Классификация и моделирование случайных гармонических процессов на основе SHCS-рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21+62-97+330.4+531.19+537.86

КЛАССИФИКАЦИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

СЛУЧАЙНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ БНСБ-РЯДОВ

В, А. Луб ко. Е, В, Карачанская

Введение

В ряде работ нами предложены и исследованы модели, приводящие к случайным тригонометрическим рядам [1,2]. Они возникли в связи с изучением вращательной диффузии, динамики полимерной цепи, моделировании иерархически организованных систем [3]. Изучение таких сумм сильно коррелированных случайных величин, связанных тригонометрическими соотношениями, привело к желанию установить связь с ранее известными тригонометрическими случайными рядами. Это и стало целью данной работы.Более подробный анализ и доказательства приведены в [4].

Появление математической модели в виде функционального ряда того или иного вида связано с удачной аппроксимацией какого-то реального явления. Так, тригонометрические ряды со случайными независимыми амплитудами встречаются в теории стационарных процессов. Ряды с иерархией подходят для задач диффузии с постоянной скоростью, ряды с переменной фазой — для моделирования турбулентной диффузии, модель «флюгера» может быть связана, например, с изучением вращательной диффузии моментов молекул, с вращением вала при наличии неконтролируемых сильных воздействий.

Далее, каждый процесс, описываемый случайным функциональным рядом, исследуется дополнительно по мере нахождения его применения.

© 2011 Дубко В. А., Карачанская Е. В.

1. Примеры математических моделей реальных процессов

Приведем примеры моделей реальных процессов, который строятся на основе гармонических функций.

«Флюгер». Положение крайней точки флюгера (в М2) с учетом случайных пульсаций ветра можно описать с помощью следующего процесса [1]:

где A^fc, например, случайные нормально распределенные величины, МДу>й = О, М(Ay>k)2 = ст2 для всех k, n(t) — число скачков, подчиненных закону Пуассона с параметром ßt: М [n(t)] = ßt, R — радиус окружности, описываемой крайней точкой флюгера.

Фазовая и амплитудная модуляция. Фрактальные свойства излучения лазеров. Магнитные шумы. Радиолокационные сигналы s(t) обычно представляются уравнениями вида [5, с. 72,73; 6, с. 9]: s(t) = g(t) cos[2n/c-t+^(t)], где g(t) — огибающая сигнала (амплитуда); p(t) — модулирующая фаза; /с — частота несу щей; t — время.

gt

ной модуляции, если неизвестна фаза t), то речь идет о фазовой модуляции [7, с. 50-55]. Можно рассматривать и амплитудно-фазовую модуляцию. В предположении, что для получателя сигнал не несет информации или в предположении о случайном возмущении функций g(t) и <^(t), сигнал s(t) можно рассматривать как случайный процесс.

Выходной сигнал реального лазера в общем случае, как показано в [8, с. 141], можно описать следующим выражением:

U(t) = (Ua + AU(t)) ■ sin(2nvot + ф(t)),

где Ди(£) — случайные изменения (флуктуации) амплитуды отно-

сительно и о", ф(¿) — фазовая модуляция, обусловленная случайными флуктуациями.

Модель флуктуирующей гармоники магнитных шумов, например, [9, с. 104], имеет представление иГШо(1) = а(Ь) со§[тМоЬ — ф(£)], где ф(¿) — случайная фаза. Заметим, что из данной книги нас интересуют только результаты экспериментов.

Модель стохастической динамики цепи. Стохастическую динамику в жидкой среде цепи конечных размеров с ограниченным числом звеньев, каждый элемент которых подвержен случайным воздействиям, можно описать с помощью уравнений [2]:

где а(13), — случайные процессы, а(7) > 0, Д^Д— угол по-

ворота в-го звена относительно предыдущего, Д^ (£) — угол поворота первого звена цепи относительно положительного направления оси Ох, N — общее число звеньев,

о

вается взаимозависимость приращений углов

Модель случайной цепи. Классическая случайная цепь, приведенная в [10, с. 246], описывается уравнением

где Хп и Уп — координаты конечной точки цепи, а — постоянный угол поворота, выбор знака которого с вероятностью 1/2 осуществляется с

N

(1)

У

Уп

X

X

X

1

2

п

Рис. 1.

помощью ^-последовательности Радемахера [11, с. 15]. Процессы (1) представляют собой суммы сильно коррелированных случайных величин.

Стационарные случайные процессы. Каноническое представление стационарной в широком смысле центрированной случайной функции имеет вид [12, с. 330]:

где и^ Ук (к = 1,2,...) — центрированные взаимно некоррелированные случайные величины, причем величины и к и У к с одинаковыми номерами имеют одну и ту же дисперсию Если число слагае-

мых конечно, можно говорить о спектральном разложении стационарной случайной функции с дискретным спектром. Автокорреляционная функция такого процесса имеет вид

Аддитивная смесь узкополосных случайных процессов. В

радиосвязи и радионавигации часто используют процессы вида

п

которые можно интерпретировать как аддитивную смесь узкополосных случайных процессов [13]. Перечисленные модели можно представить в общем виде, используя следующее, обобщенное представление:

2Л*) = £ А * -С08 [¥>о + £ ДЫ*)) ,

¿=1 V к=1

те / 3

з=1 V к=1

Ряды (2) являются комбинированными стохастическими: и А3 (*), Вз (*), ^о и приращения фазы Д^ * могут быть случайными и, в общем, взаимно зависимыми. Ряды (2) при указанных свойствах представляют собой сумму сильно зависимых слагаемых. Они отличаются от классических гармонических случайных рядов [11].

Определение 1 Тригонометрические ряды вида (2) будем называть стохастическими иерархически-коррелированными сериями

(ЗНСБ).

Введение в название рядов (2) термина «иерархически-коррелированные» обусловлено добавлением для каждого следующего уровня (слагаемого) приращений по фазе.

На примере приведенных выше моделей покажем, каким образом данное представление может быть согласовано с представлением для случайных гармонических рядов и опишем некоторые свойства этих рядов. Таким образом установим, что модельное представление (2) можно рассматривать как обобщение всех отмеченных случаев.

Отметим, что при определенных условиях эти ряды являются стационарными, стационарными в широком смысле.

2. Сопоставление ЗНСБ-моделей с моделями, построенными на основе гармонических рядов и функций

А. Модель «флюгера». (Обобщение модели «флюгера», Д-процессы). Пусть в (2) амплитуды Аз * и Вз * определяются

условиями

Mt) = (H(n(t) -j) -H(j+ 1 -n(t))) -Ai{t), Bj(t) = (H(n(t) - j) ■ H(j + 1 - n(t))) ■ Щь), где H(x) — единичная функция Хевисайда. Тогда процесс

n(t)

Zx(t) = А

n(t) ' COS I po + t) I , (3c

k=l

n(t)

_ / n{ ' \

Zy(t) = в n(t) 'Sin I po + t) I .

k=l J

(36)

можно рассматривать как обобщение модели «флюгера». В этом можно убедиться, положив

Ап(ь) = Вф), Арк(г) = (шк - + Арк(г). Тогда уравнения (3) примут вид

п{г)

Zx(t) = An(t) • cos pa + w„(¡)í •

nt

■Y.^pk 11

fc=i

_ n(t)

Zy(t) = A n(t) 'Sill I po + Un(t) t

k=i

(4)

Если положить Apk(t) = pk(t) — Pk-i (t), то приходим к представлению Zx(t) = An(t) • cos (pa + ujn(t)t + Pn(t) (t)) , (5a)

Zy(t) = An(t) ■ sin (po + ujn(t)t + pn(t) (t)) . (56)

Модели для случая (5a), когда Ak(t) = Ак, pn(t){t) = <fk, ^k — независимые между собой и для различных к случайные величины при

po pk

ле [0, 2п) случайные величины, исследовались в [14] и были названы авторами Д-гармоническими случайными процессами.

Модель вида (4) для случая Ak(t) = Bk(t) = const, u)k = ш для любого к и независимых нормально распределенных приращениях Apk(t) = Avk исследована в [1] как пример вращательной диффузии в М2. Удобно в этом случае представить проекции вектора направления в виде

X(t) = Zx{t) = \J| cos{p{t)+ut), Y(t) = Zy{t) = \J\sin(v(t)+ut), t0 = 0, И = \ol\ = yjz*(t) + Z*(t) = const,

и где

Mt)

p( t) = Vo + Y Apk, k=0

ш — неслучайная собственная частота.

Сформулируем одну обобщающую теорему по результатам работы [1].

Теорема 1. Пусть случайный процесс имеет представление

n(t)

v(t) = cos(p( t) + ut), p( t) = Vo + £ A Vk, (6)

k

где Д Vk — независимые нормально распределенные случайные величины с MAvk = 0 и М(Avk)2 = n{t) — число скачков, подчиненных закону Пуассона с параметром fit: M[n(t)] = fit Vo не зависит от p(t) и имеет плотность распределения p{vo)- Тогда характеристическая функция процесса p(t) имеет вид

ММЫ = ч { - ^ + }) f} ■ «р

а начальный момент порядка m для случайной величины v(t) h (m, t) = M[(cos(p(t) + ut))m]

— представление

oo

m

1 f

J J-_Г,

k

x exp{( fi + fie ^ )t}p(tpQ)dtpQ.

Если число скачков неограниченно возрастает, Д<к(г) ^ 0, то при выполнении ряда условий воспользуемся диффузионной аппроксимацией (см., например, [15, с. 167-186]), и вместо процесса <р(Ь) = п(г)

<0 + ^ будем использовать следующее представление:

к=0

ъ

= J а(т)3ш(т).

В этом случае

х{ь) = д(г) сс®(<(г)), У{ь) = Д(г) вт(<(г)), з,<{-ь) = а{ь) Зы{ь).

Полагая, что К(г) — непрерывно дифференцируемая функция, построим уравнения для проекций Х(г) и У {г)'-

= (^ШсозШ) - \п{1)о2{1) соаШ)) &

- Е(г)а(г)$т(<(г)) ¿<ю(г),

или

= ( 2К2(1) " Г2(*} 1 Хт ~ ат(г)

1 дЕ2{Ь) 1 --—

2П2{г) т 2

Если изменения Я2 (г) выбрать как решения уравнения

1 дЕ2Н) 1 9. .

"о = (7)

2Д2(г) дг

при условиях a(t) = a(t) > 0 и a(t) ограничены для любых t, то

приходим к уравнениям

dX(t) = -a(t)X(t) dt - ^rrY(t) dw(t), R(t)

dY(t) = —a(t)Y(t) dt + ^-X(t) dw(t) R{t)

и представлению для R2(t):

R (t) = J exp | - 2a(r) dr | ст2 (t) dr + exp | - J 2^^ dr | R2 (0).

Воспользовавшись уравнениями для X(t) и Y(t), находим

dR2(t) = d{x2{t) + y2{t)) = 2X(t) dX(t) + 2Y(t) dY(t)+ o2{t) dt =

= [a2(t) - 2a(t)R2(t)} dt - 2 [X(t)Y(t) - X(t)Y(t)} dw(t)

Rt

= {a2{t) - 2a(t)R2(t)]dt.

Rt

a(t) = a, &(t) = 0", то

= s+ (*<■»-£)■

Следовательно, круг радиуса Д(0) = является притягивающим многообразием для моделируемого стохастического процесса. В общем случае процесс будет осуществляться в некоторой полосе. Rt

1 dR2(t) 1

- (t) = о,

2Д2(г) дt

то динамика конечной точки флюгера будет определяться системой стохастических дифференциальных уравнений

Если ст^), например, случайный скачкообразный процесс, то двумерный процесс } будет переходить с одной кривой на другую, сохраняя тенденцию на промежутке между скачками, не стремясь к точке покоя 0.

В. Амплитудная и фазовая модуляция. Магнитные шумы.

Возвращаясь к (За) и полагая

Афкф = 2пЦк - ¡—) ■ ^ф^$ — ф— $) = 2пДД ■ ^ Афк(

приходим к одной из возможных моделей фазовой модуляции

Для магнитных шумов модель п-й гармоники можно представить из уравнения (8), полагая /„ = — Таким образом, приходим к модели вида

С. Модель стохастической динамики цепи. Динамическая модель случайных блужданий с постоянной скоростью. Рассмотрим модель (2) при условии Лу(^ = Бу(^ = Н(п — ])Лу, Дф^(Ь) = Дфй, ф0 = 0, где Л у — неслучайные вели чипы, фк( — независимые случайные величины. Получим представление

которое может служить, например, моделью проекций длины классической цепи (Феллер) или диффузии с постоянной скоростью в М2.

Действительно, если в модели (2) положить Лу(= Бу(t) = 1, ф0 = 0, Дфй = £и ■ а гДе £к — независимые величины, принимающие с равной вероятностью значения ±1 (последовательность Радемахера),

Лу ¡у = I, фу Ю =

= ■соя (2п1 ■ t + ф(^).

(8)

= 2п1й ■

a = const, a G (О, §■), то приходим к модели длины цепи Ln (расстояние между концами цепи):

n / j \ nfj \

Xn = Y cos ( Y£k ' al , Yn = £sin Y£k • ^ • L2n = xl + Yn •

j=l \k=l / j=l \k=l J

Для этой модели определяли только среднее значение квадрата длины этой цени М[ХП + УП] [10, с. 246]:

, 1 + cosa 1 - cos" a

M[L;] = мК + У„1 = nT—— - 2cosaiT-^.

Если в модели (2) выбрать Aj (t) = Bj (t) = H(n(t) — j ■ v ■ S, где 5 = At = const, n(t) = [|] + 1 (здесь [ж] — целая часть числа х), то получим уравнения случайного блуждания с неслучайной скоростью в R2:

"(t) / j \ Zx(t) = v ■At ■ cos + Y AMt) ,

j=l V *=1 ) ()

"(t) / j \ w Zy( t) = v ■At ■ ^ sin Lo + Y (t)

j=i V k=i J

Замечание. В частном случае модель (9) может описывать движение летающего объекта под действием сильных, например, турбулентных, пульсаций [16, с. 37]. Если принять, что (Xi(t),Y(t)) — координаты первого самолета и соответственно (X2(t),y(t)) — координаты второго самолета, то можно рассмотреть вероятностную модель достижения ими критической области — области столкновения на основе представления.

Lt„„Jt) = Z? + Z < const,

крих \ / ± ^ ^ ? МП'!

Zi(t) = \xt — X2(t)\, Z2(t) = Yt — y2(t)\,

где LKplIT(t) — расстояние между самолетами.

Подобные модели позволяют исключать «парадокс ненулевой вероятности столкновения» самолетов для любого исходного расстояния между ними в любой момент времени t > 0. Такой вычислительный

парадокс появляется при использовании моделей достижения критической области (КО) процессами диффузионного типа. Он объясняется тем, что на уровне стохастических уравнений возмущения входят в форме производных от винеровского процесса («белый шум»). Отметим, что модель вида (10) — пример возможного практического применения суперпозиции независимых ЗНСБ-рядов.

Одно из обобщений модели (2) исследовано в [2], а именно — динамика изменения длины цепи конечных размеров с бесконечным числом звеньев.

Рассмотрим особенности этой модели и сформулируем основные выводы.

Пусть I е [0, Ь] — параметр, • • • — значения параметра, 0 =

h <h < ■ ■ ■ ^ L, Д = L/N, lj = j • Д, a(ls) • Д = -¿О = const — длина

8 = 1

цепи. Рассмотрим модель динамики цепи, описываемую следующей системой уравнений:

где а(13), Ду>8(Ь) — в общем случае случайные процессы, но мы ограничимся случаем, когда а(1) >0 — неслучайная функция. Ду8(Ь) — угол поворота в-го звена относительно предыдущего, А^ (Ь) — угол поворота первого звена цепи относительно положительного направления оси Ох.

Математическую модель, описываемую системой (11), будем называть стохастической динамикой цепи. Для этой модели в [2] построена система стохастических дифференциальных уравнений с начальными данными, решение которой {Х(1; Ь); У(1; Ь)} определяет координаты конечной точки стохастической цепи как функции от параметра I.

N

(П)

Пусть для модели (11) выполнены следующие модельные предположения:

Фо(^) = 0, а(/)>0, / € [О,Ь],

= *) -д^к), гмо,Т,

г

г) = !т)3™к( г),

(12)

где Д(™(/к)), Д(™й(т)) — независимые между собой и для различных к и т опережающие приращения соответствующих винеровских процессов, определенных на произведении независимых вероятностных пространств {П 1,1тI,р} х {П2, Ьпг(и),Р2}, где 1т;, и 1тг(и) — соответствующие потоки ст-адгебр, порождаемых процессами и € М"; функции а(/) € Ср цИ о(/;Ь) € С^ ц ^ — неслучайные функции от /и г, г) — интенсивность поворота.

Теорема 2 [2]. Случайный процесс {Х(/\г)У(/•, г)}, являющийся предельным (Ж ^ ж) для (11) при модельных предположениях (12), есть решение задачи Коши для системы стохастических дифференциальных уравнений Ито для любого г > 0:

г

3,; р(/',Ь) =

д 1 [ 9

о

1/2

д(/; г) 3ш(/),

3; ^ЦЬ) =

д

Ч{1^)—Ыа{1) - -д(1;г) / а2(1;т)3т

!

— J а2(1;т)3т\ р(1',1) Зии(1),

3,1 х/г) = г)3/, 3;У/ г)= р/ г) 3/,

удовлетворяющей граничным условиям

Х(0;¿) = О, У(0; ¿) = О, р(0;г) = а(О), д(0; г) = О.

О. Стационарные случайные процессы. Пусть приращения случайной фазы определяются следующим образом:

= ф3(г) — (г), Фв^) = ■ г + фв,

и амплитуды Л у (г) = Лу, Ву (г) = В у те зависят от г, независимы между собой и для несовпадающих ], нецентрированы и одинаково распределены. В этом случае процесс

г(г) = + = (ипг + фп) + Вп шп Кг + фп)] (13)

п=1

при условии, что фп независимы и равномерно распределены, стационарен (см, например, [17, с. 42]).

Частным случаем ряда (13) можно считать действительный гаус-совский тригонометрический ряд, полагая, что Лп(г) = апХп, Вп(г) = апУп, где X, У,Х1,У,... — нормальная последовательность, ип ■ г + фп = пг [11, с. 223]:

^

%{г) = [Хп сое пг + Уп вт пг]. (14)

п

Ряд (14) является рядом Фурье стационарных гауссовских процессов на окружности [11, с. 225]. Отметим, что фазы членов ряда (14) неслучайны.

Существует множество распределений случайных фаз, для которых процессы вида (13) стационарны в широком смысле.

Определение 2. Будем говорить, что функция /(х), заданная на промежутке [а, Ъ), обладает свойством (Ъ — а)/к-псриодичности (к € М), если она удовлетворяет условию

и ) = ! + если х €[«,«+

Теорема 3. Пусть случайный процесс Z{t) можно представить в виде

ж

Z(г) = 53 Пп сое {^пг + фп) + »път (шпг + фп)], (15)

п

п

где амплитуды г/п, ип — в общем случайные величины, не зависящие от г, независимые между собой и для несовпадающих не зависящие от случайной фазы фв, с конечными моментами второго порядка п

^в !

ОО

53 М[пп]2 < +ж, 53 МК]2 < +

пп

случайные фазы фп € [0,2^) (п = 1, 2,...) независимы и равномерно распределены. Для того чтобы случайный процесс (15) был стационарным в широком смысле, достаточно, чтобы плотность распределения фазы р(ф) обладала свойством % -периодичности:

( р(ф+ §), если ф € [0, Д^), Р{Ф)=\ если ф € 27г), (16)

[ 0, еслнф € [0,2^).

Доказательство. По определению случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если выполнены условия

м^(г)] = сопв^ соу^(г), Z{г + т)] = к(т). (17)

Проверим выполнение (17), принимая во внимание, что если р(ф) = р(ф+ §■), то р(ф + 7т) = р(ф+ §■ + §) = р(ф+ §■) = р(Ф). Воспользуемся свойствами синуса и косинуса: вт(ф + эт) = — вш ф, сов(ф + эт) = —совф, учитывая независимость случайных фаз и случайных амплитуд:

м[^г)] = м

53^п сое (шпг + фп) + (шпг + фп)}

п

ж

= 53мп

п )] + 53МКзт {шпг + фп)\ пп ж ж

= 53 М[пп]М[сов(шпг + фп)} + 53 МК]М[шп(ш„Н фп)}.

пп

Используя разложение косинуса суммы и синуса суммы и тот факт, что плотность распределения вероятностей случайной фазы есть Щ-периодическая функция, получаем следующий результат:

2 п

2 п

M[C0S Фп} = J COS фир{фи) Зфи

О

п

= J COS фир(фи) Зфи + J COS фир(фи) dфи п

п п

= J COS фпр(фп) <1фп + J COs(</>„ + 7Г)р fa + l. 2 j <1фп О о

п п

= У COS фир(фи) dфи - J COS фир(фи) dфи = 0.

о о

Аналогично получим, что M[sin фи] = 0. Следователь но, M[Z(t)] = const = 0.

Проверим выполнение второго условия. С учетом полученного выше и независимости случайных фаз между собой имеем

те

cov[Z(t), Z(t + т)] = ^2м[пи]М[соа(ф и + Ши(t + т)) СОв(фи + МиЩ

и

те

и + + т)) вт(фи + ШиЩ. (18)

и

Учитывая тригонометрические преобразования, приходим к необходимости вычисления M[sm2</>„] и M[cos2</>n]. С учетом ^-периодичности функции р(ф) имеем М[вт2фи] = 0 и М[сов2фи] = 0. Подставляя полученные результаты в (18) и учитывая условия, налагаемые на случайные амплитуды, получаем

тете

соv[Z(i), Z(t + т)] = - £ cos(^r)M[^] + - sin(^r)M[^] = K(r).

ии

Оба условия выполняются, следовательно, процесс стационарен в широком смысле. Теорема доказана.

Вернемся к модели Д-гармонического процесса (5а). Эта модель с жестким требованием равномерного распределения случайной фазы. Как указано в исследовании, одним из свойств этого процесса указывается его стационарность только в широком смысле. Как следует из теоремы 3, требование равномерности распределения фазы является тогда избыточным для стационарности. Д-гармонические процессы — очень узкий класс, являющийся частным случаем представляемого класса процессов. По схеме доказательств свойств И-гармонических процессов видно, что выводы в [14] можно полностью переписать для более широкого класса процессов, исключающих требование равномерности распределения случайной фазы. К ним относятся, например, прежде всего выводы, связанные с эргодичностью процесса относительно математического ожидания и предельные теоремы для сумм таких процессов.

Выводы

Как видим, БНСБ-ряды вида (2) являются обобщенным описанием большого множества различных реальных процессов, нуждающихся в моделировании.

Обычно рассматривают суммы счетного или конечного числа случайных слагаемых, опираясь на независимость (некоррелированность) этих слагаемых. Однако очень часто приходится сталкиваться с процессами вида (2), в которых по объективным условиям последовательности случайных величин, образующих данную сумму, являются коррелированными, в том числе и сильно коррелированными. Специфическое представление случайных величин через приращения позволяет исследовать сильно коррелированные суммы, например, модель «флюгера» (6) в [1] и модель динамики стохастической цепи (11) в [2].

Отметим, что рассматриваемый класс (2) можно применять при построении и исследовании моделей эволюции иерархически организованных систем. В рамках представления о «гармонических изменениях», когда с индексом под номером 1 отождествляется самый верхний

уровень иерархии, каждому п-му уровню (п ^ N ) сопоставляется процесс

п

= 53 А (^сов^сО) + к=1

где

к

р>к( г) = р>о + 53 ^^ + ^к г,

1=1

а приращения индуцируются более высокими, вплоть до п-го,

уровнями [3, с. 132]. Возможно, это поясняет сложность прогнозирования биржевых показателей на основе классического метода выделения тренда и представления оставшейся части как стационарного случайного процесса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубко В. А., Савенко О. А., Чалых Е. В. Характеристические функции и их применение // Благовещенск: ^рдц^ 1996.

2. Дубко В. А., Чалых Е. В. Динамика цепи конечных размеров с бесконечным числом звеньев / Препринт. Владивосток, Хабаровск: Институт прикладной математики ДВО РАН. 1998. 12 с.

3. Дубко В. А., Карачанская (Чалых) Е. В. Моделирование динамики иерархической системы на основе ЭНСЭ процессов // VIII Междунар. науч. конф. «Развитие систем учета, анализа и аудита в Украине: теория, методология, организация», 26 марта 2010 г. Киев: Изд-во Информационно-аналитическое агенство ДП, 2010. Национальная академия статистики, учета и аудита Госкомстата Украины. - 2010. С. 132.

4. Дубко В. А. ЭНСЭ-ряды и их применение для обобщения, классификации и моделирования случайных гармонических процессов: препринт № 154 / В. А. Дубко, Е. В. Карачанская; Вычислительный центр ДВО РАН. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010. 31 с.

5. Кук Ч., Вернфельд. Радиолокационные сигналы. М: Советское радио, 1971.

6. Радиолокационные станции с цифровым синтезированием апертуры антенны / В. Н. Антипов, В. Т. Горяинов, А. Н. Кулин и др.; Под ред. В. Т. Горяинова. М.: Радио и связь, 1988.

7. Сосулин Ю. Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992.

8. Мачехин Ю. П. Оценка результатов измерений нестабильности частоты лазеров на основе фрактальных свойств диффузионных процессов // Системи обробки шформаци, 2008. Вып. 4(71). С. 139-142.

9. Колачевский Н. Н. Магнитные шумы. М: Наука, 1971.

10. Феллер В. Теория вероятностей и ее приложения. м.: Мир, 1967. Т. 1.

11. Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. М: Мир, 1973.

12. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М: Физматгиз., 1960.

13. Антипенский Р. Разработка моделей случайных сигналов // Компоненты и технологии. 2007. № 11. С. 146-151.

14. Турбин А. Ф., Труфанов В. А. Свойства Д-гармонических случайных процессов // Дальневосточный мат. сб. 1997. Вып. 4. С. 34-38.

15. Скороход А. В. Стохастические уравнения для сложных систем. М.: Наука, 1983.

16. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, Физматлит, 1996.

17. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

г. Киев, г. Хабаровск

1 декабря 2010 г.