CC BY
12и переводящего объект управления (1)-(10) из начального состояния (2) за минимальное время t = ткои в область Q . .
С(х,тт)еЦ О :|с(лс,ххон): гпах|с(л,ттон) - С*(дс)| <; е3 J, (16)
не допуская в ходе этого процесса нарушения ограничений (15) параметры управления.
В реальных условиях, однако, заданный профиль не всегда можно получить по чисто технологическим условиям. В этом случае ставится задача наилучшего в данных условиях приближения к заданному профилю азота: определить алгоритм изменения во времени управляющего воздействия $>(г), стесненного ограничением (15) и переводящего объект управления (1)-(10) из начального состояния (2) в конечное состояние С( JC,iKim ) с минимально возможным отклонением (12) от заданного распределения С*(х).
Оптимальное управление рассматриваемым процессом относится к задачам оптимизации объектов с распределенными параметрами. Решению подобных задач посвящены основополагающие исследования отечественных учёных А.Г. Бутковского [1,2], ЭЯ. Рапопорта [8], Т.К. Сиразетдинова, Ю.В. Егорова [4]3 К.А. Лурье [7], а также зарубежных - Ж.К. Лионса, П. Вэнга и других. Для решения поставленных задач использован альтернансный метод оптимизации Э.Я. Рапопорта [8]. Полученные результаты демонстрируют его высокую эффективность.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.
2. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977. 320с.
3. Буягач АЛ., Солодки» Г.А., Гчиберман Б.А. Моделирование на ЭВМ кинетики роста нитридов в азотированном слое.// МиТОМ, 1984, Jfcl. С. 30-35.
4. Егоров Ю.В. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами // Математика на службе инженера. Основы теории оптимального управления. М.: Знание, 1973. С, 187-199.
5. Лахтин Ю.М., Коган ЯЛ. Азотирование стали. М.: Машиностроение, 1976. 256 с.]
6. Беигина Т.А., Лившиц М.Ю. Конечно-разностная схема решения задачи типа Стефана с преобразованием координат,// Вестник СамГТУ. Сер. Физико-математические науки, 1998. №6. С. 123-125,
7. Лурье КА. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975, 480 с.
8. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука. 2000. 336 с.
Статья поступила в редакцию 26 января 2007 г.
УДК 621.78.68.3
А.Л. Головской, М.Ю. Деревянов, А.Г. И щук, М.Ю. Лившиц, В.С. Муратов
ОПТИМИЗАЦИЯ ВАКУУМНОЙ ЦЕМЕНТАЦИИ КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ И ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Разработана математическая модель вакуумной цементации в атмосфере ацетилена. Осуществлена оптимизация технологического процесса вакуумной цементации шарошек буровых долот. Представлены результаты сравнения концентрационных профилей углерода поверхностного слоя деталей, подвергшихся обработке в предложенном и традиционном режимах, демонстрирующие эффективность метода.
В современной промышленности для повышения износостойкости металлических деталей используют упрочняющие технологии, приводящие к изменению физико-механических свойств поверхности детали. Наиболее распространенной среди таких технологий является цементация, заключающаяся в насыщении поверхности детали углеродом. В последнее время вместо традиционной газовой цементации в шахтных и проходных печах все чаще применяют вакуумную цементацию, обеспечивающую существенное повышение качества поверхности и производительности оборудования по сравнению с газовой цементацией.
Математическая модель диффузии углерода из атмосферы через поверхность детали в глубину при постоянной температуре, согласно второму закону Фика, может быть принята в форме дифференциального уравнения массопереноса:
»
где С(х,г) - концентрация углерода в детали; D(C) - коэффициент диффузии углерода в сталь [1].
= 0- . Е„ - ..... (4)
л-чоо
Полагая, что коэффициент диффузии незначительно зависит от концентрации, уравнение диффузии можно линеаризовать; .
дС(х,т) _D д2С(х,т)
< от Зх2 :
Граничными условиями, наиболее точно отражающими физику переноса углерода из газовой фазы к поверхности, являются граничные условия III рода []]:
-»-^i =^(г)-Иг) c(x'r)La)- , - (3)
С учетом незначительной толщины x = hWI диффузионного слоя по сравнению с размерами детали и относительно малого времени цементации (= , значительно мёньшего, чем полное время насыщения, можно считать деталь полубескокечным телом с адиабатическими условиями:
дС(х>т)
дх
Здесь ^(г)- коэффициент массопереноса; ^>(г)- углеродный потенциал атмосферы. Начальное распределение концентрации углерода в слое можно принять постоянным:
С(х,0 ) = С0= const. (5)
В ходе диффузионного насыщения нет необходимости и технической возможности обеспечить в конце процесса точную реализацию заданного профиля С* (х), так как в производственных условиях всегда существует ряд неконтролируемых возмущений: вариации начального содержания углерода в стали С0, нестабильность газового состава среды, неравномерность потока атмосферы и т.д. Кроме того, заданный профиль С*(х) может не принадлежать решениям краевой задачи (2) - (5), что свидетельствует о его принципиальной недостижимости. В процессе цементации, естественно, требуется безусловное выполнение ограничений на максимальное значение концентрации углерода в металле, связанное с карбидообразо-ванием и рядом других условий:
C(jc,r)^CmHr,Vr е [0,°с),
а также технические ограничения углеродного потенциала:
0<^(т)<ртаг. (7)
В реальных условиях допустимых диапазонов изменения параметров технологической и эксплуатационной ветвей структурной модели требуемое результирующее состояние процесса цементации трансформируется из заданного распределения концентрации С*(*) в некоторую область Ос - «трубку» допустимых отклонений С* (*)± /?{х), 0< р(х) < С* (л), которая характеризуется Чебышевской мерой [2,3]:
е~ max С* (х)-/?(*) . (8)
Естественно, для получения наибольшей износостойкости величина £ должна быть минимальной. Таким образом, для объекта управления (2) - (5) в условиях ограничений (6) - (7) формулируются следующие задачи.
Задача быстродействия:
J^” - mint
<40 '
я ■ (9)
6'В* -t >0
Задача максимальной точности:
=тт тах —С* (х)\, Л- е(0,®) . (10)
£ Р(г) «[о*.] М V < V )
Поставленные задачи представляют собой задачи оптимального управления с подвижным правым концом траектории в бесконечномерной негладкой области Д=|с(х,т).' ^|с(х,г,)-С'(х)|<допустимых
результирующих состояний для заданной е = е или предельно достижимой е = £$„ точности в области допустимых управлений.
Решение этих задач альтернансным методом оптимизации (АМО) [3], определяет как оптимальное управление и°(г) =<р(т) R*, п ~1,2,...,/. / = 1,2.J в форме кусочно-постоянных функций вре-
мени с i интервалами ^ постоянства на .уровне ограничений (7) (рис. 1)
(К1-)
; Vй (г) = i>l (г) = arg m/и им |с(*,(,) -С* (;с)| для соответствующих
оптимальных задач (9) и (10) соответственно, так и предельно достижимую в каждом /-том подмножестве управлений точность
равномерного приближения результирующего профиля к заданному из условий удовлетворения
эксплутационным требованиям профилю концентраций С* (*).
Процедура АМО предполагает получение неизвестных параметров 4^ > поставленньгх отгималь-ных задач (9), (10) путем решения вспомогательной определяющей системы трансцендентных уравнений:
$
дв\г,()
М0) Н")
дг
= ±е„
= 0
(12)
в относительных единицах - С * (*))/(?„-С0); г=х{Ъ; ет = е!{<ртах ~ С0). Здесь -
точки экстремума функции ; г. =1.^,- граничные точки функции ; ( = 1,2,...,*/ ; 5 = ; при
5 = 1 + 1 при ff = s£]L;
Zif = Z-; U Z
ПРИ * ‘ш1 гк/ “э/
j=l.г,-..,s 1
При этом наименьшая точность £ = достигается на подмножестве одноинтервальных управлений 1 = 1, а наибольшая точность е = £$„ = £„/ % 0 обычно достигается на подмножестве достаточно большого
количества интервалов i = J. Таким образом, решением последовательности задач максимальной точности (9) формируется ряд неравенств
еУ<£І2)< < <s(J)=s f> 0
стт сяип --- стт стт сш/ —u ■
(13)
Очевидно, для решения определяющей системы (12) необходимо получить прямое решение краевой задачи (2)-(5) относительно С (л, г) для управления в форме (см. рис. 1):
(14)
Решение (2)—(5) для случая, когда управление <р{т) представляет собой функцию Хевисайда
?(Г) = 9тах ■ Кт) ’ имеет ВВД
С{х,г) = С0+($>„„-С0)
erfc
(2-^
^ р р1 Ґ —..t+—г
-еп 0 ■erfc
я ^
+/?~7=
(2-VzTr)
,гє[ О,»). (15)
При многоинтервальном управлении (/> 1) (рис. 1) получить решение операционным методом в компактном аналитическом виде не представляется возможным из-за сложного начального распределения углерода (15) для каждого из интервалов управления $ .
Рис. i. Управляющее воздействие <p{j)
В этом случае целесообразно воспользоваться методом функций Грина. Решение линейной неоднородной краевой задачи (2>-<5) с постоянными, /?(г) = /3, =соп&1 и И (С) ~ О - сотг известно [4] и имеет вид
С(х,т)= jfn(^)-G(x^,T)(i4-D-rjg(f)-G(x,0,T~f)df, п =
0 - - 0 ■■■■■■
(16)
где /п(£) = С(£.г)|г=,м - известное распределение в момент переключения Т = г{'} (рис. ]), где ГС = 1,2.1 -
номер интервала переключения; / - количество интервалов в выбранном г -том подмножестве управления; £,т,т} - промежуточные переменные, а функция Грина имеет вид
' U+if
А От А/>т
1 1 J
tiDx
"2 ' f‘ D J
drfh
(17)
(18)
g(T) = -plD<p{r).
Тогда в частном случае, например, для двухинтервального управления (/ = 2), решение прямой краевой задачи (2)—(5) может быть получено по выражению свертки (16), если подставить в него
/(£)=С(£. 4-,;» = с°+ (л,., - С, )\erfc{/[l То^Р7) -
и выражение (17), где принять г = ^ .
При вычислении распределения углерода для двухинтервального управления ((= 2) следует учесть, что для второго интервала 4г^ (рис.!) управляющее воздействие $?(г)|г ^2) =0, и тогда в (18) я(г) = 0 . Свертка (16) для двухинтервального управления в этом случае вырождается:
. c„{xtr)= ■Gix.Z.rX^dt.
о 1 3
Для трехинтервального управления (i = 3 ) решение задачи (2М5) примет вид
« Г
сш (*>г) = (м, т) ■ G (х, и, г)Цч dp - D ■ Jg (f) • G (0, г - f )df ,
(20)
(21)
о " о
где,согласно(18), £{г) = ~^£ ?И11<..
Аналогично, аналитическое решение задачи для четырехинтервального управления (1 = 4) имеет вид
Для практического использования полученных с помощью вспомогательной системы (12) решений оптимальных задач (9), (10) необходимо идентифицировать параметры (коэффициенты диффузии D и мас-сопереноса р) математической модели (2)—(5) по экспериментальным данным. В процедуре идентификации использован метод наименьших квадратов [6], с помощью которого определены значения 0 и D.
Результаты идентификации неизвестных постоянных коэффициентов массопереноса /?(г) = Д = const и диффузии D = const приведены на рис. 2. На этом рисунке для углеродного потенциала <ртах - 4,1 %С, определенного экспериментально с помощью метода фольговых проб [1], приведено сравнение расчетного и экспериментального профилей углерода для стали 14ХНЗМА.
—•—Экспериментальный профиль —о— Расчетный профиль
Р и с. 2. Сравнение экспериментального и расчетного профилей концентрации углерода
при
А = д =1.95-10-’Ус, £> = 6.44-!0"11 , 9твг =4.1 НС
Из рис. 2 видно, что рассогласование между экспериментальным и расчетным профилем составляет около 40%, что недопустимо.
Причина неудовлетворительной идентификации объясняется отличием физической картины вакуумной цементации в атмосфере ацетилена от типовой газовой цементации в смеси эндогаза и природного газа, связанным с механизмом массопереноса углерода из атмосферы на поверхность деталей. При газовой цементации характер процесса массопереноса углерода на поверхности детали не изменяется в зависимости от его стадии. Меняется лишь интенсивность потока углерода. При вакуумной цементации механизм массопереноса на стадии насыщения 71 = 1,3,5,... и стадии диффузии п = 2.4,6. .. существенно различается
[5].
На стадии насыщения происходит взаимодействие молекул ацетилена с поверхностью стали:
Ре Ре Ре Ре
Г т т т
(газ) CjH-ifoiic) '
-+СН+СН-
-+С+ С + Н + Н^Н,
(23)
На стадии диффузии при вакуумной цементации отсутствует науглероживающая атмосфера, и углерод сублимирует с поверхности детали в вакуум. Механизм отвода углерода от поверхности в атмосферу при вакуумной и газовой цементациях существенно различается. Поэтому при идентификации технологических режимов вакуумной цементации следует использовать не одинаковые, как принято в газовой цементации, а различные значения коэффициентов для четных р(т ) = 02\п-г4й и нечетных р(т) = 35 интервалов
управления и° | (14) вследствие различных условий массообмена на поверхности на этапах насыщения и диффузии:
' Рите(1^Щ,прип~ЪЛА,... "
02,т ,$1},при п = \,3,5,...
Идентификация по методу наименьших квадратов в условиях (24) с различными коэффициентами массопереноса для стали 14ХНЗМ А обеспечивает точность не хуже 5% по оценке (8) (рис. 3).
Для реальной промышленной технологии вакуумной цементации шарошек буровых долот решены поставленные оптимальные задачи (9), (10) для модели (2)-(5) в условиях переменного коэффициента массопереноса р согласно (24). На рис. 4 приведены оптимальные по точности траектории для одно- (* = 1 )-1, двух- (I = 2 )-Ы, трех- ((= 3 )-П1 и четырехинтервального () - 4 )-1У управления.
156
£(*■) =
(24)
глубина, нм
"■ Экспериментальный профиль —О—Расчетный профиль
' Р я с. 3. Сравнение экспериментального и расчетного профилей распределения углерода при различных коэффициентах массопереноса ( $ =2.22-10-7 = 6.94 • 1 (Г5 , £> = 6.19 - ] О11 , <Рта1 - 4.1 %С )
Р и с. 4. Оптимальные траектории процесса вакуумной цементации
Оптимальное управление процессом вакуумной цементации
Интервалы управления Продолжительность интервалов оптимального управления 4^ > сек Предельная точность^ >%с Минимальное время процесса ^)=24').сек Л=]
Одноинтервальное (/ = 1) 4 = П1 42, =0.547 4° = 111
Двухинтервальное (1 = 2) 42 = 2734,4г= 2234 42 =0.104 42) =4968
Трехиятервальное (/ = 3 ) 43 =29!0>43 =2381,43 =11,4 ^ =0.088 43) = 5302
Четырехинтервальное (/ = 4) 4* =3333,4? =3524, 44=103,44=183 42=0.0286 . =7143
В таблице приведены характеристики оптимального по точности управления процессом вакуумной цементации шарошек буровых долот диаметром 4 = 215.9лш в печи марки УЦТ - (ЬСР). По сравнению с известной технологией предложенный оптимальный алгоритм обеспечивает 13% повышения производительности установки при увеличении точности управления на 5.8%.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
}. Лситин Ю.М., Арзамасое Б.Н. Химико-термическая обработка металлов. М.: Металлургия, 1985. 216 с.
2. Лившиц М.Ю, Критерии оптимизации процессов технологической теплофизики // Проблемы управления и моделирования в
сложных системах: Тр. междунар, конф. Самара: Самарский научный центр РАН. 1999. С. 212-217. .
3. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000.
4. Дияигенстй КВ.. Темников А.В., Девяткин А.Б., Слессренко А.П. Современные методы математического моделирования теплопроводности в теплоэнергетике и машиностроении // Самара: СамГТУ, 1995. С. 45-54.
5. Рыжов Н.М., Смирнов А.К, Фахрутдинов Р.С., Муяякаев Л.М., Гоомов В.И. Особенности вакуумной цементации теплостойкой стали в ацетилене //МиТОМ. 2004. №6. С. 10-15.
6. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Главная редакция фи-зико-математкческой литературы изя-ва «Наука». 1975.
Статья поступила в редакцию 26 января 2007 г.
УДК 621.785-669.2 Ю.Э. Плешивцева
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫМИ РЕЖИМАМИ НАГРЕВА МЕТАЛЛА В ИНДУКЦИОННЫХ ПЕЧАХ С НЕПРЕРЫВНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЗАГОТОВОК*
Индукционные нагревательные установки непрерывного действия широко применяются в ведущих отраслях промышленности. Основным показателем качества работы проходной индукционной печи в установившемся режиме является точность достижения заданного конечного температурного состояния нагреваемого изделия. В данной работе рассматриваются типовые задачи оптимального управления проходными нагревателями и методика их решения с помощью алътернансного метода параметрической оптимизации. Исследуется решение задачи оптимального управления по напряжениям питания индукторов нагревателя.
Введение
Альтернансный метод параметрической оптимизации [1, 2] может быть распространен на задачи оптимального управления стационарными режимами работы проходных индукционных нагревательных установок (ИНУ) с непрерывной или дискретной выдачей заготовок, которые достаточно широко применяются в различных отраслях промышленности.
Основной особенностью управляющих воздействий в этих задачах применительно к движению потока нагреваемого материала с постоянной скоростью является их неизменность во времени. Такие управляющие воздействия, по существу, представляют собой проектные решения ИНУ, реализуемые на объекте до начала его функционирования и не меняющиеся в процессе его работы. Эти решения зависят от конструктивного исполнения ИНУ, конкретного набора используемых воздействий и характера движения заготовок через индуктор.
В данной работе изучаются типовые задачи оптимизации стационарных процессов непрерывного нагрева. Задача оптимального управления по напряжениям питания индукторов решается применительно к численной нелинейной модели температурных полей.
Описание ИНУ непрерывного действия как объекта управления
Рассмотрим ИНУ непрерывного действия с постоянной скоростью V перемещения заготовок в индукторе длиной у0 . Как правило, V заранее фиксируется требуемой производительностью технологического комплекса «нагрев - обработка давлением».
«Холодные» заготовки поступают в печь с некоторой начальной температурой и нагреваются до требуемой температуры по мере продвижения к выходу нагревателя.
* Работа поддержана грантом РФФИ (проект 06-08-0004! -а)
