Постановка задачи оптимизации процесса газового азотирования Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Энергетика

УДК 519.6 „

Т.А. Бенгина

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ГАЗОВОГО АЗОТИРОВАНИЯ

В качестве объекта управления рассматривается процесс газового азотирования. Задача оптимизации ставится как проблема определения технологических режимов, которые обеспечивают в результате процесса азотирования заданное распределение концентрации азота в слое либо минимизацию продолжительности процесса при определенной структуре слоя.

Важнейшей характеристикой деталей и узлов машин и агрегатов является ресурс их работы. Этот ресурс определяется в основном износостойкостью и выносливостью деталей при различных механических воздействиях. В современных отраслях промышленности для повышения износостойкости деталей используют упрочняющие технологии, приводящие к изменению физико-механических свойств детали. Одним из методов поверхностного упрочнения деталей является газовое азотирование, заключающееся в поверхностном насыщении изделия азотом. В результате этой обработки на поверхности деталей образуется многофазный диффузионный слой. Задачи массопереноса с наличием фазовых переходов и подвижной границей классифицируются как задачи типа Стефана [7]. Возможность получения на поверхности изделия той или иной фазы, а также заданной комбинации фаз, приводит к изменению свойств детали: повышению поверхностной твердости, износостойкости, усталостной выносливости, теплостойкости и коррозионной стойкости [3].

Определение требуемого профиля концентрации азота в диффузионном слое по заданным критериям эксплуатационного качества изделия на основании современной теории металловедения затруднительно. Однако накоплено достаточно эмпирических данных для выработки практических рекомендаций, что позволяет на практике заменить задачу на экстремум механических свойств изделия на задачу минимизации отклонения полученного профиля распределения концентрации азота в слое от требуемого [5,6]. При этом сохраняется исходная цель - увеличение ресурса работы упрочненного путем азотирования изделия. Если технологические условия позволяют задать некоторое допустимое отклонение профилей, то, используя его как ограничение, целесообразно поставить задачу минимизации общего времени технологического цикла и тем самым повысить пропускную способность оборудования. Оптимизация переходных режимов проходных печей для азотирования дает существенный эффект в условиях частой смены партий обрабатываемых деталей, отличающихся заданной толщиной азотированного слоя, маркой слоя или геометрией и в промышленной практике встречается редко.

С эксплуатационной точки зрения под состоянием объекта управления понимается весь комплекс механических, прочностных свойств изделия. Однако при математическом описании процесса азотирования возникает ряд не преодоленных в настоящее время трудностей. Так, на механические свойства азотированной термообработанной стали влияет скорость охлаждения деталей в закалочной ванне, при этом градиенты температуры в процессе охлаждения практически не поддаются измерению в производственных условиях. Сложно учесть расположение деталей в загрузке и их геометрию: отсутствует эффективная методика определения микротвердости стали на глубине азотируемого слоя. Поэтому при формализации процесса используются общепринятые допущения, которые дают возможность применять к технологии азотирования аппарат оптимального управления процессами с распределенными параметрами [2]. Во-первых, предполагается однозначная зависимость механических свойств стали от концентрации азота. Во-вторых, математическая модель процесса обычно рассматривается как одномерная, а деталь моделируется полубеско-нечным телом вследствие малости толщины азотированного слоя по сравнению с габаритами изделия и его кривизной. Таким образом, в дальнейшем под состоянием объекта управления подразумевается распределение концентрации азота по глубине поверхностного слоя материала в произвольный момент времени процесса.

Многофазная диффузия в плоском полубесконечном теле описывается дифференциальным уравнением диффузии, которое в каждой из фаз сс,у' и С, характерных для процесса газового азотирования железа, имеет следующий вид [3,6]:

ЭС( х,т) э

(1)

дт дх1 ^ йх,

где г>0;£м<х<£; Д(С)- коэффициент диффузии азота в /-той фазе, г=1,2,3; С(х,т) - концентрация азота в точке х в момент времени Г, при этом а -фазе присваивается номер 1, ^'-фазе-2, £ - фазе - 3, т.е. г=1 —► г=а, 1=2 —*■ 1=у’, 1—3 —* в.

Для однозначного решения уравнения диффузии необходимо задать краевые (начальные и граничные) условия, которым должно удовлетворять значение концентрации диффундирующего элемента в диффузионном слое.

Начальное распределение концентрации азота Б слое С0(х) и положение ьтой межфазной границы £0 может быть произвольным.

С(*,0) = С0Ос); (2)

' 4,(4*-««■ ®

На границе «насыщающая среда - матрица» наиболее достоверно описывают реальный процесс азотирования граничные условия П1 рода, хотя значительно усложняют решение уравнения диффузии.

дС(х, т)

-д:

=й,СЩг-пи (4)

х=0

' дх

где - коэффициент масеопереноса для /-той фазы; П° - азотный потенциал печной атмосферы, Пдг -

Р/ЧН

равновесный азотный потенциал соответствующей фазы, П ^ » Лда, > ?н2 ~ парциальные давления

%

аммиака и водорода соответственно.

П£ = 5,17-1(Г5ехр(8933/Г)С(*,т); (5)

п/ 4,279 • 10~5 ехр(7045/ Т)(С(х^) - 5,77) -5,9-С(л,х)

6,199 ехр(43 5 8 / Т + 3 ХС(лс, т) - 5,88),

5,9-С(*, т) ’

(6)

ПЕ* =2,33-10~4ехр(7045/Г)И’12 СИШ • С(*’т) 5’94 ; (7)

* * С;*-5,94 11,12-С(ж.т)

П'д, =П'ЛГ(С,7') - определяет поток диффундирующего элемента через поверхность раздела «металл - насыщающая атмосфера».

Выражения для равновесных азотных потенциалов (5), (6), (7) получены для реакций

- для ОС - фазы,

4Ре + №Н3+++~Н2 - для уг-фазы,

3 . . ........

Ре^ + МН3 + - для £ -фазы ' ’

с использованием известных экспериментальных данных [3]. -

При этом допущение о полубескоиечности обрабатываемого тела приводит к условию

дС{х,х)

дх

->0. (8)

х-+<х>

Условия на границах раздела фаз

Закон движения границы, разделяющей две различные фазы, который выражает собой условие баланса вещества при фазовых переходах, имеет вид [3]

дС

<к 'Эх

-О

е+о

. , (Ю)

е-о '

где -С,+; 1 = \,Ы\ N - общее число областей, разделенных фазовыми переходами.

Для стандартной технологии азотирования N=3. ‘

Рассмотренная модель (1)-(10) процесса азотирования позволяет связать его основные технологические параметры (состав газовой атмосферы, давление, температуру) со структурой, фазовым составов и толщиной азотированного слоя, которые определяются распределением концентрации азота по толщине диффузионного слоя. ;

Требуемое конечное состояние С*(х) задается рядом технологических требований, связывающих распределение азота по глубине слоя с эксплуатационными характеристиками изделия. Обычно в результате азотирования требуется получить постоянное заданное содержание азота в поверхностном слое деталей, имеющем толщину 30-50% общей глубины азотирования.

В ходе азотирования нет необходимости добиваться точной реализации заданного профиля концентрации азота по глубине детали, так как в производственных условиях всегда существует ряд неконтролируемых возмущений процесса - вариации начального содержания азота в стали, нестабильность газового состава среды, неравномерность потока атмосферы в загрузке и т.д. Следует учесть также заметную погрешность измерения результатов процесса, т.е. полученного профиля концентрации азота или толщины азотированного слоя. В таких условиях естественной является постановка задачи максимального приближения полученного профиля к заданному с учетом ограничений на управляемость процесса. Мерой приближения

может быть среднеквадратичное отклонение заданного С*(*) и результирующего С(х,хКОН > профилей по

глубине х < Ь азотируемого слоя размером И:

1= |]с(*,тга1(_) - С^оо]* -» гтнп . (11)

о

Критерий оценки (11) очень удобен в вычислительной практике, однако имеет серьезный недостаток. Так, возможны реальные ситуации, когда при удовлетворительно близком расположении кривых

С(х, тдаи.) и С'(х) почти на всем слое И будет наблюдаться значительное расхождение концентрации азота на поверхности х=0. Намного более технологичен критерий минимизации максимального абсолютного расхождения заданного и результирующего профилей на том же интервале (0, К):

I - шах

С(х,^кон )-С*(х) ->шт. (12)

Если же априори задаться величиной допустимого расхождения профилей £, которая определяется технологическими требованиями, то критерий (12) преобразуется в ограничение на качество азотирования:

гпах)-С*(л-) <£, (13)

ъ<х<№ . ^ :

и тогда оптимизируемым параметром становится полное время процесса х'='тга/, . В (12) оценивается производительность оборудования

I = ='

-»гшп (И)

.

при заданном качестве азотирования (12).

Расчет таких технологических режимов, которые приблизили бы в конце процесса азотирования полученный профиль распределения концентрации азота к заданному либо к сокращению времени, процесса

при достижении допустимого отклонения распределения от заданного; доставляет задачу оптимизации. Таким образом, можно сформулировать задачу оптимального управления процессом азотирования: определить алгоритм изменения во времени управляющего воздействия (р(т), стесненного ограничением

фГ.Йф('С) < ф+ (15)

и переводящего объект управления (1)-(10) из начального состояния (2) за минимальное время t = ткои в область Q . .

С(х,тт)еЦ О :|с(лс,ххон): гпах|с(л,ттон) - С*(дс)| <; е3 J, (16)

не допуская в ходе этого процесса нарушения ограничений (15) ^а параметры управления.

В реальных условиях, однако, заданный профиль не всегда можно получить по чисто технологическим условиям. В этом случае ставится задача наилучшего в данных условиях приближения к заданному профилю азота: определить алгоритм изменения во времени управляющего воздействия $>(г), стесненного ограничением (15) и переводящего объект управления (1)-(10) из начального состояния (2) в конечное состояние С( JC,iKim ) с минимально возможным отклонением (12) от заданного распределения С*(х).

Оптимальное управление рассматриваемым процессом относится к задачам оптимизации объектов с распределенными параметрами. Решению подобных задач посвящены основополагающие исследования отечественных учёных А.Г. Бутковского [1,2], ЭЯ. Рапопорта [8], Т.К. Сиразетдинова, Ю.В. Егорова [4]3 К.А. Лурье [7], а также зарубежных - Ж.К. Лионса, П. Вэнга и других. Для решения поставленных задач использован альтернансный метод оптимизации Э.Я. Рапопорта [8]. Полученные результаты демонстрируют его высокую эффективность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

2. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977. 320с.

3. Буягач АЛ., Солодки» Г.А., Гчиберман Б.А. Моделирование на ЭВМ кинетики роста нитридов в азотированном слое.// МиТОМ, 1984, Jfcl. С. 30-35.

4. Егоров Ю.В. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами // Математика на службе инженера. Основы теории оптимального управления. М.: Знание, 1973. С, 187-199.

5. Лахтин Ю.М., Коган ЯЛ. Азотирование стали. М.: Машиностроение, 1976. 256 с.]

6. Беигина Т.А., Лившиц М.Ю. Конечно-разностная схема решения задачи типа Стефана с преобразованием координат,// Вестник СамГТУ. Сер. Физико-математические науки, 1998. №6. С. 123-125,

7. Лурье КА. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975, 480 с.

8. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука. 2000. 336 с.

Статья поступила в редакцию 26 января 2007 г.

УДК 621.78.68.3

А.Л. Головской, М.Ю. Деревянов, А.Г. И щук, М.Ю. Лившиц, В.С. Муратов

ОПТИМИЗАЦИЯ ВАКУУМНОЙ ЦЕМЕНТАЦИИ КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ И ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Разработана математическая модель вакуумной цементации в атмосфере ацетилена. Осуществлена оптимизация технологического процесса вакуумной цементации шарошек буровых долот. Представлены результаты сравнения концентрационных профилей углерода поверхностного слоя деталей, подвергшихся обработке в предложенном и традиционном режимах, демонстрирующие эффективность метода.

В современной промышленности для повышения износостойкости металлических деталей используют упрочняющие технологии, приводящие к изменению физико-механических свойств поверхности детали. Наиболее распространенной среди таких технологий является цементация, заключающаяся в насыщении поверхности детали углеродом. В последнее время вместо традиционной газовой цементации в шахтных и проходных печах все чаще применяют вакуумную цементацию, обеспечивающую существенное повышение качества поверхности и производительности оборудования по сравнению с газовой цементацией.

Математическая модель диффузии углерода из атмосферы через поверхность детали в глубину при постоянной температуре, согласно второму закону Фика, может быть принята в форме дифференциального уравнения массопереноса:

»

где С(х,г) - концентрация углерода в детали; D(C) - коэффициент диффузии углерода в сталь [1].