Оптимизация многолинейной марковской системы массового обслуживания с ожиданием, функционирующая в условиях неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519.872.1

В.А. Чекменев, М.П. Калинина

ОПТИМИЗАЦИЯ МИОГОЛИНЕИНОИ МАРКОВСКОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ, ФУНКЦИОНИРУЮЩАЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Системы массового обслуживания являются математическими моделями широкого класса реальных объектов, таких как автоматизированные информационные системы, системы связи, транспортные системы и т.п.

Обычно такие системы исследовались и оптимизировались с точки зрения одного критерия, который отражал эффективность работы самой системы обслуживания, с заданными нормативными ограничениями по обслуживанию пользователей [1]. Однако, существование конкуренции между входящими потоками, наличие неопределенностей, порождаемых стохастической природой поступающих в систему потоков информации, неполнотой знаний о состоянии каналов передачи, необходимостью учета требований различных пользователей требует новых подходов к исследованию и оптимизации, в частности, следует учитывать представления об устойчивости, выгодности, справедливости по отношению к пользователям.

В связи с этим, особое значение приобретает применение теории принятия решений к оптимизации СМО при наличии многих критериев.

Рассмотрим марковскую систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием, в которой параллельно функционируют т узлов (приборов). На вход системы поступают п простейших потоков заявок. Для каждого потока определена интенсивность Л/ (/ = 1,..,П).

Будем считать, что требование каждого потока генерируется отдельным пользователем. Пользователь Аг, формирующий поток требований интенсивности Л , с вероятностью Ху

г \

т

0 - Ху —1, X Ху = 1

7 = 1

направляет свои требования в очередь к 7-му прибору.

На основании теоремы просеивания и объединения простейших потоков по полиномиальной схеме образуется т простейших потоков сообщений к обслуживающим приборам с интенсивностями:

п А7 = ЕХЧЛ , ]=1,...,т . /=1

В качестве показателей эффективности распределения заявок по очередям выберем средние потери на ожидание /-го пользователя в единицу времени:

т к(Х1,..,Хп) = Лг ЕХ1]К]У] , г=1,...,п,

У=1

где

л,

уУ =

М і ( 2 М і лі )

- среднее время ожидания в очереди у у-го прибора [2];

хі = (х11’..’х1т) - вектор вероятностей распределения заявок і-го пользователя по т очередям; КІ - стоимость единицы времени ожидания заявки у і-го прибора;

Мі - интенсивность обслуживания заявки на у-ом приборе.

Ставится задача: найти оптимальное распределение заявок {Ху} для каждого пользователя в условиях конкуренции пользователей за средства обслуживания.

Так как пользователи формируют свои потоки независимо друг от друга и каждый стремиться минимизировать свое время ожидания, то задачу оптимизации можно сформулировать в виде бескоалиционной игры п лиц [3]:

Г = ( 1,{х, \ЄІ,{іі }^) ,

где І - множество игроков (пользователей),

Хі =

т

ху:ху є

М I Ху = 1

7=1

- множество стратегий /-го игрока,

Ь(х1,...,Хг) - функция потерь /-го игрока,

Хг = (Х/1,...,Хгт) еХ/ , г = 1,..,п .

Одной из форм реализации представления об устойчивости можно считать понятие равнове-

сия. Решением поставленной задачи будет являться точка равновесия данной игры, то есть такая

* *

точка (Х1 ,■■, хп ) , что для любых i sI,xi sXi :

* * *

Li(xl,..,xi ,..,xn) <

* * * *

< Li(x1,..,xi-1,xi,xi+l,■■,xn), то есть любое отклонение игрока от этой стратегии ведет к увеличению его функции потерь.

Сформулируем задачу поиска ситуации равновесия в виде многокритериальной задачи нелинейного программирования:

Li(xi,..,xn) ^ min, i = 1,..,n m X xij = 1, i = 1,..,n j=1 xij > 0, i = 1,..,n; j = 1,..,m

Так как функции потерь

* * * * ,

L (х,. x-^ x, x„)

непрерывно дифференцируемы по каждой компоненте xj, j=1,...,m вектора xjGXj (i=1,..,n ) , то для нахождения ситуации равновесии, являющейся внутренней точкой множества стратегий, можно воспользоваться методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа для каждой задачи данной системы:

Zi(x1,..,xn) = m = Li(x1,..,xn)-ßi( Xxij — 1),i = j=1

где ß - множители Лагранжа.

Покажем выпуклость функции Zi . Для этого вычислим второй дифференциал этой функции, который имеет следующий вид:

mm =2

xixi

Находим

j

=1 к=1 dxiJ dxik

— dxjdxjfc.

А2

6Zi ÄiKj( Äixij pj + Aj pj Aj) ß

^ =--------------------------5----—ß

ij 2p j( pj — Aj )

Получим, что

d 2z

и, наконец, d 2Zi

dxij dxik

V ~ J „ dxij (pj —Aj)

Так как система функционирует в стационар-

ном режиме, т.е.

то

A

J

< 1

jj

d2 z.

~dxt

> 0

для любого Ху £[0,1] .

Таким образом, второй дифференциал функции 7г по переменной Хг - положительно определенная квадратичная форма, так как для любого Хг £ X/ и любого ненулевого вектора йхг размерности т выполнено неравенство:

dA

Zr = Е

m д 2 Z

J=1 dx

2~dx^j > 0 ij

Следовательно, функция 7/ выпукла на множестве Хп а ее минимум определяется из системы уравнений:

dZі

dx-

= 0,і = 1,..,n; j = 1,..,m;

іJ

dZr

dßi

= 0,i = 1,..,n.

Для рассматриваемой СМО эти условия представляют собой систему нелинейных уравнений по переменным Ху , Д-:

К] (Л/Х/ М] + А] М] ~А])_ _р/_

Л

2jj(jj Aj)

2

і = 1,..,n,j = 1,..,m;

m

X Х/] _ 1, г _ 1,..,п.

] _1

Этой системе удовлетворяет решение

* М 7

х/7 _-------— (г _ 1,..,п; 7 _ 1,..,т)

■> т

Ем]

] =1

Подставив найденные значения Х у в формулу для нахождения функции потерь в данной точке, получаем :

п

К] ЕЛг

г _1

* * m ----------------7

Li(X1,..,Xn) = Л. Е m ( m

j=12 EJk EJk к=1 U=1 і=1

Y

і = 1,..,n

Теперь покажем Парето-оптимальность точки

* * (x1 ,..,xn),

которая отражает свойства выгодно-

сти принимаемого решения.

Точка

x* = {x^. :1 < i < n,1 < j < m} множества X называется оптимальной по Парето, если из условий L(x)<L(x*), xgX, следует,

что L(x)=L(x*).

Будем основываться на следующем утверждении [4].

Если для некоторых а>0, i=1,...,n и

x* gX имеет место следующее равенство:

n n *

min XaiLi(x) = XaiLi(x ), xg xi=1 i=1

то x* - Парето-оптимальная точка.

Положим а=а >0 и рассмотрим функцию n

L(x) = XaLi(x1,..,xn) i=1

Представим L(x) в следующем виде: n

L(x) = a Е А і=1

n

+ aX Л. і=1

где

>+

j =1 2jJ(JJ — AJ)

m—1 к A

Лmyim

=1 2jm( Jm —Am)

(1 Е xij)

J

m—1

xim = 1 — Е xiJ, J=1

лІ = I ХуА,у = 1,,т -1 і=1

п т-1

лт = I (1 - I хіі )лі і=1 І=1

Так как объединение выпуклых функций дает в результате выпуклую функцию, то можно утверждать, что функция

L(x) = Е Ц (x)

является выпуклой на множестве Х и ее минимум определяется системой уравнений:

^ _ 0, к _ 1,..,п; I _ 1,..,т

dxkl

dL

dxkl

+ —

• = a<

4AKßk Jl ( Jl — Al) + 2aA Kßk Jl

4j2 (Jl —Al)2

2

4AmKmXk Jm( Jm Am ) + 2AmKm^k J

2 2 4 Jm ( Jm — Am )

h_K±

2 ji

jJ

— 1 + -

( ji —Al)

Ак Km

2

1 — -

2

Jm

2

2 Jm (Jm Am)

к = 1,..,n;l = 1,..,m — 1

Предположим, что

Kl=Km= T

Jl Jm

Тогда можно записать:

dL ЛкТ

Jl

(l=1,..,m-1).

2

Jm

22 (Jl —Al) (Jm — Am )

dxkl 2

Подставим найденное значение

(1)

* J J x-j-j =------ — ,i = 1,..,n;j = 1,..m

VJ m

■JJ

J=1

Введем обозначения:

m

n

J= Е JJ , А = ЕЛ. J=1 i=1

тогда

n

n

* * n * n J J J J

AJ(x1 J,..,xmJ) = Е xijAi = Е Аі = А,

і=1 і=1 J J

J = 1,..m — 1;

* * n m—1 *

Am(x1m,..,xmm) = Е (1 — Е xij )Аі =

і=1 J=1

n m—1 j j n 1 m—1

= Е (1 — Е —А = Е (1 — Е jj)A =

і=1 j=1 J і=1 J j=1

m—1

m.k. Е jj = j — jm

J=1

J Jm M

АJm M

Подставим найденные выражения в систему (1) и получим:

> = n Е (1

і=1

Jm n ЕА

J і=1

)А =

dL Акт

dxkl 2

jJ

2

Jm

(л— Л-А)2 (jm — JJmА)2

J

J

+

+

Акт

2

1

1

(1 —~)2 (1 —~)2

J J

= 0

(h=1,..,n ; l=1,..m-1).

Таким образом, точка:

xiJ = m

Jj

(i=1,..,n ;J=1,..m)

Ejj

J=1

является корнем системы и, следовательно, Парето-оптимальной точкой при условии, что

]КІ = М..у = 1..,т -1 М у Мт

Одним из простейших представлений о справедливости в бескоалиционной игре п лиц является равенство функций потерь игроков в ситуации равновесия. Для рассматриваемой СМО это эквивалентно равенству интенсивностей Л входных потоков (і єЄ) .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Морозов В.К., Долганов А.В. Основы теории информационных сетей. М: Высшая школа, 1987. 271 с.

2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М: Машиностроение, 1979. - 432 с.

3. Воробьев Н.Н. Теория игр. М: Наука, 1985. - 272 с.

4. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М: Наука, 1990. - 256 с.

□ Авторы статьи:

Чекменев Владимир Алексеевич

- канд. техн. наук, доц. каф. автомобильных перевозок

Калинина Мария Петровна

- асп. каф. автоматизации исследований и технической кибернетики КемГУ

УДК 519.872.3

В.А. Чекменев, М.С. Антропов

АНАЛИЗ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИНАМИЧЕСКИМИ ПО ЧИСЛУ ТРЕБОВАНИЙ ПРИОРИТЕТАМИ ПРИ БОЛЬШОЙ ЗАГРУЗКЕ

Анализ систем массового обслуживания (СМО) с динамическими приоритетами является задачей достаточно сложной. Для её решения в условиях большой загрузки целесообразно использовать асимптотические методы, то есть заменять исходный процесс функционирования СМО другим асимптотически эквивалентным процессом. Можно исследовать такие системы используя точные методы. Например, в [2] было получено решение через производящую функцию, но лишь для системы с двумя входными потоками. Для большего количества потоков получить решение не представляется возможным из-за громоздкости получающихся выражений. Так же у решений через производящую функцию имеется еще один недостаток: можно найти математическое ожидание только от функций определенного вида (Г(1])=А,п+В]п ). В свете всего вышесказанного использование асимптотических методов для исследования СМО с динамическими приоритетами при большой загрузке наиболее приемлемо.

Пусть имеется однолинейная СМО с динамическим приоритетом, на вход которой поступают

три простейших потока требований с параметрами Л1 , Л2, Л3. Распределение времени обслуживания экспоненциальное с интенсивностью М . Будем

п_Л1 +Л2 предполагать, что п<1 , где ”

J

загруз-

ка системы, причем р[ 1 (условие большой загрузки).

Состояние системы зададим вектором (і1 , і2 , із) , где і1 - число требований первого типа, стоящих в очереди, і2 - второго типа, із - третьего.

Правило выбора требования на прибор в момент окончания обслуживания в состоянии (і1, і2 ,

із) определяется величинами З3(і] , і2 , із) , £=1,2,3, где

\і. і1 * £ < ^ 1 = 1,3 \0. .

Рассмотрим процесс изменения во времени состояний СМО {г1 (г), г(), г()} и его асимптотическую аппроксимацию процессом

{х1(1)=8-11 (о, Х2(г)=а-12 (г) , хз(г)=а-гз (г)},