Ориентированные стохастические цепи. Модели и применение Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21+531.19

ОРИЕНТИРОВАННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЦЕПИ. МОДЕЛИ И ПРИМЕНЕНИЕ

В, А. Луб ко. Е. В. Карачанская, А. В. Карачанский

Введение

Под ориентированной цепью будем понимать последовательное объединение п отрезков-векторов (звеньев^ при условии, что начало последующего звена совпадает с окончанием предыдущего. Точку начала построения последовательности звеньев назовем ведущим элементом. Возможен вариант, когда ведущий элемент не в начале цепи, а в одной из точек соединения звеньев. В этом случае цепь рассматривается как результат склеивания в этой точке двух ориентированных цепей с числом звеньев п± + п = п.

При постоянных случайных воздействиях ориентация каждого звена меняется случайным образом, со своим законом распределения, но относительно направления предыдущего звена. Следовательно, поворот предыдущего звена мгновенно ведет к повороту всех последующих звеньев. Этим рассматриваемые модели отличаются от моделей динамики цепей, построенных на основе независимо ориентирующихся звеньев (см., например, [1]), и относятся к классу моделей цепей с коррелированной структурой. Такие цепи будем назвать ориентированными стохастическими цепями. Длины звеньев могут быть различными, растяжимыми и изменяться со временем. Эти модели могут быть применены для описания каскада турбулентных вихрей, изменения конфигурации полимерных цепей, иерархически организованных систем и расчета их характеристик. В полимерных цепях при наличии

@ 2012 Дубко В. А., Карачанская Е. В., Карачанский А. В.

в одном из узлов молекулы более высокой массы, чем в других узлах, более массивную молекулу можно рассматривать как ведущий элемент.

Цель работы: построить аналитическое представление и численную реализацию динамики характеристик моделей такого класса и продемонстрировать возможность их применения для задач диффузии в неклассической постановке. Моделирование изменения конфигураций связываем с полярной, как и в работе [2], и сферической системами координат. Моделируется динамика изменения размеров цепи, как расстояния от начала до конца цепи [3,4] (динамическая модель изменения размеров полимерного клубка-глобулы). Если первоначально цепь представляла прямую линию, а множество допустимых углов поворота звена было фиксировано, то предложенная модель применима для моделирования реализации случайного блуждания с ограниченной скоростью за п шагов по ребрам пространственной решетки. Рассмотрены две модели движения по решетке с ограничениями»! на допустимые направления перемещения.

Работа состоит из двух разделов. В первом рассматривается модель динамики цепи в М2 и предлагается модель стохастической цепи в М3, во втором приводятся результаты численного моделирования размеров цепи и нетрадиционных моделей диффузии.

1. Динамика пространственной цепи

М

стемы координат (рис. 1). В качестве ведущего элемента будем считать точку О(0>0)- Если нас интересует ведущий элемент, расположенный не в крайней точке, то необходимо перенесение начала системы координат в интересующую точку и дальнейшее рассмотрение двух склеенных в этой точке ориентированных цепей.

Динамику цепи можно характеризовать векторами Ь3-(каждый из которых связан с началом координат и окончанием ^'-го сегмента, ] = 1, п. Тогда динамика ;?-го сегмента определяется выражением

3= £Л*) 3-1 (*)•

ъЮ МО

Рис. 1. Стохастическая цепь на плоскости.

По построению (см. рис. 1), в полярных координатах проекции г) имеют вид

з з

г=1

г=1

где

а г) — угол поворота в-го звена относительно направления (в — 1)-го в момент времени г.

Соответственно динамика ^-го сегмента определяется выражениями

ГзхЛ*) = з^о= Уз (¿) ^ов I ^ )'

\*=! ) (1)

тзЛ*)= Жз*) = Уз (г) N° ^ •

Если п — число элементов цепи, то |Ьп(г)I = Ьп(Ь) называют размером цепи.

Изменение ¡ре(г) в дискретные моменты времени ^ будем модели-

ровать в виде суммы:

к

tk) = ¥>8(0) + ш),

т= 1

где Ду>8 (ш) — случайные приращения в момент г = гт; определя-

ет начальный угол в-го звена цепи относительно направления (в — 1)-го. Тогда

3 3 к з

*к) = +ш,

и, следовательно,

3 / 3 к з \

¿к) = к)|соз I ^Зыо) + 13 13 ш),

т=0 /

3 / 3 к 3 \

Ь],у{Ьк) = к)|шп ^3^(0) +1313ш ,

(2)

г=1 \з=1 т=0 5=1 /

Ц{±к) = = + ьу^), к0 = о.

М

цепью (1) проекции сегментов т^г) уже будем описывать в сферической системе координат выражениями (рис. 2)

Г3,Лг) = \?3 (г) |соз ^ ёя(^ ,

*) = 13*)N° (Е ^ ,

т.Л*) = 13г^ М

Изменения углов ¡ре(г) и ё5(г) в дискретные моменты времени ¿к

М

кк ¿к) = ^(о) + ]Та^(ш), №) = ё8(о)+]Т АёДш,

т=0 т=0

г Л

/ 1

X [ / "Г"""

Рис. 2. Случайная пространственная цепь.

где ш) и Д0з(ш) — случайные приращения в момент времени * = Следовательно,

з з к з

*к) = Е^(0) +ш,

8=1

з

8=1

з

т=0 кз

Е№) = Ем°) + Е Е ш).

Соответственно динамика вектора Ьз(*к) описывается па основе проекций:

з / г к г \

= |Гг(к)+ ш)

48 = 1

кг

5=1

X Б1П

кг

Ем°) + ЕЕ ^

з /г к

= к N° ( Е^(о) + ЕЕ ш)

г=1 Ш=0 5=1

(г кг \

Емо) + ЕЕш ,

з / з кг ^

¿¿.л = Е Е0^) + Е Е ш)

(3)

г

т=0 5=1

ь^) = М*к) 1 = \Щ,М + + ЧгШ, к0 = о.

Модели вида (2) и (3) позволяют проводить моделирование динамики размеров случайных цепей в М2 и М3.

2. Данные численного моделирования

2.1. Моделирование динамики ориентированной стохасти-

М

Для численного моделирования использован язык программирования Python, для графического представления — пакет Gnuplot.

В сферической системе координат главные значения сферических углов изменяются в следующих пределах:

щ е[о,2п), е е[о,п]- (4)

Поскольку угол е может принимать значения из промежутка [0, п], для возможности применения различных видов распределения приращения Де выбираем из промежутка [—п/2, п/2] с условием е(0) = ео Ф 0. Если все рассматриваемые случайные величины-углы могут принимать в соответствии со своим законом распределения все значения из области (4), то при k = 1, 2,3,... будем иметь множество различных реализаций данной цепи.

Данные для моделирования стохастической цепи: щ (0) = п/2, е^О) = п/2, у>8(0) = 0, е8(0) = 0 при s > 1; Ду>8(ш) ~ ДеДш) ~ п/2,п/2); Дщ^ (ш^ и Де^(ш2) — независимые приращения между собой и при различных парах несовпадающих индексов. Начальные условия соответствует тому, что все звенья в момент t = 0 лежат на оси Oy и их направления совпадают с направлением этой оси.

В табл. 1 отражены значения среднего ЬСреД(п) для длины получившейся стохастической цепи, соединяющей ее начальную и конечную точки, по сериям в 1000 испытаний для случаев п = Ю'3, ¡3 = 1,3.

Результаты моделирования согласуются с экспериментальными наблюдениями, показывающими, что цепочка с фиксированным числом звеньев сворачивается [5]. Кроме того, средняя длина получающейся

Таблица 1. Значения Ьсред

Номер серии При п = 10 При п = 100 При п = 1000

1 4.5972 16.1930 163.9779

■2 4.6006 16.5250 164.4915

3 4.5752 16.3424 162.4362

4 4.6479 16.2865 162.8075

о 4.5884 15.9172 166.4379

6 4.5502 16.2632 164.3773

Среднее но сериям 4.5933 16.2546 164.0881

во всех случаях стохастической цепи согласуется с известными теоретическими выводами для других моделей полимерной цепи о том. что ¿сред ~ П/2 [6].

к=П -

-.........

Рис. 3. Реализация случайной Рис. 4. Стохастическая цепь

цени из 10 звеньев. в динамике.

На рис. 3 представлена одна из реализаций случайной цепи при п = 10.

Чтобы говорить о динамике, необходимо изменить области значений. которые могут принимать сферические углы. Например, при переходе к следующей конфигурации они могут принимать значения из промежутков, определяемых следующим образом:

^ € [а, в), где 0 < а < в <2п - 6, 6 > 0, 0 € [0, V, где 0 < V < п.

При этом Д^> е [-£±2, [-§, | ].

Данные для моделирования стохастической цепи в динамике. (0) = п/2, ё^О) = п/2, <^(0) = 0, ёя(0) = 0 при в > 1;

т) ~ ^ 0°, (п/6)2), Д0в(т) ~ Л ^, (п/9)2); Д^ (т^ и Дё82 (ш2) — независимые приращения между собой и при различных парах несовпадающих индексов. При п = 5 для каждого к = 1,2,... , 100000, т. е. для каждого шага динамики, получено ЬСред(к) ПРИ повторении 100 испытаний для каждого шага. Результаты представлены в табл. 2. На рис. 4 представлена динамика (при к = 0,5) случайной цепи, состоящей п

Таблица 2. Значения Ьсред в динамике

к -^сред(^) к -^сред(^)

1 4.3265 20 2.2594

2 4.1140 50 2.1236

3 3.7510 100 2.1105

4 3.6429 500 2.1134

5 3.3294 1000 2.0496

10 2.9521 10000 2.0157

15 2.5988 100000 2.1065

Как видно из табл. 2, средняя длина цепи со временем стабилизируется, подтверждая [5,6].

4-4

Рис. 5. Эталонная цепь равновероятными направлениями.

Рис. 6. Случайная цепь с попарно перпендикулярными звеньями.

3

2.2. Блуждание по пространственной решетке. Рассмотрим три модели случайных блужданий по ребрам пространственных решеток, представляющих собой ребра единичных кубов. В первой (эталонной) алгоритм основан на случайном блуждании без ограничения направления. Во второй и третьей предполагается ограничение на случайный выбор следующего шага: введен запрет обратного движения (для второй) и обязательное изменение направления в каждом узле без возвращения (для третьей). Для эталонной модели с равной вероятностью выбиралось одно из шести возможных направлений, для модели с одним ограничением — с равной вероятностью одно из пяти возможных направлений, для модели с двумя ограничениями — с равной вероятностью одно из четырех. Во всех случаях основой для алгоритма являются процессы вида

т. е. здесь в качестве реализации случайного блуждания рассматривается изменение цепи только на первом шаге при условии, что первоначально она образовывала линию. Построение множества реализаций

ализаций новой последовательности случайных приращений Ду8(1) и

(55)

Цгп) = \1(гп)\ = ^Ь1(гп) + Ь1(гк) + Щгк)

траектории связано с выбором для каждой новой реализации Ь{ЬП) ре-

Д0в(1), в = 1,п, входящих в соответствующие суммы проекций. При численной реализации модели полагалось, что в безразмерных единицах 14(1)1 = 1 для всех I = 17п, Д</?в(1) е {-7г/2,0,7г/2,тг}, Д0в(1) е {—п/2,0,п/2}, т. е. блуждание происходит по кубической решетке с единичным ребром. Для фиксированных значений п = НУ3, /3 = 1,4, было произведено по 10000 испытаний в каждой серии. В табл. 3 представлены значения среднего £рред(п) для квадрата длины получившейся случайной цепи, соединяющей начальную и конечную ее точки.

Таблица 3. Значения ЬсреД(п) и ^еред(п)/п по 6 сериям испытаний

Характеристика цепи Число звеньев

п = 10 п = 100 п = 1000 п = 10000

эталон 9.9841 99.9787 1012.9160 9742.1000

¿4ед {П)/П 0.9984 0.9997 1.0129 0.9742

один ¿4ед (П) 14.4215 149.1510 1499.9932 14876.8081

¿средН/™ 1.4421 1.4915 1.4999 1.4876

два 10.0293 99.7343 998.7193 10156.3371

^оеМ/п 1.0029 0.9973 0.9987 1.0156

п

на рис. 6 — цепь, в которой допустимы только перемещения, перпендикулярные к направлению предыдущего звена, на рис. 7 — случайная цепь, в которой введен запрет обратного движения по направлению предыдущего звена.

Случайное блуждание (5) (диффузия) по решетке можно ассоциировать с броуновским движением. В нашем случае роль (Дж(£п))2 играет £2ред(£п), а п соответствует безразмерному значению времени наблюдения через одинаковые интервалы. Если полагать, что перемещение вдоль ребер происходит с единичной скоростью, то это соответствует модели случайного блуждания с конечной скоростью. Как видно из результатов, представленных в табл. 3, для рассматриваемых видов броуновского движения (эталонная цепь) выполняется закон Эйнштейна [7, с. 116]: (Дж(£))2 = 2Б£, где Б — коэффициент диффузии. Для броуновского движения без ограничения значение Б™дОН = 0.4981;

4

4

3

3

2

2

-3

-4,

-1

-2

О

4

4

Рис. 7. Пример двух реализаций случайной цепи с запретом обратного движения по направлению предыдущего звена.

случае, когда введен запрет на обратное движения — —ред'1 = 0-7401; случае, когда разрешено только перпендикулярное перемещение по отношению к предыдущему — —сред 2 = 0-5052.

Таким образом, одно ограничение на направление движения (назад) приводит к новому специфическому виду броуновского движения, для которого коэффициент диффузии отличается от коэффициента модели классической диффузии почти в два раза, учитывая, что только одно из направлений движения запрещено в каждый момент времени. Как было сказано, для эталонной модели с равной вероятностью выбиралось одно из шести возможных направлений, для модели с одним ограничением — с равной вероятностью одно из пяти возможных направлений, для модели с двумя ограничениями — с равной вероятностью одно из четырех.

Подчеркнем, что выбор такой эталонной модели вызван тем, что традиционно моделирование случайных блужданий по решетке применяют для получения реализаций случайной цепи (см., например, [8]) и блужданий с ограниченной скоростью (см., например, [9]). В нашем же случае наоборот, именно моделирование случайной цепи приводит к задачам, подобным [8,9]. Это дает возможность сопоставлять выводы с известными ранее данными и с новыми результатами по моделиро-

ванию перемещений с ограничениями. В данном рассмотрении результаты численного моделирования не противоречат известным фактам и позволяют сравнивать с некласическими моделями диффузии.

Можно рассмотреть модели с неравновероятными направлениями для каждой из моделей, но это не прибавляет нового в демонстрацию применения ориентированных стохастических цепей.

Заключение

Традиционные модели реализаций конфигураций цепи как реализаций случайного перемещения по решеткам не приспособлены для отображения изменения ее реализаций при условии корреляции между поворотами звеньев во времени и используются лишь для нахождения вероятностных распределений ее размеров. Введенное представление об ориентированной стохастической цепи дало возможность рассматривать и моделировать новый класс для задач цепей с коррелированными звеньями на основе случайных сумм специального вида в сферической системе координат. Эти модели позволяют моделировать как динамику полимерной цепи, так и блуждание по решетке, в том числе и с ограниченной скоростью, и полученные результаты численного моделирования не противоречат известным выводам. Возможности применения моделей ориентированных стохастических цепей не исчерпываются моделями блужданий. Применение формул (2) и (3) в общем виде охватывает модели траекторий частицы, переносимой каскадом вихрей, дает возможность рассматривать классы задач о случайном блуждании в более широкой трактовке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ferrari F. Paturej X, Vilgis T. A. Dynamics of a three-dimensional inextensible chain // Acta Phys. Polonica B. 2009. V. 40, N 5. P. 1369-1382.

2. Дубко В. А., Карачанская E. В. Классификация и моделирования случайных гармонических процессов на основе SHCS-рядов // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 36-54.

3. Дубко В. А., Чалых Е. В. Динамика цепи конечных размеров с бесконечным числом звеньев в М2 (Препринт) / Ин-т прикл. математики ДВО РАН. Владивосток; Хабаровск: Дальнаука, 1998. 18 с.

4. Karacbanskaya (Cbalvkb) Е. Dynamics of random chains of finite size with an infinite number of elements in R2 // Theory Stoch. Proc. 2010. V. 16, N 2. P. 58-68.

5. Волькенштейн M. В. Конфигурационная статистика полимерных цепей. — М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1959.

6. Дой М., Эдварде С. Динамическая теория полимеров. М.: Мир, 1998.

7. Einstein А. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen // Ann. Physik. 1905. Bd 322, Heft 8. S. 549-560. (Пер. па рус.: Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты // Броуновское движение / Эйнштейн А., Смолуховский М.: Пер. с нем., фр., с доп. статьями Ю. А. Круткова и Б. П. Давыдова. М.; Л.: ОНТП. 1936.

8. Де Жен П. Идеи скейлинга в физике полимеров. М.: Мир, 1982.

9. Koiesnik A. D., Turbin A. F. The equation of symmetric Markovian random evolution in a plane // Stoch. proc. appl. 1998. V. 75. P. 67-87.

г. Киев, г. Хабаровск

1 декабря 2011 г.