Оптимизация рационального использования ресурсов в фермерском хозяйстве Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

© 2005 В.В. Колодяжный, А.И. Куев УДК 338.43 ББК 65.9 (2Рос) 32 К 61

Оптимизация рационального использования ресурсов в фермерском хозяйстве

Аннотация:

В статье рассматриваются вопросы развития фермерского хозяйства на основе математического моделирования. Показаны преимущества методов квазилинейного программирования в оптимизации рационального использования ресурсов в фермерском хозяйстве.

Ключевые слова:

Линейное программирование; квазилинейное программирование; оптимизация; математическое моделирование; функция релаксации; фермерское хозяйство.

Фермерские хозяйства в России являются небольшими по размеру организациями. В распоряжении фермера находятся незначительные размеры ресурсов и объемов производимой продукции. Так же как и для больших предприятий, для таких форм хозяйствования достаточно актуальной является задача оптимального распределения ограниченных производственных ресурсов. На конкретном примере одного из фермерских хозяйств в России проведено исследование модели Оудли по планированию фермы как частично-целочисленную линейную задачу с элементами динамики [1]. Нами осуществлена определенная модификация этой модели с целью расширения возможностей оптимизации. На основе новых инструментов моделирования [2].Такие модели на наш взгляд могут сыграть важную роль на данном этапе, когда проводятся исследования различных форм хозяйствования. Однако, принимая во внимание недостатки линейных моделей можно с уверенностью сказать, что требуется разработка моделей, учитывающих ситуации на рынке. Одним из подходов в данном случае может быть принят метод оптимизации пропорции в хозяйстве. С этой целью весьма успешно может быть использовано аппарат квазилинейного программирования. Нами разработаны модели, устанавливающие определенное равновесие в фермерском хозяйстве. Рассмотрим случай, когда фермер специализирует в производстве зерновых культур.

В фермерском хозяйстве имеется ограниченный размер пашни, один самоходный зерноуборочный комбайн и по одному колесному и гусеничному трактору. В случае необходимости фермер может взять в аренду грузовик, а также нанять работников на сезонные работы. Кроме того, недостающую технику можно купить или приобрести по лизингу. Ставится задача оптимизации структуры посевной площади с максимальной прибылью от реализации продукции с условием соблюдения в процессе организации и технологии, необходимых агротехнических требований, сроков проведения основных технологических операций выращивания зерновых культур. В качестве исходной информации принимаются следующие данные: размер пашни, затраты времени на 1 га, затраты труда, затраты на эксплуатацию и приобретение единицы техники, расходы по найму работников и аренды техники,

доход от реализации продукции.

Введем следующее обозначение переменных: хг - x10

- сельскохозяйственные культуры в расчете на разные способы производства, хп - пар. В качестве целочисленных переменных введено количество единиц техники: х12 -количество колесных тракторов; x13 - гусеничных тракторов, x14 - количество зерноуборочных комбайнов, x15

- работников, чел. На втором этапе решения задачи вводятся дополнительные переменные zt - количество арендованного машинного времени в t-й период.

График работы фермера:

5 мая - 10 мая - сев ячменя;

5 мая - 10 мая - сев овса.

15 мая - 20 мая - сев гречихи;

15 мая - 20 мая - пар. 26 июня - 3 августа - уборка озимой пшеницы;

26 июля - 3 августа - уборка озимой ржи;

5 августа - 10 августа - вспашка (пшеница);

5 августа - 10 августа - вспашка (озимая рожь);

5 августа - 10 августа - уборка (ячмень);

5 августа - 10 августа - уборка (овес).

15 августа - 20 августа - вспашка (ячмень);

15 августа - 20 августа - вспашка (овес);

25 августа - 30 августа - вспашка (гречиха).

Рассмотрим постановку линейной задачи оптимизации посевных площадей фермерского хозяйства.

Определить максимум следующей целевой функции F(x): _____

F(х)= Zcsxs <-ZCjXj -ctyt - Zctzt , seS iel teT

при условиях:

1) ограниченности посевных площадей:

ZXs < b ; seS

2) ограничения по технологическим операциям сельскохозяйственных культур по видам техники в определенные сроки:

zastixs < zbitxi + zctzt (i eI,teT);

seS iel teT

3) ограничения по трудовым ресурсам:

zkiasitxs <btiyt + zctzt (teT);

seS teT

4) требования по обязательному производству продукции:

2 ал > ьі> і є 1 о;

5) не отрицательности и целочисленности переменных:

х5 > 0,(5 є £),Хі > 0,(і є I)у/ > 0,і/ > 0,(ґ єТ ).

Обозначения индексов и множеств:

5 - номер сельскохозяйственной культуры, 5 є Б, где £ -множество всех видов сельскохозяйственных культур и пара;

і - номер вида сельскохозяйственной техники, і є I, где I -множество всех видов сельскохозяйственной техники (тракторов и комбайнов);

ґ - номер периода времени для выполнения сезонных сельскохозяйственных работ, ґє Т, где Т - множество всех периодов;

10 - множество ограничений по планам.

Искомые переменные: х5 - площадь і'-й сельскохозяйственной культуры, пара, (га); і/: - количество арендованного машинного времени в ґ-й период;

X - количество сельскохозяйственной техники (шт.); с - заработная плата работника, у.е.;

С - затраты на приобретение и эксплуатацию единицы і-го вида сельскохозяйственной техники (у.е.); а5 - выход продукции с единицы площади;

С - стоимость товарной продукции с 1 га і'-й культуры, у .е.; Ь - площадь пашни в хозяйстве, га;

Ьй- доступное время на одну единицу і-го вида техники в /й период, ч (коэффициента погодности и продолжительности периода в часах); а5ґі - затраты времени на обработку 1 га 5-й культуры или пара і-м видом техники в ґ-й период (ч.); к - коэффициент, обозначающий численность работников, обслуживающих і-й вид сельскохозяйственной техники.

Подставляя конкретные данные, получим числовую экономико-математическую модель.

В процессе решения задачи не предусматривалось условие целочис-ленности переменных. Однако для фермерского хозяйства учет этого фактора имеет существенное значение.

Это объясняется тем, что в фермерском хозяйстве используется небольшое количество техники стоимость, которой занимает в удельном весе финансовых ресурсов значительную часть. Поэтому изменение на единицу техники существенно отражается в финансовом положении хозяйства: что делает нецелесообразным

округление полученных величин. С этой целью вводятся дополнительные ограничения по целочисленности переменных. В разработанной математической модели учитывается возможность снятия напряженности ограничений задачи. В этом случае нами предлагается решить задачу в другой постановке. На наш взгляд достаточно эффективно можно использовать аппарат квазилинейного программирования в наиболее напряженных ограничений. На первом этапе строится линейная задача оптимизации. На втором этапе осуществляется корректировка показателя с целью достижения оптимальных пропорций. Необходимость корректировки уста- навливается с помощью решения двойственной задачи линейного программирования.

Рассмотрим две постановки задачи. Первый вариант

постановки предусматривает принятие в качестве целевой функции максимум прибыли при условии достижения согласованности ресурсных ограничений. По второму варианту снимается напряженность ограничений по производству продукции при минимизации затрат.

Целевые функции:

Затраты:

F1(x) = 400х1 + 700х2 + 380х + 500х4 + 350х5 + 490х6 + 320х7 + 480х8 + 300х9 +460х10 + 450х12 + 500x13 + 550х14 + 300х15 ^ max.

Прибыль:

F2(x) = 190х1 + 220х2 + 160х3 + 180х4 + 140х5 + 180х6 + 120х7 + 140х8 + 90х9 + 110х10 - 450х12 - 500х14 - 550х14 -300х15 ^ max.

Допустим, что фермер располагает l40 га пашни, один самоходный комбайн, и по одному самоходному и гусеничному трактору. Фермер имеет возможность арендовать грузовой автомобиль. В случае необходимости он может приобрести недостающую технику, а также нанимать работников в напряженные периоды.

1) ограниченности пашни и пара: х1+х2+х3+х4+х5+х6+х7+х8+х9+х10+х11 < 140;

ограниченности использования техники для выполнения сезонных работ в определенные сроки; по видам: колесные трактора:

2) сев ячменя и овса в l-м периоде:

0,8х5 + х6+ 0,83х7 + х8 < 45х12;

3) сев гречихи во 2-м периоде:

0,7х9 + 0,8х10 < 45х12;

4) уборка озимых в З-м периоде:

2х1 + 2,2х2 + 1,8х3 + 2х4 < 63х12

З) уборка ячменя и овса в 4-м периоде:

1,6х5 + 1,8х6 + 1,2х7+ 1,4х8 < 48х12;

6) уборка гречихи в З-м периоде:

2,7х9+ 2,2х10 < 40х12;

7) сев озимых по пару в 6-м периоде:

0,75х11 < 40х12;

гусеничные тракторы:

В) вспашка пара в 2-м периоде:

1,6хп < 45x13;

9) вспашка зяби в 4-м периоде (после уборки озимых): 1,45х1 + 1,5х5 + 1,45х9 + 1,5х10 < 48х13;

10) вспашка зяби в З-м периоде (после уборки яровых): 1,5х5 + 1,6х6 + 1,45х7 + 1,5х8 < 40х13;

11) вспашка зяби в 6-м периоде (после уборки гречихи): 1,45х9 + 1,5х10 < 40х13;

комбайны:

12) раздельная уборка озимых в З-м периоде:

1,9х1 + 2х2 + 1,6х3 + 1,8х4 < 63х14;

13) уборка ячменя и овса в 4-м периоде:

7,5х5 + 1,6х6 + 1,6х7 + 1,8х8 < 48х14;

14) раздельная уборка гречихи в З-м периоде:

2х9 + 2,2хт < 40x14.

Следующая группа ограничений введена для определения численности работников:

1З) сев в 1-м периоде:

1,8х7 + 2х8 < 45х15;

16) сев гречихи и вспашка пара во 2-м периоде:

1,4х9 + 1,6х10+ 1,6х11 < 45х15;

17) уборка озимых в З-м периоде:

6х1 + 7х2 + 5,4х3 + 6х4 + 1,7х5 + 1,8х6 < 63х15;

18) вспашка зяби после озимых и уборка яровых в 4-м периоде:

1,45хг + 1,5х2 + 1,45х3 + 1,5х4 + 4,5х5 + 4,8х6 + 4,2х7 + 4,3х8 < 48х15;

19) вспашка зяби после яровых и уборка гречихи в 5-м периоде:

1,45х5 + 1,6х6 + 1,45х7 + 1,5х8 + 6х9 + 7х10 < 40х15;

20) вспашка зяби гречихи и сев озимых зерновых в 5-м периоде:

1,5х7 + 1,6х8 + 1,45х9 + 1,5х10 < 40х15;

21) технологические условия выращивания культур, связанных с севооборотом:

х1 + х2 + х3 + х4 - х11 < 0;

22) - 26) требования по производству продукции:

40х1 + 50х2 > 2000;

30х3 + 40х4 > 200;

35х5+45х6 > 1424;

30х7+35х8 > 342;

30х9+35х10 > 300;

27) условия неотрицательности переменных:

х^ > 0, у = 1,15 .

На первом этапе проведены расчеты по задаче линейного программирования с целью определения необходимой техники по разным критериям оптимизации. Структура площадей находящихся по критерию максимума прибыли в распоряжении фермера определилась следующим образом: х1=0, х3=х5=х7=х9=0, х2=40, х4=5, х6=31,65, х8=9,77, х11=45.

На этом этапе проведены расчеты при достаточно напряженных плановых заданий по производству продукции:

Ь24 = 2000, Ь25 = 200, Ь26 = 1424, Ь27 = 342, Ь28 = 300.

Решение задачи оптимизации на последующих этапах предусматривает округление переменных по количеству необходимой фермеру техники и рабочей силы. С этой целью в модель вводятся дополнительные ограничения:

Х12 = 1, Х13 = 2 , Х14 = 2 , Х15 = 6 .

На третьем этапе решаются линейная задача и обобщенная задача квазилинейного программирования, с

фиксированием количества техники.

Предварительно определяются двойственные оценки продуктов. Данные табл. 1 свидетельствуют о завышенности запланированных фермером плановых требований. Это говорит о необходимости корректировки первоначально заданных объемных показателей по производству продукции.

Результаты расчетов показали значительную напряженность запланированных фермером заданий. Оценка проводилась по минимуму совокупности производственных затрат в фермерском хозяйстве. Известно, что оценить напряженность ограничения необходимо с помощью определенного показателя сравнения.

Таблица 1

Цена реализации и оценки сельскохозяйственной продукции, у.е. на 1 ц

Цена Оценка

Пшеница 15 42,12

Рожь 14 51,32

Ячмень 12 30,30

Овес 13 35,15

Гречиха 10 32,88

Таким показателем в процессе анализа продуктов нами часто принимается цена реализации. Согласно тому, что оценка определяет эффективность заданного требования производства, разность цены и оценки является показателем оптимальности построенной задачи.

На рис. 1 довольно успешно продемонстрирован ход вычисления решения задачи квазилинейного программирования. Поиск оптимума осуществляется с помощью одного из алгоритмов приведенного в работе [2].

На рис. 1 заметно, что от итерации к итерации решение приближается к равновесному.

На рис. 2 изображено множество Парето для двух критериев:

Рис. 1. График зависимости двойственной оценки у от правой части Ь и функции Ь(у).

Схема итерационного процесса.

F ^ min (минимум производственных затрат), b ^ max (максимум производственных затрат).Точки на ломанной кривой означают критические точки соответствующие изменению базиса решения задачи линейного программирования.

Информация об этой кривой является весьма важной для принятия решения фермером в определении оптимальных объемов производимой продукции.

Безусловно, можно решать задачу в итеративном режиме. Пользуясь этой функциональной зависимостью можно определить оптимальный объем продукции если использовать определенный показатель сравнения.

Аппарат квазилинейного программирования осуществляет эту процедуру весьма успешно. Построению функциональной зависимости изображенной на рис.2 соответствуют данные в табл. 2.

Таблица 2

Критерии оптимизации и оценки ограничений

k Fi (xj )j=i,n, у.е ь(У), ц У, (у.е.)/ц

0 - -

1 3В574 1000 10,00

2 3ВВ2В 1025 10,75

3 4151б 1275 10,75

4 41В71 1300 21,05

5 42923 1350 21,05

б 43б04 1375 30,03

7 52б94 1675 30,03

В 53477 1700 42,12

9 б 1901 1900 42,12

10 б29б4 1925 51,06

11 б4240 1950 51,06

12 б5б13 1975 60,26

13 67і 19 2000 60,26

Таблица З

Структура решения ЗЛП в критических точках

k о 1 2 3 4 5 б

b - 1000 1025 1275 1300 1350 1375

У - 10 10,75 10,75 21,05 21,05 30,3

Xl - 25 25,62 31,87 32,5 33,75 32,28

X2 - - - - - - 1,67

X3 6,66 6,66 6,66 6,66 5,82 0,82 -

X4 - - - - 0,62 4,37 5

X5 40,6 40,68 40,68 40,68 40,68 40,68 40,68

Хб - - - - - - -

X7 11,34 11,4 11,4 11,4 11,4 11.4 11.4

Хв - - - - - - -

X9 10 10 10 10 10 10 10

Xl0 - - - - - - -

Xll 6,66 31,66 32,2 38,54 38,95 38,95 38,95

Z3 - - 0,25 12,75 13,74 14,74 15,24

Z4 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77 30,77

Окончание табл.З

к 7 8 9 10 11 12 13

Ь 1675 1700 1900 1925 1950 1975 2000

У 30,03 42,12 42,12 51,06 51,06 60,26 60,26

Х1 2,28 - - - - - -

Х2 31,67 34 38 38,5 39 39,5 40

Хз - - - - - - -

Х4 5 5 5 5 5 5 5

Х5 40,68 40,3 4,3 - - - -

Хб - 0,3 28,3 31,64 31,64 31,64 31,64

Х7 11,4 11,4 11,4 11,08 4,08 - -

Х8 - - - 0,26 6,26 9,77 9,77

Х9 10 10 10 10 10 7,08 0,08

Х10 - - - - - 2,49 8,49

Х11 38,95 39 43 43,5 44 44,5 45

2з 21,24 21,8 30,6 31,7 32.8 33,9 35

30,77 30,77 23,5 26,64 22,64 22,64 22,64

Данные табл. 3 получены в результате проведения параметрического анализа. С этой целью введено

*

обозначение Ь; = Ь; +5;, /=22, где 5; - принимается в качестве подвижного параметра /-го планового *

ограничения, Ь; - максимально возможный уровень планового задания /-го ограничения в случае максимизации ЬОсуществлялась оптимизация по критерию минимума производственных затрат, с изменением параметра 5;, от нуля до максимального уровня Ь. Каждому значению параметра 5;, соответствует определенный уровень производственных затрат ^

При отсутствии производства пшеницы отзывчивыми культурами являются озимая рожь (1-способом), овес на богаре (1-способом) и гречиха. Озимая рожь остается эффективной с точки зрения орошения до тех пор пока производство пшеницы возрастает до 1300 ц. При достижении этого уровня объектного показателя в оптимальный план включается производство ржи вторым способом.

Пшеница предлагается выращивать интенсивным способом при достижении объемного показателя 1375. Фермер обходится без аренды машин, если в хозяйстве запланирована 1000 ц пшеницы. Дальнейшее наращивание этой культуры требует аренды машин.

При достижении объема производства пшеницы до 1700 ц необходимо ее производить только интенсивным способом. Такая же ситуация и по ячменю. Для гречихи этот предельный показатель равен 1925 ц. При этой ситуа-

ции ячмень можно производить только интенсивным способом. Гречиха производится первым способом при достаточно напряженном ограничении пшеницы. В оптимальный план эта культура включается на предельном уровне производства пшеницы. Таким образом, информация приведенная в табл. 3 для фермера является значительной степени важной. Знание характера изменения структуры от объема производства той или иной продукции дает возможность фермеру принять оптимальные решения и вести свое хозяйство эффективно. Однако вся проблема заключается в сложности построения этой таблицы. Этот фактор обуславливает необходимость разработки модели квазилинейного программирования. В этом случае существенно упрощается процедура поиска компромиссного плана. При этом заранее необходимо предложить изменение и зависимость параметров и осуществить попытку ее формализации. Проведенный параметрический анализ позволяет провести содержательную интерпретацию равновесного плана, тем самым продемон13 стрировать преимущества постановки многокритериальных задач, где наглядно представляется связь критериев оптимизации.

Примечания:

1. Белова Т.н. Математическая модель оптимизации производственной программы для фермерского хозяйства // Достижения науки и техники АПК, №4, 1998.

2. Куев А.И. Модели наилучшего использования ресурсов в сельском хозяйстве. - Финансы и статистика, Москва, 1994.