CC BY
37
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №9__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Д.С.Сангмамадов
НАИЛУЧШИЕ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА
Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 20.07.2011 г.)
В работе для классов дифференцируемых функций, у которых градиент функций по норме пространства А , 1 < р< со ограничен, вычислена точная оценка погрешности квадратурных формул для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода.
Ключевые слова: криволинейные интегралы первого рода - вектор коэффициентов и вектор узлов -квадратурная формула - погрешность.
Одной из актуальных задач численного анализа является задача приближённого интегрирования функций, заданных на конечном или бесконечном отрезке \_а,Ъ\ К настоящему времени экстремальная задача об отыскании наилучшей квадратурной формулы и получении точного её остатка решена для регулярных интегралов на классах функций с ограниченной по норме производной в пространстве }¥(г)Ьр[а,Ь],г = 0,1,2,...,1< р< оо и классах 1¥{г)Нш\а,Ь\г = 0,1,2,....
Все полученные результаты до 1979 г. приведены Н.П.Корнейчуком в дополнении к монографии [1]. Тем не менее многие такие вопросы, как оптимизация приближённого вычисления сингулярных интегралов, криволинейные интегралы, остались вне рамках указанной монографии.
В данной заметке рассмотрим задачу приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода в виде следующей квадратурной формулы, использующей линейные комбинации конечного числа подынтегральной функции
N
|/(М)* = Хй.да,)+«,(/;Г), (1)
____ N
где /(М) — /(х,у),Мк є Г, А' = 0, N. Сумму У" рк/(Мк) будем называть квадратурной суммой,
£=0
рк и М к - соответственно, коэффициентами и узлами, Их (./; Г) = Их (/; Г;рк,Мк) - погрешность формулы (1) на функцию /, заданную и определённую вдоль кривой Г сі К2. Для достижения вы-
Адрес для корреспонденции: Сангмамадов Давлатмамад Сайфович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Борбад, 48/5, Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан. E-mail: davlat@mail.ru
сокой точности вычислений при заданном N необходимо возможно лучшим образом воспользоваться выбором коэффициентов рк и узлами Мк в квадратурной формуле (1).
Мы приводим здесь решение задачи Сарда [1] для квадратурной формулы (1), когда кривая Г задана параметрическими уравнениями, узлы Мк равномерно распределены на отрезке [0, Ь\, где Ь - длина Г.
Всюду далее через ЭДТе(Л) обозначим класс плоских спрямляемых кривых Г, непрерывной кривизны, расположенных в области
(2 = {(х,у):х + у <Ь},
у которых длина не более Ь. Из курса дифференциальной геометрии известно [2], что параметрические уравнения кривой Г е (Л), отнесённой к длине дуги л(0 < л < Л) как параметру, имеют вид
х = х(5),^ = Х^),0<5<1. (2)
Обозначая через вк,8к £ [0,Л] значения длины дуги л е Г, которые соответствуют точкам Мк е Г, перепишем квадратурную формулу (1) следующим образом:
Ь дг
|/00),х^))^ = Хл/№).Л))+^(/;г)> (3)
0 к=0
где 0 < я0 < < я2 < ... < = Ь - произвольное разбиение отрезка [0, Л].
пусть ^“(Л():=(0и>£,(ме), Ир < со - класс функций / (М) — / (х, у), у которых почти всюду в области () существуют частные производные д/ / дх, о/ / ду и выполняется условие
ч1 !р
1У/Ц := \%ю<і Ар = {[V 3/!дх 2+ 8/ /ду
сЬ
<М. (4)
Ясно, что для каждой функции / е IV(Л4), каждая кривая Г е 9Л0 (Л ) погрешность квадратур-
ной формулы (3), имеет вполне определённое значение
Ь дг
^(/;Г) - |/(х^),Х^))^-^^/(Х^ДХ^)-
к=0
За величину, характеризующую точную оценку погрешности квадратурной формулы на всём классе функций IV(М) на заданной кривой Г е 931^ (П), примем величину
Яд Г™(М),Г =8ир .
На классе Г е ЭДТе(Л) всех кривых Г, длина которых не превосходит Л, наибольшую погрешность квадратурной формулы (3) обозначим через
о
0
^ W^(M)Mq(L) =sup \RN(W^(M))[.T^WlQ(L) . (5)
В дальнейшем предположим, что квадратурная формула (З) точна для функции
N
fix, у) — const, что влечёт за собой выполнение равенства ^ рк = L. Очевидно, что величина по-
к=1
грешности (5) на классах функции и кривых dJlfJ (L) зависит от вектора коэффициентов
Р = {pk}Nk=a и вектора узлов S = {skfk=a, то есть
Rn W^iM),MQiL) W^iM),mQiL);P,S .
* Г * * £
Требуется при фиксированном векторе узлов S* = і sk : sk = — L > найти величину
I N J к=0
є» ) = inf R„ [w™{M0IL,{L\P,Sr\ (6)
Если существует вектор коэффициентов Р° — {рк }к=0, для которого достигается нижняя грань в (6), то есть если
Ъ (7)
то квадратурная формула (3) называется наилучшей или оптимальной по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узлов 8*. Отметим, что задача (7) является одним из наиболее часто встречающихся в приложениях случаев равностоящих узлов, когда отрезок [0,Х] разде-
лён на N равных частей Ь — ЫЫ точками sk — кЬ, к — О, N.
Для произвольной функции f {Л4) как функции f(x(s), X5)) одного переменного
запишем формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши и подставим в квадратурную формулу (3). Тогда погрешность квадратурной формулы (3) представим в виде
Ь
Л,(/;Г)= J
д/ x(s),y(s) <lx erf xjs),y(s) dy'
У дх ds ду ds j
где ядро K,(s) определяется равенством
K{s)ds, (8)
N
K(s) = L - s - ^ рк (sk - s)0+, u+ = [max(0, u)f.
k=0
Оценивая правую часть (8) согласно неравенству Гельдера и учитывая тождество (дх / &1)2 + (ду / &1)2 = 1, для произвольной функции f е IV(А4) получаем оценку сверху
$[_ дх +ду дх дя ду дя
\1/р /
|/С0)|? (І5
\1/д
/
(ь У7р(ь
= ||У/Т<* ||ЮХ>Г <*
Л1/?
<М
У
\1/?
|| /С(л-) Г
\0
1+1=1.
Р ч
Рассмотрим кривую Г* е (Л), которая задана параметрическими уравнениями
(9)
т- 5 5 л ^ ^ т
:X = ^j2,У = ^j2, ’
И выберем функцию / Є (Л4) в виде
где
7И и —\\~~ — — —
Ф)=■ ||9
_ N
/СО) = £ - л/1? - £ рк О* - >/2у)°.
£=0
Подставляя функцию / (х,у) и Г* в равенство (5), убедимся, что в неравенстве (9) имеет место знак равенства. Этим доказано, что правая часть неравенства (9) является точной верхней границей на множествах функций (Л4) и кривых ЭДТе (£)
х*[Г™(М);<тв(£),Р,Я-) = М\ || /СО) Г Ж
\l/q
(10)
.ь
От чисел Р = рх ; в оценке (10) зависит лишь интеграл || /СО) |ч б/у, и коэффици-
0
енты р4 нужно выбрать так, чтобы указанный интеграл принимал наименьшее значение. Очевидно,
что экстремальная пара /* и Г* не единственная.
$к_ р^ ----------
Положим Цк— —, ак~ —? к = 1,Ы. Тогда имеем:
ЛГ
\°
= ИС(в/Г).
и
и
о
В правой части равенства (10) сделаем замену переменной т = я ! Ь и, учитывая, что ядро /С(т) имеет вид
К\т) = \-т-^сік
ґ
\°
*=і
и является линейной функцией на каждом из отрезков
і
---Ь
к=1
и что точную нижнюю грань в выражении (10) реализуют числа оск = 1 / N, к = 0,Н, (см., например,
[3. стр.229-230]), получаем следующее утверждение
Теорема. Среди квадратурных формул вида (3) с фиксированными векторами узлов
* Г , * к V
І = \^кХк =~^\ наилучшей по коэффициентам формулой на классе функций
N
1 к=0
Ж^д(Л4), 1 < р < оо и классе кривых дЛ0(Ь) является формула
ь Т N
|/00), У(з)№ = — £ /
ґ ґкЬ\ (кЬ^
к—О
X
V V -'V у
N
,У
кNJJ
При этом
МЬ 4
+ 4
г, 1<д<оо.
Отметим, что вопросы приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода для других классов функций рассмотрены в работах [4,5].
Поступило 20.07.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы - М.:Наука, 1979, 256 с.
2. Финников С.П. Курс дифференциальной геометрии - М.:Гостехиздат, 1952, 343 с.
3. Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов - М.:Наука, 1967, 500с.
4. Вакарчук С.Б. - Укр. матем. журнал, 1986, т.38, , с.643-645.
5. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. - ДАН РТ, 2010, т.53, 6, с.415-419.
о
Д.С.Сангмамадов
ФОРМУЛАX,ОИ KВАДРАТУРИИ АЗ РУИ ^ЭФФ^^ИТ^ БЕ^ТАРИН БАРGИ ^ИСGБKУНИ^GИ ТАЦРИБИИ ИНТЕГРАЛ^И ^^ХАТТАИ ЧИНСИ ЯKУМ
Донишкадаи со^ибкорй ва хизмати Цум^урии Тоцикистон
Дар макола барои синфи функсиях,ои дифференсиронидашаванда, ки градиенти фупксияхо аз руи нормаи фазой L , 1 < р< оо махдуд аст, бахои аник;и хатогии формулахои квадратурй барои интегралх,ои качхаттаи чинси якум х,исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: интегралуои кацхаттаи цинси якум - вектор коэффисиентуо ва вектор гиреууо - формулаи квадратури - хатоги.
D.S.Sangmamadov
THE BEST QUADRATURE FORMULAS BY COEFFICIENTS FOR APPROXIMATE CALCULATION OF CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST TYPE
The Enterpriser Institute and Service of Republic Tajikistan
In the article for some classes differentiable functions in which the gradient functions by the norm of the space is bounded L , 1 < p<<x>, and the exact evaluation of the error quadrature formula for the approximate calculation curvilinear integrals of the first type is calculated.
Key words: the curvilinear integral of the first type - vector coefficient and vector nodes - the quadrature formula - error.
