CC BY
8УДК 517.977.5 Ю.Л. Осипова
ОПТИМИЗАЦИЯ ПО КОМПЛЕКСНОМУ КРИТЕРИЮ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ИНДУКЦИОННОЙ НАГРЕВАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ МЕТОДИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ
Предлагается метод решения задачи оптимального управления по комплексному критерию качества переходными режимами работы односекционной индукционной нагревательной установки (ИНУ) методического действия. Приводятся примеры, иллюстрирующие полученные результаты применительно к процессу первоначального запуска ИИУ. ■
Задача сводится к поиску управления ишт(<р) объектом, описываемым системой уравнений первого порядка с разрывными правыми частями [1]:
d0> а • ПТ /"(*>).? е (p„,pw);
-7“ = /,(н,,0,), 0Д</>,«) =вш, i = l,S, ; и, (ф) =
d<p 10,<р <£(<рн,,<рк,)\
\ь№ ~ь2о,,<р£(<рш,<рЛ [о
(О
которое обеспечивает минимальное значение критерия оптимальности
'=1
1=]
ФМ-ОшУ+с-
9>Ki
\d<P
<р^)+<р
mln, V = const > 1 ,
(2)
в условиях ограничения 0 < и(ф) < итм.
В соотношениях (1), (2) 01 - температура /-Й заготовки в относительных безразмерных единицах, Я, - число заготовок партии, - требуемая конечная температура нагреваемых заготовок, <рн1, <рК1 - соответственно начальный и конечный моменты нагрева /-ой заготовки в безразмерных единицах (число Фурье), вш - начальная температура /-ой заготовки, £>,, Ь2 - коэффициенты, зависящие от глубины проникновения тока в металл, коэффициентов теплопроводности, теплопередачи и геометрических размеров нагреваемых заготовок [1]. Критерий (2) является комплексным критерием, учитывающим точность нагрева, где заданное число V > 2 соответствует способу ее оценки, и суммарную потерю темпа выдачи нагреваемых изделий с весовым коэффициентом С. Под потерей темпа подразумевается разность моментов выдачи п-й и заготовок.
Осуществим для удобства переход от задачи Больца (2) к задаче Майера [2] вводом новых
переменных 9,:
-7± = /(р),МФ) = \Л , . V?>e(0,^)
тогда
а “расширенная” модель объекта управления в нормальной форме принимает следующий вид:
d(P 0 ,(р£{<рш,<р„)\
dO,
dtp
L = fA<P) =
/ = і7Д
(4)
Применим для поставленной задачи Майера (3), (4) принцип максимума Понтрягина. Функция Понтрягина и сопряженные уравнения имеют вид [2]:
Н
+ Vi Jd ;
i=i
dy/u дН \Ъ2уи,<рь{<рш.<рЛ dy/2j дН
d(p дв, [Qb(p<t((pHI,(pJ\
= 0.
(5)
(6)
дв.
Решив сопряженные уравнения, получим соотношения для нахождения множителей Лагранжа у/ь и у/ъ:
[2]:
¥,Х<Р) = ' *** - Уъ (<Р) = , V/ = 1, Я,, р е (ф,„, ) (7)
Для нахождения постоянных интегрирования воспользуемся условиями трансверсальности
¥viP„) = ~
81
дв.Ш
= -у' І0і (фкі ) - Г"1;
W2І (Р« ) =
ы
двШ
= -С ■ signie, (<рК1)); Vi = 1, В,.
Из (7), (8) получим:
е„ е„ = ±С; V/ = Св,;
ч>Л9)=^"-\вШ-вму-', V„(V)=±C, Vi = l,B, Функция Понтрягина, исходя из (1), (5), (10), примет вид:
МУ), ч
Я = |;(->е^")(0Д^)-^Г,(4,*2а-б2в1)±с)
't(e0
/, (<р) = min{(: ^ > <р}; i2 (^) = тах{/: pw. < ф\,
где
(8)
(9)
(Ю)
(П)
(12)
то есть в сумме (П) учитываются в каждый момент времени только те заготовки, которые в этот момент располагаются в индукторе и тогда, согласно принципу максимума
<;(Р) <;(*>)
к
МР)
и<к,если 2 vbtb2e*2{^\e, ((Ркі) - ешу-' = 0.
'і(?)
Так как хЬ.Ь.е^^^ >0,то
к»Л<р) =
'{(£) М(°)
1 -signYrnvJ-e^r' ,есЛ«'£(0,Ш-0*Г' *<>
'l(p)
£<
'i(fs)
і;(у)
u^ecjiuYmvJ-e^Y' = 0
і,(р)
(13)
т.е. идпт{(р) «сшивается» в общем случае из особых участков, где и,тт{ф)-и<к{ф), и участков, на которых umm{(p) = umWi, либо 0.
Покажем, что оптимальное управление (13) совпадает с локально-оптимальным управлением (ЛОУ), т.е. с управлением, которое на каждом i-ом шаге переходного процесса выбирается из условия минимизации /-ой составляющей критерия оптимальности (2) [1]. Предположим, что поставленная задача (3), (4) решена, и соответственно известны конечные температурные кондиции каждой заготовки. Если считать, что именно такие конечные температуры являются заданными для каждой заготовки, то данная задача сводится к задаче минимизации суммарной потери темпа, для которой доказательство локально-оптимального характера оптимального управления было получено ранее [1]. Таким образом, оптимальное управление (13) должно совпадать с локально-оптимальным для некоторых заранее неизвестных конечных температур нагрева всех заготовок, подлежащих определению на последующих этапах расчета.
Согласно (13), ЛОУ принимает вид:
есяи {еа{фт)-в^Г'*0,
если =о.
(14)
Если рассматривать итс в классе функций, постоянных на интервале {<рк(п^
"max ^ «СЛИ >0»\
и„ = const, 0 < и„ < итах, если <рт - (Е>К{ПЧ) = <р ,
ТО
иГ» =
*=-<1 если 0,
2 (15й)
мтвк, если ра~р^>р .
__ , если {в„{<рк„)~в^) =0.
если <ркй-<рк{й^=ф\
(15 Ь)
Отметим, что (15Ь) соответствует частной задаче минимизации потери темпа и алгоритм нахождения ып подробно рассмотрен в [1], [3].
Для нахождения и°"т {<р) необходимо на каждом п-ом шаге сначала рассмотреть вариант «а», т.е. предположить, что (0п(<ркп) - 6^) * 0, тогда управление находится исходя из (15а). Например, при первоначальном запуске ИНУ будем иметь:
К = «-«■ (16)
При этом управлении выражение для температуры 0„(<р) будет иметь согласно (1) следующий вид:
= 1-е-4'*>*>„„„, (17)
где " начальная температура п-ой нагреваемой заготовки при переходе на послед-
ний шаг ее пребывания в индукторе. Полагая здесь <р равным неизвестной величине ц> и подставляя (17) в я-ю составляющую критерия (2), можно получить значение Iа критерия (2) в виде явной функции от <ркп. Путем поиска точки минимума критерия /а {(ркп) на интервале [^к(п_1) +<р\<я), можно найти <р“в и значение /д(^). Далее на этом же шаге необходимо рассмотреть вариант «Ь», найти управляющее воздействие инп из (15Ь) и значения (рькп [I], а затем вычислить /*(?>£,). Сравнивая значения /и и 1Ь, выбирается меньшее значение и при-28
нимаются управляющее воздействие и момент выдачи заготовки из индуктора, соответствующие тт{/0,/й}. Согласно (15), при этом не исключается вариант иап ~иьп и 1а = 1Ь. Повторение подобной процедуры последовательно для всех п = 1, В\ позволяет найти оптимальный алгоритм управления для всей партии заготовок.
Рассмотрим пример нахождения оптимального управления по комплексному критерию для задачи первоначального запуска ИНУ при у = 2. При нахождении точки минимума критерия (2), с учетом (17), нужно учесть 2 варианта: •
1. Точка минимума, найденная путем дифференцирования критерия (2) по (ркп попадает в
интервал [(%_,) + $з*,со),тогда
> = 2^(0ЛР.(,ч,)-Ь,і02 • *'
+ 2*2 (в. - А,X*, итп - вм) ■ 1 + С = О,
и, решая данное трансцендентное уравнение с приведением его путем подстановки к виду квадратного уравнения, получим:
Л
'г
1п
^(^тах ^ д/^2 (*1Ытах @зад) + 2С&2
<Р 1™ = —
■ + <Ркы-
(18)
2. Точка минимума, найденная путем дифференцирования критерия (2) по <ркп не попадает в интервал [<£>К(лЧ) + ^>*,оо), т.е. минимум /а{^м) достигается при (ркп < <Р , тогда
(*9)
Тем самым запрещается выдача заготовок с темпом, большим (т.е. быстрее) заданного.
Тогда
4>,п =
<р\у„, если <р\К!! > <р2кп,
(20)
<р2а> если ср\кп<(р2,п.
Начальная температура п-ой нагреваемой заготовки при переходе на последний шаг ее пребывания в индукторе о) находится по соотношениям (21)-(22):
0, п -1
*■-, (Р*(п-і))> п ~ 2, В в'»»* « = 5 + 1,5,
(21)
нп ’
в-1
ИЛИ
Фкіп-і-І)
(22)
І=1
Рассмотрим теперь вариант «Ь». Исходя из модели объекта управления, можно найти управляющее воздействие, которое необходимо на последнем шаге пребывания «-ой заготовки в индукторе для перехода заготовки из состояний 0я{рк^п_,,) в состояние 8^ за время <р :
И’*”'
и” =■
(23)
В случае, если < ытах ,тоилЛ=и^а (рькп = ^|>,_1) + , иначе и* = ытал, а ^ нахо-
дят, как время достижения заготовки заданной температуры при максимальном управляющем воздействии:
-\п\ , в,аа Ъ<и™--| + если итк<иьт,
«шах» eCAU «__<«,
иь , если и > иь .
<Р«п =
«тім итм>и_.
(24)
Далее из двух вариантов выбирается вариант, дающий минимальное значение целевой функции, и соответствующие этому варианту управляющее воздействие и момент выдачи заготовки из индуктора:
I on5 ЄСДИ lan <hn’ hn, еСШ
(25)
Рис. 1. Расчетные характеристики процесса оптимального управления первоначальным запуском нагревателя по комплексному критерию качества при разных значениях весового коэффициента
(26)
иаа, если 10<1Ь, если 1а<1Л,
К = <Р,п =
и*, если 1в>1ь. если 1а>1ь.
Рассмотрим частный случай для 5=5, вмг> = 0.584, =0.122, 6, =2.4, 6, =0.784,
«та* @»\ ~ 0, <р„\ = 0. На рис. I представлены кривые оптимального управления и{ф) и
30
потери темпа <ркп для первоначального запуска нагревателя по смешанному критерию
при различных значениях весового коэффициента.
Как видно из рис. 1, при значении весового коэффициента комплексного критерия эффективности (2) 0=0, оптимальные управление и темп выдачи совпадают с аналогичными результатами, полученными в частной задаче на минимизацию суммарной потери темпа, а при достаточно большом значении весового коэффициента, например 0=100, соответствующие параметры переходного процесса совпадают с результатами, полученными в частной задаче на максимум точности нагрева [ 1 ]. «
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993.279с.
2. Ким Д.П. Теория автоматического управления, Т.2 Многомерные, нелинейные, оптимальные и ааагггивные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004,464 с.
3. Рапопорт Э.Я., Пдешивцева Ю.Э., Осипова Ю.А. Локально-оптимальные алгоритмы управления переходными режимами работы индукционных нагревательных установок непрерывного действия //Мехатроника, автоматизация, управление 2005. Тр. II Всероссийской научи.-техн. конф. Уфа: УГАТУ, 2005, Т.1, с.65-70.
Статья поступила в редакцию Зоктября 2006 г.
УДК 681.5 Ю.Э. Плешивцева
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Предлагается способ декомпозиции ограничений по контурам независимого регулирования мод выходной величины объекта с распределенными параметрами в замкнутой системе оптимального по быстродействию управления. Для решения соответствующей краевой задачи параметрической оптимизации используется альтернансный метод.
Введение
Необходимые условия оптимальности, формулируемые в виде соответствующих обобщений принципа максимума Понтрягина, до настоящего времени являются основным аппаратом решения актуальных проблем управления системами с распределенными параметрами [1,2].
Непосредственное использование этих условий позволяет во многих случаях найти программные управляющие воздействия в явной форме искомых функций их изменений во времени и пространстве.
Значительно более сложной оказывается задача синтеза оптимального управления с обратной связью, решения которой позволяют построить замкнутые системы автоматического управления (САУ), в которых реализуется с допустимой погрешностью отработка оптимальной программы в реальных условиях ограниченной неопределенности характеристик объекта и воздействия различных возмущений.
Большинство задач синтеза применительно к объектам с распределенными параметрами (ОРП) рассматривается на основе метода динамического программирования в рамках проблемы аналитического конструирования регуляторов для линейной модели ОРП и квадратичного функционала качества в идеализированных и реализуемых условиях, соответственно, полного и неполного измерения управляемых функций состояния [1-3]. Алгоритмы управления определяются здесь решениями систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Ри-катти, нахождение которых сопряжено со значительными вычислительными трудностями.
Другой путь заключается в использовании методов управления в пространстве состояний при модальном описании ОРП бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд гармоник разложения распределенной управляемой величины в сходящийся бесконечный ряд по некоторой ортогональной системе функций пространственных ко-
