahidinin se9ilmasidir (qabul edilmasidir). Tarafi uzunluq vahidi qabul edilmi§ e par9asina barabar olan kvadratin sahasini e2 kimi i§ara edirlar. Masalan, tarafinin uzunlugu m- a barabar olan kvadratin sahasi m2 adadina barabardir. Tarafi e vahid par9asina barabar olan kvadrat vahid kvadratdir.

Sahanin öl9ülmasi verilmi§ fiqurun sahasinin e2 vahid kvadrati ila müqayisa edilmasi prosesidir. Bela öl9manin naticasi ela müsbat a adadidir ki, S(F) = a • e2 olsun. Bu halda a adadi se9ilmi§ saha vahidinda sahanin adadi qiymati adlanir. Masalan, saha vahidi sm2-dirsa, onda fiqurun sahasi 4sm2-dir.

§agird anlamalidir ki, sahalar müxtalif üsul va vasitalarla öl9ülür. Sahalarin öl9ülmasinin an sada üsullarindan biri sahanin palet (§affaf lövha üzarinda hakk edilmi§ kvadratlar §abakasi) adlanan fiqurun kömayi ila öl9ülmasidir. Bu üsulun tatbiqi saha anlayi§inin dark olunmasina (nainki sahanin tapilmasi üsulu ila §agirdin silahlanmasina) güclü tasir göstarir.

Tutaq ki, F fiqurunun sahasini öl9mak lazimdir. Fiqurun üzarina tarafi e vahid par9asina barabar olan kvadratlar §abakasi qoyulur. Bu halda sahasi öl9ülan fiqura nazaran iki növ kvadratlar ayirmaq lazim galir:

Tamamila F fiqurunun daxilinda yerla§an kvadratlar.

Fiqurun konturunun kasdiyi kvadratlar. Bu kvadratlarin müayyan hissalari F fiqurunun daxilinda, digar hissasi isa xaricinda yerla§ir. Tutaq ki, birinci növ kvadratlar m sayda, ikinci növ kvadratlar isa n saydadir. Bu halda F fiqurunun sahasi a§agidaki §arti ödayir: me2 < S(F) < (m + n)e2.

Tabii ki, m va m + n adadlari öl9ülan fiqurun sahasinin taqribi adadi qiymatlari olacaq. m adadi F fiqurunun sahasinin aksiyi ila, m + n isa artigi ila taqribi qiymatlari olur. Göründüyü

kimi, bela palet ila F fiqurunun sahasinin öl9ülmasinin naticasi 9ox böyük xata ila alinir. Xatani

1

azaltmaq ü9ün kvadratlar §abakasini tarafi, masalan, e1 = —e olan kvadratlar vasitas ila götürdükda

öl9manin daqiqliyini xeyli artirmaq olar. A§kardir ki, kvadratlarin taraflarini ki9iltmak prosesini davam etdirdikda saha ü9ün daha daqiq qiymatlar tapmaga yaxin olmaq mümkünla§ir.

Riyaziyyatda asanliqla sübüt oluna bilir ki, aksiyi ila götürülmü§ öl9manin taqribi naticasindan böyük, öl9manin artigi ila götürülmü§ naticasindan ki9ik olan va verilmi§ fiqurun daqiq qiymati olan müsbat haqiqi adad var, yeganadir va sahanin tarifindaki xassalari ödayir [12].

Danilmazdir ki, fiqurlarin sahalarinin palet vasitasila öl9ülmasinin tatbiq sahalari 90X mahduddur. Ona göra da fiqurlarin sahalarini öl9mak ü9ün digar nazari üsullar axtarmali va tapilmalidir. Bela üsullardan an asasi fiqurun öl9ülarini tayin edib, onlarin kömayi ila fiqurun sahasini hesablamaq ü9ün riyazi aparatin tapilmasidir. Masalan, dördbucaqlilarin sahalarini onlarin oturacagi va hündürlüyünü tapmaqla hesablamaq olur [11-14].

§agirdlar tadris prosesinda yerina yetirdiklari sistemli va ümumi talim naticalarini hadaflayan tap§iriqlarin icrasi ila duymalidir ki, sahalarin müqayisa edilmasi va sahalar üzarinda amallar müayyan qaydalarla yerina yetirilir, hansi ki, bu qaydalar fiqurun sahasinin tarifindan va onun öl9ülmasinin mahiyyati ila §artlanir. Sözügedan qaydalar bunlardir:

Fiqurlar barabardirsa eyni bir saha vahidinda onlarin sahalarinin adadi qiymatlari da barabardir (Sahalari barabar olan fiqurlara bir böyüklükda olan fiqurlar deyilir)

F fiquru Fl, F2,--- ,Fn fiqurlarindan ta§kil olunmu§sa, F fiqurunun sahasinin adadi qiymati eyni bir saha vahidinda Fl, F2,---,Fn fiqurlarinin sahalarinin adadi qiymatlarinin camina barabardir.

Saha vahidini ondan к dafa ki9ik (k dafa böyük) vahidla avaz etdikda köhna vahiddaki sahanin adadi qiymati da к dafa böyüyar (к dafa ki9ilar).

§agirdlar saha vahidlari arasindaki asililigi (alaqani) bilmalidirlar, bunsuz amali faaliyyat 9atin olar.

Malumdur ki, beynalxalq vahidlar sisteminda (BS) uzunluq kamiyyati vasitasi ila tayin olunan törama kamiyyatlardan biri da saha kamiyyatidir. Ona göra da saha kamiyyatinin öl9ü vahidi da asas vahid olan metr vahidinin törama vahidi kimi tayin olunur.

Ümumtahsilini ba§a vuran §axs bilmalidir ki, a kamiyyatin va e öl9ü vahidi verildikda, a kamiyyatinin öl9ülmasi naticasinda ela müsbat a haqiqi adadi tapilir ki, a = a • e münasibatinin manasi olsun. Bu halda a adadi a kamiyyatinin e vahidindaki adadi qiymati adlanir.

§agird bilmalidir (gözlanilan ümumi natica) ki, a kamiyyatinin cinsi malum olduqda (a verilmi§ konkret kamiyyat olduqda), masalan, uzunluq olduqda, e öl9ü vahidi da vahid par9a olur. Masalan, 1sm vahidi olur. Bu halda a adadi a par9asinin sm vahidinda uzunlugunun adadi qiymati olur va a par9asinin uzunlugu a = a sm = a • 1 sm adadi ila ifada olunur. a sm = a • 1 sm adadinin asas xarakterik xüsusiyyati ondadir ki, bu adad hansi konkret kamiyyatin öl9ülmasinin naticasi oldugunu (demali, öl9ülmü§ kamiyyatin cinsini) va öl9ülan kamiyyatin miqdar xarakteristikasini tayin edir. Bela ki, a müsbat haqiqi adadi (mücarrad manada) a kamiyyatinin adadi qiymatini (miqdar xarakteristikasini), e = 1 sm vahidi isa a kamiyyatinin cinsini (uzunluq kamiyyati oldugunu) ifada edir. Ham9inin ümumi halda, a = a • 1 e münasibati göstarir ki, har bir kamiyyati müayyan mücarrad adadla bu kamiyyatin öl9ü vahidinin hasili §aklinda göstarmak olar va ya a = a • e münasibati göstarir ki, kamiyyatin öl9ülmasinin naticasi, yaninda öl9ü vahidinin adi göstarilmi§ adadla ifada olunur. Bela adadi adli adad adlandirmaq qabul olunmu§dur. Natica hasil olunmalidir ki, öl9ülan konkret kamiyyatin miqdar xarakteristikasini va bu kamiyyatin cinsini ifada edan adada adli adad deyilir. Har bir adli adad göstarir ki, kamiyyati öl9mak ü9ün hansi öl9ü vahidi qabul edilmi§dir va bu öl9ü vahidi va onun barabar paylari öl9ülan kamiyyatda ne9a dafa yerla§ir. Masalan, 4m = 4 • 1m = 1m + 1m + 1m + 1m 4 dafa götürülmü§ 1m par9a; Ümumi §akilda,

n e = n^ e = (e + e + e + —+ e) ; ^e = (—• e) • a = (—• a) • e

n

Bu yazili§ formasina asaslanaraq adli adada a§agidaki kimi praktik tarif da verilir: öl9ü vahidinin müsbat haqiqi adada a • e hasili va ya e • a §aklinda göstarilmi§ hasil adli adad adlanir. Adli adadlari yazili§ formalarina göra iki növa ayirirlar: 1) Bir öl9ü vahidinda yazilmi§ adli adadlar; 2)

£ox 0I9U vahidlarinda yazilmi§ adli adadlar. Yalniz bir 0I9U vahidinda ifada olunmu§ adli adada birol9ulu adli adad, eyni kamiyyatin bir ne9a 0I9U vahidlarinda ifadasi §aklinda yazilmi§ adli adadlara 90X0I9UIU adli adadlar deyilir.

Adsiz (mucarrad) adadi 9oxluqlarda oldugu kimi adli adadlar 9oxlugu uzarinda da nizam munasibatlari tayin etmak olar, yani adli adadlar arasinda barabarlik va barabarsizlik munasibatlari tayin etmak olar ki, bu da adli adadlari muqayisa etmaya imkan verir. Bu maqsadla onlari avvalca eyni ol9u vahidinda yazilmi§ birol9ulu adli adadlar §aklinda yazmaq lazimdir. Daha sonra, bu adli adadlarin yanindaki ol9u vahidini nazara almadan onlari mucarrad (adsiz) adad kimi muqayisa etmak

V

kifayatdir. Masalan, a duz xatt par9asinin uzunlugu e vahidinda -e , b duz xatt par9asinin uzunlugu e vahidinda - e adadlari vasitasila ifada olunur. Bu par9alarin uzunluqlari barabar olduqda, yani a =

\V Q

b olduqda - = - va ya p = q olar va tarsina, eyni e vahidinda a va b par9alari ust-usta du§ur. Anoloji

p n v о

qayda ila a > b olduqda ~ = ~ va tarsina, ~>~ olduqda a par9asinin uzunlugu b par9asinin

uzunlugundan boyukdur.

§agirdlar bilmalidirlar:

Eyni ol9u vahidlarinda verilmi§ birol9ulu adli adadlarin adsiz (mucarrad) vuruqlari barabar olan adli adadlar barabardir;

Eyni ol9u vahidlarinda verilmi§ iki adli adaddan adsiz (mucarrad) vurugu boyuk olan (ki9ik olan) adad boyukdur (ki9ikdir).

V О

Bunlari riyazi §akilda bela yazmaq olar: -e va -e eyni e ol9u vahidinda ifada edilmi§ adli adadlar olduqda,

I Pe = q I ^ (p = q), I Pe > qe I ^ (p > q\ I Pe < qe I (p < q) ^ n n J ^ n n J ^ n n J

Sayma texnikasi sonlu 9oxluqlarin muqayisa edilmasini onlarin guclarini gostaran uygun natural adadlarin muqayisasi ila avaz etmaya imkan verdiyi kimi, ol9ma texnikasi da kamiyyatlarin muqayisasini onlarin uygun adadi qiymatlarini ifada edan adli adadlarin muqayisasi ila avaz etmaya imkan verir. Bu halda meydana 9ixan asas 9atinlik bircins kamiyyatlarin muxtalif ol9u vahidlari ila ol9ulmasi naticasinda muxtalif adli adadlarin meydana galmasi ila bagli ola bilar.

§agirdlar bu 9atinliyin aradan qaldirilmasi yolunu bilmali va bu i§in ohdasindan galmayi bacarmalidir. Sozugedan halda a§agidaki iki nov 9evirmadan istifada etmak lazim galir: 1) verilmi§ ol9u vahidindan ki9ik ol9u vahidina ke9mak. Bela 9evirma adli adadin xirdalanmasi adlanir; 2) verilmi§ ki9ik ol9u vahidindan boyuk vahidina ke9mak. Bela ke9id adli adadin boyudulmasi (va ya 9evrilmasi) adlanir.

Muayyan kamiyyati xarakteriza edan adli adadin xirdalanmasi, bu adli adadin hamin kamiyyati xarakteriza edan ki9ik ol9u vahidi ila verilmi§ adli adadla ifada edilmasi demakdir.

1

Qayda 1. e1 ol9u vahidi ila verilmi§ birol9ulu ae1 adli adadini e2 = ~e1 ki9ik vahidi ila

verilmi§ adli adadla ifada etmak u9un verilmi§ adli adadin mucarrad vurugunu — = n nisbatina

e2

vurmaq va alinan hasilin yaninda ki9ik ol9u vahidini yazmaq lazimdir. Yani ae1 = a • ne2 = (a • п)в2.

Muayyan kamiyyati xarakteriza edan adli adadin 9evrilmasi bu adadin hamin kamiyyati xarakteriza edan boyuk ol9u vahidi ila verilmi§ adli adadla ifada edilmasi demakdir.

Qayda 2. e2 ol9u vahidi ila verilmi§ birol9ulu ae2 adli adadini e1 = ne2 boyuk vahidi ila

verilmi§ adli adadla ifada etmak u9un verilmi§ adli adadin mucarrad vurugunu - = - nisbatina

1

vurmaq va alinan hasilin yaninda ki9ik ol9u vahidini yazmaq lazimdir. Yani, ae2 = <!• - e1 =

n

• e1 = ~e1 [1; 3-4].

§agird tacrübadan beta bir qanaata galmalidir ki, adli adadlarin xirdalanmasi va 9evrilmasina va aid praktik 9ali§malari asanliqla icra etmak ü9ün bircins kamiyyatlarin 0I9Ü vahidlari arasinda riyazi münasibatlari bilmak garakdir.

Adli adadlar üzarinda toplama va 9ixma amallarinin icrasi §agirdlar ü9ün o qadar da 9atinlik töratmir, onlar toplama va 9ixmanin icrasi ila bagli malum qaydalari tez manimsamayi bacarirlar. Burada sadaca adli adadlar üzarinda bu amallarin icrasi zamani adli adadlarin xüsusiyyatlarini (tabiatini) bilmak va nazara almaq lazimdir. Yani nazara almaq lazimdir ki, ela adli adadlari toplamaq va 9ixmaq olar ki, amal naticalarinin manasi olsun.

A§kardir ki, adli adadlarin caminin va farqinin o vaxt manasi var ki, hamin adadlar bircins kamiyyatlari xarakteriza etmi§ olsun (bircins öl9ü vahidlari ila verilsin). Onda a§kardir ki, mücarrad (adsiz) adadla adli adadin caminin va ya farqinin, ham9inin müxtalif cinsli kamiyyatlari xarakteriza edan adli adadlarin camina va ya farqina hami§a mana vermak mümkün deyil.

Tarif. 1) Verilmi§ iki adli adad vasitasila xarakteriza olunan kamiyyatlarin camina barabar olan kamiyyati xarakteriza edan ü9üncü adli adada verilmi§ adli adadlarin cami deyilir.

2)Adli adadlarin camini tapmaq amalina adli adadlarin toplanmasi deyilir.

Tarifa göra, ae1 + be1 = [ex + e1 + —I- e^^j + ie^^ + e1 + —I- ex

^ a ' \ b

= [ei + e1 + —- ei) = (a + b)e1

^ a+b '

Demali, ae1 + be1 = a • le1 + b • le1 = (a + b) • le1 = (a + b)e1

Natica. Eyni öl9ü vahidi ila verilmi§ iki adli adadi toplamaq ü9ün onlarin mücarrad (adsiz) vuruqlarini toplamaq, naticanin yaninda ortaq öl9ü vahidini yazmaq lazimdir.

Adli adadlar ü9ün da 9ixma amali adli adadlarin toplanmasi amalinin tars amali kimi tayin

edilir.

Tarif. iki adli adadin camina va bu adadlarin birina göra o biri adli adadin tapilmasi amalina adli adadlarin 9ixilmasi deyilir.

Tutaq ki, aex = xex +be1. Onda aex = (x + b)e1.

Buradan da, a = x + b va x = a — b aliriq. Demali, ae1 — b e1 = (a — b)e1.

Natica. Eyni öl9ü vahidi ila verilmi§ adli adadlari 9ixmaq ü9ün azalanin mücarrad vurugundan 9ixilanin mücarrad vurugunu 9ixib, alinan farqin yaninda ortaq öl9ü vahidini yazmaq lazimdir.

Müxtalif bircins öl9ü vahidlari ila verilmi§ birhadli adli adadlari toplamaq va 9ixmaq ü9ün avvalca komponentlari xirdalamaqla va ya 9evirmakla onlari eyni öl9ü vahidi ila verilmi§ adli adadlara gatirmak lazimdir.

§agirdlara aydin olmalidir ki, birhadli adli adadlarin üzarinda toplama va 9ixma amallarinin nazardan ke9irdiyimiz bu qaydalari komponentlar 9oxhadli adli adadlar olan hal ü9ün da dogrudur. Yalniz avvalca komponentlari malum xirdalamaq va 9evirmak qaydasi ila birhadli adli adadlara gatirmak va ya onlari hadba-hadd toplamaq va 9ixmaq lazimdir. Masalan:

1) 5km 230m + 6km 420m = (5 + 6)km + (230 + 420)m = llkm 650m va ya

2) 5km230m + 6km 420m = 5230m + 6420m = (5230 + 6420)mll650m =

= llkm 650m.

3)l2kq 30q — 4kq 420q = l2,030kq — 4,240kq = (l2,030 — 4,240) • lkq =

= 7,790kq va ya

4)l2kq 30q — 4kq 240q = l2030q — 4240q = (l2030 — 4240) • lq7790q =

= 7,790 kq.

§agirdlar bilmalidirlar ki, adli adadlarin adsiz adada vurulmasi va bölünmasi ü9ün har hansi bir yeni qaydanin tatbiq edilmasina ehtiyac yoxdur. Bu qaydalar kamiyyatlarin adada vurulmasi va bölünmasi qaydalarinin analoqudur. Dogrudan da, a kamiyyatinin e vahidindaki adadi qiymatinin me(a) i§ara edildiyini yada salaq. me(a) adadi me(a) = x §aklinda adaddir, harada ki, x > 0 adadi

a kamiyyatinin adadi qiymatidir. a kamiyyatinin adada vurulmasi va bolunmasi ифип isa onun adadi qiymatini vurmagin va bolmayin kifayat oldugunu gostarmi§dik. Ba§qa sozla, (b = x • a) ^ (me(b) = x • me(a)) va ya

(b = a:x) ^ (me(b) = me(a):x) munasibatlarini yada salmaq kifayatdir. Mahz bu ekvivalentlik munasibatlari adli adadin mucarrad adada vurulmasi va bolunmasi qaydasinin asasinda durur. Tutaq ki, e ol9u vahidinda x • e birol9ulu adli adadi verilmi§dir va a ixtiyari adsiz adaddir. Onda

a • xe = (a • x) • 1e = (a • x)e.

Masalan, 2 • (4,2sm) = (2 • 4,2) • 1sm = (1,4 • 2)sm = 2,Qsm

Naticani §agirdlar bela qabul etmalidir: Birhadli adli adadin adsiz adada vurulmasi iki adsiz

adadin (adli adadin adsiz vurugunun verilmi§ adsiz adada) vurulmasina gatirilir va hasilin yaninda

verilmi§ ol9u vahidi yazilir.

Adli adadin adsiz adada bolunmasi isa adli adadin adsiz adada vurulmasi amalina gatirilir.

i

Bela ki, x • e birhadli adli adadini a > 0 adsiz adadina bolmak bu adli adadi - adadina vurmaq demakdir, yani

(x • e):a = (x • e) •1 = (x •-) e = - e.

a \ aj a

Natica 1. Birhadli adli adadi adsiz adada bolmak iki adsiz adadin (adli adadin mucarrad vurugunun verilmi§ adsiz adada) qismatina gatirilir va alinan qismatin yaninda verilmi§ ol9u vahidi yazilir.

Bu natica aslinda adli adadin bolunmasinin a§agidaki tarifina asaslanir: Natica2. e Ol9u vahidinda verilmi§ adli adadi adsiz adada bolmak e ol9u vahidinda verilmi§ ela yeni adli adad tapmaq demakdir ki, onun verilmi§ adsiz adada hasili bolunan adli adadi versin.

Xususi halda verilmi§ a adsiz adadi - §aklinda kasr olduqda, adli adadi - kasrina vurmaq

verilmi§ adli adadin - hissasini tapmaq demakdir. Yani x • e adli adadinin - hissasi (x • e) = (x •^j) e = ((x • p): q)e va ya (x • e) = (x e = ((x: q) • p)e kimi tapilir.

Adli adadin muayyan hissasini tapmaq adsiz adadin (adli adadin adsiz vurugunun) hissasinin tapilmasina gatirilir.

£oxhadli adli adadlarin adsiz adada vurulmasi va bolunmasi iki usulla icra oluna bilar, bunlar barada §agirdlar malumatli olmalidirlar;

1)^oxhadli adli adadin ona daxil olan har bir haddini verilmi§ adli adada vurmaq va bolmakla;

2)£oxhadli adli adadi xirdalamaq va 9evirmakla birhadli adli adada gatirmak, daha sonra vurma va bolma amallarini birhadli adli adadi adsiz adada vurma va bolma qaydalarina gatirmakla.

iki adsiz adadin, ham9inin iki bircins kamiyyatin nisbati iki adadin va ya iki kamiyyatin muqayisa edilmasina imkan verir. Bu muqayisa bir adadin digar adaddan va ya bir kamiyyatin digarindan ne9a dafa boyuk (ne9a dafa ki9ik) oldugunu tayin etmakda vasita olur. Bu mulahizadan da asanliqla a§kar olur ki, iki kamiyyatin nisbati adsiz adaddir. £unki bu nisbat "dafa boyuk" va ya "dafa ki9ik" munasibatlarini aydinla§dirir. Masalan, a adadinin b adadina nisbati ela a adadina deyilir ki, b • a = a olsun.

Umumiyyatla, nisbatin manasina gora duz xatt par9asinin duz xatt par9asi ila, bucagin bucaqla, kutlanin kutla ila va s. muqayisasi eynicinsli kamiyyatlarin muqayisasi olub, naticalar adsiz adad olur. Demali, iki kamiyyat o zaman bircins kamiyyatlar adlanir ki, bu adadla kamiyyatlarin birinin hasili o biri kamiyyata barabar olsun, yani

7 a .. , . , a a , a

ac: be = —, 9unki be----- b • - с = ac

b v b b b

Qayda 1. Eyni ol9u vahidlari ila verilmi§ bircins kamiyyatlarin nisbatini tapmaq u9un iki adsiz adadin (adli adadlarin mucarrad vuruqlarinin) nisbatini tapmaq kifayatdir. Natica adsiz adad verir.

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

Müxtalif bircins 0I9Ü vahidlari ila verilmi§ adli adadlarin nisbatinin tapilmasi eyni 0I9Ü vahidi ila verilmi§ adadlarin nisbatina gatirilir. Bu maqsadla verilmi§ 9oxhadli adadlari xirdalamaq va ya 9evirmakla eyni öl9ü vahidi ila ifada etmak kifayatdir.

Qayda 2. iki müxtalif bircins öl9ü vahidlari ila verilmi§ adli adadlarin nisbatini tapmaq ü9ün bu adli adadlari eyni öl9ü vahidi ila verilmi§ adli adadlara 9evirib, birinci qaydani tatbiq etmak kifayatdir.

Masalan, 3q : 6kq = 0,003kq: 6kq = 0,003: 6 = 0,0005. [3-4]

Tadqiqat i§inin elmi-nazari yeniliyi. 1)Maqalada orta ümumtahsil saviyyasinda riyaziyyat fanninin "Öl9malar" mazmun xattinin "Kamiyyatlar" va "Öl9ü vahidlari va alatlari" kimi iki alt mazmun xatlarinin a§agi va sonraki siniflarda gözlanilan hadaflari göstarilmakla "kamiyyatlar", "öl9ü vahidlari" anlayi§larnin interpretasiyasi taqdim olunmu§dur; 2) Orta ümumtahsil maktablarinda kamiyyatlarin tadrisi prosesinin hazirliq, kamiyyatlarin qiymatlarinin bilavasita öl9ma aparmadan hesablanmasi metodlarinin va kamiyyatlarin öl9ülmasinin formal-mantiqi asaslarinin öyradilmasi marhalalarinin mövcudluguna, kamiyyatlari riyazi üsullarla öyranmak ü9ün onlarin adadlara xas olan xassalarinin a§kar edilmasinin zaruriliyina diqqat yönaldilmi§dir; 3) kamiyyatlarin müqayisasini adadlarin müqayisasina, kamiyyatlar üzarinda amallarin isa adadlar üzarinda uygun amallara gatirmaya imkan veran arqument müayyanla§dirilmi§dir; 4)§agirdlar riyaziyyatin tadrisi boyu müsbat skalyar kamiyyatlar üzarinda amallara nazaran ödanilan aksiomlarin tam sistemini manimsami§ va bunlardan faydalanmaq bacariqlarina yiyalanmi§ subyektina 9evrilmalarinin zaruriliyi talab kimi formula edilmi§dir; 5)§agirdlarin riyaziyyatin tadrisi prosesinda müsbat skalyar kamiyyatlarla bagli manimsadiklari bilik va bacariqlarin bu fann üzra gözlanilan naticalarin komponentina 9evrilmasinin vacibliyi vurgulanmi§dir; 6) §agirdlarin müsbat skalyar kamiyyatlarla bagli manimsadiklari bilik va bacariqlarin bu fann üzra gözlanilan naticalarin komponentina 9evrilmasi mazmun xatlari arasinda hamin xatlarin ehtiva olundugu sistemin emercent tabiatina uygun dialektik vahdati sayasinda real hala gala bildiyi nazar-nöqtasi olaraq farqlandirilmi§dir.

Natica. 1)Kamiyyatlarin müqayisasini adadlarin müqayisasina, kamiyyatlar üzarinda amallarin isa adadlar üzarinda uygun amallara gatirmaya imkan veran arqument ümumtahsil maktabinda tahsilalanlar ekvivalentlik münasibatlarini, riyaziyyatin tadrisi prosesinda müsbat skalyar kamiyyatlar üzarinda amallara nazaran ödanilan aksiomlarin tam sistemini manimsami§ va bunlardan faydalanmagi bacaran subyekta 9evrilmalidirlar; 2) §agirdlarin müsbat skalyar kamiyyatlarla bagli manimsadiklari bilik va bacariqlarin bu fann üzra gözlanilan naticalarin komponentina 9evrilmasi mazmun xatlari arasinda hamin xatlarin ehtiva olundugu sistemin emercent tabiatina uygun dialektik vahdati sayasinda mümkündür.

iSTiNAD EDÎLMÎÇ 9D9BÎYYAT:

1. Adigözalov A.S. Orta maktabda riyaziyyatin tadrisi metodikasi (Dars vasaiti).Baki, ADPU, 2012.

2. Hamidov S.S. I-IV siniflarda riyaziyyatin tadrisi metodikasi (dars vasaiti) . Baki, ADPU, 2004.

3. ibrahimov F.N. Ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin kurikulum modelina asaslanan tadrisi metodikasi(dars vasaiti). Baki, "Mütarcim", 2018.

4. ibrahimov F.N. Orta ümumtahsil maktablarinda riyazi tahsilin falsafasi, didaktikasi, hayata keçirilma texnologiyasi(dars vasaiti). Baki, "Mütarcim",2020.

5. ismayilova S.C., Hüseynova A.T. "Riyaziyyat-6" (Ümumtahsil maktablarinin 6-ci sinif ûçûn darslik)."§arq-Qarb", 2013.

6. Ismayilova S.C. "Riyaziyyat-7". Müallim ûçûn vasait. Baki, "§arq-Qarb", 2014.

7. Qahramanova N.M., Karimov M.A., Hûseynov i.H. "Riyaziyyat-8" darsliyinin metodik vasaiti.Baki: Radius, 2016

8.Qahramanova N.M., Karimov M.A., Hûseynov i.H. "Riyaziyyat-10" (Darslik). Baki: Radius, 2017

9. Qahramanova N.M., Karimov M.A.,Quliyev O.F.. "Riyaziyyat-11" (Darslik). Baki: Radius, 2018.

10. Mammadov R.H. Ali riyaziyyat. Ali maktablar ûçûn darslik. Baki:Turan evi, 2013.

11. Дорофеева Г.В. и др. Математика (для поступающих в вузы). М., ДРОФА, 2002.

12. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Саннинский В.Я.Методика преподавания маетматики в средней школе. М., «Просвешение»,1980.

13. Моро М.И., Пышкало А.М.Методика обучения математике в I-III классах. М., «Просвешение»,1975.

14. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. М., «Просвешение»,1978.