CC BY
12
В.И. Гурман, Д.Ц. Будаева, С.Н. Насатуева. Оптимальное управление биопопуляцией с учетом инноваций на модели с возрастной структурой
УДК 517.977 © В.И. Гурман, Д.Ц. Будаева, С.Н. Насатуева
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ БИОПОПУЛЯЦИЕЙ С УЧЕТОМ ИННОВАЦИЙ НА МОДЕЛИ С ВОЗРАСТНОЙ СТРУКТУРОЙ
Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ в рамках научного проекта № 11-02-00171-а, РФФИ в рамках научного проекта № 12-01-98011-р_Сибирь_а
Рассматривается подход к учету инновационных процессов в модели популяции с возрастной структурой и процедура оптимизации управления по естественным экономическим критериям. В качестве содержательного примера решается задача управления поголовьем крупного рогатого скота.
Ключевые слова: модель биопопуляции, оптимальное управление, инновации.
V.I. Gurman, D.Ts. Budaeva, S.N. Nasatueva
OPTIMAL CONTROL OF BIOPOPULATION TAKING INTO ACCOUNT INNOVATIONS ON MODEL WITH AGE STRUCTURE
An approach to the accounting for innovative processes in the model of biological population with age structure and a management optimization procedure under natural economic criteria are considered. As a substantial example, the problem of control the number of cattle is solved.
Keywords: biological population model, optimal control, innovations.
Введение
В данной работе рассматривается задача оптимального управления биологической популяцией по экономическому критерию на основе известной матричной модели [1]. В этой модификации учитываются активные инновационные процессы путем добавления инновационных блоков типа «затраты - выпуск», где «выпуск» трактуется специфически как улучшение параметров исходной модели.
Конкретная цель данной работы состоит в том, чтобы на примере управления стадом крупного рогатого скота (КРС) продемонстрировать все этапы практического исследования, включая концептуализацию модели, идентификацию ее параметров по эмпирическим данным, постановку задачи оптимального управления и ее решение достаточно универсальным методом итерационного улучшения.
В [4] аналогичная задача рассматривалась в общем виде, и упор был сделан на поиск приближенных магистральных решений при идеализирующих допущениях, указывалось на возможность их использования как начальных приближений в универсальных процедурах улучшения. Здесь
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
же, в отличие от [4], реализуется именно процедура улучшения безотносительно к способу задания начального приближения.
1. Модификация матричной модели биопопуляции и задача управления
Подход, развитый в [2-4] и успешно апробированный в некоторых задачах устойчивого развития регионов, состоит в следующем.
Межгодовая динамика популяции без учета инноваций описывается уравнениями
х1 = ^(агюгхг )вг - кхх1 - и1, х' = у'х' -1 - кгхг - и', ' = 2,..., п, (1)
о^/М -гг ¿-.А -1
г=1
где х' - численности возрастных групп, - коэффициенты перехода из
одной группы в следующую, ki - коэффициенты смертности, о{, Pi -
параметры рождаемости, а>1 - доля женских особей в соответствующей
группе, и' - темпы изъятия-пополнения численностей в целях управления.
Пусть П(^ - экономический эффект на отрезке [tJ,t], называемый
условно накопленным доходом, динамика которого описывается уравнением вида
П = f °(и,и,ф, t . (2)
Через q обозначен вектор параметров, постоянных при отсутствии инновационных изменений, таких как ki, ог, вi и т. п.
Инновации трактуются как изменение параметров, которое описывается следующими уравнениями:
в = -([[Щ] + Н(^х,и^(в)))(в - в), кЩ = иЩ - 0 < d < ), (3)
4 = ^(1 + в]а1]), 1 е 1], X аи = 1. (4)
1 е 1]
Здесь Щ - вектор активных инноваций; [Щ] - диагональная матрица; ^, иЩ, 8Щ - основные фонды, мощности и инвестиции (век-
торы) и темпы амортизации в инновационном секторе (диагональные матрицы); в - вектор инновационных индексов (агрегированное описание изменения параметров исходной модели за счет инноваций); а1]- - весовые коэффициенты; - значение в начале наблюдения; И^,х,и,ф -диагональная матрица, учитывающая различные инновационные процессы, помимо активной инновационной деятельности (например, известную в экономической теории диффузию инноваций); инновации, сопутствующие инвестиционному процессу, и т.п.
В.И. Гурман, Д.Ц. Будаева, С.Н. Насатуева. Оптимальное управление биопопуляцией с учетом инноваций на модели с возрастной структурой
Очевидно, активная инновационная деятельность требует дополнительных прямых и фондообразующих затрат, которые принимаются линейными относительно соответствующих управляющих воздействий:
П = f (t,x,u,q) - Add - Bdud, (5)
где Ad , Bd — матрицы-строки коэффициентов прямых и фондообразующих затрат в инновационном секторе.
Задача оптимального управления ставится следующим образом: перевести систему (1), (5) на заданном отрезке времени [tT,t„] из заданного
I F
начального состояния xI, qj в заданное множество конечных состояний Г при ограничениях на управления u eU(t) , 0 < d < dmax и на состояние x е X(t) с максимальным значением n(tF) .
2. Итерационный алгоритм оптимизации
При практическом решении задачи, по крайней мере на этапе расчетов, предполагается дискретизация дифференциальных соотношений. В связи с этим целесообразно использовать дискретизованную версию модели и применять соответствующий итерационный алгоритм [5].
Задача оптимального управления дискретной системой ставится следующим образом: найти программу u (t) и соответствующую ей траекторию x(t) (эволюцию состояний), при которой выполняются следующие соотношения
' x(t +1) = f (t, x(t), u), t{tI, tI +1,..., tF }, < x(tj) = x1, x(tF) е Г, x(t) е X(t), u е U(t, x(t)),
I = F(x(tF)) ^ min (inf).
То есть задана цель управления x(tF) еГ. Необходимо найти программу управления u е U(t, x(t)) и соответствующую ей траекторию x(t), при которой выполняются ограничения x(t) е X(t), а цель управления выполняется наилучшим образом согласно критерию I.
Рассмотрим постановку этой задачи как конкретизацию общей задачи об оптимуме (M,D,I:M ^ R). За множество M примем совокупность всевозможных пар функций m = (x(t), u(t)) . Множество D выделяется из M следующими связями и ограничениями:
x(t +1) = f (t, x(t),u), u е U(t, x), x е X(t),
t1, tF,x(t1) = x1 фиксированы, x(tF) еГ . Требуется найти минимизирующую последовательность {ms} с D , на которой I(ms) ^ I* = inf I.
Будем применять принцип расширения и достаточные условия оптимальности. Введем в рассмотрение следующие конструкции:
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
R(t, x, u) = ((t +1, f (t, x, u)) - ((t, x), ju(t) = sup R(t, x, u)
ueU (t, x), xeX (t)
G( x) = F (x) + ((tF, x) - ф(^, xI),
l = inf G (x), x еГп X (tF).
tF -1
Составим с их помощью функционал L=G(x(tF)) -^R(t, x(t),u(t))
t,
(обобщенный лагранжиан). Легко проверить, что L = I на D, отсюда следует, что если имеется элемент m1 е D и элемент m11 такой, что L (m1 )> L (m11) , и если m11 е D, то I (m1 )> I (mn ) . Задача улучшения
управления для L проще, потому что она рассматривается без рекуррентной связи (дискретной цепочки). Далее речь пойдет о задаче:
x(t +1) = f (t,x(t),u) , u eU, I = F(x(tF)),
T = {tI,...,tF} - задано, x(tI) = xI - задано. Если задача дана с другими
ограничениями, то избавиться от дополнительных ограничений можно известным методом штрафов.
Чтобы задачу улучшения решать наиболее эффективно, целесообразно сводить ее к задаче оптимизации в достаточно малой окрестности известного элемента mI на упрощенной модели. Чтобы улучшенная траектория не вышла из заданной окрестности, надо локализовать задачу, т.е. добавить дополнительное условие |u - u1 (t) < а . Рассмотрим разность
AR = R (t, x,u)- R (t, xI (t),uI) . Линеаризуем ее и заменим моделью: AR = ARIy + ARV,
где y = x - xI (t), v = u - uI (t) , y0 = x0 (t), (aR^ , AR^ AR ) - вектор частных производных, которые берутся на элементе mI. Дальше будем максимизировать эту конструкцию по y, v . Введем в рассмотрение функцию H (t,y, x, u ) = y/T f (t, x, u ). Тогда AR запишется так: AR = H(y(t +1),x (t),uI (t)) y + H'iV-yt (t)y .
Будем максимизировать AR . Полагая, что AR « R'x Ax + AuR, будем выбирать v = Au так, чтобы v было достаточно малым
В.И. Гурман, Д.Ц. Будаева, С.Н. Насатуева. Оптимальное управление биопопуляцией с учетом инноваций на модели с возрастной структурой
(|| <a), (ul(t) + v(t))eU (U считается для простоты постоянным множеством). Иначе говоря, i будем подбирать так, чтобы
(ul (t) + i(t)) eUa = {u eU11| < a}.
При достаточно малом a отклонение от соответствующего приращения Ax будет малым. Модификация состоит в том, что вместо аналитического представления для i получается значение i, которое находится в множестве Ua . В процессе вычислений дело сводится к численному перебору на этом множестве a . Это дает возможность учесть ограничения
на u непосредственно без использования штрафных функций.
tF-i
Функционал AL тогда будет представлен так AL=-^/SuR, и если при-
t
ращение AuR > 0 , то AL < 0 .
1. Просчитывается цепочка
W(t) = - Hx (t, V(t +1), xl (t),ul (t)) при начальном условии на правом конце
W(tP) = - Fx(xl(tP)).
2. Находится va непосредственным поиском в окрестности ul.
3. Делается прямой счет
x(t +1) = f(t, x(t),U (t) + va (t)) .
4. Для различных a вычисляется P(xa(tP)), и это минимизируется по a, т.е.
P(xa(tP ) ^ min ^ a*.
a
5. Вычисляется un (t) = ul (t) + va>.
6. Управление ull(t) принимается за новое ul (t), и начинается новая итерация.
Критерий остановки - функционал перестает улучшаться.
3. Модифицированная модель стада КРС и ее информационное обеспечение
Рассмотрим приложение модифицированной модели биопопуляции из раздела 1 к задаче эксплуатации стада КРС с численностями животных
19
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
х1, х2, х3 в трех возрастных группах: от 0 до 1-го года, от 1-го до 2-х лет и от 2-х лет и старше. По содержанию и уходу наиболее затратны 1-я и 2-я группы. Из 1-й и 2-й групп возможна продажа живого скота, 2-я и 3-я группы используются для производства мяса и мясопродуктов, а 3-я группа - еще и для производства молочной продукции. Предполагается, что инновации приводят к уменьшению коэффициентов прямых затрат по содержанию и уходу а{ и увеличению годовых надоев от одной коровы ц . Динамика накопленного дохода описывается уравнением:
3 3
Я = ^Ри1) + Р4^ ю х3 - ^(а,хг) — , (6)
г =1 1 =1
где pi - цены на соответствующие виды продукции, а{ - удельные расходы по содержанию скота. В терминах общей модели получится 4-мерный вектор параметров q = (а1 ,а2,а3— ц) (Д-максимально возможное значение ц). Агрегирование не производится, т.е. 9 = д .
Требуется определить политику ведения хозяйства на заданном промежутке времени [К,^] , т.е. функции и(^, ё^), обеспечивающие мак-
I Р
симальное значение П^Р) (минимум функционала I = — П^Р)) при следующих граничных условиях и ограничениях:
0 < и < итах , 0 < ё < ётах, х^^ = х1, х^Р) = хр, П= 0, д^^ = дг,
X > х\.
Последние означают, что поголовье в каждой возрастной группе не должно уменьшаться ниже границы, определяемой из биологических и эксплуатационных соображений.
Описанная модель является концептуальной. Информационное обеспечение состоит в том, чтобы разработать и реализовать методики формирования таблиц параметров концептуальной модели, исходя из их содержательного смысла, с использованием первичной статистической информации, разнообразных литературных и документальных источников, целенаправленных эмпирических исследований и экспертных оценок.
Проблемы информационного обеспечения, с учетом сложностей получения междисциплинарных данных о взаимодействиях различных компонентов единой системы, представляются наиболее сложными. Они рассмотрены подробно в [6] вместе со способами их решения. Среди них отметим методологию абстрактных (виртуальных) экспериментов, которая существенно использует математические преобразования модели для выявления содержательного смысла многочисленных неизвестных параметров модели и формулирования соответствующих запросов на языке предметных специалистов. С помощью этой методологии был сформирован содержательный запрос на эмпирические данные (табл. 1):
20
В.И. Гурман, Д.Ц. Будаева, С.Н. Насатуева. Оптимальное управление биопопуляцией с учетом инноваций на модели с возрастной структурой
Таблица 1
Параметр Содержательная характеристика
У 2,3 коэффициенты перехода из одной группы в следующую: расчет, исходя из естественного взросления
К коэффициенты смертности: каков процент скота вымирает в год в ьй группе
о, в параметры плодовитости: каков приплод от одной коровы в год
ю доля коров в стаде
И годовые надои от одной коровы
й максимально возможное значение и
А* матрицы прямых затрат на инновации: примеры, сколько стоит повышение надоев и плодовитости путем приобретения более породистой коровы, улучшения условий содержания в пересчете на 1 единицу
Рг цены на соответствующие виды продукции (мясо, молоко, живой скот)
а удельные расходы по содержанию скота: расходы на 1 единицу в год в соответствующей возрастной категории
В результате обработки этих данных, дополненных условными на основе экспертных оценок, получены следующие значения параметров модели (табл. 2)
Таблица 2
Параметр Способ расчета Значение
У2 1 —, где т - число возрастных групп т 1
Уз 1 —, где т - число возрастных групп т 1 3
К определяется непосредственно из эмпирических данных о падеже скота [0.1, 0.01, 0]
О dxl х о = —- , где dx имеет смысл при-юх роста в год в 1-й группе 1
в определяется непосредственно из эмпирических данных о выходе телят 0.8
ю определяется непосредственно из эмпирических данных о поголовье скота 0.73
И определяется непосредственно из эмпирических данных об удоях 1 900
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
И определяется непосредственно из эмпирических данных об удоях 2 100
А* экспертная оценка с использованием эмпирических данных [6 000, 9 000,0,0]
Р информация из интернета [80, 150, 150, 15]
а экспертная оценка с использованием эмпирических данных [9 000, 6 500, 7 000]
4. Программное обеспечение и вычислительные эксперименты
Итерационный алгоритм из раздела 2 был реализован применительно к задаче управления поголовьем КРС в системе MAPLE-13, и проведена серия вычислительных экспериментов. Основные результаты представлены на рисунках 1-8 и в таблице 3.
В таблице показано изменение функционала по итерациям.
Таблица 3
№ итерации Уровень накопленного дохода
0 1 350 241
1 2 458 295
2 2 458 295
2, х 106 - 180 -160
1,5 х 106 -
/ 140 - *
1, х 106 - / *■* ' ' 120-
у;« *Ф 100-
5, х 105 - §0
0,5 1 1,5 2 0,5 1 1,5 2 Г
Начальное приближение -
- Алгоритм улучшения |
Начальное приближение -
- Алгоритм улучшения |
Рис.1. Уровень накопленного дохода Рис.2. Поголовье скота в 1-й группе
В.И. Гурман, Д.Ц. Будаева, С.Н. Насатуева. Оптимальное управление биопопуляцией с учетом инноваций на модели с возрастной структурой
450-
0,5 1 1,3 2
| Начальное приближение-Алгоритм улучшения |
Рис. 3. Поголовье скота во 2-й группе
Рис.5. Удельные расходы в 1-й группе (д1)
Рис.7. Удельные расходы в 3-й группе (д3)
Рис. 4. Поголовье скота в 3-й группе
Рис.6. Удельные расходы во 2-й группе (д2)
Рис. 8. Удои (¡л — ¡л )
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012
Зигзагообразный характер улучшенной траектории объясняется спецификой для применяемого алгоритма формирования управления в виде скользящего режима, который может быть заменен эквивалентным ос-редненным. Это соответствует гладкому осреднению полученной траектории, что не представляет затруднений.
Представленные результаты вычислительных экспериментов демонстрируют высокую эффективность применяемого универсального алгоритма улучшения для рассматриваемого класса задач с системой связей, близкой к линейной: практическая сходимость обеспечивается за одну итерацию (при том, что итерация содержит серию прогонов задачи Коши для исходной системы).
Заключение
Таким образом, построена модификация достаточно общей матричной модели биопопуляции с учетом инновационных процессов, и сформулирована задача оптимального управления по экономическому критерию эффективности. В качестве приложения исследована задача управления поголовьем КРС. Проведены эмпирические исследования по информационному обеспечению на примере крупной фермы, исходя из требований концептуальной модели с привлечением разнообразных источников и экспертных оценок. Для решения конкретной задачи оптимального управления применен универсальный итерационный алгоритм, основанный на достаточных условиях оптимальности и улучшения.
С этой точки зрения, данную работу можно рассматривать и как продолжение [4], где получено эффективное начальное приближение (магистральное решение), но не представлен алгоритм его улучшения. А также ее можно применять и как самостоятельную (из области моделирования популяций с возрастной структурой) для исследования различных проблем, включая демографические, когда специфическое магистральное решение получить не удается, и используются весьма произвольные начальные приближения. Полученные результаты показывают высокую эффективность применяемого алгоритма оптимизации в подобных условиях.
Литература
1. Динамическая теория биологических популяций / под ред. Р.А. Полуэктова.
М.: Наука, 1974.
2. Gurman V.I. Modeling and optimization sustainable strategies on regional level //
Proceedings of LI Int. Conference Econometrics of Environment 8nd
Transdisciplinarity / Lisbon, Portugal, April 1996. V. 5.
3. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона / под ред.
В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой. М.: Наука, 2001.
4. Гурман В.И., Халтар Д. Оптимальное управление ресурсами с учетом инноваций // Автоматика и телемеханика. 2011. №7. С. 5-12.
В.И. Гурман, Д.Ц. Будаева, С.Н. Насатуева. Оптимальное управление биопопуляцией с учетом инноваций на модели с возрастной структурой
5. Гурман В.И., Трушкова Е.А. Практические методы оптимизации. Переславль-Залесский: Изд-во ун-та Переславля, 2009.
6. Гурман В.И., Будаева Д.Ц. Проблемы информационного обеспечения модели региона // Вестник Бурят. гос. ун-та. Математика, информатика. Улан-Удэ, 2012. № 1. С. 20-25.
Гурман Владимир Иосифович, доктор технических наук, главный научный сотрудник ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, зав. кафедрой системного анализа Университета Переславля, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета. 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, e-mail: [email protected].
Будаева Должит Цырендондоковна, кандидат экономических наук, доцент Бурятской государственной сельскохозяйственной академии им. В.Р. Филиппова. 670024, г. Улан-Удэ, ул. Пушкина, 8, e-mail: [email protected]
Насатуева Соелма Номтоевна, магистр прикладной математики Бурятского государственного университета. 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, e-mail: [email protected].
Gurman Vladimir Iosifovich, doctor of engineering, principal researcher, A.K.Ailamazyan PSI RAS, head of system analysis department, Pereslavl University, professor of applied mathematics department, Buryat State University. 670000, Ulan-Ude, Smolin str., 24a.
Budaeva Dolzhit Tsyrendondokovna, candidate of economic sciences, associate professor, V.R. Filippov Buryat State Agricultural Academy. 670024, Ulan-Ude, Pushkin str., 8.
Nasatueva Soelma Nomtoevna, master of applied mathematics, Buryat State University. 670000, Ulan-Ude, Smolin str., 24a.
