CC BY
33
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №6_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Ф.М.Мирпоччоев*
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ
Институт математики АН Республики Таджикистан,
Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова
Решена задача нахождения оптимальных квадратурных формул для криволинейных интегралов первого рода на классе функций с ограниченной по норме пространства L \<q < со градиента.
Ключевые слова: квадратурная формула - криволинейный интеграл - погрешность - узлы - производная.
К настоящему времени задача нахождения оптимальных квадратурных формул решена для обычных римановых интегралов на классах функций с ограниченной производной заданного порядка и классах функций, задаваемых модулями непрерывности. Обзор полученных результатов приведен
Н.П.Корнейчуком в дополнении к книге С.М.Никольского [1]. Идеи, изложенные в [1], все еще находят различное применение в задачах численного анализа. Одним из возможных приложений указанных идей является приближенное вычисление криволинейного интеграла первого рода.
В данной заметке рассмотрим задачу о приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода в виде следующей квадратурной формулы, использующей линейные комбинации конечного числа значений подынтегральной функции
П
|/(Р)<* = Х4-/«)+й,(/;П. (i)
___ П
где РкеГ, к = 1,п. По аналогии с известными монографиями [1-3], сумму Z АКРк) будем назы-
к=1
вать квадратурной суммой, а Ак,к = \,п и Рк,к = \,п, соответственно, коэффициентами и узлами квадратурной формулы (1). Rn(f',Y) - погрешность формулы (1) на функцию /, заданную на кривой Г. Ясно, что для достижения высокой точности вычислений при заданном п нужно возможно лучшим образом воспользоваться выбором коэффициентами Лк и узлами Рк в квадратурной формуле (1).
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни 299/1. Институт математики АНРТ. E-mail: shabozov@mail.ru
Всюду далее через VJKO, S) обозначим класс плоских спрямляемых кривых Г расположенные в области Q = {(х,у) '.x2+y2<S2}, у которых длина равна S и кривизна кусочно-непрерывна. Из курса дифференциальной геометрии известно [4], что параметрические уравнения кривой Г є 9Jl(Q, S), отнесенной к длине дуги s (0 < s < S) как параметру, в декартовой системе координат OXY имеют вид
х - Jcos /З (s)ds + х0, (2)
0
у= j’sin/?(»fe + >’0, (3)
0
где (х0, у0) - координаты начальной точки кривой Г,
0(s)= ^k(T;s)ds + /30,
0
Д, - угол, образованный касательной к кривой Г в точке (х0,у0) с положительным направлением оси ОХ, к(Г; s) - кривизна кривой Г в точке с координатами (л'(л'), X5))-
Обозначая через sk,sk є [0,Л] значения длины дуги л є Г, которые соответствуют точкам Рк є Г, перепишем квадратурную формулу (1) следующим образом:
S п
\f(x(s),y(s))cis = Akf(x(sk),y(sk)) + Rn(f-,T), (1)’
0
где х = x(s), у = V ) - параметрические уравнения кривой Г, представленные в виде (2),(3).
Пусть := W<IJ>/,/i (О, М), \< р< сс - класс функций f(P) = f(x,y), у которых почти
всюду в области Q существуют частные производные of / дх, df / ду и выполняются условия
\1/Р
ll§rad f\P = и dfidx 2+ д//ду
Р
ds
<М. (4)
Ясно, что для каждой функции / е И/'/<и> и каждой кривой Г е дЖО]Б) погрешность квадратурной формулы (1) имеет вполне определенное численное значение
» п
Rn(A О = |/(*0),Х*)>* - S Akf(x(sk\y(sk))-
к=1
За величину, характеризующую точную оценку погрешности квадратурной формулы на всем классе функций Ж(1Д) на заданной кривой Г е 931(0', £), примем величину
,Г) = 8ирК(/;Г)|:/єЖ;
О
о
Наибольшую погрешность квадратурной формулы на классе %R(Q', S) всех кривых Г, длина которых не превосходит S, обозначим
Rn(W^;M(Q;S)) = sup Rn(W(-lx>-T)-.T eWl(Q;S) .
Чтобы получить приемлемую формулу, которую можно было бы считать оптимальной для класса функций W^u) и класса кривых ЭДТ(Q; S), нужно потребовать, чтобы формула (1) была точной для функций f (х, у) = const, то есть, потребуем выполнение равенства
Г ' '
Нижнюю грань
к=1
SnQV™-M(Q,S)) =
,inf{aK(G;S)):, 0<s<S; ¿A=s]
k=1
по аналогии с определением из [1] будем называть оптимальной оценкой погрешности квадратурной формулы (1) на классе функций и классе кривых 9ЖО; Л’). Если существует квадратурная
формула (1) , для которой выполняется равенство
¿Ж"’;®!®.?)) = ^(^и>;Ш1(ЙХ)),
то будем ее называть наилучшей или оптимальной на классах Ж1Д) И Ш(££).
Для произвольной функции / е как функции /(х^^у^)) одного переменного запишем формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши и подставим в квадратурную формулу (1) . Тогда погрешность квадратурной формулы (1) представима в виде
Д||(/;г)=¥ ■.*+уш,т) .5» У(,у,. (5)
Д дх (Зя ду (Зя)
где ядро &(5) определяется соотношением
п
= (зк-я)0+ =[шах(0,^-5)]°.
к=1
Оценивая правую часть (5) согласно неравенству Гельдера и учитывая тождество (¿Ьс / с!$)2 + (с/у / ¿/л)2 = 1, для произвольной функции / е И//<и> получаем оценку сверху
р
is Л1''«
|Л„(/;Г)|<М \\K(s)\<ds
- + - = 1. (6)
Р ч
\0 J
Рассмотрим кривую Г* е 9Л(0, S), которая задана параметрическими уравнениями
I л: = 5/л/2
ПН г (о<5<^),
I у - 5/у2
и выберем функцию Г* є Ж(11) в виде
где
л у
Ґ(х,у)= ^(р(і)сіі+
о о
ко=#М[;[0,5] • і ^(0 г -^(о,
п
к=1
Подставляя функцию / (х,у) и Г* в равенство (5), убедимся, что в неравенстве (6) имеет место знак равенства. Этим доказано, что правая часть неравенства (6) является точной верхней границей на множествах функций Ж(1Д) и кривых 9Л((9; Л’ ):
\1/д
К^ще-М-м ||/СИГ*
Обозначим <Ук = ^ / Л',= Ак / Б. Тогда
\о
(7)
/Г(0 = £
= £/Г(5/£).
Производя в правой части равенства (7) замену переменной т = я IБ и учитывая, что точную нижнюю грань в выражении
і? = іпі^
/5 _ Л1/<? »
:Ю”=1, 0<(7к <1, {а*}*=1, £а*=1
V 0 / І=1
реализуют числа ак=\/п, стк = (2к — \)!2/7, к = \,п и Я = М (2п^[д + їу1 (см., например, [3, стр.140]), получаем следующее общее утверждение.
Теорема. Среди всех квадратурных формул вида (1) для приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода на классе функций , 1 < р < со и классе кривых 9Л((9; $) наилучшей является квадратурная формула
г Vй
|лл*=-Ё/
и ¿=1
V V
2п
,У
2 п
лет
(8)
/у
где х — х(я), у — у(я) - параметрические уравнения кривой Г, 5 - ее длина. При этом для погрешности формулы (8) справедлива точная оценка
мч1+^
£я(уг™\т&м= / , (9)
2пЦд +1
Замечание. Из (9) при = 1 следует результат работы [5].
Авторы выражают благодарность профессору С.Б.Вакарчуку за ценные замечания и советы, использованные в работе.
Поступило 05.05.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979, 256 с.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.:Наука, 1975, 632 с.
3. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967, 500 с.
4. Финников С.П. Курс дифференциальной геометрии. - М.:Гостехиздат, 1952, 343 с.
5. Вакарчук С.Б. - Укр. матем. журнал, 1986, т.38, №5, с. 643-645.
М.Ш.Шабозов, Ф.М.Мирпоччоев*
БЕХТАРКУНИИ ТАЦРИБИ ИНТЕГРОНИИ ИНТЕГРАЛХОИ КАЧХАТТАИ ЧИНСИ ЯКУМ БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯХО ВА ХАТХОИ КАЧ
Институти математикаи Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон,
*Донишгох,и давлатии Хуцанд ба номи Б.Рафуров
Масъалаи ёфтани формулах,ои квадратурии оптималии интегралх,ои качхаттаи чинси якум барои синфи фупксияхос. ки градиента опхо аз руи нормаи фазой L \<q<co махдуд аст, хдл карда шудааст.
Калима^ои калиди: формулаи квадратури - интеграли кацхатта - хатоги - гиреууо.
M.Sh.Shabozov, F.М.Мirpochchoev*
OPTIMIZING APPROXIMATE INTEGRATION OF CURVILINEAR INTEGRAL OF THE FIRST TYPE FOR SOME CLASSES FUNCTION AND CURVES
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
B.Gafurov State University of Khujand The problem of finding the optimal quadrate formulas for curved integrals of first order on classes functions with limited norm space L \<q<co gradient was solved.
Key words: quadrature formula - curvilinear integral - error - node.
