CC BY
73
УДК 631.36-52
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, ОБЛАДАЮЩИХ АСТАТИЗМОМ ИЗ-ЗА СЕРВОМОТОРА ПУТЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА С ДВОЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ
Пугачев Василий Иванович к.т.н., доцент
Пиотровский Дмитрий Леонидович д.т.н., профессор, заведующий кафедрой автоматизации производственных процессов
Осокин Владимир Владимирович к.т.н., доцент
Хазнаферов Виктор Анатольевич к.т.н., доцент
ФГБОУВПО «Кубанский государственный технологический университет », Краснодар, Россия
В статье рассмотрены вопросы оптимизации систем цифрового управления, содержащих сервомотор. Рассмотрены вопросы использования различных законов регулирования. Даны практические рекомендации по использованию цифрового регулятора с двойным дифференцированием
Ключевые слова: ЦИФРОВОЙ РЕГУЛЯТОР, СЕРВОМОТОР, ДВОЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
UDC 631.36-52
OPTIMIZATION OF CONTROLLING SYSTEMS THAT POSSESS ASTATISM ON ACCOUNT OF ENGINE BY MEANS OF APPLYING DIGITAL CONTROLLER WITH DOUBLE DERIVATION
Pugachev Vasiliy Ivanovich Cand.Tech.Sci., assistant professor
Piotrovskiy Dmitriy Leonidovich Dr.Sci.Tech., professor
Osokin Vladimir Vladimirovich Cand.Rech.Sci., assistant professor
Haznaferov Viktor Anatolievich Cand.Tech.Sci., assistant professor.
Kuban State Technological University, Krasnodar, Russia
The article is devoted to the point of optimizing the system of digital control, containing an engine. It is also devoted to the point of applying different laws of control. There are submitted practical recommendations on using the digital controller with double derivation
Keywords: DIGITAL CONTROLLER, ENGINE, DOUBLE DERIVATION
Многие системы управления используют сервомотор для перемещения регулирующего органа. При синтезе систем управления, оптимальных по определенным критериям, возникает вопрос, куда отнести сервомотор, к объекту или к регулятору? Если сервомотор отнести к объекту, то должна быть статическая ошибка при наличии возмущений, чего на практике не наблюдается. Кроме того, использование ПИ и ПИД -законов регулирования приводит к тому, что система будет обладать астатизмом второго порядка, что отрицательно сказывается как на устойчивости, так и на динамике замкнутой системы.
Данная работа позволяет найти правильное решение задачи и обеспечить улучшение качества управления по сравнению со стандартными методами оптимизации по расширенным амплитудно-фазовым характеристикам (РАФХ). Кроме того, в работе показаны преимущества непрерывных систем управления по сравнению с цифровыми, а также цифровых систем перед непрерывными.
Рассмотрим методику решения задачи на конкретном примере.
Пусть объект и сервомотор описываются следующими передаточными функциями:
1.5
Wo(p)
1
г з 11 2 ^ Ws(p) =
6-р +11-р +6-р+1 Ts-p
Отнесем сервомотор к объекту и проведем оптимизацию параметров промышленных регуляторов по расширенным амплитудно-фазовым характеристикам (РАФХ) [1].
-1п( 1 -1|/)
1П = -
\|/ = 0.99 ^
2 • л
in = 0.733
Примем Тб =20 (ед. времени). Тогда передаточная функция объекта будет:
,7500е-1
Ж&§1р) - 7 ; п \
Wos(p) = Wo(p) • Ws(p) \6.-p +11.-р +6.-р+1./-р
Обратная передаточная функция объекта:
ШоЬз(р) = Ш08(р)> ЖйЫр) = «0.00 ' Р4 + 146-7 • Р3 + 80.00 • р2 + 13.33 ■ р
Обратная РАФХ объекта:
\¥оЬз(1,’\¥) = 80.00 • ш4 • I4 - 234.5 • ш4 • I3 + 257.7 ■ V/4 ■ I2 - 126.0 • ш4 • 1 + 23.07 • ш4
-322.4 • \у3 • {2 + 236.3 • \у3 • {- 57.73 • \у3 + 80.00 • \у2 • {2 + 146.7 • \у3 • I
-117.3 • w2 • {+ 42.97 • \¥2 + 13.33 • \¥ • {- 9.768 • \¥
1т(\¥оЬ8(1,\¥)) = 108.5 • w4 + 89.60 • \¥3 - 117.3 • \¥2 + 13.33 • \¥
G(w)
G(w)
solve,w
float, 4
108.5 • w4 + 89.60 • w3 - 117.3 • w2 + 13.33 • w
f 0 Л
-1.566 .1281 v .6122 J
Kp = -Re(Wobs(i,.1281 )) float,4 —» 1.344
Примем оптимальный коэффициент усиления П - регулятора 1-344
Wos (р) • Крр
Wzp (р) = Wzp(p) = —
1 + Wos (р) • Крр .1008
6. • р4 + 11. • р3 + 6. • р2 + 1. • р + .1008
Wzp(p) Hzp(p) Р .
.1008
(б.-
р4 +11. • р3 + 6. • р2 +1. • р +. і ооб) • р
Hzp(t) = 1. + .119 • е( •929)'t - .273 • е( •716)'t - .846 • е( 9406 1)4 • cos(.128 • t)
1 оо (-.940e-l)'t • / no
-1.28 - є • sm(.128 • t)
Для ПИ- регулятора: http://ej.kubagro.ru/2013/08/pdf/20.pdf
С1(\у) = 111 • Іїїі(ДУоЬ8(І,\¥)) - ІІе(ДУоЬ8(І,\¥))
С0(\¥) = \¥ • (т2 + і) • Іт(\\/оЬ8(і,\у)) w := 0. ,0. + 0.001 .. 0.25
С1(№>
Рисунок 1 - График линии требуемой относительной степени
затухания ^ = 0,99 для ПИ регулятора
Оптимальные параметры ПИ- регулятора:
Кр
Ті = --------
Кр = 1.25 0.055 Ті = 22.7
М'СФЛ'Ч лллм ?
1 ,4405е-1 . Wos(p) • Wr(p)
^гг(р) = Кр + - Ж(Р) = 125 +-------1----- Wzpl(p) =
Ті • р ллл^ р
? у
,9375е-1 • р + ,3304е-2 6. • р5 + 11. • р4 + 6. • р3 + р2 + ,9375е-1 • р + ,3304е-2
1 + Wos(p) • \Уг(р)
Нфі(0 = 1. + .905е - 1 • е( 940)4 - 239 • е( 694)4 - 2.34 • е( 677е 1}* • соз(.926е - 1 • ^ -1.55 • е(-б77^1)4-8ш(.926е -1-і) + 1.49 • е(“-642е~1>'
Для ПИД- регулятора:
а = 0.5 а(\у)
ЛЛЛЛ/ . V '
= w • (т2 + і)
^0(ш) = 0.5 • (а(\у) • Im(Wobs(i,w)) + ^а(\у)2 • Im(Wobs(i\у))2 + 4 • а(\у) СДлу) = т • Іт(ШоЬ8(і^)) - Яе(ШоЬ8(і^)) + ^ т w а
• \у • а)
C0(w)
\у = 0.002 , 0.002 + 0.001 .. 0.4
ШйСШ
Рисунок 2 - График линии требуемой относительной степени затухания ^ = 0,99 для ПИД регулятора
Оптимальные параметры ПИД-регулятора: Ті - КР
= 2.35
Ті = 9.79 Т(і
Wr(p) = Кр + Тс1 • р +
ЛЛЛЛЛЛЛ^ /Г Г
1
ТІ‘а, Жы= 490 .1021
Ті • р
\Угріс1(р) =
Wr(p) = 2.35 +4.90-р + Wos(p) • Wr(p)
Р
1 + Wos(p) • Wr(p)
.1763 • р + .3675 • р + ,7658е-2
6. • р5 + 11. • р4 + 6. • р3 + 1.368 • р2 + .1763 • р + ,7658е-2
Нгріс1(0 = 1. - ,626е - 1 • е( 108Н+ ,390е - 1 • е( 455)4 - 1.79 • е( ‘112)4 • соз(.151 -1.09 • е(- -471е-1)4. С08(.220 • 1) - .624 • е(“ АПе~1>1. 8іп(.220 • 1)
1.5
1.25
БЬр(1;>- 1
Нгрі(Ч) 0.75
Нгрісі 0.5
0.25
0
т • * ' * * / -ы
г" * * у
Г І Г 1 ж'-уг I / # у»
* 1 1
м г і • ґ • Л
ё £ и ^
0 10 20 30 40 50 60 70
і
Рисунок 3 - Графики переходных функций замкнутых САУ http://ej.kubagro.ru/2013/08/pdf/20.pdf
с оптимальными параметрами регуляторов: П - Нгр(1:), ПИ - Нгр^), ПИД -Нгр1с1(1:)
Как следует из графиков, наилучшими свойствами обладает система с П -регулятором, что объясняется отрицательным влиянием астатизма второго порядка за счет интегральной составляющей ПИ и ПИД - регуляторов.
Попробуем сервомотор отнести к регулятору, тогда нет смысла производить расчет оптимального Кр для П- регулятора.
Аналогично предыдущему:
—1п( 1 - 1|/)
1П = ---------
= о 99 — 2 • п т = 0.733
1 15
о 9
Тб-р^ 6-р+11-р+6-р+1
\УоЬ(р) =
Wo(p) ? ЩОДр) = 4.000 • р^ + 7.333 • р" + 4.000 • р + .6667 = 4.000 • ({- .7330 )3 • w3 + 7.333 • ({- .7330 )2 • w2 + 4.000 • ({- .7330) ■ + .6667
С1(\у) = 111 • 1т(ДУоЬ(1,\¥)) - 11е(ДУоЬ(1,\¥))
C0(w) = \¥ • (т2 + 1) • Ьп^оЬ^’уу)) w := 0. ,0. +0.001 .. 1.25
0.08
0.06
С0 О) С1(» 0.04
0.02
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
С1<»
Рисунок 4 - График линии требуемой относительной степени затухания ^ = 0,99 для ПИ регулятора
Оптимальные параметры ПИ-регулятора:
Кр 1
Т1 = 7777777 • ^(Р) = Кр +
Кр = 0.57 0.0734 ТХ= 7.77 ^ Т1 ■ р
1 . ЛЛЛ/уу . 1
.1287
= .57 +
Р
\Угрі(р) =
\Уо(р) • \Уг(р)
1 + \Уо(р) • \Уг(р) .8550-р + .1931
6.-р4 + 11.-р3 +6.-р2 + 1.855-р + .1931
Нгрі^) = 1. - .111 • е( 1 19)1 - .485 • е( 233)1 • соз(.318 • 1) -.991 • е(“ 233)1 • 8іп(.318 • 1) - .404 • е(“ 173)1
Оптимальные параметры ПИД - регулятора:
Ш» = 0.5
ЛЛЛЛЛЛЛ /
• (a(w) •
• (т2 + і)
Im(Wob(i,w)) +^/а(\у)2 • Im(Wob(i,w))2 + 4 • а(\у)
• w • а)
О 0.5 1 1.5 2
С1 (№)
Рисунок 5 - График линии требуемой относительной степени затухания ^ = 0,99 для ПИД регулятора
Ті =
Оптимальные параметры ПИД-регулятора: Кр
0-5, Л= 340? Тё = Ті-а Ж, = 1.70
Wr(p) = Кр + Тс1 • р +
аааааааЧґ / Г Г
1
Ті • р
Wzpid(p)
Wr(p) = 1.7 + 1.70 - р +
ЛМЛММ-Г У Г'
Wo(p) • Wr(p)
.2941 Р .
1 + \Уо(р) • \Уг(р)
2.550 • р + 2.550 • р + .4412
6. • р4 + 11. • р3 + 8.550 • р2 + 3.550 • р + .4412
Hzpid(t) = 1. + ,781е - 1 • е(“ 861)t- .921 • е(“ 388)t • cos(.534 • t) -.601 • e(-388>t • sin(.534 • t) - .157 • e(-196)'t
Рисунок 6 - Г рафики переходных функций замкнутых САУ с оптимальными параметрами регуляторов, когда сервомотор отнесен к регулятору: ПИ - Нгрі(1:), ПИД - НгрісІ(1:) и объекту: П - Нгр(1:)
Выводы очевидны. Сервомотор следует отнести к регулятору, динамика существенно улучшается, длительность переходного процесса сократилась более, чем в 2 раза.
Для реализации оптимальных параметров регулятора следует произвести пересчет параметров ПИ - регулятора в параметры ПД - регулятора, а сервомотор отнести к объекту.
Параметры регулятора "ПД"
1 .1287
\Уг(р) = Кр + —— \Уг(р) = .57 +------------
_ 0 ^ЛЛЛ^Г / г в р / р
Ті = 7.77
/WVW
.1287 .57 • р + .1287 .57-р + .1287 Td • р + К
.57 +-------expand —»------------------- --------------- = ——----------
р р р 20 • р
Т^= 0.57 -20? К = .1287 -20* Wpd(p) = К + Td • р МІР) = 2.5740 ’ + 11.40 -р.
Параметры регулятора "ПДД" Кр = 1.7 Ті = 3.4
лллЖ\л ЛЛЛЛ/У 5
Ж(р) = кр + Т(і • р + 1
Ті • р
1.7 + 1.70 - р +
.2941 Р
Td = Ті • a Td = 1.70
ЛЛ/vVW 5 ллл/wv
.2941
Ж(Р) = 1.7+1.70-р +
Р
1.7-р + 1.70 -р + .2941
Р
1.7 -р+1.70- р + .2941 к + та-р + таа-р
р
20 -р
К = .2941 • 20
ЛДЛЛ/
Т4 = 1.7 • 20
лллдлд/
таа = 1.7 • 20
Wpdd(p) = К + Тё • р + Тёё • р2 Щ^ІР) = 5 88 + 340 ■ Р + 340 ■ Р2.
Wzpdd(p)
Wos(p) • Wpdd(p)
1 + \Уо8(р) • Wpdd(p)
Мір)
.4410 + 2.550 • р + 2.550 • р^
6. • р4 + 11. • р3 + 8.550 • р2 + 3.550 • р + .4410
Wzpid(p)
\Уо(р) • Wr(p)
1 + \Уо(р) • Wr(p)
2.550 • р + 2.550 • р + .4412
6. • р4 + 11. • р3 + 8.550 • р2 + 3.550 • р + .4412
Передаточные функции непрерывных замкнутых систем с ПИД и ПДД -регуляторами одинаковы, следовательно и их динамика будет одинаковой..
Период квантования найдем для самого быстрого переходного процесса с ПИД - регулятором.
2.55 • \¥ • і + 2.55 • \¥2 • і2 + .441
6. • \¥4 • і4 + 11. • \¥3 • і3 + 8.55 • \¥2 • і2 + 3.55 • \¥ • і + .441
V./
Рисунок 7 - График амплитудно-частотной характеристики замкнутой САУ с оптимальными параметрами ПИД - регулятора
Частота среза замкнутой системы:
0.5 • к
Wcpid = 3.77 °P1 Wcpid Topid float,3 —» .418
Рекомендуемый [3] период квантования ToPid = 0,57i/Wcpid . расчехный период квантования Topid =0,418, показатель колебательности М=1.
Примем Т=0,5, поскольку Topid = 0, 418 - имеет двукратный запас по сравнению с рекомендациями В. А. Котельникова.
Реализовать вторую производную легко для цифровых систем, которые в настоящее время являются основными.
Проведем сравнительный анализ цифровых аналогов рассматриваемых систем.
Найдем дискретные передаточные функции приведенной непрерывной части для случая принадлежности сервомотора к регулятору и объекту [2].
15 1
о rs Ws(d) = ----
6-р+11-р+6-р+1 20-р
,7500е-1
Жа§(р) - 7 ; ; \
Wos(p) = Wo(p) • Ws(p) \6.-p +11.-р +6.-р+1./-р
h$(t) = 6. • е(“ •5000)'t - 6.750 • е(“ •3333)'t - .7500 • е(“ L)'t + 1.500
ho(n) = 6. • e(“ -5000)'nT- 6.750 • e(“ -3333)'n'T- .7500 • e(_1)'n'T+ 1.500
/VWM- /
T = 0.5 Wo(z) = ho(z,T) • (l -z-1)
ЛЛЛ/V . ЛЛЛЛЛЛЛ/t ' \ “ ' N 7
.405983 le-2 • z2 + ,1398378e-l • z + .2022318e-2
z3 - 2231827 • z2 + 1.645044 • z - .3998563
lim Wo(z) float,3 ^ 1.50
z —> 1
Аналогично находим дискретную передаточную функцию приведенной непрерывной части для случая принадлежности сервомотора к объекту.
,50000е-3 • z4 - ,12280е-2 • z3 + ,22544е-2 • ъ - ,11594е-2 -z + .16844e-3 Wos(z) =------------------------------------------------------------------------
z4-3.2318 -z3 +3.8769 • ъ - 2.0449 • z + .39986 Для цифровой системы с П- регулятором:
Кр = 1.344 Wrp(z) = Кр = 1.344 Wrazp(z) = Wos(z) • Wrp(z)
Научный журнал КубГАУ, №92(08), 2013 года АУгагрЫ =
67200е-3 • ъ - ,16504е-2 • г3 + ,30299е-2 • г2 - ,15582е-2 • г + ,22638е-3
ъ - 3.2318 • г3 + 3.8769 • г2 - 2.0449 • г + .39986
АУгр (т) =
АУгагр^)
1 + Wrazp(z)
г) =
.672000&3 • г4 - . 165040е-2 • г3 + ,302990е-2 • ъ - ,155820е-2 • г + ,226380е-3
1.00067 • ъ - 3.23345 • г3 + 3.87993 • ъ - 2.04646 • г + .400086 1ш1 \¥гр(г) Аоа1:,3 —>1.00
ъ —> 1
Нр(г) = Wzp(z)
Нр(г) =
. 136411е-3 • г3 + ,469856е-3 • г2 + ,679500е-4 • г
г5 - 4.23183 -г4 + 7.10884 • ъ - 5.92144 • ъ + 2.44435 • г - .399924
Нр(п) := 1.006 • е-5970е-16'п. соз(.2136е-33 • п) - ,3914е-17 • е-5970е-16'п. 8т(.2136е-33 • п)
-.8556 • е( 4263е 1}'П- соз(.6483е - 1 • п) - 1.208 • е( 4263е 1)-п • зт(.6483е - 1 • п) -.1503 • е(“ 4156) п- соз(.2885е - 1 • п) - .7158 • е(“ 4156) п • зт(.2885е - 1 • п)
Нр(п) Кер (ъТ)
пД
Рисунок 8 - Г рафики переходных функций замкнутых САУ с оптимальным коэффициентом усиления П- регулятора, Нр(п)- цифровой и Нгр(1:) - непрерывной систем, сервомотор отнесен к объекту
Как следует из вида переходных функций, динамический заброс у цифровой
системы немного больше, чем у непрерывной. Это связано с дискретностью измерений в цифровой системе.
Для цифровых систем с ПИ и ПД - регуляторами:
( Т ^ q 1 = - —г + Крі
Крі = 0.57 Ті = 7.77 q0 = Крі 4 ^ Ті )
? ? ?
Wnri(z) = 4P±SLfl. Ш2) = -5700 • z - .5056
I _ z 1 M/WWVWv4 ' z _ 1
Ts
Td = Kpi Ts -> 11.40 ; 11.40 _ ЇТ Ji = 2.574
Wpd(p) =
є(р)5 Wpd(p) = K + Td-p? АЩ^р) = 2574 + 11-40 -p
Пересчет параметров ПИ регулятора в параметры цифрового ПД - регулятора проведем с использованием физически реализуемых левых разностей.
d s(n)-s(n-l) g(n)-e(n-i)
— s ----------^------- |u(n) = К • s(n) + Td------------------
dt T \ ) T
К • в(n) + Td • s(n) ~^n~ ^ float,6 —» 25.3740- s(n) - 22.8000- s(n - 1.) p(n) = 25.374 • в(n)-22.8-8(11-1.) Щ^г) = 25.374 -22.8 -z“\
ЩїІІ2) = Wo (z) • Wrpi (z) Wrpd (z) = Wos (z) • Wpd (z)
ЖшЦг)
,231410e-2 • z3 + ,591810e-2 • z2 - ,591748e-2 • z - ,102248e-2
Wrpd (z)
z4 - 3.23183 • z3 + 3.87687 • z2 - 2.04490 • z + .399856 ,25754e-2 • z3 + ,65565e-2 • z2 - ,66879e-2 • z - ,11527e-2
z5 - 3.2318 • z4 + 3.8769 • z3 - 2.0449 • z2 + .39986 • z
v л Wrpi(z) Wrpd(z)
Wzpi(z) = ------------—— Wzpd(z)
1 + Wrpi(z) 1 + Wrpd(z)
,231410e-2 • z3 + ,591810e-2 • z2 - ,591748e-2 • z - .102248 Wzpi(z) = ------------------------------------------------------------------------------
wwwtvw A 'J 9
z4 - 3.22952 • z + 3.88279 • z - 2.05082 • z + .398834 lim Wzpi(z) float,3 —> 1.01
z —> 1
Научный журнал КубГАУ, №92(08), 2013 года \Vzpd(р) =
,2575е-2 • г3 + ,6557е-2 • ъ - ,6688е-2 • г - ,1153е-2
г5 - 3.232 • г4 + 3.879 • г3 - 2.038 • г2 + .3932 • г - ,1153е-2
Нрі(г) = Wzpi(z)
ъ - 1
1^(г) = Wzpd(z)
ъ - 1
Нрі(г) =
Hpd(z) =
.2314ІЄ-2 • г4 + .5918ІЄ-2 • г3 - ,59175е-2 • г2 - ,10225е-2 -г г5 - 4.2295 - г4+ 7.1123 • г3 - 5.9336 • г2 + 2.4497 • г - .39883 ,2575е-2 • ъ + ,6557е-2 • ъ - ,6688е-2 -72-.1153е-2 ъ ъ - 4.232 • ъ + 7.111 • г4 - 5.918 • ъ + 2.432 • ъ - .3943 • г + ,1153е-2
Не приводя сложных выражений переходных функций, приведем их графики, изображенные на рисунке 9.
Рисунок 9 - Г рафики переходных функций замкнутых САУ с оптимальными параметрами настройки ПИ и ПД- регуляторов, сервомотор
отнесен к регуляторам
Цифровая система обладает несколько худшими свойствами по сравнению с непрерывной. Это связано с дискретностью измерений и необходимостью поиска производной по конечным разностям.
Для цифровых систем с ПИД и ПДД- регуляторами:
Wpdd(p) = i^>
Kp=l,7, Ti = 3,4, Td = l,7, G(p) .
Wpdd(p) := 5.88 + 34 • p + 34 • p2
d2„m s(n-2)-2-s(n-l) + s(n) H sfnl-sfn-n
---SW - 2 —8 (t) =
dt2 T2 dt"w T
34 •
^s(n — 2) - 2 • s(n — 1) + s(n)^
r-p2
V 1
+ 34 •
^s(n) - s(n - 1)^
T
= 136.0 ■ e(n - 2.) - 340.0 • s(n - 1.) + 209.9 • s(n) := n(n)
+ 5.88 • s (n)
JiJM&z) = 209.9 - 340.0 ■ z 1 + 136.0 ■ z 2
Td
T
q0 = Kp + — ql = - —: + Kp +-------------------------------------------------- q2
/VwW\ r AAWA rT" r rp ±
Td
T
qO + ql • z 1 + q2 • z 2 2.850 • z2 - 5.066 • z + 2.280
Wpid(z) = ---------------------------------- =
r \ / 1 /wwwww\v 7
-i — 2 1 1 - z z - 1. • z
Wrpid(z) = Wo(z) • Wpid(z) Wrpdd(z) = Wos(z) • Wpdd(z)
Wrpdd(z)
Wrpicli /)
,213e-l • z4 + ,389e-l • z3 - ,944e-l • z2 + ,304e-l • z + ,688e-2
z6 - 3.23 • z5 + 3.88 • z4 - 2.04 • z3 + .400 • z2
,207e-l • z4 + ,374e-l • z3 - ,927e-l • z2 + ,307e-l • z + ,688e-2
z5 - 3.23 • z4 + 3.88 • z3 - 2.04 • z2 + .400 • z
Wq3ld(z) = Wrpid(z) Wzpdd(z) Wrpdd(z)
Wzpid(z)
I + Wrpid(z) 1 + Wrpdd(z)
,207e-l • z4 + ,374e-l • z3 - ,927e-l • z2 + ,307e-l • z + ,688e-2
z5 - 3.21 • z4 + 3.91 • z3 - 2.14 • z2 + .431 • z + ,688e-2 lim Wzpid(z) float,3 —> 1.
z —> 1
,213e-l • z4 + ,389e-l • z3 - ,944e-l • z2 + ,304e-l • z + ,688e-2 Wzpdd(z) = --------------------------------------------------------------------------------
z6 - 3.23 • z5 + 3.90 • z4 - 2.01 • z3 + .305 • z2 + ,304e-l • z + ,688e-2 lim Wzpdd(z) float,3 —> 1.00
z —> 1
Проведенный анализ устойчивости замкнутой цифровой системы с ПДД -законом управления по критерию Джури показал, что замкнутая цифровая система с ПДД - законом управления устойчива.
Hpid(z) = Wzpid(z) —7— Hpdd(z) = Wzpdd(z) —Z—
z - 1 z - 1
. 115e-1 • z5 + ,215e-l • z4 - ,494e-l • z3 + ,147e-l • z2 + ,343e-2 z
Hpid(z) = ---------------------------------------------------------------------------
z6 - 4.22 • z5 + 7.12 • z4 - 5.99 • z3 + 2.51 • z2 - .411 • z - ,343e-2
,118e-l • ъ + ,224e-l • z4 - ,505e-l • z3 + ,146e-l • z2 + ,343e-2 z
Hpdd(z) =----------------------------------------------------------------------------
z7 - 4.23 • z6 + 7.12 • z5 - 5.91 • z4 + 2.37 • z3 - .335 • z2 - .llle-1 • z - ,343e-2 Hpid(n) = (-.790) • 488e 1)n-cos(.386 -n) + 1.00 • • cos(.154e-18 • n)
-445e - 2 • e^ 5 39)n. cos(3.14 • n) - .104 • e^ 839e 1)n- cos(.269e - 34 • n)
TO (-,138e-16 )-n • , 1Q 4 (-,488e-l )-n • , 4
+.38e-18 • e • sin(.154e-18 • n) - .412 • e • sin(.386 • n)
+ .183e-18 • e(“ ■839e'1 >n • sin (,269e-34 • n) - .104 • e(“ 894 >n • cos (,417e-38 • n)_
He приводя громоздких выражений переходных функций, приведем их графики на рисунке 10.
1:1
1.25
1
---- G.75
.... 0.5
Q.25 G
(j 10 20 30 40 50
п
Рисунок 10 - График переходных функций замкнутых САУ с оптимальными параметрами настройки ПИД и ПДД- регуляторов, сервомотор отнесен к регуляторам
В рассматриваемом случае вторая производная ПДД - регулятора находится через конечные разности, принято большое отношение
Td/Ti = 0,5. Как следует из графиков переходных функций, большое увеличение сигнала по производной в системах, когда сервомотор относится к регулятору приводит к увеличению динамического заброса и повышению колебательности. Поэтому следует уменьшать отношение Td/Ti.
На рисунке 11 представлены переходные функции замкнутых цифровых систем, когда сервомотор отнесен к регуляторам, а Тё/Тл =0,15.
1.25
1
НрсИ(п)
0.75
Нрф)
Нр(п) 0.5
0.25
0
О 20 40 60 80 100
п
Рисунок 11 - Графики переходных функций замкнутых цифровых систем, когда сервомотор отнесен к регуляторам, а Тё/Тл =0,15.
Как видно из графиков, использование цифрового ПДД - закона управления, не требующего рекуррентного способа расчета управляющего воздействия, обеспечивает управление не хуже цифрового ТТИД - закона, реализуемого с учетом сервомотора, легко реализует вычисление второй производной сигнала ошибки управления.
Нерекуррентный алгоритм вычисления интегральной составляющей обеспечивает отсутствие накопления интегральной составляющей в управляющем воздействии, когда система работает на ограничении по управляющему воздействию (регулирующий орган полностью открыт).
Выводы
1 Интегрирующий сервомотор существенно ухудшает динамику замкнутых систем, поскольку астатические регуляторы даже с производной в законе регулирования, предназначенной для улучшения качества управления, не могут обеспечить его по сравнению с П -законом.
2 Для снижения порядка астатизма системы управления необходимо использовать сервомотор для реализации интегральной составляющей в законе регулирования управляющего устройства.
3 Оптимальные параметры ПИ и ПИД -регуляторов следует пересчитать в параметры ПД или ПДД, что позволяет существенно улучшить динамику замкнутых САУ, снизить динамический заброс и вдвое уменьшить длительность переходного процесса.
4 Реализация управляющего сигнала по первой и второй производным легко
реализуется в цифровых управляющих устройствах путем применения левых физически реализуемых конечных разностей. При этом для уменьшения динамического заброса и снижения колебательности замкнутых систем следует осторожно вводить сигнал по производной.
Литература
1 Пугачев В.И. Теория автоматического управления, раздел «Использование Mathcad при анализе и синтезе систем управления». Учебное пособие / Куб. гос. технол. у-нт. - Краснодар. 2006 - 140 с.
2 Пугачев В.И. Теория автоматического управления, раздел «Цифровые системы управления». Учебное пособие / Куб. гос. технол. у-нт. - Краснодар. 2005 - 100 с.
3 Пугачев В. И., Петриченко В. Г. Особенности синтеза цифровых систем стабилизации регулируемой величины. Научный журнал КубГАУ № 86(02), 2013 г.
References
1 Pugachev V.I. Teorija avtomaticheskogo upravlenija, razdel «Ispol'zovanie Mathcad pri analize i sinteze sistem upravlenija». Uchebnoe posobie / Kub. gos. teh-nol. u-nt. - Krasnodar. 2006 - 140 c.
2 Pugachev V.I. Teorija avtomaticheskogo upravlenija, razdel «Cifrovye sistemy upravlenija». Uchebnoe posobie /Kub. gos. tehnol. u-nt. - Krasnodar. 2005 - 100 c.
3 Pugachev V. I., Petrichenko V. G. Osobennosti sinteza cifrovyh sistem stabilizacii reguliruemoj velichiny. Nauchnyj zhumal KubGAU № 86(02), 2013 g.
