CC BY
6
Y
ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕК ИЗМЕРЕНИИ ИНДУКЦИИ ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ НАМАГНИЧЕННОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Арутюнян Роберт Владимирович,
Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана, Москва, Россия, rob57@mail.ru
Некрасов Сергей Александрович,
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), г. Новочеркасск, Россия, nekrasoff_novoch@mail.ru
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10329
Исследования на тему статьи выполнены при поддержке гранта РФФИ 18-01-00204 "а".
Ключевые слова: постоянные магниты, намагниченность, скалярный магнитный потенциал, интегральное уравнение магнитостатики, обратная задача, идентификация.
Статья посвящена рассмотрению методов неразрушающего контроля намагниченности постоянных магнитов на основе решения обратной задачи магнитостатики. Новыми являются результаты, относящиеся к оптимизации расположения точек измерений индукции, в том числе с учетом различий погрешности измерений в разных точках измерения. Согласно практике магнитной дефектоскопии влияние поля сторонних токов не принималось во внимание. Учитывалось наличие ферромагнитного каркаса. Для идентификации намагниченности применяется подход на основе интегрального уравнения магнитостатики. Для стационарного поля вводится скалярный магнитный потенциал. Применяется соответствующий численный метод (ячеек) для решения интегрального уравнения магнитостатики. Объем магнитного материала разбивается на ячейки (элементарные параллелепипеды). В пределах ячейки намагниченность считается постоянной. Интегралы по области ячеек вычисляются аналитически, а напряженность для точек вне объема магнитного материала вычисляется по соответствующим аналитическим соотношениям. Для регуляризации СЛАУ применяется метод А.Н.Тихонова, основанный на минимизации функционала с некоторым параметром регуляризации, который приводит к СЛАУ уже с квадратной матрицей. По причине наличия погрешности измерений разные точки измерений характеризуются различной информативностью. Для учета этого обстоятельства применялся метод взвешенных сумм. Весовой коэффициент принимается обратно пропорциональным погрешности измерения. Минимизируемый функционал в методе регуляризации в связи с отмеченным обстоятельством принимает вид взвешенной суммы, где весовые коэффициенты обратно пропорциональны погрешностям измерений. В качестве модельной задачи рассмотрена идентификация намагниченности в области прямоугольного постоянного магнита, находящегося на ферромагнитном основании. Рассмотрена оптимизация расположения точек измерений. С целью повышения адекватности модели применялся метод взвешенных сумм. Вес слагаемого принимался обратно пропорциональным погрешности измерения. Применение оптимизации и метода весовых коэффициентов значительно повышает эффективность рассматриваемой методики.
Информация об авторах:
Арутюнян Роберт Владимирович, Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана, к.ф.-м.н., доцент кафедры "Вычислительная математика и математическая физика", Москва, Россия
Некрасов Сергей Александрович, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), д.т.н., профессор, г. Новочеркасск, Россия
Для цитирования:
Арутюнян Р.В., Некрасов С.А. Оптимизация расположения точек измерений индукции при идентификации намагниченности с использованием метода весовых коэффициентов // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №121. С. 24-28.
For citation:
Arutyunyan R.V., Nekrasov SA. (2019). Optimization of the location of induction measurement points in the identification of magnetization using the method of weight coefficients. T-Comm, vol. 13, no.12, pр. 24-28. (in Russian)
У
1. Введение
Одной из актуальных проблем электротехники является идентификация намагниченности постоянных магнитов |1-6]. 13 работах [I. 2] описан метод оценки намагниченности постоянных магнитов по известному распределению магнитного поля в Окружающем пространстве с учетом присутствия магнитомягких материалов. В данной статье результаты работ [1, 2] дополнены результатами, относящимися к оптимизации расположения точек измерений индукции, в том числе с учетом различий погрешности измерений в разных точках измерения. Согласно практике магнитной дефектоскопии влияние поля обмоток с током не учитывалось. Предполагается, что магнитная система состоит из постоянных магнитов и конструкционных частей из ферромагнитных материалов с известными характеристиками.
2, Идентификация намагниченности на основе интегрального уравнения магнитостатики
Основное материальное уравнение магнитостатики:
М = В/\10 — Н , где М - намагниченность, В —индукция,
Н - напряженность магнитного поля.
Объем магнитного материала обозначим через V. Часть этого объема К™ представляет собой постоянный магнит, оставшаяся часть объема Vу — ферромагнетик. Согласно ранее сформулированному предположению влияние поля обмоток с током не учитывается. Напряженность магнитного поля создается только в результате намагниченности объема и в любой точке {9 пространства равна [1,2]:
где поверхность ячейки представляет собой объединение граней5 ^ и и 5, и и ЦЦ и с нормалями
п„ = (-1,0,0),*,; = (1,0,0),«,! = (0,-1,0),
Пу2 = (0,1,0), Я,! =(0,0,-1), п:2 =(0,0,1).
Координаты вершин ячеек обозначим в виде: (*,(У\уУК г\),/■ = !,...,8;у = 1,...,Д1Г
Умножим (1) на вектор нормали Щ) к поверхности 5 объема V. В качестве выберем точки 01 (/=1,...,Л'|) вблизи поверхности 5, в которых приблизительно известна индукция В(О,). а в качестве По - орты декартовой системы координат. Используя выражение (1), с учетом связи В = \1пН получим СЛАУ для решения интегрального уравнения задачи идентификации намагниченности:
Но V1
( - -| ГрдП@4$р
ГрдПос!$г
'РО
АП
ГрдПус/5г, г Г рд ПдС(8р
' рд
\
М\
| ГрдПдОЛ,, |
Л1) гро АЛ
Г? J -3 0 9
г ~ ~ ^ т \
ГроПдс}8р г ГрдПд(К>,
М{А +
(2)
| ГрдПда^,, |
и) грд ¿и)
'рд
М
(у)
При отмеченных обстоятельствах интегральное уравнение магнитостатики записывается в виде:
Уравнение (2) с использованием матричных символов
I можно переписать в виде:
где 1 = ц/ц,, - 1 - магнитная восприимчивость материала, Мп(0) - остаточная намагниченность в точке О тела V (в объеме ферромагнетика она равна нулю).
3. Численный метод решения интегрального уравнения
Объем магнитного материала разобьем на Л» ячеек V,-(элементарные параллелепипеда). В пределах ячейки считаем намагниченность постоянной. Тогда интегралы но области ячеек вычисляются аналитически, а напряженность для точек О вне объема магнитного материала записывается в виде [1,2]:
7 -
И
где значения компонент векторов связаны с координатами вектора намагничивания соотношениями
Му-2=ь^Мн== .
Предполагается, что значения индукции магнитного поля являются результатами измерений с некоторой погрешностью £ (около 1 %):
вя1«вя(а), в„^вп(о,)(]+Б(;>),
нш)=—у
| ггдс/Б,, | Гру1 ГГ0 ГР
г ГР(>айр г Г гдС
1 J
грос18в
М['] +
( -
с ГЩШБВ
(1)
М\'> +
(3)
Дг - количество точек измерений, которое не во всех случаях соответствует числу ячеек разбиения области магнитного материала Л^, по данной причине матрица в соотношении
(3) не всегда является квадратной.
Для регуляризации задачи решения СЛАУ (3)-(4) применим метод А.Н.Тихонова, основанный на минимизации
( \ г >'1\>с15г
~~г*
л];1 ее я};1 го )
М
и)
функционала —+ст|Л/л| —>тт с параметром
регуляризации а, который приводит к СЛАУ уже с квадратной матрицей [1, 2]:
Шк+АТАМ11=АГЬ1,. (4)
Т-Сотт Уо!.13. #12-2019
т
При условии |ев —>0, наилучшее значение параметра
регуляризации стремится к нулю (а—>0), при этом соответствующая последовательность решений СЛАУ (4) сходится к точному решению задач.
Метод весовых коэффициентов
По причине наличия погрешности измерений разные точки измерений характеризуются различной информативностью. Для учета этого обстоятельства применялся метод взвешенных сумм. Весовой коэффициент принимается обратно пропорциональным погрешности измерения. Минимизируемый функционал в методе регуляризации в связи с отмеченным обстоятельством принимает вид:
и ( N V
стоя:п[ого магнита [1а расстоянии размера ячейки разбиения расчетной области.
2>, ЪФг~в.»
+ а Ш,
► min
м„
весовой коэффициент обратно пропорционален погрешности измерения:
* = 1М°,
Уравнение(4) принимает вид:
.V, _ м
аМ„ +СМ„ =Зк, с0 = 4 =YJ^vkaJk,iJ = 1, N.
*-1
Интегралы в (1), (2) рационально вычислять при помощи точных соотношений, описанных в [1,2].
4. Описание результатов решения модельной задачи
Решалась задача восстановления значений вектора намагниченности в области постоянного магнита, имеющей форму параллелепипеда:
Ут = {0сс<4; о <у<1*у;Ь/ <2<и)
Магнит находится па ферромагнитной пластине Ух= {0<х<4; 0<у<Ьу;0<кЬг}. Размеры варьировались в следующих пределах: 4 = 0.01,,..,0.1; 4 =0.01,.,.,0.1;
4 =0.01,...,0.1; Ц -0.005,...,0.05.
Каждая из областей Урт и V/ подвергалась дискретизации, разбиению па ячейки в форме параллелепипедов. Степень измельчения расчетной области характеризуется значениями: пу,п_ =2,...,5; в результате количество ячеек, на
которые разбивался объем магнитного материала Л(,=йд,я_,
принимало значения из интервала 8,...,125. Размеры ячеек определя ются по формулам Ьх — Ц./пх, А1. =4/*^ =4/*^ -
Объем постоянного магнита считается равномерно намагниченным по направлению оси аппликат с наибольшей остаточной индукцией £? =11л :
М^ = о, м<у) = о, м[А = В„/ц0, у=
Значения намагниченности в области ферромагнитного основания находятся при помощи вычислений. Погрешность измерений компонент вектора магнитной индукции была задана в расчетах случайно распределенной по равномерному закону со средним значением е=1СГ2 , то есть 1%. Пред-
Обозначим через
величину дисперсии отношения точного значения координаты вектора намагниченности к соответствующему приближенному, Угловые скобки обозначают усреднение по объему ферромагнетика. В идеале данное отношение равно единице, а отклонение — нулю.
Оптимизация расположения точек измерений
Дает возможность достичь более высокой точности идентификации намагниченности при одном количестве экспериментальных измерений магнитной индукции. Наряду со случайным распределением координат точек измерений применялось квазислучайное (низкодисперсное). В качестве основного метода оптимизации применялся метод, аналогичный методу покоординатного спуска, реализованный в программе MINV [7J.
Информативность точки измерений уменьшается с ростом погрешности измерений индукции. При большой погрешности соответствующие слагаемые критериальной суммы приводят к сильному искажению результата вычислений. С целью повышения адекватности модели применялся описанный выше метол взвешенных сумм. Вес слагаемого принимался обратно пропорциональным погрешности измерения. Следовательно, неинформативные точки измерений при вычислениях игнорируются,
В примере моделировалась магнитная конструкция с аналогичными, что и в предыдущем пункте статьи, геометрическими характеристика м и:
4 =0,01; 4 =0,01; L =0,01; Ц =0,005 .
Количество разбиений расчетной области на ячейки по осям координат равно: пх=п=2, п_= 4 ■
Измерения магнитной индукции, согласно предположению, осуществлялись в 12 точках (jV(=12). Точки измерений располагались только над верхней гранью постоянного магнита в форме параллелепипеда на удалении, равном размеру ячейки разбиения. Гипотетические экспериментальные значения характеризовались погрешностью 1% при случайном равномерном распределении. Предполагалось, что объем постоянного магнита был равномерно намагничен вдоль оси OZ при значении остаточной индукции, равной 1 Тл.
В качестве функции цели при оптимизации рассматривалась величина относительного отклонения расчетных значе-
нии намагниченности от заданных
^{(Mj/MJ-I).
полагалось, что точки измерений находятся вне объема по- _у3=0,00499.
Для учета ограничений на координаты точек измерений вида § < х < < у < вводилась соответствующая
функция штрафов. Погрешность вычислений координат точек локальных минимумов характеризовалась значениями порядка 10~\,, 10
Найденные множества точек локальных минимумов характеризуются свойствами симметрии, отраженными на представленных ниже рисунках. Глобальный оптимум определяется значениями координат точек измерений: х,=0,00315; V,=0,00322; А'2=10 7; >ч=10 х,=0,00546;
T-Comm Том 13. #12-2019
Y
Координаты .y4i_|'4, х]2,Уи находились из соображений симметрии. Параметры глобального минимума имеют вид:
(М,/М,)= 0,93 - 1; $ -1^=0,2061; ^=0,19;
minMjjMj = 0,65; тахЦ/м =1,19. У ^
10«- ® 08 ••
О О
06 -о о
0 4
о о
02
02 04 06 08
—•-»
1.0 х
0.2 0.4
0.6 0.8
1.0
У А 10 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 --
Pitt. 1. Множество точек гипотетических измерений магнитной индукции, соответствующее глобальному минимуму целевой функции
Для метода с весовыми коэффициентами соответствующее решение имеет вид: ,V| =0,003 05; у\ =0,003 38; А-:=0,00 15901; >'2=0.001811; *3=0,00404; ' у>3=0,005.
{M,lMj)= 0,98 - 1; ^(м./А/,.)'-1^=0,1272; 5=0,21; minM^Mj = 0,69; птахА^/Л/, =1,39.
У A 1.0 -0.8 -■
0.6 -0.4 -0.2 -■
Рис. 2. Точки измерений индукции (метод с весовыми коэффициентами)
Топология решений, отвечающих локальным онтимумам, является разнообразной. Близкое к глобальному оптимуму по характеристикам решение, вычисленное обычным методом представлено на рис. 3. I [арамсгры соответствующего
решения: 0,92; ^(м ,/М ,-1^=0,21545;
я=0,20;ш\пМ./М1 =0,63; тахЛ>г/Л-/, =1,21.
О 0.2 0 4 0.6 0 8 1.0 к,
Рмс. 3. Одно из частных решений задачи оптимизации
Заключение
Рассмотрена задача оптимизации расположения точек измерения индукции поля, в том числе с учетом погрешности измерений на основе метода взвешенных сумм. В качестве наилучшего метода оптимизации как при обычном подходе, так и в случае применения весовых коэффициентов, зарекомендовал себя метод, аналогичный покоординатному спуску и реализованный в программе MINV. Применение оптимизационного подхода и метода взвешенных сумм позволяет значительно повысить эффективность численно-экспериментальной методики идентификации намагниченности. Исследованные модели и методы могут, в принципе, применяться при решении многих других задач неразру-шающего контроля в различных областях техники.
Литература
1. Денисов П.А. Решение прямых и обратных задач анализа магнитного поля электротехнических устройств с постоянными магнитами при их локальном размагничивании. Диссертация на Соискание ученой степени кандидата технических наук. Новочеркасск. 2016. 119с.
2. Денисов П.Л., Черноиван Д.Н., Середина П. Б, Идентификация намагниченности в объеме постоянного магнита на ферромагнитном основании методом интегральных уравнений е учетом ширины петли гистерезиса // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №3. С. 24-31.
3. Арутюнян РЖ, Некрасов С.А.. Середина П.Б. Идентификация намагниченности постоянных магнитов на основе метода скалярного магнитного потенциала И Изв. вузов. Электромеханика. №6. 2018. С. 19-25.
4. Денисов П.А. Описание петли гистерезиса с использованием явных выражений для модели Джилоа-Атертона второго уровня // Изв. вузов. Электромеханика. 2018. Т. 61, J6 1. С. 6-12.
5. Идентификация намагниченности постоянных магнитов с учетом влиянии стального каркаса на основе решения обратной задачи магнитостатики: свидетельство № 2019661636 о государственной регистрации программы для ЭВМ / Некрасов С.А. -заявка № 201 %18701/69; дата поступления 15.07.2019; дата государственной регистрации в реестре программ для ЭВМ России 04.09.2019.
6. Решение одной нелинейной обратной задачи магнитостатики методом регуляризации / Е. 11. Жидков, И. В. Куц, Р. В. Полякова и др. Дубна: ОИЯИ, 1988. 10 с. (Препр. Объед. ин-т ядер, исслед.; Р11-88-335). https://search.rsl.rii/ru/record/0100l422197,
7. Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пчстр Ф.. Безье Г1. Математика и САПР. М.: Мир, 1989. 264 с.
т
OPTIMIZATION OF THE LOCATION OF INDUCTION MEASUREMENT POINTS IN THE IDENTIFICATION OF MAGNETIZATION USING THE METHOD OF WEIGHT COEFFICIENTS
Robert V. Arutyunyan, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia, rob57@mail.ru Sergey А. Nekrasov, South Russian state Polytechnic University (NPI), nekrasoff_novoch@mail.ru
Abstract
The article is devoted to the methods of nondestructive control of magnetization of permanent magnets on the basis of solving the inverse problem of magnetostatics. New are the results related to the optimization of the location of the induction measurement points, including taking into account the differences in the measurement error at different measurement points. According to the practice of magnetic flaw detection, the influence of the field of external currents was not taken into account. The presence of a ferromagnetic frame was taken into account. An approach based on the integral equation of magnetostatics is used to identify magnetization. A scalar magnetic potential is introduced for a stationary field. The corresponding numerical method (cells) is applied to solve the integral equation of magnetostatics. The volume of magnetic material is divided into cells (elementary parallelepipeds). Within the cell, the magnetization is considered constant. Integrals over the cell region are calculated analytically, and the strength for points outside the volume of the magnetic material is calculated from the corresponding analytical relations. For Slough regularization, the Tikhonov method based on minimization of a functional with some regularization parameter is used, which leads to SLOUGH with a square matrix. Due to the presence of measurement errors, different measurement points are characterized by different information content. The weighted sum method was used to account for this. The weight factor is taken inversely proportional to the measurement error. The minimized functional in the regularization method in connection with the noted circumstance takes the form of a weighted sum, where the weight coefficients are inversely proportional to the measurement errors. Identification of magnetization in the region of a rectangular permanent magnet located on a ferromagnetic base is considered as a model problem. Optimization of the location of measurement points is considered. In order to improve the adequacy of the model, the weighted sum method was used. The weight of the term was taken inversely proportional to the measurement error. The use of optimization and the method of weight coefficients significantly increases the efficiency of the considered technique.
Keywords: permanent magnets, magnetization, scalar magnetic potential, integral equation of magnetostatics, inverse problem, identification. References
1. Denisov P.A. (2016). Solution of direct and inverse problems of magnetic field analysis of electrical devices with permanent magnets at their local demagnetization. The dissertation on competition of a scientific degree of candidate of technical Sciences. Novocherkassk. 119 p.
2. Denisov P.A., Chernoivan D.N., Seredina P.B. (2019). Identification of magnetization in the volume of a permanent magnet on a ferromagnetic base by the method of integral equations taking into account the width of the hysteresis loop. T-Comm. Vol. 13. No. 3, pp. 24-31.
3. Arutyunyan R.V., Nekrasov S.A., Seredina P.B. (2018). Identification of magnetization of permanent magnets on the basis of scalar magnetic potential method. Izv. higher educational. Electromechanics. No. 6, pp. 19-25.
4. Denisov P.A. (2018). Description of the hysteresis loop using explicit expressions for the gills-Atherton model of the second level. Izv. higher educational. Electromechanics. Vol. 61. No. 1, pp. 6-12.
5. Identification of magnetization of permanent magnets taking into account the influence of steel frame on the basis of solving the inverse problem of magnetostatics: certificate No. 2019661636 on state registration of computer programs / Nekrasov S.A. application No. 2019618701/69; date of receipt 15.07.2019; date of state registration in the register of computer programs of Russia 04.09.2019.
6. Solution of one nonlinear inverse problem of magnetostatics by regularization method / E.P. Zhidkov, I.V. Kuts, R.V. Polyakova et al. Dubna: JINR, 1988. 10 p. (Prepr. 'ed. in-t kernels. research.; PII-88-335). https://search.rsl.ru/ru/record/0l00l422l97.
7. Germain-Lacour P., Georges P.L., Pistre F., Bezier P. (1989). Mathematics and CAD. Moscow: Mir. 264 p. (in Russian)
Information about authors:
Robert V. Arutyunyan, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia, Ph.D., associate professor of the Department of Computational mathematics and mathematical physics, Moscow, Russia
Sergey А. Nekrasov, South Russian state Polytechnic University (NPI), doctor of engineering, Professor, Moscow, Russia
