CC BY
40
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
1
УДК 681.5.015.24
05.00.00 Технические науки
ОПТИМИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ СУШКИ ЗЕРНА
Берестин Николай Константинович аспирант
Пугачев Василий Иванович к.т.н., доцент
Пиотровский Дмитрий Леонидович д.т.н., профессор, заведующий кафедрой автоматизации производственных процессов ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет» Краснодар, Россия
В статье производится исследование цифровой непрерывной системы и оптимизация цифровой систем управления. Показывается, что эталоном при синтезе цифровой системы должна служить непрерывная система, поэтому, сначала нужно создать желаемую непрерывную систему, а затем пытаться приблизить к ней цифровую систему
Ключевые слова: АНАЛИЗ, ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ, СИНТЕЗ, НЕПРЕРЫВНАЯ СИСТЕМА, СЕРВОМОТОР, ОПТИМИЗАЦИЯ
UDC 681.5.015.24 Technical sciences
OPTIMIZATION OF DIGITAL CONTROL SYSTEM OF THE PROCESS OF GRAIN DRYING
Berestin Nikolay Konstantinovich postgraduate
Pugachev Vasiliy Ivanovich Cand.Tech.Sci., assistant professor.
Piotrovskiy Dmitriy Leonidovich Dr.Sci.Tech., professor
Kuban State Technological University, Krasnodar, Russia
The article is a study of digital continuous system and optimization of digital control systems. It is shown that the standard in the synthesis of digital systems should provide a continuous system, so first we need to create the desired continuous system and then we could try to get the digital system closer to it
Keywords: ANALYSIS, TRANSFER FUNCTION, SYNTHESIS, CONTINUOUS SYSTEM, SERVOMOTOR, OPTIMIZATION
При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части.
Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида:
K ф (p) = i(1 - e -pT),
то с учетом того, что z = e pT , эту функцию можно записать в следующем далее виде:
K ф(p,z) = ^^.
http://ej.kubagro.ru/2015/08/pdf/29.pdf
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
2
Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:
№п.н.ч.(р) = ■pWo(P)(1 - e _PT)'
Так как
L-. IWo(P) 1 P
h(t),
есть переходная функция линейной части системы, то z - передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению:
W z) = --1 • 2{ЛМ>.
Сложность исследования цифровых систем заключается в том, что коэффициенты передаточных функций зависят от периода квантования, метода получения передаточной функции.
Поскольку в непрерывной системе регулируемая величина измеряется непрерывно, управляющее воздействие изменяется непрерывно, то такая система должна быть эталоном для цифровой системы, в которой процессы протекают дискретно и в промежутках между измерениями регулируемая величина и управляющее воздействие остаются постоянными.
Задача синтеза цифровой системы - приблизить максимально свойства цифровой и непрерывной систем. Вместе с тем цифровые устройства позволяют реализовать более сложные законы управления и, возможно, улучшить качество управления по сравнению с непрерывными системами.
Так в [1] рекомендуется использовать ПДД - закон управления, обеспечивающий астатизм системы управления за счет сервомотора, а управляющее устройство легко реализует двойное дифференцирование в цифровой системе.
Проведём оптимизацию ПИД - регулятора без учета сервомотора.
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
3
a = 0.5 у = 0.99
Ж°р) = 15 •
m =
ЛЛЛЛЛ
-ln(1 - у)
2 • p
(- 10)p
3 2
664.7 • p3 + 272.2 • p2 + 30.3 • p + 1,
m = 0.733 1
Wc(p) =
20 • p.
Woc(p) = Wo(p) • Wc(p)
S- 10>p
Woc(p) = .7500e-l-
1664.7 • p3 + 272.2 • p2 + 30.3 • p + 1.) • p
Wob(p) =
1
Wo(p)
Wob(p) = 443.1 • e10/p • p3 + 181.5 • e10p • p2 + 20.20 • e10p • p + .6667 • e10p
tit ч у■ ■, 10.{i-.731)w --.,3 3 10.-(k731)-w 711
Wob(i,w) = 443. ■ e v ' ■ (1 — .731) w + 182. ■ e v ' ■ (1 — .731 +
-,n 10.(i-.731)wr .. 10.(i-.731)w
+ 20.2 e 4 ' ■ (i-.731) ■ w+.667 ■ e 4 '
a = 0.15
ЛЛЛЛ/
Рисунок 1 - график линии требуемой относительной степени затухания у = 0,99
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
4
Оптимальные значения параметров управляющего устройства:
Kp
Ti = ——
Kp = 0.77 0.022 Ti = 35.0 Td = Ti - a Td = 5.25
Проведём расчет переходной функции замкнутой системы с оптимальными значениями параметров ПИД - управляющего устройства:
Wpid(p)
Kp + Td-p +
1
Ti - p
wpMp)
.2857e-1
.77 + 5.25 - p +--------
p
.j, , Wo(p) - Wpid(p)
Wzpid(p) = -------—------tt—
1 + Wo(p) - Wpid(p)
Wzeil(p) =
e( 10 )-p - [3. - (.7700e5 - p + .5250e6 - p2 + 2857.)_
F20 (p) + F21 (p)
где:
4 3 2
F20(p) = .1329e9 - p4 + .5444e8 - p3 + .6060e7 - p2 + .2000e6 - p
F21(p) := .2310e6 - e( 10)-p - p + .1575e7 - e( 10)-p - p2 + 8571. - e( 10)-p
zjM1>w) :=
(.23100e6 - i - w + .15750e7 - i2 - w2 + 8571.) - e( 10)-iw FF1(i, w) + FF2(i, w)
где:
4 4 3 3 2 2
FF1(i,w) = .1329e9 - i4 - w4 + .5444e8 - i3 - w3 + .6060e7 - i2 - w2 + .2000e6 - i - w
FF2(i,w) = .2310e6- e( 10)iw - i - w + .1575e7- e( 10)iw - i2 - w2 + 8571.-e( 10)iw
2
Hzpid(t) = —
p
Re(Wzpid(i,w)) - sin(w -1)
dw
w
0
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
5
Рисунок 2 - график переходной функции замкнутой системы с оптимальными значениями параметров ПИД - управляющего устройства
Найдем параметры ПДД - закона управления, который реализует ПИД - закон совместно с сервомотором.
ЖМр)
.77 + 5.25
Р +
.2857e-1
Р
.77 + 5.25
.2857e-1
Р +---------
Р
.7700 • p + 5.250 • p2 + .2857e-1 Р
2
Wpdd(p) = Kpdd + Tp • p + Tdd • p
Wpid(p) = Wpdd(p) • Wc(p)
2
Wpdd(p) • Wc(p) = .5000e-1 • Kpdd + Tp • p + Tdd • p
Р
2
.7700 • p + 5.250 • p + .2857e-1 Kpdd + Tp • p + Tdd • p
------------------------------- = .5000e-1 • —--------—-------------
2
Р
Р
Kpdd
.2857e-1
.5000e-1
.7700
.5000e-1
5.250
.5000e-1
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
6
WpMp) = 5714 + 15.40 • p + 105.0 • p2
Проведём расчет переходной функции замкнутой системы с оптимальными значениями параметров ПДД - управляющего устройства:
Wzpdd(p) =
Woc(p) • Wpdd(p)
1 + Woc(p) • Wpdd(p)
WZPdd^P)
e( 10>P • [э. • (.7700e5 • p + .5250e6 • p2 + 2857.)_
F23 (p) + F24 (p)
где:
4 3 2
F23(p) = .1329e9 • p4 + .5444e8 • p3 + .6060e7 • p2 + .2000e6 • p
F24(p) = .2310e6 • e( 10>P • p + .1575e7 • e( 1a)‘P • p2 + 8571. • e( 1a)p
.2 2
(_ 10) iw .23100e6 • i • w + .15750e7 • i • w + 8571.
ZPdd(i, w) = e( 10)lw----------------------------------------------
' F25(l, w) + F26(i, w)
где:
.4 4 .3 3 .2 2
F25(l ,w) = .1329e9 • i • w + .5444e8 • i • w + .6060e7 • i • w + .2000e6 • i • w
F26(i,w) = .2310e6 e( 10)iw • i • w + .1575e7 e( 10)iw • i2 • w2 + 8571.^ e( 10)iw
2
Hzpdd(t) = —
p
Re(Wzpdd(i,w)) • sin(w • t)
dw
w
0
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
7
Рисунок 3 - график переходной функции замкнутой системы с оптимальными значениями параметров ПДД - управляющего устройства
Динамический заброс составляет 9 процентов.
Wzp(i, w) =
e(- 10)wi • 147. F1(i, w) + F2(i, w)
4 4 3 3 2 2
F1(i,w) = .6647e7 • w4 • i4 + .2722e7 • w3 • i3 + .3030e6 • w2 • i2
F2(i,w) = .1000e5 • w • i + 147. • e( 10 )wi
Hzp(t)
2
p
/•1
Re(Wzp(i,w)) • sin(w • t)
dw
w
0
Рисунок 4 - сравнительные графики переходных функций замкнутых систем с ПИД, П и ПДД законами управления
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
8
Вывод очевиден, цифровой закон управления следует реализовать для ПДД - регулятора.
В непрерывном регуляторе реализовать вторую производную сложно, но в цифровом устройстве эта процедура легко реализуема.
Для проведения расчётов цифровой системы необходимо знать период квантования, обеспечивающий измерение непрерывной величины дискретным способом без потери информации. Для этого найдем частоту среза замкнутой системы с ПДД - регулятором.
F(w) = \j Re(Wzpdd(i, w))2 + Im(Wzpdd(i, w))2
Рисунок 5 - график амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы с ПДД - регулятором
Расчетный период квантования по теореме В. А. Котельникова:
Topdd = ------
Wcpdd = 0.61
Wcpdd To = 5.15 Найдем дискретную передаточную функцию ПДД - регулятора.
Примем Т = 5 с.
Wpdd(p) ® .5714 + 15.40 • p + 105.0 • p2
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
9
= 4.200- s(n + 2.) - 5.320- s(n+ 1.) + 1.691 ■ s(n) 1.691 )•
u(z)
/ 2 \ Wpdd(z)
V.4.200 • z - 5.320 • z + 1.691 J • e (z) = u (z) e(z)
2
Wpdd(z) = 4.200 • z2 - 5.320 • z + 1.691.
Найдем дискретную передаточную функцию объекта управлении совместно с сервомотором.
Ho(t) = 1.500 - .2962 • e(- .2527>t + 5.437 • e(- 9244e-1>t - 6.641 • e(- 6442e-1>1.
Ho(n,To) = 1.500- .2962- e( 2527)nTo + 5.437^ e( 9244e->nTo- 6.641 e( 6442e-1)nTc
ЛЛЛЛЛЛл4 7 Z
( -1\
To = 5
лл/ww .
Ho!z>To) = Ho(z>To) -(1 - z 1),
Ho(z) =
/WWW z
2
29310e-1 • z2 + .70098e-1 • z + .10456e-1
3 2
z3 - 1.6372 • z2 + .83931 • z - .12902
lim Ho(z) float,3 ® 1.50
z ® 1
С учётом звена чистого запаздывания W t(z)=z-2
■3
Woc(z) = Ho(z) •
/WWWWW z \ /
To • z
Tc = 20
ЛЛЛ/VW ,
Tc •( 1 - z 1)
2
Woc(z) =
ЛЛЛЛЛЛЛЛ/W z
.7327500e-2 • z + .1752450e-1 • z + .2614000e-2
.. ...z) = ------------------------------------------------------------
Л/WWWWv- Z x- r a о r\
z6 - 2.637200 • z5 + 2.476510 • z4 - .9683300 • z3 + .1290200 • z2.
Проведём расчет переходной функции цифровой замкнутой системы с ПДД - цифровым регулятором.
Woc(z) • Wpdd(z)
Wzpddfz)
ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ z
1 + Woc(z) • Wpdd(z)
Wzpdd(z)
ЛЛ/WWWWVW- z
4 3 2
.30776e-1 • z4 + .34621e-1 • z3 - .69861e-1 • z2 + .15727e-1 • z + .44203e-2
F27(z) + F28(z)
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
10
где:
F27(z) = z6 - 2.6372 • z5 + 2.5073 • z4 - .93371 • z3,
2
F28(z) = .59159e-1 • z2 + .15727e-1 • z + .44203e-2.
lim Wzpdd(z) float, 3 — 1.00
z — 1
Проверим на устойчивость цифровую систему по критерию Джури.[2]. Характеристическое уравнение замкнутой цифровой системы:
Х(р) = z - 2.6372-z + 2.5073-z4-.93371-z3 + ,5£>15£>е-1-z + ,15727е-1- z+ .44203е-2 = 0.
(.44203e-2 ^
.15727e-1 .59159e-1 -.93371 2.5073 -2.6372 V 1. J A = for i e 0.. n ai — bn-i
n = length(b) - 1 a
b = X(p)
simplify coeffs, z® float, 5
A float, 6 ——
( 1. ^ -2.6372 2.5073 -.93371 .59159e-1 .15727e-1 V .44203e-2 J
( 1 ^ z 2
V =
z
6
Vz J
T
B(z) = V • b
lim B(z) = .1570e-1
z — 1
z
3
z
4
z
5
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
11
Q
a -— A
for j e 0.. n - 2 last — n - j for k e 0.. last
bk — alast-k op — b
qj —
alast
a0
for i e 0.. (last - 1)
ci — ai- bi • qj
a — c
Q — q
( - 3 ^ ( - 3 ^
4.42 x 10 3 4.42 x 10 3
0.027 0.027
Koef = 0.12 /Kpdd 0.12
-0.691 -0.691
Koef = Q v 0.947 , v 0.948 ,
Поскольку выполняются все условия устойчивости, т.е. замкнутая цифровая система устойчива, то можно попытаться построить переходную функцию замкнутой цифровой системы с использованием Mathcad..
z
Hzpdd(z)
Wzpdd(z) •----
z - 1
Hzpdd(n) = (-.8320) ■ eC 1572>‘n. sin(.2479 ■ n) +
+ .482 l-eC-J92^"co<.5005e- 17 -n) + 1.000-e^-'1210^11-cos(.4441e- 34 -n -1.169- eC_1572)rL- cos(.2479 ■ n) - ,2237e - 1 ■ e(-2 00Q)n. sin(2.252 ■ n)-
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
12
9б49е-1е( 2Ш)^- cos(2.252-n) - .2164-е( "514^'n cos(.67S5e- 17- п)
Рисунок 6 - график переходной функции замкнутой цифровой системы
Рисунок 7 - Г рафик переходной функции замкнутой непрерывной системы
Сравнение графиков переходных функций показывает, что динамический заброс в цифровой системе 19 процентов, а в непрерывной 9. Это естественно, поскольку цифровая система реагирует дискретно.
Иногда Mathcad не дает результата при сложных передаточных функциях. В этом случае рекомендуется использование программы, составленной В. И. Пугачевым [2].
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
13
ЖшМ2) =
4 3 2
.30776e-1 • z4 + .34621e-1 • z3 - .69861e-1 • z2 + .15727e-1 • z + .44203e-2
F27 (z) + F28(z)
4 3 2
Sch(z) = .30776e-1 • z4 + .34621e-1 z3 - .69861e-1- z2 + .15727e-1 z + .44203e-2. Szn(z) = i 2-z + 2.5073- z4-.P3371-s3 + ,59159e-lz2 + ,15727e-l Z4 44203e-2
ch = Sch(z)
Wf(z) =
Sch(z)
Szn(z)
simplify coeffs, z® float, 5
( .44203e-2 ^ .15727e-1 -.69861e-1 .34621e-1 V .30776e-1 J
zn = Szn(z)
simplify coeffs, z® float, 5
^.44203e-2^ .15727e-1 .59159e-1 -.93371 2.5073 -2.6372 V 1. J
n = 0.. 30
x(n) = 1.
F(x) :
0 if x < 0
1 otherwise
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
14
Hf(n)
c1 — length(ch) - 1 z1 — length(zn) - 1 for j e 0.. n
yj — 0
for i e 0.. n
b — 0 a — 0
for s e 0.. c1
b — b + chc1-s • F(i + c1 - z1 - s) • x(i + c1 - z1 - s) if i > 0
for ge 1 ..
z1 if i > z1 i if i < z1
a — a + znz1—g • yj_g
yi —
1 • (b - a) znz1
1
yi —-------- b if i = 0
znz1
yj
Рисунок 8 - график переходной функции замкнутой цифровой системы,
построенный по передаточной функции
Научный журнал КубГАУ, №112(08), 2015 года
15
Данная программа весьма эффективна и, практически, не дает сбоев. Выводы:
1. Эталоном при синтезе цифровой системы должна служить непрерывная система, поскольку в ней постоянно измеряется регулируемая величина и вырабатывается управляющее воздействие. Поэтому сначала нужно создать желаемую непрерывную систему а затем пытаться приблизить к ней цифровую.
2. В цифровых системах можно использовать интегрирующий сервомотор для реализации интегральной составляющей в законе управления.
3. В отличие от непрерывных систем в цифровых легко реализовать вторую производную ошибки управления через уравнения в конечных разностях.
4. Найдя оптимальные параметры управляющего устройства, реализующего ПИД - закон управления, для объекта без сервомотора, можно использовать их для реализации ПДД- закона управления объектом с интегрирующим сервомотором в цифровой системе.
5. Сравнение переходных функций непрерывной системы и цифровой при одинаковых параметрах настройки показывает, что динамический заброс в цифровой системе больше, чем в непрерывной.
Литература
1. Пугачев В. И., Пиотровский Д. Л., Осокин В. В., Хазнаферов В. А. Оптимизация систем управления, обладающих астатизмом из за сервомотора путем использования цифрового регулятора с двойным дифференцированием. Научный журнал КубГАУ №92(08), 2013 г., 20 с.
2. Пугачев В.И. Теория автоматического управления, раздел «Цифровые системы управления». Учебное пособие / Куб. гос. технол. у-нт. - Краснодар. 2005 -
100 с.
References
1. Pugachev V. I., Piotrovskij D. L., Osokin V. V., Haznaferov V. A. Optimiza-cija sistem upravlenija, obladajushhih astatizmom iz za servomotora putem ispol'zova-nija cifrovogo reguljatora s dvojnym differencirovaniem. Nauchnyj zhurnal KubGAU №92(08), 2013 g., 20 s.
2. Pugachev V.I. Teorija avtomaticheskogo upravlenija, razdel «Cifrovye sistemy upravlenija». Uchebnoe posobie / Kub. gos. tehnol. u-nt. - Krasnodar. 2005 - 100 c.
