Организация автоматического выбора значений итерационного параметра при анализе устройств мехатроники Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2009. № 1

УДК 621.396.6

ОРГАНИЗАЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО ВЫБОРА ЗНАЧЕНИЙ ИТЕРАЦИОННОГО ПАРАМЕТРА ПРИ АНАЛИЗЕ УСТРОЙСТВ МЕХАТРОНИКИ

© 2009 г. Н.С. Савёлов, М.С. Ревин

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Предлагается алгоритм автоматического выбора итерационного параметра, предназначенный для математического моделирования устройств мехатроники, обеспечивающий сокращение вычислительных затрат.

Ключевые слова: мехатроника, математическое моделирование, нелинейные цепи, итерационный процесс, сходимость, оптимизация.

The algorithm of an automatic choice of values of the iterative parameter, intended for mathematical modelling devices mechatronics and providing reduction of computing expenses is described.

Keywords: mechatronics, mathematical modeling, nonlinear circuits, iterative process, convergence, optimization.

При синтезе различных мехатронных устройств широко используются магнитные эквивалентные цепи [1]. Основной задачей, многократно решаемой в процессе синтеза, является анализ статического режима некоторой нелинейной магнитной цепи. Этот анализ может выполняться методом Ньютона - Рафсона [2]. При анализе нелинейных электрических цепей широко используется модификация метода Ньютона - Раф-сона, которую часто называют методом Бройдена [3].

Исследования показали, что идея метода Бройдена, модифицированная с учётом особенностей рассматриваемой задачи анализа нелинейной магнитной цепи, может успешно использоваться и при расчёте устройств мехатроники.

Пусть для определённости анализ магнитной цепи выполняется методом узловых напряжений [2, 4]. Формально задача анализа сводится к решению системы нелинейных уравнений

F (U у,м) = 0,

(1)

ßUм= 0,

м >

(3)

Нетрудно показать, что как столбец начальных узловых напряжений, так и все вычисленные в итерационном процессе столбцы им всегда удовлетворяют системе (3). Поэтому для получения решения рассматриваемой задачи достаточно обеспечить выполнение условия (2).

Пусть при решении системы (1) вычислена некоторая итерация ик и по классическому варианту

метода Ньютона - Рафсона (итерационный параметр ак+1 удовлетворяет равенству ак+1 = 1) вычислена

следующая итерация ик+1узма=1.

Для ускорения сходимости предлагается осуществлять автоматический выбор значения итерационного параметра, соответствующего минимальной векторной норме ||ЛФк+1||, где Фк+1 - столбец магнитных

потоков, соответствующий столбцу Пк+1узм, определяемому из выражения

где F - векторная функция векторного переменного; иузм - столбец узловых магнитных напряжений.

Можно заметить, что задача определения столбца решения системы (1) эквивалентна задаче решения систем, соответствующих законам Кирхгофа для магнитной цепи:

ЛФ = 0 , (2)

Т тк + 1 _ uk + а

U уз.м _ U уз.м + а

к+1(U уз.м.а_1 U уз.м) . (4)

Зависимость нормы ||^4Фк+1|| от итерационного

параметра ак+1 даже на отрезке [0,1] может иметь сложный характер. На рисунке а представлен характерный график для начальных итераций.

Как видно из рисунка а, описываемая функция может не являться унимодальной. Поэтому классические методы одномерной оптимизации не всегда применимы.

Но в случае сходимости метода по мере приближения к решению характер функции может упрощаться, и она приобретает свойства унимодальной. На рисун-

где Л - редуцированная матрица инциденций; Ф -столбец магнитных потоков ветвей цепи; В - базовая (основная) матрица контуров; им - столбец магнитных напряжений ветвей цепи.

ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2008. № 4

ке б представлен график для одной из последних итераций (число итераций обычно составляет единицы).

||ЛФк+1|| х10-6 50

45 -■

40

35 -■ 30 25 20 15 10 5 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ам

а

Цф*+1 х10-6

б

Зависимость нормы ЦлФ^11| от итерационного параметра аш в начале (а) и в конце (б) итерационного процесса

Поступила в редакцию

Численные эксперименты показали, что на начальных шагах итерационного процесса хорошие

результаты даёт минимизация нормы ||^4Фк+Ц на

отрезке [0,1, 0,5] изменения итерационного параметра ак+1. Использование значений ак+1, меньших 0,1, может привести к резкому увеличению объёма вычислений (при ак+1 = 0 программа зацикливается), а значения а к+1, большие 0,5, увеличивают вероятность того, что метод не сойдётся. На последних шагах итерационного процесса целесообразно использовать отрезок минимизации [0,1, 1].

Согласно результатам численных экспериментов, описанный способ автоматического выбора итерационного параметра может существенно (в несколько раз) сократить требуемое число итераций.

Предложенный способ выбора значений итерационного параметра может быть применён и для других, кроме метода Ньютона - Рафсона, методов решения систем нелинейных уравнений.

Литература

1. Ревин М.С., Савёлов Н.С. Алгоритмы для математического моделирования устройств мехатроники, обеспечивающие сокращение вычислительных затрат // Мехатро-ника - 2008 : материалы IV Междунар. науч.-практ. коллоквиума, 18 - 20 июня 2008 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008. С. 46 - 47.

2. Л.О. Чуа, Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем. М., 1980.

3. Глориозов Е.Л. и др. Введение в автоматизацию схемотехнического проектирования. М., 1976.

4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.,

1973.

1 октября 2008 г.

5 5 4 4 3 2 2 1 1 0 0

Савёлов Николай Семёнович - канд. техн. наук, доцент кафедры АиТ Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Тел. 5-52-97. E-mail: savelovn@mail.ru

Ревин Михаил Сергеевич - магистрат кафедры АиТ Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). E-mail: misharevin86@mail.ru

Savelov Nikolay Semenovich - Candidate of Technical Scince, assitant professor of departament of automatic and telemechanic of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 5-52-97. E-mail: savelovn@mail.ru

Revin Michail Sergeevich - undergraduate of departament of automatic and telemechanic of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). E-mail: misharevin86@mail.ru