Оптимизация стратегии устойчивого развития региона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977 ББК 22.193

© С.А. Ачитуев, И.С. Гусева

Россия, Улан-Удэ, Бурятский государственный университет E-mail: [email protected]

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА1

Статья посвящена исследованию задачи оптимизации стратегии развития региона для социо-эколого-экономической модели с инновационным блоком, ориентированной на практическое моделирование конкретных регионов. За эффективное начальное приближение в многоэтапной процедуре оптимизации и в вычислительных экспериментах берется магистральное решение, не зависящее непосредственно от граничных условий.

Ключевые слова: социо-эколого-экономическая модель, функционал благосостояния, магистральное решение, магистраль, оптимальное решение, производная задача, правило экстремального прицеливания, метод последовательного приближения.

© S.A. Achituev, I.S. Guseva

Russia, Ulan-Ude, Buryat State University E-mail: [email protected]

OPTIMIZATION OF REGION SUSTAINABLE DEVELOPMENT STRATEGY

The article is devoted to study the problem of optimization of region sustainable development strategy for social-ecological-economical model with the block of innovation; the problem is oriented on practical modeling of concrete regions. The efficient initial approach in the multistage procedure of optimization and in the computing experiments is the turnpike solution which does not depend directly from border conditions.

Key words: social-ecological-economical model, well-being function, turnpike solution, turnpike, optimal solution, derivative problem, rule of an extreme aiming, method of consecutive approach.

Введение

Разработка долгосрочных стратегий развития регионов России в сложившейся экономически неустойчивой ситуации является задачей актуальной. Устойчивое развитие государства в целом зависит от развития каждого его региона в отдельности. Т.к. необходимо учитывать индивидуальные характеристики регионов (социальную, экологическую, экономическую ситуации и особые режимы природопользования), проблема исследуется на региональном уровне. В данной работе рассматривается расширение модели «Регион» до социо-эколого-экономической [3]. Для оптимизации стратегий развития региона строится концептуальная модель, описывающая связи между многими компонентами [1, 2]. Находится магистральное решение путем преобразования к производной задаче [4,5], аппроксимируется по правилу экстремального прицеливания [6], находится начальное приближение и запускается итерационный алгоритм улучшения [7 - 9]. По этой схеме составлен алгоритм вычислений [1], реализован на MAPLE и применен для конкретных данных.

1. Постановка задачи

Рассматриваемая социо-эколого-экономическая модель описывается следующими уравнениями:

с = (E - A) y -Bu - Azz -Bzuz - Add -Bdud, (1)

r = r + N(r - r)-Cy - Du - Dzuz + Czz + imr - exr, (2)

k = u-[d]k, kz = uz -dzk, kd = ud-[sdkd, (3)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 08-01-00945-а, 09-01-90203-Монг-а), РГНФ (проект 09-02-00493-а).

0 < у <Г(к), 0 < г <Г2 (к2), 0 < ё <Гё (кё), (4)

в = -([ё]+Нш + [илг])(в-в), в(0) = 0, (5)

х = х0(1 + в,аг, Iге !], Еач =Ь (6)

1€1]

где у, 2, ё - векторы выпусков продукции по отраслям экономической, активного природо-социовосстановления, активных инноваций; с - конечное потребление; (к,к2,кё),

(г(к),Г2 (к2 )Гё (кё)), (и,и2,иё), [д,дг ) - основные фонды, мощности и инвестиции (векторы) и темпы амортизации (диагональные матрицы) в экономическом, природо-социовосстановительном и инновационном секторах; р - матрица-строка цен; г - вектор индексов состояния природной среды и социума; в - вектор инновационных индексов; г(^) - заданная опорная функция; гшг,ехг - миграционные потоки загрязнений и ресурсов; А, А2, Аё - матрицы прямых затрат в экономическом, природо-социовосстановительном и

инновационном секторах; В, В2, Вё - матрицы фондообразующих затрат в указанных секторах; N - матрица коэффициентов взаимовлияния компонентов природной и социальной подсистем; С - матрица коэффициентов прямого воздействия отраслей экономики на компоненты природной и социальной подсистем; В, О2 - матрицы коэффициентов воздействия на указанные компоненты при инвестициях в отрасли экономики и в природо-социовосстановительный сектор; Н,пу, [Н^ ] - матрицы, отражающие влияние инвестиций и диффузии инноваций:

Н

ту

С иг и2к ^

I+Е Чи-

г к к к J

где Н,, Нк, - коэффициенты «инновационности» инвестиций в ,-й отрасли (к-м секторе), относящийся к ,-му инновационному индексу; Н^ - коэффициент диффузии; выражения

вида (х1) обозначают векторы с компонентами Х], (х,) - матрицы с элементами X, , [X ] - диагональные матрицы, построенные из компонент вектора X; а, - весовые коэффициенты. Матрицы В и В2 зависят от [Н, ] и НЦ- соответственно, что отражает факт

удорожания инвестиционных проектов с ростом их инновационности.

Критерий оптимальности рассматривается как максимум функционала благосостояния, определяющего зависимость между конечным потреблением и ценовыми поправками, при экспоненциальном росте численности населения:

П = (рс - 5 (г ))е“р = (р((Е - А)у - Ви - А2г - В2и2 - Аёё - Вёиё)- £ (я, г ))е ~р, (7)

п(0) = 0, к(0) = к0, к2 (0) = к2 , кё (0) = к0ё , г(0) = г0, в(0) = 0,

где 5 - штраф за нарушение условий устойчивого развития, я - его параметр (штрафной коэффициент), р - коэффициент дисконтирования.

2. Метод решения

Для решения данной задачи составлен алгоритм вычислений, по которому сначала находится магистральное решение путем преобразования к производной задаче:

£ = П + р(А2г + Вк - Аёу),

ёП (п ,2 Л ёк ёг ёу ,

---= -(Ви + А 2 + Аёё), — = и, — = 2, -^- = -ё,

ёт ёт ёт ёт

X = ку - р(Вдк - АёК - A2N(г - г))-5(г), к = р(Е - А - А2С),

П

F

I (ёу - p (Bdk - AZN (r -r ))- S (r))dt -

-Р (В (К - к0 ) + А (гр - г0 ) - А (Ур - У + К*р )) .

Пр = *р (ёу (к, Ь)- р (Вдк - AZN (г - г ))- 5 (г ))-

-р(В(кР -к0) + А (гР -г0)- А (Ур - У + КЧ)), (8)

при условиях к > к0, г > г0, у < у0 относительно к, г и у, которые в данном случае обозначают конечные значения кр, гр и ур (индекс Р для краткости опущен).

Максимум функции (8) достигается в точке, которую обозначим индексом %1р (* )=(к (Iг (* ),в(* ))*р - магистраль. Магистральное решение:

^Co, * = 0;

c(t )=•

Cp (t) , t є( 0 tF ) (t = tF ) .

Полученное магистральное решение аппроксимируется по правилу экстремального прицеливания

х = / (ї, х, ,

где х = (к,кг,кё,г, п) - вектор состояния, = (у, г,ё,и,иг,иё) - вектор управления,

Ж(ї, х) - множество управлений, определяемое указанными ограничениями. Тогда это

правило выражается следующим образом: £(х, х*) ® тіп , где 3(х, х*) = (х - х* )2. По-

лучаем

w^W (t ,x)

(x-x*)(f (t,x,w))® mi,n ).

wєW (t ,x)

Находится начальное приближение и запускается итерационный алгоритм улучшения.

3. Метод последовательного улучшения

Пусть задан некоторый элемент 21 е В. Будем искать элемент 211 е В, такой, что I (211 )< 1 (г1) , и называть такую задачу задачей улучшения. Последовательно решая эту задачу, получим итерационный процесс улучшения.

Рассматриваемый подход к задаче улучшения состоит в том, чтобы искать 211 вблизи 21, используя тейлоровское приближение условий Беллмана в окрестности 21 .

Информация о 21 задается в виде (т, х (*Н ), ' (*Н )), а х1 (*) находится в результате интегрирования с этими данными следующего уравнения:

х( ) = /х(* I и(*)).

(9)

Относительно р = v(t)+/ (t )dx + 1 dxs(t )dx интегрируется система

v

(tK ) = - F (tK, xK),

/(4 ) = - Fx (4, xK) , s(tK ) = - Fxx (4, xK) ,

v = -H (t, x1,/) , y = -H x-s( Hp - f1),

s = -( H xx + SHpx + Hpx s + SHppS)

где v(t ),/(t ),s(t) - соответственно скалярная, n-векторная и n X n -матричная функция,

H (t, x,p,u) = pf (t,x,u)-f0 (t,x,u) ,

H (t, x, p)= sup H (t, x, p, u), K (t, x)= H (t, x,fx ) + ft = sup K (t, x, u).

uєU (t,x) uєU (t,x)

Интегрируется «слева направо» система (9) при u = u(t, x) u(t, x) = argmaxK(t, x, u) и на-

!ЄU (t,x)

0

чальном условии (ЇІН, х (Н)) • В результате находится х11 () и и1 () = и (ґ, х1 1 (>)).

Проверяется неравенство 1 (г11 )< 1 (г1). При его выполнении г11 берется в качестве 2 и начинается следующая итерация. Если 1 (г11 )< 1 (г1) и г11 отстоит далеко от г1, то уменьшается шаг итерации. Если 1 (г11 )> 1 (г1) и г11 достаточно близко к г1, то процесс заканчивается. При г1 = -п уравнения метода становятся достаточными условиями локального минимума г1.

4. Вычислительный эксперимент

Расчеты проводятся по известным данным для Переславского региона Ярославской области: = 20 лет,

(р./р.)

' 0.08 0.001 10 -5 ^ ' 0.2 27 3 200 > 5 О 0 0 Л

А = 0.5 0.4 0.35 , а- = 0.4 33 40 1000 , Аа = 100 150 150

0.001 V 0.006 0.06 V 0 0.2 20 3000у ч100 100 100 у

' 0 0 0 > ґ 0 0 0 0 > ' 0 0 0 Л

В = 0.45 0.15 0.4 , В г = 0.3 0.35 0.2 0.15 , Вй = 0.3 0.3 0.4

V 0 0 0 ) V 0 0 0 0 ) V 0 0 0 ,

(р./р.)

' - 0.003 -4 -0.05 0.01 > ' 0 0.011 0 Л

- 0.0001 - 0.9 0.01 - 0.005 -0.0053 -0.0059 -0.0034

N = , с =

0 -0.0015 -0.005 - 0.2 0.0001 0.0005 0.0003

0 1 -0.005 -0.0001 - 0.002у V 0.0002 0.0001 0.0003 ,

(р.)

к0 =(210 750 37), к0г =(4 12 1.5 8.5), ^ =(10 10 8) (млн р.), г = (5800 8.2 69.5 0.44), г =( 6000 1.2 100 0.5).

Здесь у0 = (0.4 0.35 0.5), (1/год) и др., г1 - измеряется в млн р., г3 - в тыс. чел., осталь-

ные - безразмерные.

1. Вычисляем магистральное решение гр :

П - (^Ж -Е )

П г = 0: гр = г +^^

В результате получаем гґр = (5999.8319 8.2 83.435 0.44).

2. По заданным формулам проводится расчет управлений (векторов инвестиций) и*,

и*, иі *:

)(с- ЬI)-1 (г.- Г - С V- к + ь) р),

и*

кір- к0 г 2

-----, и* =

I

Г ,1

р р

•1. - гГ-іь Г (г - Гір - (л- + К)Г„)

ґ ґр К ґр 1

и*=(0 0 0), и*г =(6 0 0.6607 0),

В результате вычислений получаем

иЦ*=(0 0).

3. Вычисляем соответствующие векторы состояний (векторы основных фондов) к*, к*, к^ по формулам:

к* = к{) + и* ґ (ґ < ґґр)

к* = к

р

k* = k0 + uzt, uz = u* (t < trtp ) uz = 0 (t > ttp),

= kd0 + udt, ud = uf* (t < tgp) u? = 0 (t > tgp).

Отсюда получается решение:

k* :=(210 750 37) l бе e^aiit,

(4 + 6t 12 1.5 + 0.6607t 8.5), t < 8,

kz

k* - i , .

(4 12 1.5 8.5), t > 8,

kf :=(10 10 8) l бе ai i t.

4. Находим значение функционала n*(t) из

П = (pc - S(r))e= (p((E - A)y - Bu - Azz - Bzuz - Add - Bdud)-S(s,r))e при подстановке найденных функций y (k* (t), L), z*(t), d*(t), u*(t), u* (t), uf(t),

z*(t) = pzhz, (t < ftp), z*(t) = zp = (Cx) 1 (- N(rtp - r)+ Cytp + Dutp - b\ (t > trp),

du=frdkf *, d 2* = 0, u2d * = 0, k2d * = k 20 , где r*(t) - решение начальной задачи Г = CzГz (kz), r(0) = r0 при (t < trtp) и r*(t) = rtp при когда (t > ttrp ).

Итак, получили два различных значения для n*(t) в 4-х случаях: при

t < tp, t < trtp, t < tgp и t > tp, t < tp, t < tg :

n*(t ) = (71526186.256 + 3536194.7248 • t + 88475.282 • t2 +1507.443 • t3 +18.218 • t4 )• e _0 05t,

при t > tktp, t > ^, t < tg и t > tp, t > tp, t > tg : n*(t) = 4012.013174• e-0 05t.

5. Теперь решается задача линейного программирования

u > 0, uz > 0, ud > 0, y > 0, z > 0, d > 0:

ЛшпL < ly + izz + < ^maxL ,

Xu + xuzk + Xudj < .

i k j

((П-П.(/))p(E - A (r - r.(/ ))TC ))y +((r - r.(t ))T-(П-П.(г))pAz )z --{(r-r.(l))7 +(П-П.(/))pAd)d + ((k-k.(t))T -(П-П.(/))pB), +

+ ((kz -k*(t))T -(П-П.(<))pB' u +((kd -kd(t)) -(П-П,(г))pBd)<d ® jnin )

И, таким образом, находятся новые управления

y1 := (1157 0 0), z :=(0 0 0 0), d1 := (0 0 0),

u1 := (0 0 0), uz1 := (0 0 0 0), ud := (0 0 0).

При этом уже на первом шаге наблюдается изменение функционала:

n(0)(t) = 0, П1 (t) = 7.0776329 -107.

На рис. 1 - 4 представлена динамика изменения индексов состояния природной среды и социума, где r1 (t) - приведенный запас природных ресурсов; r2 (t) - качество природной

среды (загрязнения компонентов); r3 (t) - численность населения; r4 (t) - индекс социального развития (здоровье, благосостояние, образование и т.д.).

6. Далее с этими значениями запускаем универсальный алгоритм улучшения.

5300

5700 -

5600 -

5500

5400

1------1-1-----1-1-----1-1---1------1-1-----1-1------1-1-----1-1-----1-1---1------1-1

0 5 10 15 20

____________________________________________£________________

““ На нулевом приближении

* 1 На первом приближении

Рис. 1

Рис. 2

±.

---На нулевом приближении

' 1 На первом приближении

Рис. 3

Рис. 4

Заключение

Таким образом, проведены расчеты начального приближения функционала П(^) для последующего итерационного уточнения для получения приближенно оптимального решения с оценкой точности. В итоге подбирается оптимальное соотношение между компонентами модели, благодаря чему можно грамотно распределить инновации в различные секторы экономики, не нарушая социо-эколого-экономический баланс.

г

Литература

1. Ухин М.Ю., Ачитуев С.А. Оптимизация стратегий развития региона на многокомпонентной модели // Автоматика и телемеханика. - 2008. - №3. - С. 178-189.

2. Гурман В.И. Моделирование социо-эколого-экономических систем / В.И. Гурман, Н.Э. Кулъбака, Е.В. Рюмина. - Переславль-Залесский: Изд-во Университета города Переславля, 2004. - 147 с.

3. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. - М.: Наука, Физматлит, 1985, 1997. -288 с.

4. Гурман В.И., Ухин М.Ю. Магистральные решения в задачах оптимизации стратегий развития регионов // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 4. - С. 108-117.

5. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 3. - С. 61-71.

6. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. - М.: Наука, 1974. - 456

с.

7. Гурман В.И., Расина И.В. Математические модели оптимального управления. - Иркутск: Изд-во Иркутского Университета, 1982. - 73 с.

8. Гурман В.И. Модели управления природными ресурсами. - М.: Наука, 1981. - 264 с.

9. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1973. - 448 с.

References

1. Ukhin M.Yu, Achituev S.A. Multicomponent model-based optimization of the regional development strategies // Automation and Remote Control. - 2008. - No. 3.

2. Gurman V.I. Modeling of the social-ecological-economical systems / V.I. Gurman, N.E. Kulbaka, E.V. Ryumina. - Pereslavl-Zalesskiy: Izd-vo Universiteta goroda Pereslavlya, 2004. - 147 p.

3. Gurman V.I. The principal of expansion in the problems of control. - Moscow, Nauka, Fizmatlit, 1985, 1997. - 288 p.

4. Gurman V.I., Ukhin M.Yu. Turnpike solutions in optimization of regional development strategies // Automation and Remote Control. - 2004. - № 4. - P. 108-117.

5. Gurman V.I. Turnpike solutions in the procedure seeking optimal controls // Automation and Remote Control. - 2003. - № 3. - P. 61-71.

6. Krasovskiy N.N., Subbotin A.I. The item differential games. - M.: Nauka, 1974. - 456 p.

7. Gurman V.I., Rasina I.V. The mathematical models of the optimal control. - Irkutsk: Izd-vo Irkutskogo Universiteta, 1982. - 73 p.

8. Gurman V.I. The models of control for the natural resources. - M.: Nauka, 1981. - 264 p.

9. Krotov V.F., Gurman V.I. The methods and problems of optimal control. - M.: Nauka, 1973. - 448 p.