Анализ системы массового обслуживания с динамическими по числу требований приоритетами при большой загрузке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ÄkT

2

1

1

(1 -~)2 (1 ~~)2 Л л

= 0

(k=1,..,n ; l=1,..m-1).

Таким образом, точка:

xij = m

лІ

(i=1,..,n j=1,..m)

Zmj

І=1

является корнем системы и, следовательно, Парето-оптимальной точкой при условии, что

*!± = = !..,т -1

И у И-т

Одним из простейших представлений о справедливости в бескоалиционной игре п лиц является равенство функций потерь игроков в ситуации равновесия. Для рассматриваемой СМО это эквивалентно равенству интенсивностей Я входных потоков (/ еЕ) .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Морозов В.К., Долганов А.В. Основы теории информационных сетей. М: Высшая школа, 1987. 271 с.

2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М: Машиностроение, 1979. - 432 с.

3. Воробьев Н.Н. Теория игр. М: Наука, 1985. - 272 с.

4. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М: Наука, 1990. - 256 с.

□ Авторы статьи:

Чекменев Владимир Алексеевич

- канд. техн. наук, доц. каф. автомобильных перевозок

Калинина Мария Петровна

- асп. каф. автоматизации исследований и технической кибернетики КемГУ

УДК 519.872.3

В.А. Чекменев, М.С. Антропов

АНАЛИЗ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИНАМИЧЕСКИМИ ПО ЧИСЛУ ТРЕБОВАНИЙ ПРИОРИТЕТАМИ ПРИ БОЛЬШОЙ ЗАГРУЗКЕ

Анализ систем массового обслуживания (СМО) с динамическими приоритетами является задачей достаточно сложной. Для её решения в условиях большой загрузки целесообразно использовать асимптотические методы, то есть заменять исходный процесс функционирования СМО другим асимптотически эквивалентным процессом. Можно исследовать такие системы используя точные методы. Например, в [2] было получено решение через производящую функцию, но лишь для системы с двумя входными потоками. Для большего количества потоков получить решение не представляется возможным из-за громоздкости получающихся выражений. Так же у решений через производящую функцию имеется еще один недостаток: можно найти математическое ожидание только от функций определенного вида (¥(1у)=Л"+В]п ). В свете всего вышесказанного использование асимптотических методов для исследования СМО с динамическими приоритетами при большой загрузке наиболее приемлемо.

Пусть имеется однолинейная СМО с динамическим приоритетом, на вход которой поступают

три простейших потока требований с параметрами Я] , Я2, Яз. Распределение времени обслуживания экспоненциальное с интенсивностью И . Будем

п = Я1 +Я2 предполагать, что р<1 , где ”

л

загруз-

ка системы, причем р[ 1 (условие большой загрузки).

Состояние системы зададим вектором (І1 , І2 , І з) , где І1 - число требований первого типа, стоящих в очереди, І2 - второго типа, Із - третьего.

Правило выбора требования на прибор в момент окончания обслуживания в состоянии (Іі, І2 , Із) определяется величинами (5£(Іі , І2 , Із) , £=1,2,3, где

Iі, І1 * £ < Ц 1 = 1,3

І о, .

Рассмотрим процесс изменения во времени состояний СМО {¡1 @), ¡(), ¡()} и его асимптотическую аппроксимацию процессом

{х](г)=е-1] (о, Х2(г)=еь ($ , хз(г)=е-1з ($},

Прикладная математика

7

где е=е(р) - малый параметр. Обозначая через Р(/1 , ¡2 , ¡3) финальную вероятность того, что в очередях будет ¡к требований соответствующего типа, получим следующие уравнения Колмогорова:

(.Я] +Я2 +Я3 + и)Р(1 ,¡2,^3 ) = = Я]Р^1 -1,12,13)+Я2Р(],12 - Из ) + + ЯзР(1 ,¡2,13 -1)+ иР(1 +1,12,13)х х81 (1 +1,12,13 )+ИР(1,12 +1,*3)х х$2 (¡1,12 +1,13) + + нР(ч ,¡2^3 +1)8 3 (,¡2^3 +1)

Подобно [1] переходя от (¡] , ¡2 , ¡3) к Х}=е-11 , Х2=е-12 , Хз=е4з при достаточно малых е , получим

' Х1_ Х2 Х3

е е е

= яМХХ^е ,Х2,ХХ3 } + я2р[Х1,Х^е ,Х3| +

У е ее) У е е е )

+ язр{ Х1, Х2, Х3^е\ + ир{ ХХ1^е, Х2, ХХ3\

\ е е е ) У е ее)

х81 (ХХ^е,Х2,ХХ3) + ир( Х1,Х21е ,Х3)х { е ее) I е е е )

,82\ Х1,ХХ^±.Х3\ + иР[ Х1,Х2,ХГ+1 |х

е е е

ее е

Х1 Х2 Х3 + е xS3\ —,------,

е е е

Предполагая, что в условиях большой загрузки выполняется соотношение

Р{ Х1,Х^1,Х^3 Л\^7(е)р(х1,х2,хз )

У е е е )

где через р(х1 , Х2 , Хз) - асимптотическая

плотность вероятностей состояний, (у(е) - нор-

мирующий множитель), получим определяющее ее уравнение

( +Я2 +Яз + и)р(х1,Х2,хз ) =

= Я1р(х1 -з,Х2,хз ) +Я2р(х1,Х2 -з,хз ) + + Язр(х1,Х2,хз -е) + ир(х1 +е,Х2,хз)х х81 (1 +е,х2,хзр +ир(х1 , Х 2 + е , Х3 х х 82 (х1,х2 +е,хз) + ир(х1,х2,хз +е)х х83 (х1,х2,х3 +е р

где

Ss =^oXlК xsl = 13 s = -3. Далее, используя разложение в ряд с точно-

стью до членов порядка 3, перейдем к дифференциальным уравнениям в частных производных

3

Z

l=1

2

( л,)s 2pX1,X2'X3} ■

dxj

+ е

( -л,)ЖіЯїй

дц

= 0

(1)

с нулевыми граничными условиями.

Управление разбивает пространство состояний на три непересекающиеся области -

\{х1,х2,хз):55(хі,х2,хз) = Л ^ =_

\#1 *5(х1,х2,х3) = 0,1 = 1,3 \ ’ ,

для решения (1) в каждой из областей перейдем к новым переменным

3 . = х£-РІ3

9 = £ хІ, =--------

І=1 8

и получим обыкновенные дифференциальные уравнения *2,

д KS ' з(-Л )d^s

+

dt2 ( + Xs ■ dts

=0 s = 1,3

При решении этих уравнений используем два условия:

a) равенство плотностей на границе изменения управления, то есть при ts=0 ;

b) граничные условия

lim 7rs = 0 t s ^0

и получим:

где

ac =

c(<p)e aSs

з(л -Xs ■

(м + Я р .

Для нахождения с(р) сделаем обратный переход к переменным (Х1 , Х2 , Хз) и воспользу-

емся условием:

Я р((р - Х2 - хз,х2,хз )dx2dx3 +

+ Цр(х 1,р- Х1 - хз,хз^х^з +

Э2

+ Цр{х1,х2,р-Х1 -Х2)dx]dx2 = е р.

Яз

Здесь слева плотность распределения суммы компонент неотрицательной случайной величины с плотностью р(Х] , х2 , Хз) (здесь Як - проек-

ция части плоскости р= Х\ + Х2 +Х3 , где 8к=1 , на плоскость Хк=0.), а справа - плотность вероятностей состояний одномерного марковского про-

2

цесса (8-1] () +€-¡2 +е-3 @)} (получено на

основе незавершенной работы [4]). Вычисляя интегралы в левой части получим:

с(р)е

1

ар а2Р \

1 - e 3s 1 аа2 1 - e 3s

а3р 1 - e 3s

= e~p

Заметим, что при малых е вне окрестности точки (0,0,0) без потери принятой точности с(<р) можно считать равной

z{cp) =

2 2 2

ai а2аз

2 2 , 2 2, 2 2 Ï 2

а2а3 +а 1 а2 ^aia3 \s

-ф

Тогда окончательно плотность распределения будет иметь следующий вид:

Р(х],х2,х3) =

= г(е)

сф) exp |- а 1 X1 -Ф 3 J сфр) ехр^-а2 Х2 -ф3 сфр) ехр\-а3 Х3 -р3

xi > Х2, xi > Х3 Х2 > xi, Х2 > Х3 Х3 > Х2 , Х3 > Х1

где y(s) - нормирующий множитель, вычисляемый из условия нормировки.

Получив плотность распределения аппроксимирующего процесса, можно вычислить все характеристики исходной системы.

Для определения области применения полученной асимптотической плотности, для двухмерного случая, при вычислении математического ожидания суммы длин очередей, проводилось сравнение с результатами полученными в работе [2] .При загрузке р=0.6 значение математического ожидания суммы длин очередей вычисленное по асимптотическим формулам отличалось от значения вычисленного по формулам из [2] на —0,4 , при р=0.7 отличалось на —0.31 , при р=0.8 - на —0.2 .

Вывод: При загрузке р>0.8 асимптотические формулы дают близкие результаты к формулам полученным точными методами для двухмерного случая. Для трехмерного случая точные формулы получить не удается, в связи со сложностью возникающих уравнений, но при большой загрузке

(р>0.8) можно применять асимптотические формулы, которые имеют достаточную точность.

+

2

2

1

+

а

e

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Назаров А.А. Чекменев В.А. Анализ и оптимизация системы массового обслуживания с динамическими по числу требований приоритетами при большой загрузке // Автоматика и телемеханика. 1984. №10. 78-87.

2. Назаров А.А. Терпугов А.Ф. Дисциплина обслуживания с выбором из большой очереди // Техническая кибернетика. 1975. №2. 103-105.

3. НазаровА.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Издательство Томского университета, 1991. -160с.

4. КлейнрокЛ. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979. -432 с.

□ Авторы статьи:

Чекменев Антропов

Владимир Алексеевич Максим С.ергеевич

- канд. техн. наук, - аспирант

доц. каф. автомобильных перевозок