CC BY
117УДК 373.51+372.851
NATURAL 9D9DL9R UZ9REND9 BOLM9 9M9LiNiN T9DRiSiND9 SiSTEMATiKLiYiN УЭ ARDICILLIGIN GOZL9NiLM9SiNiN ALQORiTMiK
aSASLARI
iBRAHiMOV FiRaDUN NADiR OGLU
ped.u.e.d., professor, ADPU-nun §aki filialinrn "Tabiat fanlari va onlarin tadrisi texnologiyasi" kafedrasinin mudiri, §aki, Azarbaycan
iMANOVA AYSEL BEYBALA QIZI
r.u.f.d., ADPU-nun §aki filialinrn "Tabiat fanlari va onlarin tadrisi texnologiyasi" kafedrasinin ba§ muallimi, §aki, Azarbaycan ORCID: 0000-0003-1566-6465
Xulasa. Mdqalddd natural adadlar uzarinda bolma amalinin tddrisindd sistematiklik vd ardicilligin gozlanilmasinin alqoritmik asaslarinin aktualligi asaslandirilmi§, tadris vahidlari uzra natual adadlar dairasinin geni§landirilmasina adekvat §akilda tahsilalanlarin bolma amalinin yerina yetirilmasi bacariqlarinda ehtiva olunan elementlarin ardicilliginin gozlanilmasinin va sistem halina gatirilmasinin alqoritmik asaslarinin §arhi oz aksini tapir.
Agar sozlar: adadlarin onluq tarkibi; bolunan, bolan qismat va qaliq; natamam bolunan; ardicil gixma; bolma alqoritmi; alqoritmin agiq formada tasviri; barabar hissalara bolma; tarkibca bolma; xususi qismatlar.
Abstract. The article substantiates the relevance of the algorithmic basis of the expectation of systematicity and consistency in teaching division actions over natural numbers, based on the expansion of the range of natural numbers on educational units it adequately explains the algorithmic basis for anticipating and systematizing the sequence of elements reflected in the learners' ability to perform division operation.
Keywords: decimal composition of numbers; divisible, divisor, quotient and remainder; incomplete divisible; sequential subtraction; division algorithm; open description of the algorithm; division into equal parts; division by composition; special quotients.
Movzunun aktualligi. Pedaqoji prosesin va onun alt sistemlarinin takmilla§dirilmasi didaktikanin hami§aya§ar problemlarindandir. Alqoritmik madaniyyatin inki§afi sozugedan proseslarin markazi halqasidir, 9unki bu proseslarda §agirdlarin aqli faaliyyati idara olunur. 9qli faaliyyatin ham analitik, ham da evristik novlarinda alqoritmlarin va alqoritm qurma tacrubasinin yeri avazolunmazdir. "Natural adadlar uzarinda bolma amalinin tadrisinda sistematiklik va ardicilligin gozlanilmasinin alqoritmik asaslari" movzusu §agirdlarin alqoritmik madaniyyatina aid edilan elementdir, ba§qa sozla, didaktikanin hami§aya§ar probleminda (talimi idrakin idara olunmasi probleminda) ehtiva olunur. Odur ki, tadqiqat movzusunun aktualligini iddia edirik.
Tadqiqat i§inin metodoloji asasi: Sistem tahlili barada L.Bertalanfin ideyasi, dialektikanin qolu kimi formala§mi§ "sistem-struktur" yana§ma.
Tadqiqat i§i uzra interpretasiya. Azarbaycan Respublikasinda umumi tahsilin Milli Kurikulumu 9ar9iva sanadinda muayyan edilmi§dir ki, riyaziyyatin tadrisi vasitasila ibtidai tahsil pillasinda §agirdlarin hesab amallarini yerina yetirmalari, §ifahi va yazili alqoritmlara yiyalanmalari formala§ir. [10; 55]. ibtidai sinif §agirdlarinin bolma amali icrasi ila bagli faaliyyatlarinin tahlili gostarir ki, onlarin xeyli hissasi bu amalin icra alqoritmini 9atin manimsayirlar. 3lbatta, bunun bir sababi bolma alqoritminin murakkabliyi ila baglidirsa, digar sabablari hamin alqoritmin manimsadilmasi ila alaqadar metodik i§in qusurlu aparilmasindan irali galir.
Yazili bölma alqoritmini manimsama üzra §agirdlarin o zaman faaliyyatini nizamlamaq olar ki, onlar ü9ün a§agidakilarin icrasi elementar olsun, daha dogrusu §agirdlarin hazirligi a§agidaki talablara cavab versin:
a) adadlarin onluq tarkibini bilmali va istanilan martaba vahidlarinin hamisini adaddan ayirmagi bacarmalidirlar;
b) birraqamli adada sahvsiz va tez vurmani va 9oxraqamli adadlari sahvsiz va tez 9ixmani bacarmalidirlar: ham vurma, ham da 9ixma amali bölma amalina bir komponent kimi daxildir;
c) §ifahi hesablamadan yax§i vardi§lari olmalidir-ikiraqamli va ü9raqamli adadlari birraqamli adadlara tez vurmani bacarmalidirlar;
d) vurma va bölma amallari arasindaki alaqani bilmalidirlar, bu alaqadan istifada etmayi bacarmalidirlar.
Dogrudan da, §agirdlar bölma alqoritminda zaruri, elementar, ardicil addimlari yerina yetirarkan, yuxarida qeyd olunan bilik, bacariq va vardi§lardan istifada edirlar.
Deyilanlari bölma alqoritminin a9iq §aklindan görmak 9atin deyildir. Ona nazar salaq.
övvalca a§agidaki simvolik i§aralamalari qabul edak.
Fn=xi X2 xj...x„-bölünan, Q=yi y2 y3...ym-bölan, n>m-dir.
Fi =xi, F2 =XlX2, F3 =xi X2 X3... Fn= xi X2 X3...Xn
Fn-a aid olan Xm-dan (Xm+i-dan) sonra gal an raqamlari alqoritmda istifada olunan farqin yanina kö9ürmakla alinan adadlar: Ti, T2, T3...olsun.
1. Fm>Q §arti ödanilarsa, 3-cü banda, Fm<Q olarsa, 2-ci banda ke9ilir.
2. F m+i-adadi ayrilir va proses 3-cü banda müvafiq aparilir, yani 3-cü banda ke9ilir.
3. Fm-da (Fm+i-da) Q-nün ne9a dafa yerla§diyi müayyanla§dirilir, yani qismatin birinci raqami tapilir va bu raqam Q-ya vurulur, alinan hasil Fm-dan (Fm+i-dan) 9ixilir, 4-cü banda ke9ilir.
4. 9gar Fn=Fm (Fn=Fm+i)-dirsa, yaxud ü9üncü bandda müayyan olunan farq sifira barabar olmaqla Fn-nin Fm (Fm+i) ila ahata olunan raqamlarindan sonra galan raqamlari sifira barabardirsa, onlar qismata yazilir, 9-cu banda ke9ilir, aks halda 5-ci banda ke9ilir.
5. Alinmi§ farqin sagina Fm+i(Fm+2)-nin sonuncu raqami kö9ürülür, bu qayda ila tartib olunan adadda (Ti-da) bölan Q-nün ne9a dafa yerla§diyi müayyanla§dirilir, yani qismatin növbati raqami tapilir va bu raqam Q-ya vurulur, alinan hasil Ti-dan 9ixilir, 6-ci banda ke9ilir.
6. 9gar Fn=Fm+i (Fn=Fm+2)-dirsa, yaxud 5-ci bandda müayyan olunan farq sifira barabar olmaqla yana§i Fn-nin Fm+i (Fm+2) ila ahata olunan raqamlarindan sonra galan raqamlari sifira barabardirsa, onlar qismata yazilir, aks halda 7-ci banda ke9ilir.
7. Alinan raqamin sonuna Fm+2 (Fm+3)-ün sonuncu raqami kö9ürülür, T2 adadi formala§dirilir, T2-da Q-nün ne9a dafa yerla§diyi, yani qismatin növbati raqami müayyanla§dirilir, hamin raqam Q-ya vurulur, alinan hasil T2-dan 9ixilir, 8-ci banda ke9ilir.
8. Proses Fn-nin bütün raqamlarindan istifada olunanadak 5,6,7-ci bandlarin analoji tatbiqi ila davam edir.
9. Proses ba§a 9atir, qismat va qaliq müayyanla§dirilir. [4; 93-94]
Göründüyü kimi, aslinda yazili bölma alqoritminin manimsanilmasi i§ina talimin ilk günündan ba§lanir va ibtidai siniflarda riyaziyyat tadrisinin bütün marhalalarinda bu i§ hayata ke9irilir. Alqoritmin zaruri addimlarinin icrasi bacariqlarina §agirdlarin yiyalanmasi prosesi mürakkab strukturaya malik bir sistemdir, ümumiyyatla, "fikri inikas mürakkab prosesdir". [i; 64]
§übha yoxdur ki, yazili bölmani öyranmak sisteminin asasini, bölanin adadi qurulu§u ta§kil etmalidir. Bununla uygun olaraq bölma alqoritmini, a§agidaki hallari ayirmaqla öyratmak olar:
1. Cadval üzra bölma alqoritminin manimsadilmasi;
2. ikiraqamli adadi birraqamli va ikiraqamli adada bölma alqoritminin manimsadilmasi;
3. Ü9raqamli va 9oxraqamli adadi birraqamli adada bölma alqoritminin manimsadilmasi;
4. Taklik va sifirlarla ifada olunan adada bölma alqoritminin manimsadilmasi;
5. Yuvarlaq adadlara bölma alqoritminin manimsadilmasi;
6. ikiraqamli adada bólmak va buna hazirliq olmaq etibarila ü9raqamli adadi qismatda birraqamli adad alinmasi §arti ila ikiraqamli adada bólma alqoritminin manimsadilmasi;
7. £oxraqamli adadi ü9raqamli adada bólma va buna hazirliq olmaq etibarila 9oxraqamli adadi, qismatda birraqamli adad alinmasi §artila ü9raqamli adada bólmak alqoritminin manimsadilmasi;
8. Sonunda sifirlar olan adadlari bólma alqoritminin manimsadilmasi.
indi har bir hal üzarinda bir qadar atrafli dayanaq, onun bazi xüsusiyyatlarini §arh etmaya 9ali§aq.
§übha yoxdur ki, bólmanin iki nóvünün hansi ardicilliqla tadris olunmasi masalasinin halli xüsusi ahamiyyata malikdir. 9ksar metodist bela hesab edir ki, avvalca barabar hissalara bólmanin óyradilmasi maqsada uygundur. Ona góra ki, u§aqlar hala u§aq bag9asindan óz hayati tacrübalarinda barabar hissalara bólma ila tani§dirlar; tarkibca bólmani §agirdlar 9atin qavrayirlar.
Elmi manbalarda vurgulanir ki, barabar hissalra bólmanin yazili§i u§aq ü9ün ham sada, ham da aydindir; tarkibca bólmanin yazili§i 9atin, ham da mürakkabdir; tarkibca bólmanin §arti olan düzgün yazili§ini óyratmak ü9ün 9ox uzun zaman 9ali§maq lazim galir. [11;173]
Dogrudan da bu üsul kafi daracada konkret, aydin olub ayani vasitalarin kómayi ila daha asan góstarila bilar. Belalikla, bólma amalini barabar hissalara bólmadan ba§lamaq maqsada daha müvafiqdir; tarkibca bólma ila §agirdlar bundan sonra tani§ edilmalidirlar.
Vurma va bólma amalini bir yerda va ya ayriliqda ke9mak olar; ayriliqda tadris etmak zamani avvalca vurmani, sonra isa bólmani daxil etmak daha düzgün olar. Biz o fikra tarafdariq ki, bu amallarin ayri ke9ilmasi sistemi taqdir olunur. Bu zaman §agirdlarin diqqati müayyan bir müddatda ancaq bir amal üzarinda markazla§ir: óyranilan masalalar sahasi daha six olur; bunun naticasinda da §agirdlar bu masalalari daha darindan óyrana bilirlar.
Vurma amalinin óyradilmasi zamani toplama ila 9ixma amalinin vurma ila rabitasini daha 9ox aydinla§dirmaq mümkün olur. Vurma amalinin bólma ila olan rabitasi isa bólma amalinin óyranilmasinin müayyan marhalasinda izah olunmalidir.
Barabar hissalara bólmada ilk vaxtlar a§agidaki alqoritmik formadan istifada olunmasi mümkündür:
1. Barabar hissalara bólünmali §eylar qrupundan hissalarin sayina barabar olan §ey gótürülür, bela ki, bólanda har hissaya bir §ey, bir taklik dü§ür;
2. Qalan §eylar qrupundan, yena verilan miqdarda hissaya bólarkan har hissaya bir §ey, ikinci bir taklik dü§acak qadar §ey gótürülür.
3. Qalan (agar qalmi§dirsa) §eylar qrupundan yena da verilan miqdarda hissaya bólarkan, har hissaya bir §ey, ü9üncü bir taklik dü§acak qadar §ey gótürülür va i.a.
4. Bu amaliyyat verilan §eylar qurtarincaya qadar davam etdirilir va natica müayyanla§dirilir.
Burada barabar adadlarin 9ixilmasi ila bólmanin hayata ke9irilmasi ón plana 9akilmi§dir. Bela
ki:
1. Bólünani har hansi barabar hissaya bólarkan, avvalca bólünandan hissalar sayi 9ixilir, 9ixilan takliklara ayrilir;
2. Qaliqdan bólünan hissalar sayi 9ixilir, 9ixilan takliklara ayrilir va birinci addimda ayrilmi§ takliklara alava olunur, iki-iki barabar qruplar yaradilir;
3. Qaliqdan yenidan bólünan hissalar sayi 9ixilir, 9ixilan takliklara ayrilir va 2-ci addimdan yaradilmi§ qruplarda takliklarin miqdari bólmanin naticasi kimi qabul edilir.
Tabiidir ki, 9ixma amali, bólma prosesi ila ilk tani§liqda, yani ayani vasita ila bólma amalinda istifada olunur. Sonralar isa bólmanin vurma ila olan alaqasindan bütóvlükda istifada olunmalidir.
Unutmaq olmaz ki, §agirdlar avvalca birinci onluq adadlarindan istifada etdikda, bólma naticalarini 9atinlik 9akmadan manimsayirlar, sonralar isa ikinci onluq va ya yüz dairasinda bólma ilkin marhalada alda olunmu§lar üzarinda inki§af etdirilir. Bu halda móvcud biliklardan qismatin tez tapilmasi ü9ün istifada 9atin olmur. Odur ki, bólmanin óyranilmasinda a§agidaki §arti marhalalar farqlandira bilar: 1)Barabar hissalara bólma amali yuxarida taqdim etdiyimiz alqoritma uygun ayani
vasitalarla aydinla§dirilir; 2)Bölma ikinci onluq adadlari vurma amalinin paylanma xassasina asaslanan alqoritm üzra öyranilir.
Malum oldugu kimi, vurma va bölma cadval üzra va cadvaldankanar olur. Birraqamli adadlari vurmanin bütün hallari va bölmanin da bunlarla uygun olan hallari cadval üzra vurma va bölmaya aiddir. Hasillari 100 adadini a§mamaqla ikiraqamli adadlari birraqamli adadlara vurma hallari va bölmanin bunlarla uygun hallari cadvaldankanar vurma va bölmaya daxildir. [2; 98]. Cadvaldankanar vurma va bölmanin öyranilmasi mahiyyati etibarila cadval üzra vurma va bölmani öyranmakdan ciddi tarzda farqlanir; cadval üzra vurma va bölmada hesablamalarin bütün naticalari yadda saxlamaqla manimsanilirdi; cadvaldankanar vurma va bölmada isa he9 biri azbar öyranilmir; burada asas masala hesablama üsullarini manimsamakdan ibaratdir.
ömallarin paylama va yerdayi§ma xassasina asaslanan vurma va bölma üsullari cadvaldankanar vurma va bölmanin öyranilmasinin ba§lica maqsadidir. Dogrudur, avvallar da §agirdlar amallarin bu xassalarina rast galmi§dilar, lakin indi bu xassalarin tatbiqi daha aydin va daha ardicildir.
ikiraqamli adadi birraqamliya bölarkan bölünan adadi ela iki adada ayirmaq lazimdir ki, bunlarin birini bölarkan qismatda onluq, o birini bölarkan taklik alinsin. Bunun ü9ün bazan hamin adadi onluqlarina va takliklarina ayirmaq (64:2), bazan da bir va ya bir ne9a onlugu takliklara xirdalamaq (36:2) lazim galir. övvalca an sada olan birinci haldan ba§lamaq lazimdir; sonra qismatda onluqla taklikdan ibarat adad veran yuvarlaq onluqlari bölmak lazimdir (30:2) va bundan sonra da onluqlarin takliklara bölünmasini talab edan bölmanin ümumi halina ke9mak lazimdir. Bu halin hamisina eyni daracada tatbiq edila bilan ümumi üsul, avvalca qismatin onluqlarini, sonra da takliklarini tapmaqdir. Onun alqoritmik tasviri beladir:
1. ikiraqamli bölünan adadin ne9a onluq va ne9a taklikdan ibarat oldugunu müayyanla§dirmak; 2-ci banda ke9mak.
2. Verilmi§ bölünanin onlugu talab olunan hissalara ayrilirsa, onu yerina yetirmak va qismatin onlugunu müayyanla§dirmak; 3-cü banda ke9mak; aks halda 4-cü banda ke9mak.
3. Bölünan adadin takliklarini talab olunan hissalara bölmak, qismatin takliklarini müayyanla§dirmak; 8-ci banda ke9mak.
4. Bölünan adadin onlugundan talab olunan hissalara bölünmani icra etmak, mümkün olan an 9ox sayli onluqlari ayirmaq va onu talab olunan hissalara bölüb qismatin onlugunu müayyanla§dirmak, 5-ci banda ke9mak.
5. Bölünanin kanar edilmi§ onluqlarini takliklara 9evirib verilmi§ adadin takliklari ila camlamak, 6-ci banda ke9mak.
6. Takliklarin camini talab olunan hissalara bölmak, alinan naticada onlugu va takliyi ayirmaq, 7-ci banda ke9mak.
7. 4-cü bandda alda olunmu§ natica ila 6-ci bandda alda edilan naticani toplamaq, qismatin onluqlarini va takliklarini müayyanla§dirmak, 8-ci banda kemak.
8. Onluqlarina va takliklarina göra qismati yazmaq.
Bu prosesda masala va tamrinlarin ela sistemi tatbiq olunmalidir ki, §agirdlar öz faaliyyatini taqdim olunan alqoritm üzra yerina yetirmakda 9atinlik 9akmasinlar, sanki onlarin yadda§inda göstarilan alqoritmin mövcud olan zaruri, elementar addimlarinin ardicilligi hakk olunmalidir. §übhasiz ki, yalniz bu halda har bir §agird ikiraqamli adadi birraqamli adada böla bilar. Ela etmak lazimdir ki, §agirdlarin bu istiqamatda alqoritmik faaliyyati "avtomatla§mi§" saviyyaya yüksalsin, yazili bölma alqoritminin tarkibinda elementar addim yerinda 9ixi§ etsin.
indi da ikiraqamli adadi ikiraqamli adada bölmak alqoritminin öyradilmasi barada fikrimizi a9iqlamaga 9ali§aq.
Bu halda qismat sinaq etmak (sinama) yolu ila tapilir va vurmanin kömayi ila yoxlanir. Belalikla, bölmanin bu hali, bütünlükla vurma amalina asaslanir va eyni zamanda tarkibca va ya barabar hissalara bölma olmasindan asili deyildir.
Bu prosesda masala va tamrinlarin ela sistemindan istifada olunmalidir ki, §agirdlar qismatin daha tez tapilmasi alqoritmini manimsaya bilsinlar. Hamin alqoritmda ardicil, zaruri addimlar açagidakilardir:
1. Bölünanin va bölanin onluqlari sayini müayyanla§dirmak, 2-ci banda keçmak.
2. Bölünanin onluqlarinda bölanin onluqlarinin neça dafa yerlaçdiyini müayyanla§dirmak, yani "sinaq adadini" tapmaq, 3-cü banda keçmak.
3. Sinaq adadini bölana vurmaq, hasili bölünanla müqayisa etmak, barabarlik hali müayyan edilarsa, 6-ci banda, aks halda 4-cü banda keçmak.
4. Sinaq adadinin bölana hasili bölünandan böyük olduqda onu (sinaq adadini) bir vahid azaltmaq, onu bölana vurmaq, 6-ci banda keçmak, aks halda 5-ci banda keçmak.
5. Sinaq adadini bir vahid artirmaq, onu bölana vurmaq va 6-ci banda keçmak.
6. Qismatin tapilmi§ sinaq adadi oldugunu qabul etmak.
Yax§i olar ki, qismatin daha tez tapilmasi üsulu ila §agirdlarin tani§ edilmasindan önca onlar "ardicil çixma", "ardicil toplama", "ardicil sinaq" üsullari ila tani§ edilsin. Bu maqsadla müvafiq masalalar hallina istinad etmak faydali olar. [2; 207]
"Ardicil çixma", "ardicil toplama" va "ardicil sinaq" üsullarindan sonra bölünan va bölanin onluqlari nisbatina göra sinaq adadinin tapilmasi va prosesin bu adad asasinda icra olunmasi i§inin faydaliligi §agirdlar tarafindan yax§i dark olunur. [5; 91]
Qeyd edak ki, tatbiq olunan müxtalif üsullar §agirdlarin hazirligina tamamila uygundur. Onlar hissa, hissalarin alinmasi va müqayisasi, hissasina göra adadin tapilmasi, "dafa çoxdur", "ikiraqamli adadin birraqamli adada bölünmasi", "qaliqli bölma", "yuvarlaq onluqlara", "ona bölma", "cadvala üzra bölma" va i.a. anlayiçlari manimsamiçlar. Odur ki, §agirdlar vurma va bölma arasindaki alaqani tayin edir, amaliyyati süratla icra etmakda çatinlik çakmirlar. §agirdi 84-da 21-in neça dafa yerlaçdiyini müayyanla§dirmak ^ün "8 onluqda 2 onluq neça dafa yerlaçir" mühakimasina asaslanmaga yönaltmak o qadar da çatinlik töratmir. Bunu tacrübadan da görmak çatin deyildir. Naticanin tez alda olunmasi ^ün çagirda açagidaki kimi alqoritmik addimlar ardicilligini atmaga aliçdiran tamrinlar seçilmalidir:
1. Bölünan ikiraqamli adadda olan onluqlari fikran ayirmaq;
2. Bölandaa olan onluqlari fikran ayirmaq;
3. Bölünanin onluqlarini bölanin onluqlarina bölmak;
4. Alinmi§ naticani bölana vurmaq va hasili bölünanla müqayisa etmak.
Bu prosesda ela tamrinlar edilmalidir ki, 4-cü bandda öz aksini tapan tashihetma amaliyyatini da çagirdlar yerina yetirmak içina qoçulmali olsunlar.
Ûçraqamli adadi birraqamli adada bölma çoxraqamli adadlari bölmanin manimsadilmasinda an mühüm marhalalardan biridir. Bu marhalada §ifahi va yazili bölmani bir-birindan ayirmaq lazimdir. Bölma amali vardiçlari çagirdlardan adadin tarkibini analiz etmak bacarigi, eyni zamanda bir adadi bölan adaddan asili olaraq tarkib hissalarina ayirmaq bacarigi talab edir. [7; ll4].Hamçinin atrafli izah edilmi§ va dü§üncali suratda manimsanilmiç olan çifahi bölma, yazili bölma ^ün yax§i hazirliqdir. öslinda bölmanin bu iki çakli arasinda ümumi cahatlar çoxdur. §ifahi bölma amalindan yazili bölmaya ela keçmak lazimdir ki, çagirdlar bunlari birlaçdiran ümumi cahatlari duysunlar, yazili mexanizmin §arti içaralarinda bölmanin manasini "görsünlar". [6; 117]
Çaliçmaq lazimdir ki, açagida göstarilan iki mühüm qrup ^raqamli adadlarin çifahi bölünmasi alqoritmini çagirdlar manimsami§ olsunlar: 1)Yuvarlaq yüzlüklari,onluqlari va birraqamli adadlari bölma bacarigina asaslanmaqla birraqamli adada bölma, hansi ki, bunlar adadin onluq tarkiblara ayrilmasi yolu ila alinir va camin adada bölünmasi xassasi burada tatbiq olunur; 2)Yüzlüklari, onluqlari va takliklari (onluq tarkibina ayriliçi ila müayyanla§an) birraqamli adada bölünmayan, lakin alveriçli toplananlara ayrila bilan adadlarin birraqamli adadlara bölünmasi.
Göstarilan bu iki mühüm qrup çatinlik çakmiç olarsa, onda açagidaki ardicilliqla daxil edilan xüsusi hallar üzarinda dayanmaq faydali olar:
1)Birraqamli adada bölma ila naticalanan yuvarlaq yüzlüklarin va ya onluqlarin çifahi bölünmasi; (800:8; 8 yüzlük: 8=1 yüzlük; 800:8=100); 2)Yüzlük va onluqdan amala galmi§ adadi bölmak (240:2; 300:3); 3) Yüzlüklari va onluqlari ayriliqda bölana bölünmayan adadlari bölmak (120:3; 360:9); 4)Yüzlüklarin sayi bölana bölünmadiyi va qismatda yüzlük va onluqlar alindigi halda yuvarlaq yüzlüklari bölmak (600:4; 900:6); 5)Yüzlüklar va onluqlardan amala galan ^raqamli adadi bölmak;
Bu halda hamin ^raqamli adadin ham yüzlüklari, ham da onluqlari ayriliqda bölana bölünmür, lakin onun bu martabalari birlikda bölana tam bölünan onluqlar amala gatirir (420:З; 5б0:4), burada bölmanin iki üsulu farqlandirila bilar:1) 420 adadini ayriliqda har biri З-a bölünan 2 adada ayiririq. Bu adadlar З00 va 120-dir. Bunlardan har birini З-a bölüb, qismatda 100+40=140 aliriq; 2)420 adadina 42 onluq kimi baxiriq. 42 onlugu 3-a bölüb, 14 onluq va ya 140 aliriq. Bölmanin bu üsulunu ayani vasitalarla-çubuq dastlarinin kömayi ila göstarmak olar.[2; 229-2З0]
Bu üsullarin ikisi da eyni çatinlik daracasina malikdir. Göstarilan hallarin har birini ayriliqda öyrandikdan sonra çagirdlara qariçiq tipli çoxlu tamrinlar vermak faydali olur. §übhasiz ki, tadrisin bu dövründa, asas maqsad çagirdlara çifahi bölma üsullarindan istifada etmayi öyratmakdir; ona göra da müallim §agirdlardan cavab almaqla kifayatlanmamali, onlarin bu cavabi neca tapdigini, bu halda bölmanin hansi üsul va yollarindan istifada etmi§ olduqlarini sormalidir.
indi da ^raqamli adadlari yazili bölmanin alqoritmik asaslarini §arh etmaya keçak, daha dogrusu çaliçaq. Bela hesab edirik ki, ba§qa amallarla taniçliqda oldugu kimi, burada da yazili bölmani çifahi bölma ila baglamaq, bölmanin müxtalif hallarini çatinliyin get-geda artmasi §arti ila düzmaklazimdir.
Tacrüba göstarir ki, burada bölmanin çagirdlara malum olan çaklindan baçlayib, onlar ^ün qeyri-adi olan çaklina keçmak zaruridir. Biz üçraqamli adadi birraqamli adada bölmaya aid tamrinlarin açagidaki ardicil hallar üzra tadris prosesina daxil edilmasina tarafdariq:
1.Bölünanin har bir martabasi bölana tam bölünür (846:2; 936:3).
2.Yüzlüklar tam bölünmür va bunlarin qaligini takliklara xirdalamaq lazim galir (575:5).
2.Yüzlüklar tam bölünmür va bunlarin qaligini onluqlara xirdalamaq lazim galir (72В:4; 429:З).
3.Ham yüzlüklarin, ham da onluqlarin qaliqlarini ardicil olaraq a§agi martabalara xirdalamaq lazim galir (бВ5:5).
4.Ûçraqamli adadlari birraqamli adadlara bölarkan xüsusi halda ikiraqamli qismat alinir (168:2; 54б:б).
5.Yuxaridaki xüsusi halin çatinla§dirilmi§ növünda onluqlar tam bölünmür va onluqlarin qaligini takliklara xirdalamaq lazim galir (25В:9; 450:б).
§übha yoxdur ki, an önamli masala, §agirdlara birraqamli adada yazili bölmanin yerinayetirilmasi texnikasinin §üurlu manimsadilmasidir. Çaliçmaq lazimdir ki, har bir §agird 3 (va daha çox) raqamli adadi birraqamli adada bölarkan, rast gala bilacayi bütün hallarda amaliyyati düzgün va tez yerina yetirmayi bacarsin.
ölbatta, ilkin hal bütün martaba vahidlarinin bölana qaliqsiz bölündüyü hal qabul olunmalidir va tacrüba göstarir ki, bu halda bölmani çagirdlar çatinlik çakmadan yerina yetirirlar.
Digar hallar bir qadar çatin manimsanilir. Odur ki, bu hallarda ayanilikdan samarali istifada etmak zaruridir. övvalca, ayani vasitalar va keçmiç tacrübaya istinad etmakla bölmani icra etmak, sonra mühakimaya uygun yaziliç formasina keçmak olar.
Çagirdlar bu prosesda, bölma amalinin yuxari martabadan baçladigini, har martabani bölmak lazim oldugunu va har martabani bölanda qismatda hamin martabanin takliklari alindigi manimsamalidirlar.
Çagirdlar "minlik" konsentrini ba§a vurduqda üçraqamli adadi birraqamli adada bölmanin açagidaki ardicilliqla yerina yetirilan zaruri addimlar sistemindan ibarat oldugunu bilmali va onu yerina yetirmayi bacarmalidir:
1.Ûçraqamli adaddan yüksak martaba vahidi olan yüzlüyü ayirmali, onu bölanla müqayisa etmali; agar hamin martaba vahidi bölandan kiçik deyildirsa, 2-ci banda, aks halda 3-cü banda keçmali.
2.Yüzlükda bölanin neça dafa yerlaçdiyini müayyanla§dirmali, yani qismatin birinci raqamini tayin etmali, onu bölana vurub alinan hasili yüzlük martaba vahidindan çixmali, 5-ci banda keçmali.
3.Ûçraqamli adadin neça onluqdan ibarat oldugunu müayyanla§dirmali, yani ilk iki martaba vahidini birga ayirmali, 4-cü banda keçmali.
4.Ayrilmi§ iki raqamin asasinda yaranan adadda (F-da), yani onluqlarin miqdarinda bölanin neça dafa yerlaçdiyini müayyanla§dirmali, yani qismatin 1-ci raqamini-onlugu tayin etmali (qismat iki raqamli adad olacaqdir) va onu bölana vurub alinan hasili F-dan (onluqlarin sayindan) çixmali, 6-ci banda keçmali).
5.9gar qaliq bölanda onluq va taklik martaba vahidlari sifira barabar olarsa, onluq va taklik martabalarina uygun olan sifir raqamlari qismata köçürülmali va 10-cu banda keçilmali, aks halda 7-ci banda keçmali.
6.9gar alinan qaliq va sonuncu raqam sifirdirsa, sonuncu sifir raqamini qismata yazmali, 9-cu banda keçmali, aks halda 10-cu banda keçilmali.
7. Farqin sagina onlugu göstaran martaba vahidii ^ç^mali, alinan adadda - (Ti-da) bölanin neça dafa yerlaçdiyini müayyanla§dirmali, yani qismatin onlugunu tayin etmali va onu bölana vurub Ti-dan alinan hasili çixmali va 8-ci banda keçmali.
8.9gar qaliq bölünanin sonuncu raqami sifirdirsa, bir sifir qismata yazilir va 10-cu banda keçmali, aks halda 9-cu banda keçmali.
9.Qaligin sagina bölünanin sonuncu raqamini ^ç^mali, alinan adadda - (Ti) da bölanin neça dafa yerlaçdiyini müayyanla§dirilmali, yani qismatin sonuncu raqamini tayin etmali va onu bölana vurub Ti-dan çixmali.
10.Naticani, qismati bölana vurub alinan hasili bölünanla tutuçdurmaqla hallin dogrulugunu yoxlamali.
Bölma amali vardiçinin yaradilmasinda üçraqamli adadin birraqamli adada bölünmasi mexanizminin manimsanilmasi xüsusila ahamiyyatli marhaladir. [7;115] Ümumiyyatla, "birinci minlik" konsentri böyük adadlar va onlar üzarinda hesab amallarinin manimsanilmasi ^ün böyük alveriçli baza yaradir. Bu konsentrinda uçaqlar istanilan böyüklükda adadlarin nömralanmasi prosesina hazirlanir, burada 1 sinif, yani birinci minlik adadlarinin nömralanmasinin bir çox cahati takrar edilir, çifahi hesablama üsullarindan tahriri (yazili) üsullara keçmaya çagirdlar hazirliq alda edirlar.
Tabiidir ki, birraqamli adada bölmanin sonunda qaliqli bölma halini da izah etmak garakdir. Tacrüba göstarir ki, bu proses o qadar da çatinliklarla mü§ayiat olunmur.
Malum oldugu kimi, çoxraqamli adadi ikiraqamli adada bölma, qismatda birraqamli adad alinmaqla bir neça dafa ^raqamli adadlari ikiraqamli adada bölmaya çevrilir. Ona göra da çagirdlara çoxraqamli adadi ikiraqamli adada bölmaya aid yaxçi vardiç vermak istayiriksa, har çeydan avval qismatda birraqamli adad olmaqla, ^raqamli adadi ikiraqamli adada bölma bacarigini onlara vermaliyik, daha dogrusu, onlarda formalaçdirmaga çaliçmaliyiq. [9; 47]
Bölma alqoritminin manimsanilmasi dedikda, biz zaruri addimlarin çagirdlar üçün elementar olmasini da nazarda tuturuq. 9ks halda çagird özünün alqoritmik faaliyyatini hayata keçira bilmaz. Bölmada asas çatinlik qismatin raqamlarini seçmak, tapmaqdir. §agirdlar bu cahati yaxçi bacarsalar, onda onlar sonralar böyük çatinliklarla qar§ila§mazlar. Qismatda birraqamli adadi alinmaqla, ^raqamli adadi ikiraqamli adada bölma prosesini yaxçi manimsamak ^ün bir sira tamrinlar etmaya ehtiyac vardir. [8;121]
Çagirdlar qeyd olunan içlar naticasinda istanilan çoxraqamli adadi ikiraqamli adada bölmak ^ün hazirlanir: çagirdlar yuxari martabalardan baçlayaraq adadi tadrican bölma prinsipini manimsamiç va sinaq yolu ila qismatin raqamini tapmagi öyranirlar; bu isa yeni vardiç almaq ^ün tamamila kifayatdir. [4; 109]
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
Ûçraqamli adadi ikiraqamli adada bölma, müvafiq izahat asasinda tadris prosesina daxil olunmalidir. Masalanin tadrisinda 4ВВ adadini б1^ bölmakla bagli izahatla baçlamaq taklif olunur. izahat bela verilir: "Qismatin raqamlarini seçmak ^ün avvalca bölani yuvarlaçdiraraq 60 aliriq, sonra 488-i б0-a bölak; bunun ^ün 48-i б-ya bölüb 8 aliriq, 8 raqami hala sonuncu deyil, sinaq raqamidir, 4ВВ adadini б0^ deyil, б1^ bölmak talab olunur. Bu raqami yoxlamaq lazimdir. 61-i 8-a vuraq, 4ВВ aliriq. Demali, В raqami dogrudur".
Verilmi§ tipda misallarin icrasi ila bagli izahatda öz aksini tapan alqoritmik gediçlarin manimsanilmasi möhkamlandirildikdan sonra qismatda ikiraqamli adad alinmasi ila bagli tamrinlara yer vermak nazarda tutulur.
Odur ki, istanilan çoxraqamli adadi ikiraqamli adada bölmak alqoritmini §agirdlara manimsatmak va bu alqoritmdan onlarin tez va sahvsiz istifada vardiçlarini formalaçdirmaq üçün önca taklik va sifirlarla ifada olunmuç adada va ya yuvarlaq onluqlara bölmani öyratmak garakdir. §übha yoxdur ki, 10-a bölmaya ham barabar hissalara bölma, ham da tarkibca bölma kimi baxmaq olar. Bu bölmani 10 barabar hissaya bölma kimi qabul edarak deyirik ki, har bir onlugu 10-a bölanda bir taklik alinir. Bu bölma amalini tarkibca bölma kimi izah edarak deyirik ki, verilmi§ adadin (bölünanin) içarisinda 10 (bölan) neça dafa vardir. 10-a bölma metodikasini ham tam, ham da qaliqli bölma hali üzra §agirdlara öyratmak faydalidir.
Yuvarlaq onluqlara bölma, natica etibarila ikiraqamli va ^raqamli adadlari yuvarlaq onluqlara bölma tarkiblarindan ba§qa bir §ey deyildir. Ona göra da, bölmanin bu halini qismatda birraqamli adad olmaqla ^raqamli adadi yuvarlaq onluqlara bölmadan baçlamaq tabiidir. Bölünan adadin onluqlari sayini bölanin onluqlari sayina bölmak yolu ila qismatin raqamini tapmaq üsulunu §agirdlarin yax§i manimsamalari ^ün bir çox tamrinlar etmak lazim galir.[B;47] Bundan sonra çoxraqamli adadi yuvarlaq onluqlara bölmanin ümumi halina keçmak olar.
Çoxraqamli adadlari bölma alqoritminin manimsanilmasina yönalan için açagidaki marhalalarini ayirmaq olar:
1. Birraqamli adada bölma;
2. 20, 100, 1000 va i.a. bölma;
3. Yuvarlaq onluqlara bölma;
4. ikiraqamli va ^raqamli adada bölma.
Bölma amalinin qismatdaki raqamlarin nisbatan asan tapildigi marhalasinda, §agirdlari bölma amalinin daha çatin hali, yani qismatdaki adadin ortasinda va ya sonunda sifirlar veran adadlari bölmakla tani§ etmak lazimdir. Bu xüsusi hallar, bölmanin ümumi qaydasinin daha aydin ba§a dü§ülmasina kömak edir. Hamiya malumdur ki, bazi §agirdlar bela misallarda qaliqlar alinmasi va bunlari har dafa xirdalama prosesina aluda olaraq qismatin alinmasina fikir vermir va sifirlari ötürürlar. Bu cür sahvlarin alinmasina yol vermamak ^ün açagidaki üsullardan istifada etmak lazimdir:
a) qismatin birinci raqaminin qiymatina asasan qismatda cami neça raqam olacagini tayin etmak mümkün oldugunu göstarmak;
b) qismatda alinacaq raqamlarin hala tutulmamiç yerlarini nöqta ila i§ara etmak;
c) bölma amalini edarkan hansi martabanin bölünmakda oldugunu va qismatda hansi martabanin alindigini söylamak;
d) qismatdaki sifirin vazifasi va ahamiyyatini izah etmak va qismatin yanina sahvan sifir yazmayanda, qismatin neca dayiçdiyini göstarmak.[12; 22б]
§übha yoxdur ki, bu üsullara birini da alava etmak lazimdir. Bölma amali qurtardiqdan sonra onun düzgünlüyünü vurma vasitasila yoxlamaq garakdir.
Tacrüba göstarir ki, çoxraqamli adadi birraqamli adada bölmanin sonunda ^raqamli adadi birraqamli adada bölmada oldugu kimi qaliqli bölmanin açagidaki halini izah etmak va buna aid tamrin etdirmak maqsada uygundur: bölünanin son raqami bölana bölünmür va bu raqam qaliq olur, qismatda isa sifir yazilir. Bölmanin bu halini izah edarkan yuxarida qeyd edilmi§ üsullara birini da alava etmali: bölma amalinda qismatda alinacaq raqami avvalca fikirda taxmini hesablamaq lazimdir.
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
Malum oldugu kimi, milyon dairasinda vurma va bölma amali öyradilanadak, uçaqlar bölmaya ham barabar hissalara bölma, ham da tarkibca bölma kimi baxmagin mümkün oldugunu bilir. Bu i§ biliklarin takrari ila baçlanir.
Bir neça misal hall etdikdan sonra açagidaki kimi icra alqoritmi müayyanla§dirilir: "sonunda sifirlari olan adadi 10-a bölmak ^ün hamin adaddan sonuncu sifiri atmaq lazimdir". Sonra qaliqli bölmaya aid misallar hall edilir: 142:10, 6114:10 va i.a. Çagirdlarin diqqatini qismata va burada qaliga yönaltmak mühüm metodik yanaçma kimi nazarda tutulur. Bu metodika 10, 100, 1000-a §amil olunur va bir neça izahli misal hall olunur. Nahayat, taklik va sifirlarla ifada olunmu§ adada bölmanin alqoritmi ümumi §akilda ifada olunur: "Bir adadi taklik va sifirlardan ibarat olan adadlara bölmak ^ün bu adadin sagindan bölandaki sifirlarin sayi qadar raqam atmaq kafidir". [3; 226]
Çagirdlarin "minlik" dairasinda vurma va bölma mövzusunun tadrisi ila bagli yuvarlaq onluqlara bölma barada müayyan daracada bilik va vardiçlari vardir, prosesaa davam olaraq adadlarin oblasti geniçlandirilir.Bu prosesi, daha sonra yuvarlaq yüzlüklara va s. §amil etmak tabii bir haldir.[11; 262-263]
Yuvarlaq yüzlüklara bölma i§inda iki hall ayird etmak lazimdir:
1) qismatda birraqamli adad almaqla yuvarlaq yüzlüklara bölmak;
2) istanilan adadi yuvarlaq yüzlüklara bölmak.
Birinci hal ikincinin asasini taçkil edir.
Çaliçmaq lazimdir ki, §agirdlar bölma alqoritmi ila bagli terminalogiyadan (martaba vahidlarinin adi, komponentlarin adi va s.) istifada etmayi bacarsinlar. Bu masalanin vacibliyini laziminca qiymatlandirmak lazimdir.
Çoxraqamli adadi ikiraqamli adada bölma (masalan, 18792:54=348) prosesini tahlil etdikda malum olur ki, bu adadlari bölmak, qismatda birraqamli adad alinmaqla bir neça dafa ^raqamli adadlari ikiraqamli adada bölmaya çevrilir (187:54; 259:54; 432:54).Ona göra da §agirdlara çoxraqamli adadi ikiraqamli adada bölmaya aid yax§i vardi§ vermak istayiriksa, har §eydan avval qismatda birraqamli adad alinmaqla ^raqamli adadi ikiraqamli adada bölma bacarigini onlara vermaliyik.
Tabiidir ki, çoxraqamli adadi ^raqamli adada bölmak ^ün hami§a ^raqamli va dördraqamli adadi ^raqamli adada bölmak naticasinda alinan qismatin raqamini tapmagi bacarmaq lazimdir. Ona göradir ki, bölma amalinin bu pillasini ayirib, müstaqil va hartarafli olaraq öyranmak lazimdir; bölmanin bu hissasi istanilan adadi ^raqamli adada bölma amalinin asasini ta§kil edir.
Burada da ikiraqamli adada bölmadaki yol ila getmak lazimdir, yani bölani yüzlüklara qadar yuvarlaqlaçdirmaq, yüzlüklari yüzlüklara bölmak, qismatin raqamini tapmaq; bu raqami sinamaq va bu raqamin düzgün tapildigi qanaatina galdikdan sonra onu qismatda yazmaq lazimdir.
Burada da §agirdlarin diqqatini bela bir masalaya yönaltmak lazimdir: bazan qismatin raqamini daha tez tapmaq ^ün bölani böyük yuvarlaq adada qadar tamamlamaq daha faydali olur. Bu, bölanin ikinci raqami В va ya 9 olan hallarda lazim olur.
Metodik adabiyyatda tamrinlarin bu marhalada bela bir sistemla düzülmasi tövsiyya olunur:
a) Qismati, birinci sinaqla asan tapilan misallar hall etmak (1368:228);
b) Qismati, ikinci sinaqdan sonra tapilan va qismatin bu sinaq raqami azaldilan misallar hall etmak;
c) Qismatin tapilmi§ sinaq raqamini bir neça dafa sinamaq yolu ila misallar hall etmak (l326:l66);
d) Qaliqli bölmaya aid misallar hall etmak.[6; 264]
Qismatin çoxraqamli adad olmaqla ^raqamli adada bölmak halina da xüsusi diqqat yönaldilmalidir.
Qismatin birraqamli adad olmasi ila dördraqamli adadi ^raqamliya bölmak bacarigi, istanilan adadlari ^raqamli adada bölma vardiçini açilamaq ^ün möhkam bir asas yaradir. Tamrinlar edarkan açagidaki ardicilligi qabul etmak faydali olar:
a) avvalca qaliqsiz bölmaya aid misallar;
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
b) sonra qismatda sifirlar alinmasi §arti ila hamin tipda misallar;
c) nahayat, qismatda sifirlar olmasi va olmamasi §arti ila qaliqli bölmaya aid misallar.
Tamrinlar edarkan qisa izahat verilir va ancaq çatinlikhiss olunan hallarda misalin hallini müfassal izah etmak çagirda taklif olunur.
Sonunda sifirlar olan adadlari bölma alqoritminin manimsadilmasi ^ün çagirdlarin müvafiq tapçiriqlarin hallina tahrik edilmasi lazim galir.Maqsadauygun tapçiriqlarin hallina çagirdlarin diqqatini calb etmakla,
Tapçiriqlarda talab olunmalidir ki, halli izah edin. §agirdlarin diqqatini hall prosesina calb edarak, söylamak olar ki, burada sonunda sifirlar olan adadlari, har hansi çoxraqamlari adadlari 3 va 4 raqamli adadlara böldüyümüz kimi i§i icra etmak lazim galir.Burada bölünan va bölandan eyni sayda sifir atmaqla bölmani müxtasar §akla salmaq mümkündür. Bu üsul açagidaki xassaya asaslanir: bölünani va bölani eyni adad dafa azaltsaq, qismat dayiçmaz.
Burada bir mühüm masala diqqatdan yayinmamalidir. Qaliqli bölma halinda qaliga (qiymatli raqamlarin sagina) atilmiç sifirlar alava olunmalidir. Bu halla bagli bir neça misalin hall olunmasi faydali olar.
Elmi yeniliyi. Natural adadlar üzarinda bölma amalinin tadrisinda sistematiklik va ardicilligin gözlanilmasinin hayatakeçirilma texnologiyasi i§lanilmi§dir.
Praktik dhdmiyydti. Natural adadlar üzarinda bölma amalinin tadrisinda sistematiklik va ardicilligin gözlanilmasinin hayatakeçirilma texnologiyasi içlanilmasi praktik pedaqoqlarin tadrisetma faaliyyatinda yol verila bilacak yanliçliqlarin aradan götürülmasini çartlandiran mühitin formalaçmasina müsbat tasir edacakdir.
N3tic3. Natural adadlar üzarinda bölma amalinin tadrisinda sistematiklik va ardicilligin gözlanilmasinin hayatakeçirilma texnologiyasinin tatbiqi çagirdlarin alqoritmik madaniyyatinin formalaçdirilmasi va talim keyfiyyatinin yax§ila§dirilmasi baximdan daha samarali metodik yanaçmadir.
9D9BÍYYAT
1. ölizada Э.Э., ölizada Н.Э., ölizada S.H. Psixopedaqogika. Baki, Ecoprint, 2019, 368 s.
2. öliyev Э.М. Nuruçov A.A. "Riyaziyyat-3" darsliyi. Baki, Tahsil, 1994, 20В s.
3. öliyev Э.М. Nuruçov A.A. "Riyaziyyat-4" darsliyi.Baki, Tahsil,1994.- 22В s.
4. ibrahimov F.N. Natural adadlar üzarinda amallarin manimsadilmasinin alqoritmik asaslari. Baki, Mütarcim, 2014.-17б sah.
5. ibrahimov F.N. Ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin kurikulum modelina asaslanan tadrisi metodikasi(Dars vasaiti).Baki,Mütarcim, 201В. -1174 s.
6. ibrahimov F.N. Ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin tadrisi metodikasindan mühaziralar. (Dars vasaiti). Baki, Mütarcim, 2019, 4В0 s.
7. Qahramanova N., ösgarova C., Qurbanova L. Riyaziyyat-3 (darslik). Baki, Radius, 2018,
152 s.
В. Qahramanova N., ösgarova C. Riyaziyyat-4 (darslik). Baki, Radius, 2018, 168 s.
9. Qahramanova N., ösgarova C. Riyaziyyat-4. Müallim ^ün metodik vasait. Baki, Bizim kitab, 2015, 17б s.
10. Ümumtahsil maktablarinin I-IV siniflari ^ün fann kurikulumlari. Baki, Tahsil, 200В, 4В0
s.
11. Moro M.i., Bantova M.A., Belyutkova Q.V. Müallimlar ^ün vasait. Baki, Maarif, 1976, 20В sah.
12. Pçelko A.S. ibtidai maktabda hesab tadrisinin metodikasi. Baki, 1949, 398 s.
